【文档说明】通用版高考数学(理数)一轮复习第13讲《变化率与导数》学案(含详解) .doc，共(11)页，652.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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1第13讲变化率与导数、导数的运算1.变化率与导数(1)平均变化率:概念对于函数y=f(x),=叫作函数y=f(x)从x1到x2的变化率几何意义函数y=f(x)图像上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的物理意义若函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则就是该质点

在[x1,x2]上的速度(2)导数:概念点x0处=,我们称它为函数y=f(x)在处的导数,记为f'(x0)或y',即f'(x0)==区间(a,b)当x∈(a,b)时,f'(x)==叫作函数在区间(a,b)内的导数几何意义函数y=f(x)在点x=x0处的导数f

'(x0)就是函数图像在该点处切线的.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程是物理意义函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x0处的导数就是质点在x=x0时的速度,在(a,b)内的导数就是质点在(a,b)内的方程2.导数的运算常用导数公式原函数导函数特例或推广

常数函数C'=0(C为常数)2幂函数(xn)'=(n∈Z)'=-三角函数(sinx)'=,(cosx)'=偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(ax)'=(a>0,且a≠1)(ex)'=ex对数函数(logax)'=(a>0,且a≠1)(lnx)'=,(ln|x

|)'=四则运算法则加减[f(x)±g(x)]'='=f'i(x)乘法[f(x)²g(x)]'=[Cf(x)]'=Cf'(x)除法'=(g(x)≠0)'=-复合函数求导复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=,这个关系用语言表达就是“y对x

的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”题组一常识题1.[教材改编]向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1L增加到2L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.2.[教材改编]

已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为c(x)=(80<x<100),当净化到纯净度为98%时费用的瞬时变化率为.3.[教材改编]y=ln(x+1)的导数是y'=.34.[教材改编]曲线y=xex-1在点

(1,1)处切线的斜率等于.题组二常错题◆索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆f'(x0)与[f(x0)]',f'(ax+b)与[f(ax+b)]'的区别.5.函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为,在x=2处的导数为.

6.已知函数y=sin2x,则y'=.7.已知f(x)=x2+3xf'(2),则f(2)=.8.已知f(x)=x3,则f'(2x+3)=,[f(2x+3)]'=.探究点一导数的运算例1(1)若函数f(x)=x²ex+f'(1)²x2,则f'(1)=.(2)函数y=sin(x+1)-cos的导数为y

'=.[总结反思](1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆.变式题

(1)已知函数f(x)=sin,则f'=()A.B.C.D.1(2)已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为()4A.B.C.D.1探究点二导数的几何意义角度1求切线方程例2[2018²南昌模拟]曲线y=3sinx+x3+1

在点(0,1)处的切线方程为.[总结反思](1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注

意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.变式题已知f(x)=x3-3x,过点P(-2,-2)作函数y=f(x)图像的切线,则切线方程为.角度2求切点坐标例3设a∈R,函数f(x)=ex+是偶函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为.[总结反思](1)f'(

x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标;(2)切点既在曲线上也在切线上,这个点对于与切点有关的问题非常重要.变式题曲线y=ex在点A处的切线与直线x-y+1=0平行,则点A的坐标为()A.(-1,e-1)B.(0,1

)C.(1,e)D.(0,2)角度3求参数的值或范围例4(1)若f(x)=2ex+3ax+b的图像在点(0,1)处的切线l与直线x+2y-5=0垂直,则a+b=()A.1B.-15C.2D.-2(2)[20

18²莆田模拟]已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x2-m,h(x)=6lnx-4x,设曲线y=f(x)与y=h(x)在公共点处的切线相同,则m=()A.-3B.1C.3D.5[总结反思](1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线

的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2)注意曲线上点的横坐标的取值范围.变式题已知函数f(x)=ln(x+1)²cosx-ax的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为45°,则a=()A.-2B.-1C.0D.3第1

3讲变化率与导数、导数的运算考试说明1.导数概念及其几何意义6①了解导数概念的实际背景.②理解导数的几何意义.2.导数的运算①能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数

的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)平均斜率平均(2)x=x0斜率y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)瞬时速度2.nxn-1cosx-sinxaxlnaf'(

x)±g'(x)f'(x)²g(x)+f(x)²g'(x)y'u²u'x对点演练1.0.16dm/L[解析]易知r(V)=,故气球中空气的体积从1L增加到2L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率为≈0.16(dm/L).2.1321元/吨[解析]c'(x)=

,代入x=98计算可得.3.[解析]y'=³(x+1)'=.4.2[解析]y'=x'ex-1+xex-1²(x-1)'=(x+1)ex-1,所以y'|x=1=2,即曲线在点(1,1)处切线的斜率为2.5.34[

解析]函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为=3.因为f'(x)=2x,所以f(x)在x=2处的导数为2³2=4.76.2cos2x[解析]方法一:y'=(2sinxcosx)'=2(sinx)'cosx+2sinx(cosx)'=2cos2x-2sin2x=2cos2x.方法二

:y'=cos2x²(2x)'=2cos2x.7.-8[解析]因为f'(x)=2x+3f'(2),令x=2,得f'(2)=-2,所以f(x)=x2-6x,于是f(2)=-8.8.3(2x+3)26(2x+3)2

[解析]f'(x)=3x2,所以f'(2x+3)=3(2x+3)2,[f(2x+3)]'=[(2x+3)3]'=3(2x+3)2(2x+3)'=6(2x+3)2.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)对函数f(x)=x²ex+f'(1)²x2求导,令x=1,即可求得f'(1)的值;(2)根据

导数的四则运算法则及复合函数的求导法则求解.(1)-2e(2)cos(x+1)+sin[解析](1)∵f(x)=x²ex+f'(1)²x2,∴f'(x)=ex+x²ex+2f'(1)x,∴f'(1)=e+e+2f'(1),解得f'(1)=-

2e.(2)将函数y=sin(x+1)看作y=sinu和u=x+1的复合函数,则y'x=y'u²u'x=(sinu)'²(x+1)'=cosu=cos(x+1).同理可以求出y=cos的导数为y'=-sin.所以所求函数的导数为y'=

cos(x+1)+sin.变式题(1)D(2)B[解析](1)∵函数f(x)=sin,∴f'(x)=2cos,∴f'=2cos=2cos=1,故选D.(2)因为f'(x)=,所以f'(2)==2,解得a=,故选B.例2[思路点拨]先

求导,从而得切线的斜率,再由点斜式求得切线方程.3x-y+1=0[解析]求导得y'=3cosx+x2,当x=0时,可得切线斜率k=3,8所以切线方程为y=3x+1,即3x-y+1=0.变式题y=-2或y=9x+16[解析]对函数求导,得f'

(x)=3x2-3.当点P(-2,-2)为切点时,切线斜率k=3³(-2)2-3=9,根据点斜式得切线方程为y=9x+16.当点P(-2,-2)不是切点时,设切点坐标为(m,n),则可得m=1,所以切点为(1,-2),此时切线方程为y=-2.综上,切线方程为y=9x+16或

y=-2.例3[思路点拨]先根据f(x)为偶函数求得a=1,再建立方程,解得切点的横坐标.ln2[解析]由题意可得f(x)=f(-x),即ex+=e-x+,即(1-a)=0对任意x∈R都成立,所以a=1,所以f(x)=ex+e-x,f'(x)=ex-e-x

.设切点为(x0,y0),则f'(x0)=-=,由于f'(x)是R上的增函数,且f'(ln2)=,所以x0=ln2,即切点的横坐标为ln2.变式题B[解析]设点A的坐标为(x0,).因为y'=ex,所以曲线

在点A处的切线斜率k=y'=,又切线与直线x-y+1=0平行,所以=1,解得x0=0,所以切点A的坐标为(0,1).例4[思路点拨](1)求出原函数的导函数,根据题意列出关于a,b的方程(组),计算即可得到结果;(2)先设两曲线的公共切点为(a,b)(a>0),再根据两

函数在x=a处的导数相等及切点在两曲线上列方程组,即可解得m的值.(1)B(2)D[解析](1)∵f(x)=2ex+3ax+b,∴f'(x)=2ex+3a.由题意得f'(0)=2+3a=2,解得a=0.∵点(

0,1)在f(x)=2ex+3ax+b的图像上,∴2+b=1,解得b=-1.∴a+b=0+(-1)=-1.(2)设两曲线在公共点(a,b)处的切线相同(a>0).9由题得f'(x)=2x,h'(x)=-4,则解得变式题C[解析]f'(x)=-ln(x+1

)²sinx-a.∵函数f(x)=ln(x+1)²cosx-ax的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为45°,∴1-a=1,∴a=0,故选C.【备选理由】例1考查导数的运算法则等知识,意在考查学生的基本计算能力;例2在知识点的交汇处

命题,分别考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式,利用导数的几何意义求切线方程等知识;例3是一道导数新概念题,需要依据新定义求解,计算量较大,供学有余力的同学学习;例4是导数几何意义的应用与求参数取值范围的综合问题,并涉及数形结合思想,有一定的综合性.例1[配合

例1使用]设函数f(x)=x(2017+lnx).若f'(x0)=2018,则x0=()A.eB.e2C.ln2D.1[解析]D因为f(x)=x(2017+lnx),所以f'(x)=2018+lnx,所以f'(x0

)=2018+lnx0=2018,所以x0=1.例2[配合例2使用][2018²荆州中学月考]函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x3-2x2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为.[答案]7x-y-4=0[解析]∵函数f(x)是定义在R上的

奇函数,且当x<0时,f(x)=x3-2x2,∴当x>0时,-x<0,f(-x)=(-x)3-2(-x)2=-x3-2x2=-f(x),∴当x>0时,f(x)=x3+2x2.∴f(1)=1+2=3,f'(x)=3x2

+4x,∴f'(1)=7,10∴所求切线方程为y-3=7(x-1),即7x-y-4=0.例3[配合例4使用][2018²石家庄质检]定义:如果函数f(x)在区间[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1

)=,f'(x2)=,则称函数f(x)是区间[a,b]上的一个双中值函数.已知函数f(x)=x3-x2是区间[0,t]上的一个双中值函数,则实数t的取值范围是()A.B.C.D.[解析]A由题意知,在

区间[0,t]上存在x1,x2(0<x1<x2<t)满足f'(x1)=f'(x2)===t2-t.∵f(x)=x3-x2,∴f'(x)=3x2-x,∴方程3x2-x=t2-t在区间(0,t)上有两个不同的实数解.令g(x)=3

x2-x-t2+t(0<x<t),则需满足解得<t<,∴实数t的取值范围是,故选A.例4[配合例4使用]已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-x-b有且仅有两个零点,则实数b的取值范围是.11[答案]0<b

<[解析]∵函数g(x)=f(x)-x-b有且仅有两个零点,∴函数f(x)=与函数y=x+b的图像有且仅有两个交点,作出函数f(x)=与函数y=x+b的图像,如图所示.当b=0时,两函数图像有一个交点,是一个临界值.当直线y=x+b与f(x)=(x>0)的图像相切

时,两函数图像有一个交点,此时b的值是另一个临界值.设切点为(m,),m>0,∵f'(x)=²(x>0),∴²=,解得m=1,故切点为(1,1),故b=1-=.结合图像可得,0<b<.