【文档说明】通用版高考数学(理数)一轮复习第15讲《导数与函数的极值》学案(含详解) .doc，共(17)页，844.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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1第15讲导数与函数的极值、最值1.函数的极值(1)函数的极小值:函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧,右侧,则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.(

2)函数的极大值:函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧,右侧,则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点

统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.2.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x

)在[a,b]上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值.3.实际应用题理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题.常用结论导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数

最值关系如下:不等式类型与最值的关系∀x∈D,f(x)>M∀x∈D,f(x)min>M∀x∈D,f(x)<M∀x∈D,f(x)max<M∃x0∈D,f(x0)>M∀x∈D,f(x)max>M∃x0∈D,f(x0)<M∀x∈D,f(x)min<M∀x∈D,f(x)>g(x)∀x∈D,

[f(x)-g(x)]min>0∀x∈D,f(x)<g(x)∀x∈D,[f(x)-g(x)]max<02∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)min>g(x2)max(续表)不等式类型与最值的关系∀x1∈D1,∃x2∈D2,f(

x1)>g(x2)∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)min>g(x2)min∃x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)max>g(x2)max∃x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)>g(x2)∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)

max>g(x2)min(注:上述的大于、小于分别改为不小于、不大于,相应的与最值关系对应的不等号也改变)题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=x3-3x2+1的极小值为.2.[教材改编]函数f(x)=x3-12x在区间[-3,3]上的最大值是.3.[教材改编]当x>0时,ln

x,x,ex的大小关系是.4.[教材改编]现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是.题组二常错题◆索引:利用极值求参数时忽略对所求参数的检验;混

淆极值与极值点的概念;连续函数在区间(a,b)上不一定存在最值;不等式问题中的易错点.5.若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a+b=.6.函数g(x)=-x2的极值点是,函数f(x)=(x-1)3的极值点(填“存在”或“不存在”).7.函数g(

x)=x2在[1,2]上的最小值和最大值分别是,在(1,2)上的最小值和最大值均(填“存在”或“不存在”).8.对任意实数x,不等式sinx≤a恒成立,则实数a的取值范围是;存在实数x0,使不等式sinx0≤a成立,则实数a的取

值范围是.3探究点一利用导数解决函数的极值问题微点1由图像判断函数极值例1[2018·杭州二中模拟]如图2-15-1所示,可导函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:y=g(x).设h(x)=f(x)-g(x),则下列

说法正确的是()图2-15-1A.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的极大值点B.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的极小值点C.h'(x0)=0,x=x0不是h(x)的极值点D.h'(x0)≠0,x=x0不是h(x)的极

值点[总结反思]可导函数在极值点处的导数一定为零,是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.微点2已知函数求极值例2若x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,则()A.f(x)有极大值-1B.

f(x)有极小值-1C.f(x)有极大值0D.f(x)有极小值04[总结反思]求函数极值的一般步骤:①先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数;②求f'(x)=0的根;③判断在f'(x)=0的根的左、右两侧f

'(x)的符号,确定极值点;④求出具体极值.微点3已知极值求参数例3[2018·江西九校二联]若函数f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.∪[总结反思]根据极值求参数的值(或取值范围)就是根

据极值点处的导数等于零、极值点处的函数值即极值列出关于参数的方程组(或不等式组),通过解方程组(或不等式组)求得参数的值(或取值范围).应用演练1.【微点1】[2018·河南中原名校质检]已知定义在R上的函数f(x),

其导函数f'(x)的大致图像如图2-15-2所示,则下列叙述正确的是()①f(b)>f(a)>f(c);图2-15-2②函数f(x)在x=c处取得极小值,在x=e处取得极大值;③函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值.A.③5B.①②C.①③D.②2.【微点3】函数f(x)

=x2-alnx(a∈R)不存在极值点,则a的取值范围是()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.[0,+∞)D.(-∞,0]3.【微点2】[2018·安庆二模]已知函数f(x)=2ef'(e)lnx-(e是自然对数的底数),则f(x)的极大值为()A.2e-1B.-C.1D.2ln24.

【微点3】[2018·菏泽模拟]已知函数f(x)=x3-ax+2的极大值为4,若函数g(x)=f(x)+mx在(-3,a-1)上的极小值不大于m-1,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.(-∞,-9)探究点二利用导数解决函数的最值问题例

4已知定义在正实数集上的函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx.(1)若函数g(x)=f(x)-ax2+1,在其定义域上g(x)≤0恒成立,求实数a的最小值;(2)若a>0时,f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求实数a的取值范围

.[总结反思](1)函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得,上述值中最大的即为最大值、最小的即为最小值.如果函数在一个区间上(不论区间的类型)有唯一的极值点,则该点也是最值点.(2)注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问

题.6变式题(1)已知a≥+lnx对任意x∈恒成立,则a的最小值为()A.1B.e-2C.D.0(2)[2018·唐山三模]已知a>0,f(x)=,若f(x)的最小值为-1,则a=()A.B.C.eD.e2探究点三利用导数研究生活中的优化问题例5[2018·南京四校联考]如图2-15-3所示,

某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD,AB=120米,AD=80米,以AD,BC为直径的半圆O1和半圆O2(半圆在矩形ABCD内部)为两个半圆形水上主题乐园,BC,CD,DA都建有围墙,游客只能从线段AB处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益,水上乐园管理部门决定沿着,

修建不锈钢护栏,沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口,其中E,F分别为,上的动点,EF∥AB,且线段EF与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米,直线部分的平均修建费用为400元/米.图2-15

-3(1)若EF=80米,则检票等候区域(阴影部分)的面积为多少平方米?(2)试确定点E的位置,使得修建费用最低.7[总结反思](1)利用导数研究生活中的优化问题的关键:理清数量关系、选取合适的自变量建立函数模型.(2)注意:函数的定义域由实际问题

确定,最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案.变式题某产品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加,若商品单价降低x(0≤x≤21)元,则一个星期增加的销售量为kx2(k>0)件.已知商品单件降低2元时

,一个星期的销售量增加24件.(商品销售利润=商品销售收入-商品销售成本)(1)将一个星期的商品销售利润f(x)表示成x的函数;(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大.第15讲导数与函数的极值、最值考试说明1.了解函数在某点取得极值的必要

条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).2.会利用导数解决某些实际问题.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)f'(x)<0f'(x)>0(2)f'(x)>0f

'(x)<02.(2)f(a)f(b)f(a)f(b)对点演练1.-3[解析]f'(x)=3x2-6x,8令f'(x)=3x2-6x=0,得x1=0,x2=2.易知当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0;当x∈(0,2)时,f'(x)<0;当x∈

(2,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在x=2处取得极小值f(2)=8-12+1=-3.2.16[解析]由f'(x)=3x2-12=0,得x=±2,易知x=-2为函数f(x)的极大值点,故函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值f(x)max=max{

f(-2),f(3)}=max{16,-9}=16.3.lnx<x<ex[解析]构造函数f(x)=lnx-x,则f'(x)=-1,可得x=1为函数f(x)在(0,+∞)上唯一的极大值点,也是最大值点,故f(x)≤f(1)=-

1<0,所以lnx<x.同理可得x<ex,故lnx<x<ex.4.a3[解析]容积V=(a-2x)2x,0<x<,则V'=2(a-2x)×(-2)x+(a-2x)2=(a-2x)(a-6x),由V'=0得x=或x=(舍去

),则x=为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点,此时Vmax=a3.5.-7[解析]f'(x)=3x2+2ax+b,依题意得即解得或经验证,当a=-3,b=3时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R上单调递增,

所以不符合题意,舍去.当a=4,b=-11时,符合题意,所以a+b=-7.6.0不存在[解析]结合函数图像可知g(x)=-x2的极值点是x=0.因为f'(x)=3(x-1)2≥0,所以f'(x)=0无变号零

点,所以函数f(x)=(x-1)3不存在极值点.7.1,4不存在[解析]根据函数的单调性及最值的定义可得.8.[1,+∞)[-1,+∞)[解析]对任意实数x,不等式sinx≤a恒成立⇒(sinx)max≤a,即a≥1.存在实数x0,使不等式sinx0≤a

成立⇒(sinx)min≤a,即a≥-1.【课堂考点探究】例1[思路点拨]先求h'(x0)的值,并结合图像判断x=x0是否为h(x)的极大值点或极小值点.B[解析]由题设有g(x)=f'(x0)(x-x0)+f(x0),故h(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0)-f(x0),所以h

'(x)=f'(x)-f'(x0),所以h'(x0)=f'(x0)-f'(x0)=0.9结合图像可知,当x<x0时,有h'(x)<0,h(x)为减函数,当x>x0时,有h'(x)>0,h(x)为增函数,所以x=x0是h(x)的极小值点.故选B.例2[思路点拨]先根据极值的定义求得a的值,再根据导

数符号的变化规律确定极值.A[解析]∵x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,∴f'(1)=0,即a+=0,∴a=-1,∴f'(x)=-1+=,∴当x>1时,f'(x)<0,当0<x<1时,f'(x)>0,因此f(x)有极大值f(1)=-1,故选A.例3[思路点拨]函数f(x)有两

个极值点,等价于f'(x)=0有两个根,换元后利用一元二次方程根与系数之间的关系及判别式建立不等式(组)求解即可.B[解析]∵f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x,∴f'(x)=2(a+1)e2x-2ex+a-1.∵f(x)=(a+1)e2x-2ex+(a-1)x有两个极值点

,∴f'(x)=0有两个根.设t=ex>0,则关于t的方程2(a+1)t2-2t+a-1=0有两个正根,可得解得1<a<,即实数a的取值范围是,故选B.应用演练1.A[解析]由导函数的图像可知,在(-∞,c)与(e,+∞)上,f'(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,c)与(e,

+∞)上单调递增;在(c,e)上,f'(x)<0,所以函数f(x)在(c,e)上单调递减.所以f(c)>f(a),①错误;函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值,②错误,③正确.故选A.2.D[解析]f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=2x-=.因为f(x)在(0,

+∞)上不存在极值点,所以2x2=a无正实数根,因为2x2>0,所以a≤0,故选D.103.D[解析]∵f'(x)=-,∴f'(e)=-,∴f'(e)=,∴f(x)=2lnx-,f'(x)=-.由f'(x)=0,得x=2e,∴f(x)的极大值为f(2e)=2ln

2e-2=2ln2,故选D.4.B[解析]f'(x)=3x2-a.当a≤0时,f'(x)≥0,f(x)无极值.当a>0时,易得f(x)在x=-处取得极大值,则有f=4,可得a=3,于是g(x)=x3+(m-3)x+2,则g'(x)=3x2+(m-3).

当m-3≥0时,g'(x)≥0,g(x)在(-3,2)上不存在极小值.当m-3<0时,易知g(x)在x=处取得极小值,依题意有解得-9<m≤-.例4[思路点拨](1)分离参数,转化为函数的最值问题求解;(2)对a分类讨论来求解.解:(1)g(x)=l

nx-(a+2)x+1,由题意得a+2≥恒成立.设h(x)=(x>0),则h'(x)==,所以当0<x<1时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x>1时,h'(x)<0,h(x)单调递减,因此h(x)max=h(1)=1,所

以a+2≥1,可得a≥-1,所以实数a的最小值为-1.(2)f'(x)=2ax-(a+2)+=(x>0,a>0),由f'(x)=0,得x=或x=.当a≥1时,≤1,因为x∈[1,e],所以f'(x)≥0,f(x)单

调递增,f(x)min=f(1)=-2,符合题意;11当<a<1时,1<<e,因为x∈[1,e],所以当x∈时,f(x)单调递减,当x∈时,f(x)单调递增,f(x)min=f<f(1)=-2,不合题意,舍去;当0<a≤时,≥e,因为x∈[1,e]

,所以f(x)单调递减,f(x)min=f(e)<f(1)=-2,不合题意,舍去.综上,实数a的取值范围是[1,+∞).变式题(1)B(2)A[解析](1)令f(x)=+lnx,则f'(x)=-+,可得函数f(x)在上单调递减,在[1,e]上单调递增,又f(e)=<f=e

-2,所以函数f(x)的最大值为e-2,故a≥e-2,故选B.(2)由f(x)=,得f'(x)==.令g(x)=ex+ax+a,则g'(x)=ex+a>0,则g(x)在(-∞,+∞)上为增函数,又g(-1)=>0,x→-∞时

,g(x)→-∞,所以存在x0<-1,使g(x0)=0,即+ax0+a=0①,所以f'(x0)=0,所以函数f(x)在(-∞,x0)上为减函数,在(x0,+∞)上为增函数,则f(x)的最小值为f(x0)==-1,即x0=--a②.联立①②,可得x0=-2.把x0

=-2代入①,可得a=,故选A.12例5[思路点拨](1)设直线EF与矩形ABCD交于M,N两点,连接O1E,O2F,O1O2,则阴影部分的面积为矩形AO1O2B的面积减去三部分的面积,这三部分分别为梯形O1O2FE,扇形O1AE和扇形O2FB;(2)设∠AO1E=θ

,θ∈,将修建费用表示为θ的函数,即可利用导数求最小值.解:(1)如图所示,设直线EF与矩形ABCD交于M,N两点,连接O1E,O2F,O1O2,则ME=20米,O1M=20米.梯形O1O2FE的面积为×(120+80)×20=2000(平方米),矩形AO1O

2B的面积为120×40=4800(平方米),易得∠AO1E=,则扇形O1AE和扇形O2FB的面积均为××1600=(平方米),故阴影部分的面积为4800-2000-平方米.(2)设∠AO1E=θ,θ∈,则与的长都是40θ,EF=120-2×40sinθ=120-80sinθ,所以修

建费用f(θ)=200×80θ+400×(120-80sinθ)=16000(θ+3-2sinθ),所以f'(θ)=16000(1-2cosθ).令f'(θ)=0,得θ=,当θ变化时,f'(θ),f(θ)的变化情况如下表

:θf'(θ)-0+f(θ)↘极小值↗13由上表可得,当θ=,即∠AO1E=时,f(θ)有极小值,也为最小值.故当∠AO1E为时,修建费用最低.变式题解:(1)若商品单价降低x元,则一个星期增加的销售量为kx2件,由已知条件得k·22=24,解得k=6,则f(x)=(30-x-9)(4

32+6x2)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,21].(2)由(1)知f'(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).令f'(x)=0,解得x=2或x=12.当x变化时,

f(x)与f'(x)的变化情况如下表:x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f'(x)-0+0-f(x)9072↘极小值↗极大值↘0∴当x=12时,f(x)取得极大值;当x=2时,f(x)取得极小值.∵f(0)=9072,f(12)=11664,∴当x=12时,f

(x)max=11664,故定价为30-12=18(元)能使一个星期的商品销售利润最大.【备选理由】例1主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数极值的个数;例2是已知极值点的个数求参数取值范围,并考查了化归与转化思想及计算能力,属于中档题

;例3的两问都是利用导数解决函数的最值问题,而对于不等式恒成立问题要善于转化为函数的最值问题;例4为利用导数研究生活中的优化问题.例1[配合例2使用][2018·丹东二模]设f(x)=x2-x+cos(1-x),则函数f(x)()14A.

有且仅有一个极小值B.有且仅有一个极大值C.有无数个极值D.没有极值[解析]A由f(x)=x2-x+cos(1-x),得f'(x)=x-1+sin(1-x).设g(x)=x-1+sin(1-x),则g'(x)=1-cos(1-x)≥0,即g(x

)为增函数,又g(1)=0,所以当x∈(-∞,1)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增.又f'(1)=0,所以函数f(x)有且仅有一个极小值f(1).故选A.例2[配合例3使用]若函数f(x)

=ax2+xlnx有两个极值点,则实数a的取值范围是.[答案]-<a<0[解析]f(x)=xlnx+ax2(x>0),f'(x)=lnx+1+2ax.令g(x)=lnx+1+2ax,因为函数f(x)=ax2+xlnx有两个极值点,所以g(x)=0在区间(0,+∞)上有两个不相等的实数根.g'(

x)=+2a=,当a≥0时,g'(x)>0,则函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,因此g(x)=0在区间(0,+∞)上不可能有两个不相等的实数根,应舍去.当a<0时,由g'(x)>0,得0<x<-,此时函数g(x)单调递增;由g'(x)<0,得x>-,此时函数g(x

)单调递减.所以当x=-时,函数g(x)取得极大值.要使g(x)=0在区间(0,+∞)上有两个不相等的实数根,15则g=ln>0,可得-<a<0.故实数a的取值范围是-<a<0.例3[配合例4使用][2018·三明5月质检]已知函

数f(x)=(x-4)ex-2+mx(m∈R).(1)当x>2时,f(x)≥0恒成立,求实数m的取值范围;(2)当a∈[0,1)时,函数g(x)=(x>2)有最小值,设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.解:(1)因为f(x)=

(x-4)ex-2+mx≥0对任意x∈(2,+∞)恒成立,所以ex-2≥-m对任意x∈(2,+∞)恒成立.设φ(x)=ex-2=ex-2,则φ'(x)=ex-2=ex-2≥0,所以φ(x)在(2,+∞)上单调递增,所以φ(x)>φ(

2)=-1,则由题意得-m≤-1,即m≥1,所以实数m的取值范围为[1,+∞).(2)对g(x)=(x>2)求导,得g'(x)==(x>2).记F(x)=ex-2+a(x>2),由(1)知F(x)在区间(2,+∞)上单调递增,又F(2)=-1+a<0,F(4)=a≥0,所以存在唯一正实

数x0∈(2,4],使得F(x0)=+a=0.所以当x∈(2,x0)时,F(x)<0,g'(x)<0,函数g(x)在区间(2,x0)上单调递减;当x∈(x0,+∞)时,F(x)>0,g'(x)>0,函数g(x)在区间(x0,+∞)上单调递

增.所以g(x)在(2,+∞)上有最小值g(x0)=,由题设得h(a)=.16又因为-a=,所以h(a)=.令u(x)=ex-2(2<x≤4),则u'(x)=ex-2>0,函数u(x)在区间(2,4]

上单调递增,所以u(2)<u(x)≤u(4),即函数h(a)的值域为.例4[配合例5使用]现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的

高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?解:(1)由PO1=2知O1O=4PO1=8.因为A1B1=AB=6,所以正四棱锥P-A1B1C1

D1的体积V锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3),正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0<h<6,O1O=4h.连接O1B1.

因为在Rt△PO1B1中,O1+P=P,所以+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a2·4h+a2·h=a2h=(36h-h3),0<h<6,17从而V'=(36-3h2)=26(12-h2).令V'=0,得h=2或h=-2(舍).当0<h

<2时,V'>0,V是增函数;当2<h<6时,V'<0,V是减函数.故当h=2时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=2m时,仓库的容积最大.