【文档说明】通用版高考数学(理数)一轮复习第22讲《二倍角公式与简单的三角恒等变换》学案(含详解) .doc，共(14)页，1.613 MB，由MTyang资料小铺上传

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1第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α=.(2)公式C2α:cos2α===.(3)公式T2α:tan2α=.2.常用的部分三角公式(1)1-cosα=,1+cosα=.(升幂公式)(2)1±sin

α=.(升幂公式)(3)sin2α=,cos2α=,tan2α=.(降幂公式)(4)sinα=,cosα=,tanα=.(万能公式)(5)asinα+bcosα=,其中sinφ=,cosφ=.(辅助角公式)3.三角恒等变换的基本技巧(1)变换函数名

称:使用诱导公式.(2)升幂、降幂:使用倍角公式.(3)常数代换:如1=sin2α+cos2α=tan.(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.常用结论半角公式:sin=±,cos=±,tan=±==.2题组一常识题1.[教材改编]sin15°-cos15

°的值是.2.[教材改编]已知f(x)=sin2x-(x∈R),则f(x)的最小正周期是.3.[教材改编]已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tanαtanβ的值为.4.[教材改编]已知sinθ=,θ为第二象限角,则sin2θ的值为.题组二常错题◆索引:已知角与待求

角之间关系不清致误;已知三角函数值求角时范围不清致误;asinα+bcosα=sin(α+φ)中φ值的确定错误;求三角函数值时符号选取错误(根据求解目标的符号确定).5.已知sin=,则cos=.6.已知α,β均为锐

角,且tanα=7,tanβ=,则α+β=.7.sinα-cosα=sin(α+φ)中的φ=.8.已知sin2α=,2α∈,则sinα-cosα=.3探究点一三角函数式的化简例1[2018²东莞考前冲刺]化简:cos2x-+sin2x+=()A.1+cos2xB.1+sin2xC.1+

cos2xD.1+sin2x(2)化简:tanα+=()A.cosαB.sinαC.D.[总结反思](1)化简标准:函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂

的作用.变式题+=()A.2sin3B.-2sin3C.2cos3D.-2cos3探究点二三角函数式的求值角度1给值求值例2(1)已知sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=,则cos2β的值为()A.B.

C.-D.-(2)[2018²厦门外国语学校月考]已知tanθ+=4,则cos2=()4A.B.C.D.[总结反思]给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.变式题(1)[2018²菏泽模

拟]已知α∈,sin=,则tan(π+2α)=()A.B.±C.±D.(2)[2018²广州七校联考]若sin-α=,则cos的值为()A.-B.-C.D.角度2给角求值例3[2019²重庆南州中学月考]-tan20°=()A.1B.C.D.5[总结反思]该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通

过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.变式题tan70°cos10°(tan20°-1)=()A.1B.2C.-1D.-2角度3给值求角例4若sin2α=,sin(β-α)=,且α

∈,β∈,则α+β的值是()A.B.C.或D.或[总结反思]通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:①已知正切函数值,则选正切函数.②已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是0,,则选正、余弦皆可;若角的范围是(0

,π),则选余弦较好;若角的范围为-,,则选正弦较好.变式题已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,则2α-β的值为.探究点三三角恒等变换的综合应用例5已知函数f(x)=4cosx²sin+a的最大值为3.(1)求a的值及f(x)

的单调递减区间;6(2)若α∈,f=,求cosα的值.[总结反思](1)求三角函数解析式y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)时要注意φ的取值范围.(2)根据二倍角公式进行计算时,如果涉及开方,则要注意开方后三角函数值的符号.变式题设函数f(x)=s

inx+cosx+1.(1)求函数f(x)的值域和单调递增区间;(2)当f(α)=,且<α<时,求sin的值.第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换7考试说明能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余

弦、正切公式,进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)2sinαcosα(2)cos2α-sin2α2cos2α-11-2s

in2α(3)2.(1)2sin22cos2(2)sin±cos2(3)(4)(5)sin(α+φ)对点演练1.-[解析]sin15°-cos15°=2sin15°-cos15°=2(sin30°sin15°-cos30°cos15°)=-2cos(30°

+15°)=-2cos45°=-.2.π[解析]f(x)=sin2x-=-,故f(x)的最小正周期T==π.3.-[解析]由cos(α+β)=,cos(α-β)=,得解得所以tanαtanβ==-.4.-[

解析]∵sinθ=,θ为第二象限角,∴cosθ=-,∴sin2θ=2sinθcosθ=2³³=-.5.[解析]由题意知,cos=1-2sin2=1-=.86.[解析]tan(α+β)===-1,又0<α+β<π,所以α+β=.7.2kπ-,k∈Z[解析]sinα-c

osα=sinα-cosα,则cosφ=,sinφ=-,所以φ=2kπ-,k∈Z.8.-[解析]因为2α∈0,,所以α∈0,,所以sinα-cosα<0,所以sinα-cosα=-=-=-=-.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)先根据余弦的二倍角公式降幂,再根据两角和与差

的余弦公式化简得结果;(2)先化切为弦,再通分,然后利用两角差的余弦公式求解.(1)B(2)C[解析](1)cos2+sin2=+=1+cos2xcos+sin2xsin-cos2xcos-sin2xsin

=1+sin2xsin=1+sin2x,故选B.(2)tanα+=+=====.故选C.变式题D[解析]+======-2cos3.9例2[思路点拨](1)根据两角差的正弦公式进行化简,求得sinβ的值,再根据二倍角公式,即可得到答案;(2)由已知条件求得sinθ

cosθ的值,再由二倍角的正、余弦公式及诱导公式求值.(1)A(2)B[解析](1)由题意得sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=sin(-β)=-sinβ=,所以sinβ=-,所以cos2β=1-2sin2β=,故选A.(2)由

tanθ+=4,得+=4,即=4,∴sinθcosθ=,∴cos2=====.变式题(1)A(2)B[解析](1)∵α∈,sin=cosα=,∴sinα=-,tanα=-2,∴tan(π+2α)=tan2α==

=.(2)cos=cos=-cos=-cos2=-1-2sin2=-=-.例3[思路点拨]首先利用同角三角函数关系式,将切化弦,之后利用诱导公式化简,借助于两角差的正弦公式及辅助角公式求得结果.10C[解析]-tan20°=-====,故选C.变式题C

[解析]原式=²cos10°=²=³2sin(20°-30°)=-=-1.例4[思路点拨]转化为求cos(α+β)的值,再求角α+β的值.A[解析]∵α∈,∴2α∈,又0<sin2α=<,∴2α∈,即α∈,∴cos2α=-=-.∵β∈

,∴β-α∈,又sin(β-α)=,∴β-α∈,∴cos(β-α)=-=-,∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-³-³=.又α∈,β∈,∴α+β∈,∴α+β=,故选A.变式题-[解析]∵α∈(0,π),tanα=t

an[(α-β)+β]===>0,∴0<α<.11又∵tan2α===>0,∴0<2α<,∴tan(2α-β)===1.∵β∈(0,π),tanβ=-<0,∴<β<π,∴-π<2α-β<0,∴2α-β=-.例5[思路点拨](1)利用两角差的正弦公式和

倍角公式对函数解析式化简整理,利用函数的最大值求得a,进而根据正弦函数的单调性得到f(x)的单调递减区间;(2)由题意易得sin=,进而得到cos=,利用配角法可得cosα=cosα-+,从而得到结果.解:(1)由题意知

,f(x)=4cosx²sin+a=4cosx²+a=2sinxcosx-2cos2x+a=sin2x-cos2x-1+a=2sin-1+a.当sin=1时,f(x)取得最大值,此时f(x)=2-1+a=3,∴a=2.由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

∴f(x)的单调递减区间为+kπ,+kπ,k∈Z.(2)由(1)可知,f(x)=2sin+1,∵f=,∴sin=,又α∈,∴α-∈,∴cos=,∴cosα=cos=cos-sin=.12变式题解:(1)依题意得f(x)=sinx+co

sx+1=2sin+1.因为-2≤2sin≤2,所以-1≤2sin+1≤3,即函数f(x)的值域是[-1,3].令-+2kπ≤x+≤2kπ+,k∈Z,解得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈

Z.(2)由f(α)=2sin+1=,得sin=.因为<α<,所以<α+<π,所以cos=-,所以sin=sin2=2sincos=-2³³=-.【备选理由】例1考查三角函数式的化简;例2是给值求值问题;例3是给角求值问题的补充,给出的是非特殊角

;例4是给值求角问题,选择相应的三角函数求值是解题的关键.例1[配合例1使用]化简:sin(α+β)cosα-[sin(2α+β)-sinβ]=.[答案]sinβ[解析]原式=sin(α+β)cosα-[sin(α+β+α)-sinβ]

=sin(α+β)cosα-[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-sinβ]=[sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα]+sinβ13=sinβ+sinβ=sinβ.例2[配合例2使用][2018²资阳三诊]已知角α的顶点

与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,若它的终边经过点P(2,1),则tan=()A.-7B.-C.D.7[解析]A由角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,且它的终边经过点P(2,1),可得tanα=,∴tan2α===,∴ta

n===-7.故选A.例3[配合例3使用]若a=(cos216°-sin216°),b=sin15°+cos15°,c=,则a,b,c的大小关系为()A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c[解析]Ca=

(cos216°-sin216°)=cos32°,b=sin15°+cos15°=cos30°,c===cos28°,又∵y=cosx在(0°,90°)上单调递减,∴cos28°>cos30°>cos32°,∴c>b>a.故选C.例4[配合例4使用]已知α,β均为锐角,且sinα=

,cosβ=,则α-β的值为.[答案]-14[解析]∵α,β均为锐角,sinα=,cosβ=,∴cosα==,sinβ==,∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=³-³=-.又∵-<α-β<,∴α-β=-

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