【文档说明】通用版高考数学(理数)一轮复习第19讲《三角函数的图像与性质》学案(含详解) .doc，共(15)页，1.315 MB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-27767.html

以下为本文档部分文字说明：

1第19讲三角函数的图像与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质(下表中k∈Z)函数y=sinxy=cosxy=tanx图像定义域RRxx∈R,且x≠kπ+,k∈Z值域周期性2π2ππ奇偶性奇函数单调性2kπ-,2kπ+上为增函数;上为减函数[2kπ,2kπ+π]上为减函数;上为增函数

kπ-,kπ+上为增函数对称中心kπ+,0,0对称轴x=kπ+无常用结论21.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=,函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期T=.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对

称中心与对称轴之间的距离是周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.3.三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx的形式,偶函数一般可化为y=Acosωx+b的形式.题组一常识题1.[教材改编]函数y=2sin(2x-1)的最小正周期是.2

.[教材改编]若函数y=Asinx+1(A>0)的最大值是3,则它的最小值是.3.[教材改编]函数y=2cosx在[-π,0]上是函数,在[0,π]上是函数.4.[教材改编]函数f(x)=的定义域为.题组二常错题◆索引:忽视y=Asinx(或

y=Acosx)中A对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视正切函数的周期性.5.函数y=1-2cosx的单调递减区间是.6.函数y=cosxtanx的值域是.7.函数y=-cos2x+3cosx-1的最大值为.

8.函数y=tan图像的对称中心是.探究点一三角函数的定义域例1(1)函数f(x)=+tan的定义域为.3(2)函数y=ln(2cosx+1)+的定义域为.[总结反思]求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式(组),常借助三角函数线或三角

函数的图像来求解.变式题(1)函数y=的定义域为.(2)函数f(x)=的定义域是.探究点二三角函数的值域或最值例2(1)函数y=2cos2x-sinx+1的最大值是.(2)[2018·沧州质检]已知x∈,则函数f(x)=2cos

xsinx+-sin2x+sinxcosx的最大值与最小值之和为.[总结反思]求解三角函数的值域(最值)的几种方法:①形如y=asinx+bcosx+c的三角函数,化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值);②形如y=asin2x+bsinx+c的三角函

数,可设t=sinx,化为关于t的二次函数求值域(最值);③形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).变式题(1)函数f(x)=sin-cos的最大值为()A.2B.C.2D.

(2)函数y=cosx-sinx+4sinxcosx的值域是.4探究点三三角函数性质的有关问题微点1三角函数的周期性例3(1)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos,④y=tan中,

最小正周期为π的所有函数为()A.①②③B.①③④C.②④D.①③(2)若函数f(x)=1+asinax+(a>0)的最大值为3,则f(x)的最小正周期为.[总结反思](1)公式法:函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=,y=

Atan(ωx+φ)的最小正周期T=;(2)图像法:利用三角函数图像的特征求周期.微点2三角函数的对称性例4(1)[2018·广西贺州联考]若函数f(x)与g(x)的图像有一条相同的对称轴,则称这两个函数互为同

轴函数.下列四个函数中,与f(x)=x2-x互为同轴函数的是()A.g(x)=cos(2x-1)B.g(x)=sinπxC.g(x)=tanxD.g(x)=cosπx(2)[2018·重庆合川区三模]函数f(x)=As

in(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图像关于直线x=对称,它的最小正周期为π,则函数f(x)的图像的一个对称中心是()A.B.C.D.5[总结反思](1)对于函数f(x)=Asin(ωx+φ),其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点,对称中心

一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数图像的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.(2)函数图像的对称性与周期T之间有如下结论:①若函数图像相邻的两条对称轴分别为x=

a与x=b,则最小正周期T=2|b-a|;②若函数图像相邻的两个对称中心分别为(a,0),(b,0),则最小正周期T=2|b-a|;③若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为(a,0)与x=b,则最小正周期T=4|b-a|.微点3三角函数的单调性

例5(1)[2018·乌鲁木齐一检]已知为函数f(x)=sin(2x+φ)0<φ<的一个零点,则函数f(x)的单调递增区间是()A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)(2)[2018·合肥一中月考]

已知ω>0,函数f(x)=cosωx+在上单调递增,则ω的取值范围是()A.B.C.D.6[总结反思](1)形如y=Asin(ωx+φ)的函数的单调性问题,一般是将ωx+φ看成一个整体,再结合图像利用y=sinx的单调性求解;(2)如果函数中自变量的系数为负

值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性.应用演练1.【微点3】[2018·西安八校联考]已知函数f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=处取得最小值,则f(x)在[0,π]上的单调递

增区间是()A.B.C.D.2.【微点3】[2018·浙江余姚中学月考]设f(x)=cosx,若a=f(ln2),b=f(lnπ),c=f,则下列关系式正确的是()A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.

b>a>c3.【微点2】[2019·九江一中月考]已知函数f(x)=Asin的图像上相邻两个对称中心之间的距离为2,则函数的对称轴方程可能是()A.x=1B.x=C.x=D.x=-14.【微点1】[2018·上海金山区二模]

函数y=3sin2x+的最小正周期T=.7第19讲三角函数的图像与性质考试说明1.能画出函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的图像,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等),理解正切函数在区间

-,内的单调性.【课前双基巩固】知识聚焦1.[-1,1][-1,1]R奇函数偶函数2kπ+,2kπ+[2kπ-π,2kπ](kπ,0)x=kπ对点演练1.π[解析]最小正周期T===π.2.-1[解析]依题意得A+1=3,所以A=2,所以函数y=2sinx+1的最小值为1-2=-1.3.增减[

解析]由余弦函数的单调性,得函数y=2cosx在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数.4.(k∈Z)[解析]由题意知tanx≥1,所以+kπ≤x<+kπ(k∈Z).5.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)[解析]函数y=1-2co

sx的单调递减区间即函数y=-cosx的单调递减区间,即函数y=cosx的单调递增区间,即为[2kπ-π,2kπ](k∈Z).86.(-1,1)[解析]∵x≠+kπ(k∈Z),y=cosxtanx=sinx,∴y=sinx∈(-1,1),即函数y=cosxtanx的值域是(-1,

1).7.1[解析]设t=cosx,则-1≤t≤1,所以y=-t2+3t-1=-t-2+,当t=1时,函数取得最大值1.8.(k∈Z)[解析]由x+=(k∈Z),得x=-(k∈Z),所以函数y=tan图像的对称

中心为(k∈Z).【课堂考点探究】例1[思路点拨]根据偶次根式和对数函数的性质以及正切函数、正弦函数、余弦函数的性质列出关于x的不等式组求解.(1)x0<x≤4且x≠且x≠(2)x2kπ≤x<2kπ+,k∈Z[解析](1)

依题意得得0<x≤4且x≠kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的定义域是x0<x≤4且x≠且x≠.(2)由题意得即解得所以2kπ≤x<2kπ+,k∈Z,所以函数的定义域为x2kπ≤x<2kπ+,k∈Z.变式题(1)x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z(2)x2kπ-<

x<2kπ+,k∈Z[解析](1)由题意知sinx-cosx≥0.作出函数y=sinx和y=cosx的图像,如图所示.9在[0,2π]内,满足sinx=cosx的x的值为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,得原函数的定

义域为x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.(2)依题意知,+2sinx>0,即sinx>-,结合函数y=sinx的图像(图略),可得函数f(x)的定义域为x2kπ-<x<2kπ+,k∈Z.例2[思路点拨](1)将函数转化为以sinx为自变量的二次函数求最值;(2)将函数化为f(x)=As

in(ωx+φ)+k的形式,再利用函数的单调性求最值.(1)(2)1[解析](1)由题知,y=2cos2x-sinx+1=2-4sin2x-sinx+1=-4+,当sinx=-时,函数取得最大值,最大值为.(2)由题可知,f(x)

=2cosx-sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+cos2x-sin2x=sin2x+cos2x=2sin.因为x∈,所以2x+∈,所以当2x+=,即x=时,函数取得最大值,即为2sin=2;当2x+=-,即x=-时,函数取得最小值,即为2sin=-1.所

以最大值与最小值之和为2-1=1.10变式题(1)B(2)[解析](1)∵f(x)=sin-cos=sinx--=sinx-=-cosx,∴当x=(2k+1)π(k∈Z)时,f(x)取得最大值.(2)令t=cosx-sinx,则t=co

s∈[-,],又t2=1-2sinxcosx,所以sinxcosx=,所以y=t+4·=-2t2+t+2=-2+.因为t∈[-,],所以当t=时,y取得最大值;当t=-时,y取得最小值-2-.所以函数的值域是.例3[思路点拨](1)根据三角

函数的周期性,求出各个函数的最小正周期,从而得出结论;(2)首先求出参数a,再求最小正周期.(1)A(2)π[解析](1)对于①,y=cos|2x|=cos2x,则它的最小正周期为=π;对于②,y=|cosx|的最小正周期为×=π;对于③,y=cos的最小正周期为=π;对于④,y=tan的最

小正周期为.故选A.(2)∵函数f(x)=1+asin(a>0)的最大值为1+a,∴1+a=3,∴a=2,因此f(x)的最小正周期为=π.11例4[思路点拨](1)函数f(x)的图像的对称轴为直线x=1,逐一验证各选项,可得符合条件的函数;(2)由周期求出ω=2,再由图像关于直线x=对称,求得φ

=-,进而可求得f(x)的图像的对称中心.(1)D(2)B[解析](1)易知f(x)=x2-x的图像关于直线x=1对称.对于选项A,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=+(k∈Z);对于选项B,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=+k(k∈Z)

;对于选项C,函数g(x)的图像不存在对称轴;对于选项D,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=k(k∈Z),当k=1时,其中有一条对称轴为直线x=1,符合题意.故选D.(2)由题意可得=π,∴ω=2,∴f(x)=Asin(2x+φ).∵函数f(x)的图像关于直线x=对称,∴f=Asin=±A,

即sin=±1.∵|φ|<,∴φ=-,故函数f(x)=Asin.令2x-=kπ,k∈Z,可得x=+,k∈Z,故函数f(x)的图像的对称中心为+,0,k∈Z.结合选项可知,函数f(x)的图像的一个对称中心是.故选B.例5[思路点拨](1

)由条件求出φ,根据正弦函数的单调性求解;(2)先求出函数f(x)的单调递增区间,由是所求单调递增区间的子集得出ω的取值范围.(1)C(2)C[解析](1)∵为函数f(x)=sin(2x+φ)0<φ<的一个零点,∴f=sin=0,∴+φ=kπ(k∈Z),

解得φ=kπ-(k∈Z).12∵0<φ<,∴φ=,∴f(x)=sin,令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),则kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故选C.(2)令2kπ-π≤ωx+≤2kπ,k∈Z,∵ω>0

,∴-≤x≤-,k∈Z,∴函数f(x)=cos的单调递增区间为,k∈Z.∵f(x)在上单调递增,∴k∈Z,解得6k-4≤ω≤4k-,k∈Z.由题意知,-≤×,∴0<ω≤6,∴2≤ω≤.应用演练1.A[解析]∵函数f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=处取得最小值,∴cos=-1

,∴+θ=π+2kπ,k∈Z,又∵0<θ<π,∴θ=,即f(x)=cos.令-π+2kπ≤x+≤2kπ,k∈Z,解得-+2kπ≤x≤-+2kπ,k∈Z,又∵x∈[0,π],∴k=1,∴f(x)在[0,π]上的单调递增区间是,故选A.2.C[解析]因为函数f(x)=cosx是偶函数

,所以c=f=f(ln3).因为0<ln2<ln3<lnπ<π,且函数f(x)在[0,π]上单调递减,所以f(ln2)>f(ln3)>f(lnπ),即a>c>b.故选C.133.C[解析]由题可知,函数的最小正周期T=2×2=4,所以ω==.令x+=kπ+,k∈Z,解得x=2k+,k∈Z,结合选

项可知,x=满足条件.故选C.4.π[解析]易知T==π.【备选理由】例1考查余弦函数的有界性、二次函数在指定区间上的值域问题;例2考查根据函数在所给区间内无最值求参数范围的问题;例3考查抽象函数比较大小的问题,考查函数的单调性和对称性以及三角函数的知识,是较好的综合题;例

4综合考查正弦函数与余弦函数的单调性,并结合充要条件进行考查.例1[配合例2使用]已知函数f(x)=1+4cosx-4sin2x,x∈-,,则f(x)的值域为.[答案][-4,5][解析]f(x)=1+4cosx-4sin2x=1+4cosx-4(1-co

s2x)=4cos2x+4cosx-3=4-4,因为x∈,所以cosx∈,所以4-4∈[-4,5],故函数f(x)的值域为[-4,5].例2[配合例2使用]若函数f(x)=sin(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值,则ω的取值范围是()A.∪B

.∪C.D.14[解析]B由正弦函数的单调性可知,函数y=sinx的单调区间为kπ+,kπ+,k∈Z.由kπ+≤ωx+≤kπ+,k∈Z,得≤x≤,k∈Z.∵函数f(x)=sin(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值,∴函数f(x)在区间(π,2π)内单调,∴(π,2π)⊆,k∈Z

,即k∈Z,解得k+≤ω≤+,k∈Z.由k+<+,k∈Z,得k<,k∈Z,∴当k=0时,得≤ω≤;当k=-1时,得-≤ω≤,又ω>0,故0<ω≤.综上得,ω的取值范围是∪.故选B.例3[配合例4使用][2018·豫西南示范性高中联考]已知定义在R上的函数f(x)在区

间(-1,0)上单调递减,f(x+1)的图像关于直线x=-1对称,若α,β是钝角三角形中的两个锐角,则f(sinα)和f(cosβ)的大小关系为()A.f(sinα)>f(cosβ)B.f(sinα)<f(cosβ)C.f(sinα)=f(cosβ)D.

以上情况均有可能15[解析]B已知f(x+1)的图像关于直线x=-1对称,可得到f(x)的图像关于直线x=0对称,故函数f(x)是偶函数.因为α,β为钝角三角形中的两个锐角,所以α+β<,所以α<-β,故得到sinα<sin=cosβ,且sinα∈(0,1),cosβ∈(0,1).因为函数f

(x)在区间(-1,0)上单调递减,所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,故f(sinα)<f(cosβ).故选B.例4[配合例5使用][2018·四川双流中学一模]“φ=”是“函数y=cos2x与函数y=sin(2x+φ)在区间

上的单调性相同”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[解析]A由题意可得,函数y=cos2x在区间上单调递减.当φ=时,函数y=sin,x∈,可得2x+∈,∴函数y=sin在区间上单调递减,

∴充分性成立;易知当φ=时,函数y=sin(2x+φ)在区间上也单调递减,∴必要性不成立.∴“φ=”是“函数y=cos2x与函数y=sin(2x+φ)在区间上的单调性相同”的充分不必要条件.