【文档说明】通用版高考数学(理数)一轮复习第1讲《集合》学案(含详解) .doc，共(10)页，197.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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1第1讲集合1.元素与集合(1)集合元素的性质:、、无序性.(2)集合与元素的关系:①属于，记为;②不属于，记为.(3)集合的表示方法:列举法、和.(4)常见数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系文字语言符号语

言记法基本关系子集集合A中的都是集合B中的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或集合A是集合B的子集，但集合B中有一个元素不属于AA⊆B，∃x0∈B，x0∉AAB或B⫌A相等集合A，B的元素完全A⊆B，B⊆A空集任何元素的集合，空集是任何集合的子集∀

x，x∉⌀，⌀⊆A⌀23.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于A属于B的元素组成的集合{x|x∈A，x∈B}并集属于A属于B的元素组成的集合{x|x∈A，x∈B}补集全集U中属于A的元素组成的集合

{x|x∈U，xA}4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=;A∪B=⇔B⊆A.(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔AB.(3)补集的性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=;∁U(∁UA)=;∁U(A∪

B)=(∁UA)(∁UB);∁U(A∩B)=∪.常用结论(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1)，n∈Z}为偶数集，{x|x=4n±1，n∈Z}为奇数集等.(2)①一个集合的真子集必是其子集，一个集合的

子集不一定是其真子集;②任何一个集合是它本身的子集;③对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C(真子集也满足);④若A⊆B，则有A=⌀和A≠⌀两种可能.3(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-

1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).题组一常识题1.已知集合A={0，1，x2-5x}，若-4∈A，则实数x的值为.2.已知集合A={a，b}，

若A∪B={a，b，c}，则满足条件的集合B有个.3.设全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B=.4.已知集合A={-1，1}，B={a，a2+2}.若A∩B={1}，则实数a的

值为.题组二常错题◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.5.已知集合A={1，3，}，B={1，m}，若B⊆A，则m=.6.已知x∈N，y∈N，M={(x，y)|x+y≤2}，N={(x，y)|x-y≥0}，则M∩N中元

素的个数是.7.已知集合M={x|x-a=0}，N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，则实数a的值是.8.设集合A={x||x-a|<1，x∈R}，B={x|1<x<5，x∈R}，若A⫋B，则a的取值范围为.探究点一集合的含义与表示例1(1)[全国卷Ⅱ]

已知集合A={(x，y)|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4(2)设集合A={-4，2a-1，a2}，B={9，a-5，1-a}，且集合A，B中有唯一的公共元素9，则实数a的值为.[总结反思]解决集合含义问题的关键有三

点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性.变式题(1)已知集合A={x|x=3

k-1，k∈Z}，则下列表示正确的是()A.-1∉AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34∉A4(2)[上海黄浦区二模]已知集合A={1，2，3}，B={1，m}，若3-m∈A，则非零实数m的值是.探究点二集合间的基本关系例2(1)[武汉4月调研]已知集合M={x|x2

=1}，N={x|ax=1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为()A.{1}B.{-1，1}C.{1，0}D.{1，-1，0}(2)设集合M={x|x=5-4a+a2，a∈R}，N={y|y=4b2+4b+

2，b∈R}，则下列关系中正确的是()A.M=NB.M⫋NC.N⫋MD.M∈N[总结反思](1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系，如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分

类讨论.(2)确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法.变式题(1)设x，y∈R，集合A={(x，y)|

y=x}，B=(x，y)=1，则集合A，B间的关系为()A.A⫋BB.B⫋AC.A=BD.A∩B=⌀(2)已知集合M={x|x≤1}，N={x|a≤x≤3a+1}，若M∩N=⌀，则a的取值范围是.探究点三集合的基本运算角度1集合的运算例3(1)[长沙周南中学月考]已知集合

A={x|x<1}，B={x|ex<1}，则()A.A∩B={x|x<1}B.A∪B={x|x<e}C.A∪(∁RB)=RD.(∁RA)∩B={x|0<x<1}(2)已知集合A={x|2x≤1}，B={x|lnx<1}，则

A∪B=()A.{x|x<e}B.{x|0≤x≤e}5C.{x|x≤e}D.{x|x>e}[总结反思]对于已知集合的运算，可根据集合的交集和并集的定义直接求解，必要时可结合数轴以及Venn图求解.角度

2利用集合运算求参数例4(1)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0}，B={x|4x>2m}，若A∩B中有三个元素，则实数m的取值范围是()A.[3，6)B.[1，2)C.[2，4)D.(2，4](2)设全集U=R，集合A={x|x>1}，集合B={x

|x>p}，若(∁UA)∩B=⌀，则p应该满足的条件是()A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤1[总结反思]根据集合运算求参数，要把集合语言转换为方程或不等式，然后解方程或不等式，再利用数形结合法求解.角度3集合语言的运用例5(1)已知集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当

x∈A时，若有x-1∉A且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S的无“孤立元素”的非空子集的个数为()A.16B.17C.18D.20(2)对于a，b∈N，规定a*b=集合M={(a，b)|a*b=36，a，b∈N*

}，则M中的元素个数为.[总结反思]解决集合新定义问题的关键是:(1)准确转化:解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法

选取:对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.第1讲集合6考试说明1.集合的含义与表示:(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系;(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系

:(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集;(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算:(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集;(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集;(3)能使用韦恩(

Venn)图表达集合间的关系及运算.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)确定性互异性(2)∈∉(3)描述法图示法(4)NN*或N+ZQR2.任意一个元素B⊇A至少⫋相同A=B不含3.且且A∩B或或A∪B不∉∁UA4.(1)B∪

AA(2)⊆(3)⌀A∩(∁UA)(∁UB)对点演练1.4或1[解析]因为-4∈A，所以x2-5x=-4，解得x=1或x=4.2.4[解析]因为(A∪B)⊇B，A={a，b}，所以满足条件的集合B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，

所以满足条件的集合B有4个.3.(-∞，0)∪[1，+∞)[解析]因为∁UA={x|x>2或x<0}，B={y|1≤y≤3}，所以(∁UA)∪B=(-∞，0)∪[1，+∞).4.1[解析]由题意可得1∈B，又a2+2≥2，故a=1，此时B={1

，3}，符合题意.5.0或3[解析]因为B⊆A，所以m=3或m=，即m=3或m=0或m=1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m=0或3.6.4[解析]依题意得M={(0，2)，(0，1)，(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0)}，所以M∩N

={(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0)}，所以M∩N中有4个元素.7.0或1或-1[解析]易得M={a}.∵M∩N=N，∴N⊆M，∴N=⌀或N=M，∴a=0或a=±1.78.2≤a≤4[解析]由|x-a|<1得-1<x-a<1，∴a-1<x

<a+1，由A⫋B得或∴2≤a≤4.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)根据列举法，确定圆及其内部整数点的个数;(2)因为9∈A，所以依据2a-1=9或a2=9分类求解，但要注意集合元素的互异性.(1)A

(2)-3[解析](1)当x=-1时，y=-1，0，1;当x=0时，y=-1，0，1;当x=1时，y=-1，0，1.所以集合A={(-1，-1)，(-1，0)，(-1，1)，(0，-1)，(0，0)，(0，1)，(1，-1)，(1，0)，(1

，1)}，共有9个元素.(2)∵集合A，B中有唯一的公共元素9，∴9∈A.若2a-1=9，即a=5，此时A={-4，9，25}，B={9，0，-4}，则集合A，B中有两个公共元素-4，9，与已知矛盾，舍去.若a2=9，则a=±3，当a=3时，A={-4，9

，5}，B={-2，-2，9}，B中有两个元素均为-2，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去;当a=-3时，A={-4，-7，9}，B={9，-8，4}，符合题意.综上所述，a=-3.变式题(1)C(2)2[解析](1)当k=0时，x=-1，所以-1∈A，所

以A错误;令-11=3k-1，得k=-∉Z，所以-11∉A，所以B错误;令-34=3k-1，得k=-11，所以-34∈A，所以D错误;因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2-1∈A，所以C正确.(2)由题知，若3-m=2，则m=1，此时集合B不符合元素的互异

性，故m≠1;若3-m=1，则m=2，符合题意;若3-m=3，则m=0，不符合题意.故答案为2.例2[思路点拨](1)先求出集合M={x|x2=1}={-1，1}，当a=0和a≠0时，分析集合N，再根据集合M，N的关系求a;(2)把集合对应

的函数化简，求出集合M，N，即可得M，N的关系.(1)D(2)A[解析](1)∵集合M={x|x2=1}={-1，1}，N={x|ax=1}，N⊆M，∴当a=0时，N=⌀，成立;当a≠0时，N=，则=-1或=1，解得a=-1或a=1

.8综上，实数a的取值集合为{1，-1，0}.故选D.(2)集合M={x|x=5-4a+a2，a∈R}={x|x=(a-2)2+1，a∈R}={x|x≥1}，N={y|y=4b2+4b+2，b∈R}=

{y|y=(2b+1)2+1，b∈R}={y|y≥1}，∴M=N.变式题(1)B(2)a<-或a>1[解析](1)由题意得，集合A={(x，y)|y=x}表示直线y=x上的所有点，集合B=(x，y)=1表示直线y=x上除点(0，0)外的所有点，所以B⫋A.故选B.(2

)当N=⌀时，由a>3a+1得a<-，满足M∩N=⌀;当N≠⌀时，由M∩N=⌀得解得a>1.所以a的取值范围是a<-或a>1.例3[思路点拨](1)先求出∁RA，∁RB，再判断各选项是否正确;(2)先求

出A，B中不等式的解集，确定出集合A，B，再求出两集合的并集即可.(1)C(2)A[解析](1)∵集合A={x|x<1}，B={x|ex<1}={x|x<0}，∴∁RB={x|x≥0}，∁RA={x|x≥1}.易知

A∩B={x|x<0}，故A错误;A∪B={x|x<1}，故B错误;A∪(∁RB)=R，故C正确;(∁RA)∩B=⌀，故D错误.故选C.(2)集合A={x|2x≤1}={x|x≤0}，B={x|lnx<1}={x|0<x<e}，∴A

∪B={x|x<e}，故选A.例4[思路点拨](1)分别求出集合A和B，根据A∩B中有三个元素，求出实数m的取值范围;(2)根据补集、交集和空集的定义即可得出p满足的条件.(1)C(2)B[解析](1)集合A={x∈Z|x2-4x-

5<0}={0，1，2，3，4}，B={x|4x>2m}=，∵A∩B中有三个元素，∴1≤<2，解得2≤m<4，∴实数m的取值范围是[2，4).(2)∵全集U=R，集合A={x|x>1}，集合B={x|x>p}，∴∁UA={x|x≤1}，又(∁UA)∩B=⌀

，∴p≥1.例5[思路点拨](1)按照S的无“孤立元素”的非空子集所含元素个数的多少分类讨论，可得出结果;(2)根据定义分情况讨论满足条件的点(a，b)的个数，从而得出M中的元素个数.(1)D(2)41[解析](1)根据“孤立元素”的定义知，单元素集合都含“孤立元素”.S的无“

孤立元素”且含2个元素的子集为{0，1}，{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}，共59个;S的无“孤立元素”且含3个元素的子集为{0，1，2}，{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，共4个;S的无“孤立元素”且含4个元素的

子集为{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}，共6个;S的无“孤立元素”且含5个元素的子集为{0，1，2，3，4}，{1，2，3，4，

5}，{0，1，2，4，5}，{0，1，3，4，5}，共4个;S的无“孤立元素”且含6个元素的子集为{0，1，2，3，4，5}，共1个.故S的无“孤立元素”的非空子集有5+4+6+4+1=20(个).(2)由a*b=36，a，b∈N*知，若a和b一奇一偶

，则a×b=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点(a，b)有6个;若a和b同奇同偶，则a+b=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=„=18+18，共18组，故点(a，b)有35个.所以M中的元

素个数为41.【备选理由】例1考查对两集合之间关系以及元素与集合之间关系的理解;例2考查集合的运算及集合子集个数的计算;例3考查集合的运算;例4为根据集合运算求参数问题，重点关注区间端点的取值情况.例1[配合例2

使用][陕西黄陵中学三模]已知集合M={x|y=(-x2+2x+3，x∈N}，Q={z|z=x+y，x∈M，y∈M}，则下列运算正确的是()A.M∩Q=⌀B.M∪Q=ZC.M∪Q=QD.M∩Q=Q[解析]C由-x2+2x+3>0，得-1<x

<3，∵x∈N，∴x=0，1，2，∴M={0，1，2}.∵Q={z|z=x+y，x∈M，y∈M}，∴Q={0，1，2，3，4}，∴M∩Q=M，M∪Q=Q，故选C.例2[配合例3使用][佛山南海中学模拟]已知集合A={x∈N|x2-2x≤0}，B={x|-1≤x

≤2}，则A∩B的子集的个数为()A.3B.4C.7D.810[解析]D∵A={x∈N|x2-2x≤0}={0，1，2}，B={x|-1≤x≤2}，∴A∩B={0，1，2}，∴A∩B的子集的个数为23=8，故选D.例3[配合例3使用]设集合A={x||x-1|≥

2}，B={x|y=lg(-x-3)}，则A∩B=()A.(-4，+∞)B.[-4，+∞)C.(-∞，-3)D.(-∞，-3)∪[3，+∞)[解析]C由|x-1|≥2，得x-1≥2或x-1≤-2，即x≥3或x≤-1.由-x-3>0，得x<-3，所以A∩B=

{x|x≥3或x≤-1}∩{x|x<-3}={x|x<-3}，故选C.例4[配合例4使用]已知集合A={x|y=}，B={x|a≤x≤a+1}，若A∪B=A，则实数a的取值范围为()A.(-∞，-3]∪[2，+∞

)B.[-1，2]C.[-2，1]D.[2，+∞)[解析]C要使函数y=有意义，则4-x2≥0，据此可得A={x|-2≤x≤2}.若A∪B=A，则集合B是集合A的子集，据此有求解不等式组可得，实数a的取值范围为[-

2，1].