【文档说明】通用版高考数学(理数)一轮复习第18讲《同角三角函数的基本关系式与诱导公式》学案(含详解) .doc，共(12)页，966.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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1第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:.(2)商数关系:.2.诱导公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六角α+2kπ(k∈Z)π+α-απ-α-α+α正弦sinαsinαcos

αcosα余弦cosαcosαsinα正切tanα-tanα口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限记忆规律奇变偶不变,符号看象限常用结论1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα.2.在△ABC中:(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-co

sC,tan(A+B)=-tanC;(2)sin=cos,cos=sin.题组一常识题21.[教材改编]已知cosα=,且α是第四象限角,则sinα的值为.2.[教材改编]已知=-5,那么tanα的值为.3.[教材改编]已知sinα=,则cos=.4.[教材改编]求值:sin

(-1200°)²cos1290°=.题组二常错题◆索引:平方关系没有考虑角的象限导致出错;扩大角的范围导致出错;不会运用消元的思想;kπ±α的形式没有把k按奇数和偶数进行分类讨论导致出错.5.已知△ABC中,=-,则cosA等于.6.已知cosπ+α=-,且α是第四象限角,

则cos(-3π+α)=.7.已知=5,则sin2α-sinαcosα=.8.已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是.探究点一三角函数的诱导公式例1(1)[2018²遵义联考]若sin=-,则cos(2π-α)=

()A.-B.C.-D.3(2)[2018²桂林模拟]已知f(α)=,则f的值为()A.B.C.-D.-[总结反思](1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变

,符号看象限”的应用.(2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错.变式题(1)[2018²

广东名校联考]若cosα+=,则sin=()A.B.C.-D.-(2)[2018²江西六校联考]若点(a,32)在函数y=2x的图像上,则tan的值为()A.B.C.-D.-探究点二同角三角函数的基本关系微点1切弦互化4例2(1)[2

018²南充模拟]已知tanα=2,则的值为()A.-3B.3C.D.-(2)[2018²贵阳模拟]已知sin(π-α)=-,且α∈,则tan(2π-α)=()A.B.-C.D.-[总结反思](1)同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求

其他三角函数值,主要利用商数关系=tanα和平方关系1=sin2α+cos2α;(2)在弦切互化时,要注意判断角所在的象限,不要弄错切、弦的符号.微点2“1”的变换例3(1)[2018²广东六校三联]已知sin+θ+3cos(π-θ)=sin(-θ),则sinθcosθ+cos2θ=()A.B.C

.D.(2)[2018²武汉调研]已知sinαcosα=,则tanα=.5[总结反思]对于含有sin2x,cos2x,sinxcosx的三角函数求值问题,一般可以考虑添加分母1,再将1用“sin2x+cos2x”代替,然后用分子分母同除以角的余弦

的平方的方式将其转化为关于tanα的式子,从而求解.微点3和积转换例4[2018²潍坊模拟]若α∈(0,π),sin(π-α)+cosα=,则sinα-cosα的值为()A.B.-C.D.-[总结反思]对于sinα+cosα,sinα-

cosα,sinαcosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα可以达到转换、知一求二的目的.应用演练1.【微点1】[2018²南昌模拟]已知sinθ=,θ∈,则tanθ=()A.-2B.-C.-D.-2.【微点1】已知t

anx=-,x∈,则cos-x+=()A.B.-6C.D.-3.【微点2】[2018²遵义模拟]若点(2,tanθ)在直线y=2x-1上,则=()A.2B.3C.4D.64.【微点3】若sinθ,cosθ是方程4x2+2mx+m=0的

两根,则m的值为.第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式考试说明1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tanx.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.

【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)sin2α+cos2α=1(2)=tanα,α≠kπ+(k∈Z)2.-sinα-sinα-cosα-cosα-sinαtanα-tanα7对点演练1.-[解析]由于α是第四象限角,故sinα=-=-.2.-[解析]由=-5,知cosα≠

0,等式左边分子分母同时除以cosα,可得=-5,得tanα=-.3.[解析]cos=cos=-cos=sinα=.4.[解析]原式=-sin(120°+3³360°)cos(210°+3³360°)=-sin120°²cos210°=-sin(180°-60°)²cos(180°

+30°)=sin60°²cos30°=³=.5.-[解析]∵=-,∴sinA=-cosA,∵A为△ABC的内角,∴sinA>0,∴cosA<0.又sin2A+cos2A=1,∴cosA=-.6.-[解析]cosπ+α=sinα=-,且α是第四象限角,所以cosα=,所以cos(-3π+α

)=-cosα=-.7.[解析]由=5,知cosα≠0,等式左边分子分母同时除以cosα,得=5,得tanα=2,所以sin2α-sinαcosα===.8.{2,-2}[解析]当k为偶数时,A=+=2;当k为奇数时,A

=-=-2.【课堂考点探究】8例1[思路点拨](1)利用诱导公式进行计算;(2)根据诱导公式整理函数f(α),再将α=-代入求值.(1)A(2)B[解析](1)∵sin=cosα=-,∴cos(2π-α)=cosα=-.

故选A.(2)由题可知,f(α)==-sinα,则f=-sin=sin=sin=sin=sin=.变式题(1)D(2)C[解析](1)∵cos=,∴sin=sin=-cos=-,故选D.(2)∵点(a,32)在函数y=2x的图像上,∴32=2a,∴a=5,则tan=tan=tan=-

tan=-,故选C.例2[思路点拨](1)利用=tanα直接将待求式转化成只含tanα的式子,再求值;(2)由题设条件可得sinα,再根据同角三角函数基本关系式可得cosα,tanα,然后根据诱导公式化简即可得解.(1)A(2)A[解析](1)∵tanα=2,∴cosα≠0,∴=

==-3.故选A.(2)∵sin(π-α)=-,∴sinα=-,又∵α∈,∴cosα==,则tanα==-.∵tan(2π-α)=-tanα,∴tan(2π-α)=.故选A.9例3[思路点拨](1)根据诱导公式及已知等式得出tanθ,将待求式添加分母1(利用1=sin2α+cos2α),转化为含

tanθ的式子,代入求值;(2)sinαcosα可变形为,利用1=sin2α+cos2α,从而把已知等式化为关于tanα的等式,解出tanα即可.(1)C(2)3或[解析](1)由sin+3cos(π-θ)=sin(-θ),得cosθ-3cosθ=-sinθ,

所以tanθ=2,所以sinθcosθ+cos2θ===.故选C.(2)由题可知,sinαcosα===,解得tanα=3或tanα=.例4[思路点拨]根据三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式,得2sinαcosα=-<0,进而求得(sinα-cosα)2=,从而得解.C[解析]

由诱导公式得sin(π-α)+cosα=sinα+cosα=,两边平方得(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=,则2sinαcosα=-<0,所以(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=.又因为α∈(0,π),sinαcosα<0,所以si

nα-cosα>0,所以sinα-cosα=,故选C.应用演练1.D[解析]∵sinθ=,θ∈,∴cosθ=-=-,则tanθ===-,故选D.2.D[解析]∵tanx=-,x∈,∴sinx=,∴cos=

-sinx=-.3.B[解析]由题意知,tanθ=4-1=3,∴==tanθ=3,故选B.104.1-[解析]由题意知sinθ+cosθ=-,sinθcosθ=,又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,所以=1+,解得m=1±.又Δ=4m2-16m≥0,所以m≤0或m≥4,

所以m=1-.【备选理由】例1进一步考查利用诱导公式进行化简与求值;例2考查弦切互化,是平方关系及商数关系的综合应用;例3结合导数的几何意义得出tanα,再巧妙使用sin2α+cos2α=1代换求值;例4考查sinα+cosα与sinα-cosα之间的转换,对

于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα可以知一求二.例1[配合例1使用]已知cosα=,则的值为.[答案]-[解析]因为cosα=,所以===-=-.例2[配合例2使用][20

18²黄山一模]已知α∈R,sinα+2cosα=,则tanα=.[答案]3或-[解析]∵sinα+2cosα=,sin2α+cos2α=1,∴(sinα+2cosα)2=sin2α+4sinαcosα+4cos2α=,∴1+3cos2α+4s

inαcosα=,即3cos2α+4sinαcosα=,∴=,11∴=,解得tanα=3或-.例3[配合例3使用][2018²重庆调研]若曲线f(x)=lnx-在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为α,则=.[答案]5[解析]因为f(x)=l

nx-,所以f'(x)=+,所以f'(1)=2,则tanα=2,所以====5.例4[配合例4使用][2018²衡水武邑中学月考]已知-<α<0,sinα+cosα=,则的值为()A.B.C.D.[解析]B因为

-<α<0,所以cosα>0,sinα<0,所以cosα-sinα>0.因为(sinα+cosα)2+(cosα-sinα)2=2,所以(cosα-sinα)2=2-(sinα+cosα)2=2-=,所以cosα-sinα=,所以co

s2α-sin2α=³=,12所以的值为,故选B.