【文档说明】通用版高考数学(理数)一轮复习第16讲《定积分与微积分基本定理》学案(含详解) .doc，共(10)页，873.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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1第16讲定积分与微积分基本定理1.定积分的概念如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上

任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式f(ξi)Δx=f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近某个,这个常数叫作函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作f(x)dx,即f(x)dx=.其中f(x)称为函数,a称为积分限,b称为积分限.2.定积分的几何意义如果在区间[

a,b]上的函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分f(x)dx表示由直线x=,x=,y=和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.3.定积分的性质性质1:常数因子可提到积分号前,即kf(x)dx=(k为常数).性质2:代数和的定积分等于定积分的代数和,即[f(x)±g(x)]dx=.性

质3:(定积分的可加性)如果积分区间[a,b]被点c分成两个小区间[a,c]与[c,b],则f(x)dx=.4.微积分基本定理如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且有F'(x)=f(x),则f

(x)dx=.常用结论2如果f(x)是区间[-a,a](a>0)上的连续的偶函数,则f(x)dx=2f(x)dx;如果f(x)是区间[-a,a](a>0)上的连续的奇函数,则f(x)dx=0.题组一常识题1.[教材改编]dx=.2.[教材改编]sinxdx=.3.[教材改编]已知f

(x)dx=8,则f(x)dx+f(x)dx=.4.[教材改编]直线y=x-4、曲线y=及x轴所围成的封闭图形的面积是.题组二常错题◆索引:误解积分变量致错;定积分的值不一定是曲边梯形的面积;弄错原函数的定义域;f(x),g(x)的图像与直线x=a,x=b所围成的

曲边图形的面积的表达式不清致错.5.定积分(t2+1)dx=.6.曲线y=-x2(x∈[-1,1])与x轴所围成的封闭图形的面积为.7.计算dx=.8.直线x=0,x=与曲线y=sinx,y=cosx所围成的封闭图

形的面积S的定积分表达式是.探究点一定积分的计算例1(1)已知函数f(x)=则f(x)dx=()3A.2+πB.C.-2+D.-2(2)[2018·湖北咸宁重点高中联考]若(ex-2ax)dx=e,则a=.[总结反思](1)计算定积分

的常用方法有三种:定义法、几何意义法、微积分基本定理法.(2)使用微积分基本定理的关键是找到一个函数,使该函数的导数等于被积函数.变式题(1)[2018·曲靖一中月考]已知sin(x-φ)dx=,则sin2φ=()A.B.C.-D.-(2)[2018·莱芜模拟]dx的值为.探究点二利

用定积分求曲边梯形的面积例2(1)[2018·贵阳模拟]若函数f(x)=Asinωx-(A>0,ω>0)的部分图像如图2-16-1所示,则图中阴影部分的面积为()图2-16-1A.B.4C.D.(2)[2018·江西临川一中月考]已知曲线y=,y=2

-x与x轴所围成的封闭图形的面积为S,则S=.[总结反思](1)利用定积分求曲边梯形的面积的基本步骤:画草图,解方程得积分上、下限,把面积表示为已知函数的定积分.(2)注意:两曲线的上、下位置关系,分段表示的面积之间的关系.变式题(1)如图2-16-2所示的阴影部分的

面积为()图2-16-2A.4B.2C.D.(2)[2018·安徽江南十校联考]直线l过抛物线E:y2=8x的焦点且与x轴垂直,则直线l与E所围成的封闭图形的面积为()A.13B.C.D.探究点三定积分在物理中的应用例3两点之间相距112m,一质点从一点出发,沿直线向另一点做变速直线运动,其速度

方程是v=t+1(v的单位:m/s,t的单位:s).(1)计算该质点在前10s所走的路程;(2)计算该质点在第5s到第10s所经过的路程;5(3)计算该质点到达另一点所需要的时间,以及该质点在整个运动过程中的平均

速度.[总结反思](1)做变速直线运动的物体在时间段[a,b]内所经过的路程S等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即S=v(t)dt.(2)一物体在变力F=F(x)的作用下,在位移区间[a,b]内所做的功W是函数F=F

(x)在区间[a,b]上的定积分,即W=F(x)dx.变式题一物体在变力F(x)=(单位:N)的作用下沿力的正方向运动,求物体从x=8m处运动到x=18m处这一过程中,变力对物体所做的功.第16讲定积分与微积分基本定理考试说明1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分

的概念.2.了解微积分基本定理的含义.【课前双基巩固】知识聚焦61.常数f(ξi)被积下上2.ab03.kf(x)dxf(x)dx±g(x)dxf(x)dx+f(x)dx4.F(b)-F(a)对点演练1.e2-2ln2-e[解析]dx=(ex-2ln

x)=e2-2ln2-e.2.2[解析]sinxdx=-cosx=2.3.8[解析]f(x)dx+f(x)dx=f(x)dx=8.4.[解析]画出图形(图略)可知,所求的面积S=dx+dx-(x-4)dx=+-(x-4)2=.5.3t2+3[解析](t2+1)dx=(t2

+1)x=2(t2+1)+(t2+1)=3t2+3.6.[解析]所求面积S=-(-x2)dx=2x2dx=.7.-ln2[解析]根据dx的几何意义,可得dx=-dx=-lnx=-ln2.本题若做成dx=lnx则

是错误的.8.S=|sinx-cosx|dx【课堂考点探究】7例1[思路点拨](1)根据定积分的几何意义、定积分的性质、微积分基本定理求解;(2)a是常量,确定原函数,建立关于a的方程求解.(1)D(2)-1[解析](1)f

(x)dx=sinxdx+dx,又sinxdx=-cosx=-2,dx的几何意义是以原点为圆心,1为半径的圆的面积的,故dx=π,∴f(x)dx=-2,故选D.(2)∵(ex-2ax)dx=(ex-ax2)=e-a-1=e,∴-a-1=0,∴a=-1.变式题(1)

B(2)3+ln2[解析](1)根据微积分基本定理,得sin(x-φ)dx=-cos(x-φ),即-cos+cos(-φ)=cosφ-sinφ=,两边平方,得1-sin2φ=,所以sin2φ=1-=,故选B.(2)dx=(x2+lnx

)=4+ln2-1-0=3+ln2.例2[思路点拨](1)由图像求出函数解析式,然后利用定积分求得图中阴影部分的面积;(2)先作出草图(可略),确定被积函数与积分区间,再利用定积分求面积.(1)C(2)[解析](1)由图像可

知,A=1,=-=,即T=π,所以ω=2,所以f(x)=sin.所以图中阴影部分的面积S=-sindx=cos=cos-cos==,故选C.8(2)由题意得,曲线y=,y=2-x与x轴所围成的封闭图形的面积S=dx+(2-x)dx=+=+2-=.变式题(1)B(2)C[解析]

(1)根据定积分的几何意义可得,阴影部分的面积S=(sinx-cosx)dx=(-cosx-sinx)=2,故选B.(2)由题意得,直线l的方程为x=2,将y2=8x化为y=±2.由定积分的几何意义得,所求面积S=2(2)dx=4dx=4×=4××2=.例3[思路点拨]第(1)(2)问只要根据定

积分的物理意义求解即可,第(3)问先求函数v=t+1在[0,x]上的定积分,再求使得这个定积分等于112时的x值,x的值即为质点的运动时间.解:(1)该质点在前10s所走的路程S1=(t+1)dt=t2+t=60(m).(2)该质点在第5s到第10s所经过的路程S2=(t+1)dt=t2+t=4

2.5(m).(3)设质点到达另一点所需要的时间为x,显然x>0,则根据题意有(t+1)dt=112,即=112,即x2+x=112,即x2+2x=224,得x=14,则该质点到达另一点所需要的时间是14s,整个运动过程中的平均速度是=8(m/s).变式题解:由题意得

,变力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在[8,18]上的定积分,即F(x)dx=-36x-1=(-36×18-1)-(-36×8-1)=(-2)-=.9从而可得变力F(x)在这一过程中所做的功为J.【备选理由】例1考查定积分的计算,特别是需要结合函数

的奇偶性与定积分的几何意义进行分析,有一定的综合性;例2考查根据图像求解函数解析式的能力以及分段计算定积分的方法;例3在知识点的交汇处命题,将利用定积分求面积与几何概型结合起来考查.例1[配合例1使用][

2019·深圳外国语学校月考]给出下列函数:①f(x)=xsinx;②f(x)=ex+x;③f(x)=ln(-x).存在a>0,使得f(x)dx=0的函数是()A.①②B.①③C.②③D.①②③[解析]B对于①,f(x)=xsinx是偶函数,当x∈

(0,π)时,f(x)>0,当x∈(π,2π)时,f(x)<0,作出f(x)=xsinx在[0,2π]上的图像,如图所示,设曲线y=xsinx(x∈[0,π])与x轴围成的图形的面积为S1,曲线y=xsinx(x∈[π,2π])与x轴围成的

图形的面积为S2,由图可知S1<S2,则由定积分的几何意义知,存在a∈[π,2π],使得xsinxdx=2xsinxdx=0;对于②,f(x)=ex+x,则f(x)dx=(ex+x)dx==ea-e-a>0(a>0),即不存在满足题意

的a;对于③,f(x)=ln(-x)是奇函数,所以对于任意a>0,f(x)dx=0都成立.综上可知,①③中的函数满足题意.故选B.10例2[配合例1使用]已知函数y=f(x)的图像为如图所示的折线ABC,则[(x+1)f(x

)]dx=()A.2B.-2C.1D.-1[解析]D由图易知f(x)=所以[(x+1)f(x)]dx=(x+1)(-x-1)dx+(x+1)(x-1)dx=(-x2-2x-1)dx+(x2-1)dx=+=--=-1,故选D.例3[配合例2使用]在直

线x=0,x=1,y=0,y=e+1围成的区域内撒一粒豆子,则豆子落入曲线x=0,y=e+1,y=ex+1围成的区域内的概率为.[答案][解析]由题意,直线x=0,x=1,y=0,y=e+1所围成的区域是一个长为e+1,宽为1的矩形,所以其面积S=1×(e+1)=e+1.由解得所以由

曲线x=0,y=e+1,y=ex+1所围成的区域的面积S1=(e+1-ex-1)dx=(e-ex)dx=(ex-ex)=1,故所求概率P==.