【文档说明】通用版高考数学(文数)一轮复习第03单元《基本初等函数及应用》学案(含详解) .doc，共(79)页，1.422 MB，由MTyang资料小铺上传

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1第三单元基本初等函数(Ⅰ)及应用教材复习课“基本初等函数(Ⅰ)”相关基础知识一课过指数与对数的基本运算[过双基]一、根式与幂的运算1．根式的性质(1)(na)n＝a.(2)当n为奇数时，nan＝a.(3)当n为偶数时，nan＝|a|＝aa，－aa(4)负数的

偶次方根无意义．(5)零的任何次方根都等于零．2．有理数指数幂(1)分数指数幂：①正分数指数幂：amn＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)．②负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指

数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质．①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．二、对数及对数运算1．对数的定义一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫作以a为底N的对数，记作

x＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．2．对数的性质(1)loga1＝0，logaa＝1.(2)alogaN＝N，logaaN＝N.2(3)负数和零没有对数．3．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(2)log

aMN＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．(4)换底公式logab＝logmblogma(a>0且a≠1，b>0，m>0，且m≠1)．[小题速通]1．化简a23·b－112·a12·b136a·b5(a>0，b>0)的结果是()A．

aB．abC．a2bD.1a解析：选D原式＝a31b12a12b13a16b56＝a111362·b151362＝1a.2．若x＝log43，则(2x－2－x)2＝()A.94B.54C.103D.43解析：选D由x＝log43，得4x＝3，即4－x＝13，

(2x－2－x)2＝4x－2＋4－x＝3－2＋13＝43.3.22－4log23＋4＋log213＝()A．2B．2－2log23C．－2D．2log23－2解析：选B22－4log23＋4＋log213＝23－2－log23＝2－log23－log23

＝2－2log23.4．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝()A．11B．9C．7D．53解析：选C由题意可得f(a)＝2a＋2－a＝3，则f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝7.[清易错]1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂

的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．2．在对数运算时，易忽视真数大于零．1．化简－x3x的结果是()A．－－xB.xC．－xD.－x解析：选A依题

意知x<0，故－x3x＝－－x3x2＝－－x.2．若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则xy的值为________．解析：∵lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y.又x>0，y>0，x－2

y>0，故x＝y不符合题意，舍去．所以x＝4y，即xy＝4.答案：4二次函数[过双基]1．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．(3)零点式：f(x)＝a(x－x1

)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域RR值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a4单调性在－

∞，－b2a上单调递减；在－b2a，＋∞上单调递增在－∞，－b2a上单调递增；在－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝－b2a对称[小题速通]1．若二次函数y＝－2x2－4x＋t的图象的顶点在x轴上，则t的值是()A．－4B．4C．－2D．2解析

：选C∵二次函数的图象的顶点在x轴上，∴Δ＝16＋8t＝0，可得t＝－2.2．(唐山模拟)如果函数f(x)＝x2－ax－3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a的取值范围为()A．[8，＋∞)B．(－∞，8]C．[4，＋∞)D．[－4，＋∞)解析：选A函数f(x)图象的

对称轴方程为x＝a2，由题意得a2≥4，解得a≥8.3．(宜昌二模)函数f(x)＝－2x2＋6x(－2≤x≤2)的值域是()A．[－20,4]B．(－20,4)C.－20，92D.－20，92解析：选C

由函数f(x)＝－2x2＋6x可知，二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝32，当－2≤x<32时，函数f(x)单调递增，当32≤x≤2时，函数f(x)单调递减，∴f(x)max＝f32＝－2×94＋6×32＝92，又f(－2)＝－8－12＝－20，f(2)＝－8

＋12＝4，∴函数f(x)的值域为－20，92.[清易错]易忽视二次函数表达式f(x)＝ax2＋bx＋c中的系数a≠0.若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的

条件是________．5解析：由已知得a>0，4ac－164a＝0，⇒a>0，ac－4＝0.答案：a>0，ac＝4幂函数[过双基]1．幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂

函数，其中x是自变量，α为常数．2．常见的5种幂函数的图象3．常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(

－∞，0]减，[0，＋∞)增增增(－∞，0)减，(0，＋∞)减定点(0,0)，(1,1)(1,1)6[小题速通]1．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()解析：选C令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝12，∴f(x)＝x12.故C

正确．2．(贵阳监测)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点13，3，则f12＝()A.12B．2C.2D.22解析：选C设幂函数的解析式为f(x)＝xα，将13，3代入解析式得3－α＝3，解得α＝－12，∴f(x)＝x－12，f

12＝2，故选C.3．若函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是()A．－1B．2C．3D．－1或2解析：选B∵f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，∴m2－m

－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又f(x)在x∈(0，＋∞)上是增函数，所以m＝2.[清易错]幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐

标轴相交，则交点一定是原点．幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为()A．－1<m<3B．0C．1D．2解析：选C从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3<0，即－1<m<3；又从图象

看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．7指数函数[过双基]指数函数的图象与性质y＝ax(a>0，且a≠1)a＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质当x＝0时，y＝

1，即过定点(0,1)当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数[小题速通]1．函数f(x)＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点()A．(0,1)B．(1,1)C．(2,0)D．(2,2)解析：选D由f(2)＝a

0＋1＝2，知f(x)的图象必过点(2,2)．2．函数f(x)＝1－2x的定义域是()A．(－∞，0]B．[0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，＋∞)解析：选A要使f(x)有意义须满足1－2x≥0，即2x≤1，解得x≤0.3．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是()

解析：选C当x＝1时，y＝a1－a＝0，所以函数y＝ax－a的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.4．设a＝3525，b＝2535，c＝2525，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>bB．a>b>cC．c>a>bD．b>c>a解析：选A构造

指数函数y＝25x(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b<c；又8y＝25x(x∈R)与y＝35x(x∈R)之间有如下结论：当x>0时，有35x>

25x，故3525>2525，即a>c，故a>c>b.5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是()A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数解析：选C由指数运

算的规律易知，ax＋y＝ax·ay，即令f(x)＝ax，则f(x＋y)＝f(x)f(y)，故该函数为指数函数．[清易错]指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a>1或0<a<1.若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠

1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a的值为________．解析：当a>1时，f(x)＝ax为增函数，f(x)max＝f(2)＝a2，f(x)min＝f(1)＝a.∴a2－a＝a2.即a(2a－3)＝0.∴a＝0(舍去)或a＝32>1.∴a＝32.当0<a<1时，f(x)＝

ax为减函数，f(x)max＝f(1)＝a，f(x)min＝f(2)＝a2.∴a－a2＝a2.即a(2a－1)＝0，∴a＝0(舍去)或a＝12.∴a＝12.综上可知，a＝12或a＝32.答案：12或32对数函数[过双基]

对数函数的图象与性质y＝logax(a>0，且a≠1)a>10<a<19图象定义域(0，＋∞)值域R性质当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当0<x<1时，y∈(－∞，0)；当x>1时，y∈(0，＋∞)当0<x<1时，y∈(0，＋∞)；当x>1时，y∈(－∞，0)在(0，＋∞)上为

增函数在(0，＋∞)上为减函数[小题速通]1．若函数f(x)＝loga(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象经过定点A，则A点坐标是()A.0，23B.23，0C．(1,0)D．(0,1)答案：C2．已知a>0，且a≠

1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是()解析：选B由题意知，y＝ax的定义域为R，y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)，故排除A、C；当0<a<1时，y＝ax在R上单调递减，y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递增；当a>1时，y＝ax在R上单调递增，y＝loga(－x

)在(－∞，0)上单调递减，结合B、D图象知，B正确．3．函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．解析：作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝lo

g2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1)(－1，＋∞)4．函数f(x)＝loga(x2－2x－3)(a>0，a≠1)的定义域为________．解析：由题意可得x2－2x－

3>0，解得x>3或x<－1，所以函数的定义域为{x|x>3或x<－1}．答案：{x|x>3或x<－1}[清易错]10解决与对数函数有关的问题时易漏两点：(1)函数的定义域．(2)对数底数的取值范围．1．(南昌调研)函数y＝log23x－的定义域是()A．[1,2]B．[1,2)C.

12，1D.12，1解析：选D要使函数有意义，则log23x－，2x－1>0，解得12<x≤1.2．函数y＝logax(a>0，且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________．解析：当a>1时，函

数y＝logax在[2,4]上是增函数，所以loga4－loga2＝1，即loga2＝1，所以a＝2.当0<a<1时，函数y＝logax在[2,4]上是减函数，所以loga2－loga4＝1，即loga12＝1，所以a＝12.故a＝2或a＝12.答案：2或1

2一、选择题1．函数f(x)＝2－x－1，x≤0，x12，x>0，满足f(x)＝1的x的值为()A．1B．－1C．1或－2D．1或－1解析：选D由题意，方程f(x)＝1等价于x≤0，2－x－1＝1或x>0，x12＝1，解得x＝－1或1

.112．函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是()解析：选B令x＝1，x－1＝0，显然f(x)＝ln|x－1|无意义，故排除A；由|x－1|>0可得函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，故排除D；由复合函数的单调性可知f(x)在(1

，＋∞)上是增函数，故排除C，选B.3．(郑州模拟)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()解析：选D结合二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象知：当a<0，且abc>0时，若－b2a<0，则b<0，c>

0，故排除A，若－b2a>0，则b>0，c<0，故排除B.当a>0，且abc>0时，若－b2a<0，则b>0，c>0，故排除C，若－b2a>0，则b<0，c<0，故选项D符合．4．设a＝0.32，b＝20.3，c＝log25，d＝

log20.3，则a，b，c，d的大小关系是()A．d<b<a<cB．d<a<b<cC．b<c<d<aD．b<d<c<a解析：选B由对数函数的性质可知c＝log25>2，d＝log20.3<0，由指数函数的性质可知0

<a＝0.32<1,1<b＝20.3<2，所以d<a<b<c.5．(长春模拟)函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为()A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．[1，＋∞)D．(－∞，＋∞)解析：选B令2x＝t，则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝

(t＋1)2(t>0)．∵函数y＝(t＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y>1.12∴所求值域为(1，＋∞)．故选B.6．(大连二模)定义运算：xy＝x，xy≥0，y，xy<0，例如：＝3，(－＝4，则函数f(x)＝x2x－x2)的最大值为()A．0B．1C．2D．4解析

：选D由题意可得f(x)＝x2x－x2)＝x2，0≤x≤2，2x－x2，x>2或x<0，当0≤x≤2时，f(x)∈[0,4]；当x>2或x<0时，f(x)∈(－∞，0)．综上可得函数f(x)

的最大值为4，故选D.7．已知函数f(x)＝lg21－x＋a是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为()A．(－∞，＋∞)上的减函数B．(－∞，＋∞)上的增函数C．(－1,1)上的减函数D．(－1,1)上的增函数解析：选D由题意知，f(0)＝lg(2＋a)＝0，∴a＝－1，∴

f(x)＝lg21－x－1＝lgx＋11－x，令x＋11－x>0，则－1<x<1，排除A、B，又y＝21－x－1＝－1＋－2x－1在(－1,1)上是增函数，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．选D.8．(

湖北重点高中协作校联考)设函数f(x)＝1－x＋1，g(x)＝ln(ax2－3x＋1)，若对任意x1∈[0，＋∞)，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的最大值为()A.94B．2C.92D．4解析：选A设g(x)＝ln(ax2－3x＋1)的值域为A，因为函数f(x)＝1－x

＋1在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A，因此h(x)＝ax2－3x＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h(0)＝1，于是，实数a需要满足a≤0或a>0，9－4a≥

0，解得a≤94.故选A.二、填空题9．(连云港调研)当x>0时，函数y＝(a－8)x的值恒大于1，则实数a的取值范围是________．13解析：由题意知，a－8>1，解得a>9.答案：(9，＋∞)10．若函数f(x)是幂函数，且满

足f(4)＝3f(2)，则f12的值等于________．解析：设f(x)＝xα，又f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f12＝12log23＝13.答案

：1311．若函数f(x)＝e1－x，x≤1，x－，x>1，则使得f(x)≥2成立的x的取值范围是________．解析：由题意，f(x)≥2等价于x≤1，e1－x≥2或x>1，x－，解得x≤1－ln2或x≥1＋e2，则使得f(x)≥2成立的x的取值范围是(－∞，1－

ln2]∪[1＋e2，＋∞)．答案：(－∞，1－ln2]∪[1＋e2，＋∞)12．若对任意x∈0，12，恒有4x<logax(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．解析：令f(x)＝4x，则f(x)在0，12上是增函数，g(x)＝log

ax，当a>1时，g(x)＝logax在0，12上是增函数，且g(x)＝logax<0，不符合题意；当0<a<1时，g(x)＝logax在0，12上是减函数，则0<a<1，f12≤g

12，解得22≤a<1.答案：22，1三、解答题13．函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且f(2)－f(4)＝1.(1)若f(3m－2)>f(2m＋5)，求实数m的取值范围；(

2)求使fx－4x＝log123成立的x的值．14解：(1)由f(2)－f(4)＝1，得a＝12.∵函数f(x)＝log12x为减函数且f(3m－2)>f(2m＋5)，∴0<3m－2<2m＋5，解得23<m<7，故m的取值范

围为23，7.(2)fx－4x＝log123，即x－4x＝3，x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1.14．已知函数f(x)＝a－22x＋1为奇函数．(1)求a的值；(2)试判断函数f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；(3)若对任意的t∈R，

不等式f[t2－(m－2)t]＋f(t2－m＋1)>0恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)∵函数f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，∴a－22x＋1＝－a＋22－x＋1，∴2a＝2·2x2x＋1＋22x

＋1＝2，∴a＝1.(2)f(x)在R上为单调递增函数．证明如下：设任意x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝1－22x1＋1－1＋22x2＋1＝x1－2x2x1＋x2＋.∵x1<x2，

∴2x1－2x2<0，(2x1＋1)(2x2＋1)>0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)为R上的单调递增函数．(3)∵f(x)＝1－22x＋1为奇函数，且在R上为增函数，∴由f[t2－(m－2)t]＋

f(t2－m＋1)>0恒成立，∴f[t2－(m－2)t]>－f(t2－m＋1)＝f(m－t2－1)，15∴t2－(m－2)t>m－1－t2对t∈R恒成立，化简得2t2－(m－2)t－m＋1>0，∴Δ＝(m－2)2＋8(m－1)<0，解得－2－22<m<－2＋22，故m的取

值范围为(－2－22，－2＋22)．高考研究课(一)幂函数、二次函数的3类考查点——图象、性质、解析式[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度幂函数5年3考幂函数的性质二次函数5年1考二次函数的图象幂函数的图象与性质[典例](1)(安徽江南七校联考)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2

)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或－3(2)1.112，0.912，1的大小关系为________．[解析](1)由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝1时，函数

f(x)＝x－2为偶函数，其图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n＝1满足题意；当n＝－3时，函数f(x)＝x18为偶函数，其图象关于y轴对称，而f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以n＝－3不满足题意，舍去．故选B.(2)把1看作112，幂函数y＝x12在(0

，＋∞)上是增函数．∵0<0.9<1<1.1，∴0.912<112<1.112.即0.912<1<1.112.[答案](1)B(2)0.912<1<1.112[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点

，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．16[即时演练]1．已知f(x)＝x12，若0<a<b<1，则下列各式正确的是()A．f(a)<f(b)<f1a<f

1bB．f1a<f1b<f(b)<f(a)C．f(a)<f(b)<f1b<f1aD．f1a<f(a)<f1b<f(b)解析：选C∵0<a<b<1，∴0<a<b<1b<1a，又f(x)＝x

12为增函数，∴f(a)<f(b)<f1b<f1a.2．若(a＋1)13<(3－2a)13，则实数a的取值范围是________________．解析：不等式(a＋1)13<(3－2a)1

3等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a.解得23<a<32或a<－1.答案：(－∞，－1)∪23，32二次函数的解析式二次函数的解析式有一般式、顶点式、零点式.求二次函数的解析式时，要灵活选择解析式形式以确立解法.[典例]已知二次函数f(x

)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．[解]法一：用“一般式”解题设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．17由题意得4a＋2b＋c＝－1

，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二：用“顶点式”解题设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝2＋－2＝12，∴m＝12.又根

据题意，函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝ax－122＋8.∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.法三：用“零点式”解题由已知f(x)＋1＝0的

两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a－2a－－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)．∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x

2＋4x＋7.[方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：18[即时演练]1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，

最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm，则右轮廓线DFE所在的二次函数的解析式为()A．y＝14(x＋3)2B．y＝－14(x－3)2C．y＝－14(x＋3)2D．y＝14(x－3)2解析：选D由题图可知，对应的两条曲线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在

x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm，所以点C的纵坐标为0，横坐标的绝对值为3，即C(－3,0)，因为点F与点C关于y轴对称，所以F(3,0)，因为点F是右轮廓线DFE所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y＝a(x－3)2(a>0)，将点D(1,1)代入

得，a＝14，即y＝14(x－3)2.2．已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16，则函数f(x)的解析式为________．解析：由题意可设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(4

)＝16a＋c＝16，f(2)＝4a＋c＝4，解得a＝1，c＝0，故f(x)＝x2.答案：f(x)＝x2二次函数的图象与性质高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用.

常见的命题角度有：二次函数的图象与性质；二次函数的最值问题.角度一：二次函数的图象与性质1．(武汉模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1<a<3)，且x1<x2，x1＋x2＝1－a，则下列结论正确的是()A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)

>f(x2)C．f(x1)＝f(x2)19D．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定解析：选Af(x)的对称轴为x＝－1，因为1<a<3，则－2<1－a<0，若x1<x2≤－1，则x1＋x2<－2，不满足x1＋x2＝1－a且－2<1－a<0；若x

1<－1，x2≥－1，则|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a>0(1<a<3)，此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)>f(x1)；若－1≤x1<x2，则此时x1＋x2>－2，又因为f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以f(x1)<f(x2)

．2．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，且实数m的取值范围是()A．(－∞，0]B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞)D．[0,2]解析：选D二次函

数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x－1)<0，x∈[0,1]，所以a>0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.[方法技巧]解

决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解．角度二：二次函数的最值问题3．已知二次

函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．解：(1)当a>0时，f(x)＝ax2－2x图象的开口方向向上，且对称轴为x＝1a.①当1a≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0,

1]内，∴f(x)在0，1a上递减，在1a，1上递增．∴f(x)min＝f1a＝1a－2a＝－1a.②当1a>1，即0<a<1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴

f(x)在[0,1]上递减．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.(2)当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝1a<0，在y轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上递减．20∴f(x)min＝f(1)

＝a－2.综上所述，f(x)min＝a－2，a∈－∞，∪，，－1a，a∈[1，＋4．已知a是实数，记函数f(x)＝x2－2x＋2在[a，a＋1]上的最小值为g(a)，求g(a)的解析式．解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[a，a＋1]，a∈R，对称轴为x＝1.当

a＋1<1，即a<0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间[a，a＋1]上为减函数，所以最小值为f(a＋1)＝a2＋1；当a≤1≤a＋1，即0≤a≤1时，函数图象如图(2)，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当a>1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[a，a＋1]上

为增函数，所以最小值为f(a)＝a2－2a＋2.综上可知，g(a)＝a2＋1，a<0，1，0≤a≤1，a2－2a＋2，a>1.[方法技巧]二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是

讨论对称轴与所给区间的相对位置关系．1．(全国卷Ⅲ)已知a＝243，b＝425，c＝2513，则()A．b<a<cB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b解析：选A因为a＝243，b＝425＝245，由函数y＝2x在R上为增函数，知b<a；又因为a＝243＝423，c＝2513＝5

23，由幂函数y＝x23在(0，＋∞)上为增函数，知a<c.综上得b<a<c.故选A.2．(全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y21＝f(x)图象

的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xm，ym)，则i＝1mxi＝()A．0B．mC．2mD．4m解析：选B∵f(x)＝f(2－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又y＝|x2－2x－3|＝|

(x－1)2－4|的图象关于直线x＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x＝1对称．当m为偶数时，i＝1mxi＝2×m2＝m；当m为奇数时，i＝1mxi＝2×m－12＋1＝m.故选B.3．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝ex－1，x<1，x13

，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．解析：当x<1时，由ex－1≤2得x≤1＋ln2，∴x<1；当x≥1时，由x13≤2得x≤8，∴1≤x≤8.综上，符合题意的x的取值范围是x≤8.答案：(－∞，8]一、选择题1．(绵阳模拟)幂函数y＝(m2－3m＋3)xm的

图象过点(2,4)，则m＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：选D∵幂函数y＝(m2－3m＋3)xm的图象过点(2,4)，∴m2－3m＋3＝1，2m＝4，解得m＝2.故选D.2．(杭州测试)若函数f(x

)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为()A．[－3,3]B．[－1,3]C．{－3,3}D．{－1，－3,3}解析：选C∵函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2的图

象的对称轴为直线x＝1，f(x)在区22间[a，a＋2]上的最小值为4，∴当a≥1时，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3；当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，a＝1(舍去

)或a＝－3；当a<1<a＋2，即－1<a<1时，f(x)min＝f(1)＝0≠4.故a的取值集合为{－3,3}．故选C.3.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2

a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的结论是()A．②④B．①④C．②③D．①③解析：选B∵二次函数的图象与x轴交于两点，∴b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象知，当x＝－

1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，∴a<0，∴5a<2a，即5a<b，④正确．故选B.4．若对任意a∈[－1,1]，函数F(x)＝x2＋(a－4)x＋4

－2a的值恒大于零，则x的取值范围是()A．(1,3)B．(－∞，1)∪(3，＋∞)C．(1,2)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B由题意，令f(a)＝F(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，对任意a∈[－1,1]恒成立，所以

f＝x2－3x＋2>0，f－＝x2－5x＋6>0，解得x<1或x>3.5．若函数f(x)＝mx2－2x＋3在[－1，＋∞)上递减，则实数m的取值范围为()A．(－1,0)B．[－1,0)C．(－∞，－1]D．[－1,0]解析：选D当m＝0时，f(x)

＝－2x＋3在R上递减，符合题意；当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x＋3在[－1，＋∞)上递减，只需对称轴x＝1m≤－1，且m<0，解得－1≤m<0，综上，实数m的取值范围为[－1,0]．236．设函数f(x)＝x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x<0，则不等式f(x)>f(1

)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A∵f(1)＝3，∴不等式f(x)>f(1)，即f(x)>3.∴x≥0，x2－4x＋6>3或

x<0，x＋6>3，解得x>3或－3<x<1.7．已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2017－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()A．a>c>b>dB．a>b>c>dC．c>d>a>bD．c>a>b>d解析：选Df(x)＝2

017－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2017，又f(a)＝f(b)＝2017，c，d为函数f(x)的零点，且a>b，c>d,所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知c>a>b>d，故选D.8．(浙江高考)若函数f(x)＝x

2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关解析：选Bf(x)＝x＋a22－

a24＋b，①当0≤－a2≤1时，f(x)min＝m＝f－a2＝－a24＋b，f(x)max＝M＝max{f(0)，f(1)}＝max{b,1＋a＋b}，∴M－m＝maxa24，1＋a＋a24与a有关，与b无关；②当－a2<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，∴M－

m＝f(1)－f(0)＝1＋a与a有关，与b无关；③当－a2>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，∴M－m＝f(0)－f(1)＝－1－a与a有关，与b无关．综上所述，M－m与a有关，但与b无关．二、填空题9．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)在(0，＋∞)上为增函数，

且在其定义域内是24偶函数，则m的值为________．解析：∵幂函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0或m＝1或m＝2.当m＝0或m＝2时，f(x)＝x3在其定义域内为

奇函数，不满足题意；当m＝1时，f(x)＝x4在其定义域内是偶函数，满足题意．综上可知，m的值是1.答案：110．二次函数y＝3x2＋2(m－1)x＋n在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m＝________.解析：

二次函数y＝3x2＋2(m－1)x＋n的图象的开口向上，对称轴为直线x＝－m－13，要使得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x＝－m－13＝1，解得m＝－2.答案：－211．(南通一调)若函数f(x)＝ax2＋20x＋14(a>0)对任意

实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为________．解析：由题意可得，当x∈[t－1，t＋1]时，[f(x)max－f(x)min]min≥8，当[t－1，t＋1]关于对称轴对

称时，f(x)max－f(x)min取得最小值，即f(t＋1)－f(t)＝2at＋a＋20≥8，f(t－1)－f(t)＝－2at＋a－20≥8，两式相加，得a≥8，所以实数a的最小值为8.答案：812．设函数f(x)＝

x3，x≤a，x2，x>a，若存在实数b，使得函数y＝f(x)－bx恰有2个零点，则实数a的取值范围为_______．解析：显然x＝0是y＝f(x)－bx的一个零点；当x≠0时，令y＝f(x)－bx＝0得b＝fxx，令g(x)＝fxx＝x2，x≤

a，x，x>a，则b＝g(x)存在唯一一个解．当a<0时，作出函数g(x)的图象，如图所示，25显然当a<b<a2且b≠0时，b＝g(x)存在唯一一个解，符合题意；当a>0时，作出函数g(x)的图象，如图所示，若要使b＝g(x)存在唯一一个解，则a>a2，

即0<a<1，同理，当a＝0时，显然b＝g(x)有零解或两解，不符合题意．综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．答案：(－∞，0)∪(0,1)三、解答题13．(杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数

f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程f(x)＝0的两个实根x1，x2满足|x1－x2|＝2.(1)求f(x)的表达式；(2)函数g(x)＝f(x)－kx在区间[－1,2]上的最大值为f(2)，最小值为f(－1)，求实数k的取值范围．解：(1)由f(－1＋x)＝f(－1－

x)，可得f(x)的图象关于直线x＝－1对称，设f(x)＝a(x＋1)2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h(a≠0)，由函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，可得h＝－1，根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－2，x1x2＝1＋ha，∴|x1－

x2|＝x1＋x22－4x1x2＝－4ha＝2，解得a＝1，∴f(x)＝x2＋2x.(2)由题意得函数g(x)在区间[－1,2]上单调递增，又g(x)＝f(x)－kx＝x2－(k－2)x.∴g(x)的对称轴方程为x＝k－22，则

k－22≤－1，即k≤0，故k的取值范围为(－∞，0]．14．(成都诊断)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．解：f(x)＝x＋a22－a24－a＋3，令f(x)在[－2,2]上的最小值为g(a)．26

(1)当－a2<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，∴a≤73.又a>4，∴a不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝f－a2＝－a24－a＋3≥0，∴－6≤a≤2.又

－4≤a≤4，∴－4≤a≤2.(3)当－a2>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，∴a≥－7.又a<－4，∴－7≤a<－4.综上可知，a的取值范围为[－7,2]．1．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(

a>b>c)的图象经过点A(m1，f(m1))和点B(m2，f(m2))，f(1)＝0.若a2＋[f(m1)＋f(m2)]·a＋f(m1)·f(m2)＝0，则()A．b≥0B．b<0C．3a＋c≤0D．3a－c<0解析：选A由f(

1)＝0可得a＋b＋c＝0，若a≤0，由a>b>c，得a＋b＋c<0，这与a＋b＋c＝0矛盾，故a>0，若c≥0，则有b>0，a>0，此时a＋b＋c>0，这与a＋b＋c＝0矛盾；所以c<0成立，因为a2＋[f(m1)＋f(m2)]·a＋f(m1)·f(m2)＝0，

所以(a＋f(m1))(a＋f(m2))＝0，所以m1，m2是方程f(x)＝－a的两个根，Δ＝b2－4a(a＋c)＝b(b＋4a)＝b(3a－c)≥0，而a>0，c<0，所以3a－c>0，所以b≥0.2．设函数f(x)＝2a

x2＋2bx，若存在实数x0∈(0，t)，使得对任意不为零的实数a，b，均有f(x0)＝a＋b成立，则t的取值范围是________．解析：因为存在实数x0∈(0，t)，使得对任意不为零的实数a，b，均有f(x0)＝a＋b成立，所以2ax2＋2bx＝a＋b等价于(2x－1

)b＝(1－2x2)a.当x＝12时，左边＝0，右边≠0，即等式不成立，故x≠12；当x≠12时，(2x－1)b＝(1－2x2)a等价于ba＝1－2x22x－1，设2x－1＝k，因为x≠12，所以k≠0，则x＝k＋12，27则ba＝1－2k＋122k＝12

1k－k－2.设g(k)＝121k－k－2，则函数g(k)在(－1,0)，(0,2t－1)上的值域为R.又因为g(k)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以g(k)在(－1，0)，(0,2t－1)上单调递减，故当k∈(－1,0)时，g(k)<g(－1)＝－1；当k∈(0,

2t－1)时，g(k)>g(2t－1)＝1212t－1－2t－1，故要使值域为R，则g(2t－1)<g(－1)，即12t－1－2t－1<－2，解得t>1.答案：(1，＋∞)高考研究课(二)指数函数的2类考查点——图象、性质[全国卷5年命题分析]考点

考查频度考查角度指数函数的图象5年3考指数函数图象的应用指数函数的性质5年3考比较大小、求值指数函数的图象及应用[典例](1)函数f(x)＝ex·x2e2x＋1的大致图象是()(2)(广州模拟)若存在负实数使得方程2x－a＝1x－1成立，则实数a的取值范围是(

)A．(2，＋∞)B．(0，＋∞)C．(0,2)D．(0,1)[解析](1)因为f(－x)＝e－x·x2e－2x＋1＝ex·x21＋e2x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以排除A、D项．当x＝0时，y＝0，故排除B项，选C.(2)在同一坐标系内分别作出函数y＝1x－1和y＝2x－a的图

象，则由图知，当a∈(0,2)时符合要求．28[答案](1)C(2)C[方法技巧]指数函数图象问题的求解策略(1)画指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，

－1，1a.(2)与指数函数有关函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．[即时演

练]1．函数f(x)＝2|x－1|的图象是()解析：选B由题意得f(x)＝2x－1，x≥1，12x－1，x<1，结合图象知，选B.2．(衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y

＝b的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．答案：[－1,1]指数函数的性质29高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属于低档题.常见的命题角度有：比较大小或解

不等式；与指数函数有关的函数值域问题；与指数函数有关的单调性问题；与指数函数有关的最值与参数问题.角度一：比较大小或解不等式1．(滕州模拟)下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5>1.73B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2D．1.70.3<0.93.1解析：选B

A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，故A错误；B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，故B正确；C中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y＝1.25x在R上是增函数，0.

1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，故C错误；D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，故D错误．2．(绍兴模拟)设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)

>0}＝()A．{x|x<－2或x>4}B．{x|x<0或x>4}C．{x|x<0或x>6}D．{x|x<－2或x>2}解析：选B∵f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.∴f(x)＝2x－4，x≥0，2－x－4，x<0

，若f(x－2)>0，则有x－2≥0，2x－2－4>0或x－2<0，2－x＋2－4>0，解得x>4或x<0.[方法技巧](1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利

用图象比较大30小．(2)有关指数不等式问题，应注意a的取值，及结合指数函数的性质求解．角度二：与指数函数有关的函数值域问题3．已知0≤x≤2，则y＝4x－12－3·2x＋5的最大值为________．解析：令t＝2x，

∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，又y＝22x－1－3·2x＋5，∴y＝12t2－3t＋5＝12(t－3)2＋12，∵1≤t≤4，∴t＝1时，ymax＝52.答案：52[方法技巧]形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)

型函数最值问题多用换元法，即令t＝ax转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．角度三：与指数函数有关的单调性问题4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，

2]B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析：选B由f(1)＝19，得a2＝19，解得a＝13或a＝－13(舍去)，即f(x)＝13|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递

增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.5．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系是________________．解析：∵|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x

＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(1)．答案：f(－4)

>f(1)[方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．角度四：与指数函数有关的最值与参数问题6．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝

3，a＋b＝23，则1x＋1y的最大值为()A．2B.3231C．1D.12解析：选C由ax＝by＝3，可得a＝31x，b＝31y，所以23＝a＋b＝31x＋31y≥2311xy，则1x＋1y≤1，当且仅当x＝y时，等号成立．故1x＋1y的最大值为1.7．已知函数f

(x)＝2x－1，x>0，－x2－2x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)＋3m有3个零点，则实数m的取值范围是________．解析：因为函数g(x)＝f(x)＋3m有3个零点，所以函数y＝f(x)的图象与直线y＝－3m有三个不同的交点，作

出函数y＝f(x)＝2x－1，x>0，－x2－2x，x≤0的图象如图所示，则0<－3m<1，所以－13<x<0.答案：－13，01．(2013·全国卷Ⅱ)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(

0，＋∞)D．(－1，＋∞)解析：选D法一：不等式2x(x－a)<1可变形为x－a<12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y＝x－a与y＝12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a

<1，所以a>－1，选D.法二：由2x(x－a)<1得a>x－12x.令f(x)＝x－12x，即a>f(x)有解，则a>f(x)min.又y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，所以f(x)>f(0)＝－1，所以a>－1，选D.2．(全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝x＋1，x≤0，2x，x>0

，则满足f(x)＋fx－12>1的x的取值范32围是________．解析：由题意知，可对不等式分x≤0,0<x≤12，x>12讨论．当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋12>1，解得x>－14，∴－14<x≤0.

当0<x≤12时，原不等式为2x＋x＋12>1，显然成立．当x>12时，原不等式为2x＋2x－12>1，显然成立．综上可知，x的取值范围是－14，＋∞.答案：－14，＋∞3．(2015·江苏高考)不等式2x2－x＜4的解集为________．解析：∵2x2－x＜

4，∴2x2－x＜22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.答案：{x|－1＜x＜2}4．(2015·山东高考)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.解析：当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[]－1，0上为增

函数，由题意得a－1＋b＝－1，a0＋b＝0无解．当0<a<1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为减函数，由题意得a－1＋b＝0，a0＋b＝－1，解得a＝12，b＝－2，所以a＋b＝－32.答案：－32一、选择题1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1

与g(x)＝12x－1的图象关于()A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称33解析：选A∵g(x)＝21－x＝f(－x)，∴f(x)与g(x)的图象关于y轴对称．2．若当x∈R时，函数f(x)＝a|x|始终满足0<|f(x)|≤1，则函

数y＝loga1x的图象大致为()解析：选B因为当x∈R时，|x|≥0，又函数f(x)＝a|x|始终满足0<|f(x)|≤1，所以0<a<1.因为y＝loga1x是偶函数，图象关于y轴对称，且y＝1x在(0，＋∞)上是减函数，y＝l

ogax在(0，＋∞)上是减函数，所以由复合函数的单调性可知函数y＝loga1x在(0，＋∞)上是增函数，故选B.3．已知a＝21.2，b＝12－0.2，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为()A．b<a<cB．c<a<bC．c<b<aD．b<c<a解析：选

C∵b＝12－0.2＝20.2<21.2＝a，∴a>b>1.又∵c＝2log52＝log54<1，∴c<b<a.4．(东北三校联考)函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，下

列函数中图象不经过点A的是()A．y＝1－xB．y＝|x－2|C．y＝2x－1D．y＝log2(2x)解析：选A由题知A(1,1)．把点A(1,1)代入四个选项，选项A，y＝1－x的图象不经过点A.5．(广西质量检

测)若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为()A．－4B．－3C．－1D．0解析：选A∵xlog52≥－1，∴2x≥15，则f(x)＝4x－2x＋1－3＝(2x)2－2×2x－3

＝(2x－1)2－4.当2x＝1时，f(x)取得最小值－4.6．已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．a<0，b<0，c<0B．a<0，b≥0，c>034C．2－a<2cD

．2a＋2c<2解析：选D作出函数f(x)＝|2x－1|的图象(如图中实线所示)，又a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1,2c>1，∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，f(c)＝|2c－1|＝2c－1.又f(a

)>f(c)，即1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2.7．(东北三校联考)若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是()A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,1)C．(1，＋∞)D.0，1

2解析：选D方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．①当0<a<1时，如图①，∴0<2a<1，即0<a<12；②当a>1时，如图②，而y＝2a>1不符合要求．∴0<

a<12.8．定义一种运算：a⊗b＝a，a≥b，b，a<b，已知函数f(x)＝2x⊗(3－x)，那么函数y＝f(x＋1)的大致图象是()解析：选B由题意可得f(x)＝2x⊗(3－x)＝2x，x≥1，3－x，x<1，所以f(x＋1)＝2x＋1，x≥0，2－x，x<0，则

大致图象为B.二、填空题9．(济宁模拟)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，35且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.解析：若a>1，有a2＝4，a－

1＝m，此时a＝2，m＝12，此时g(x)＝－x为减函数，不合题意．若0<a<1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝14，m＝116，检验知符合题意．答案：1410．已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．解析：令t

＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间m2，＋∞上单调递增，在区间－∞，m2上单调递减，而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．答案：(－∞，4]11．(徐州

二模)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．若不等式1ax＋1bx－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为___

_____．解析：把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得6＝ab，24＝b·a3，结合a>0，且a≠1，解得a＝2，b＝3，要使12x＋13x≥m在x∈(－∞，1]上恒成立

，只需保证函数y＝12x＋13x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．因为函数y＝12x＋13x在(－∞，1]上为减函数，所以当x＝1时，y＝12x＋13x有最小值56.所以只需

m≤56即可．所以m的最大值为56.36答案：5612．(湖南八校联考)对于给定的函数f(x)＝ax－a－x(x∈R，a>0，且a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________．(填序号)①函数f(x

)的图象关于原点对称；②函数f(x)在R上不具有单调性；③函数f(|x|)的图象关于y轴对称；④当0<a<1时，函数f(|x|)的最大值是0；⑤当a>1时，函数f(|x|)的最大值是0.解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①是真命题；当a>1时，f

(x)在R上为增函数，当0<a<1时，f(x)在R上为减函数，②是假命题；y＝f(|x|)是偶函数，其图象关于y轴对称，③是真命题；当0<a<1时，y＝f(|x|)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x＝0

时，y＝f(|x|)的最大值为0，④是真命题；当a>1时，f(|x|)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝f(|x|)的最小值为0，⑤是假命题．综上，真命题是①③④.答案：①③④三、解答题13．已知函数f(x)＝m·4x＋12x是

偶函数．(1)求实数m的值；(2)若关于x的不等式2k·f(x)>3k2＋1在(－∞，0)上恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)因为函数f(x)＝m·4x＋12x是定义在R上的偶函数，所以有f(－x)＝f(x)，即m·4－x＋12

－x＝m·4x＋12x，即m＋4x2x＝m·4x＋12x，故m＝1.(2)因为f(x)＝4x＋12x>0,3k2＋1>0，且2k·f(x)>3k2＋1在(－∞，0)上恒成立，故原不等式等价于2k3k2＋1>1fx在(－∞，

0)上恒成立，又因为x∈(－∞，0)，所以f(x)∈(2，＋∞)，从而1fx∈0，12，故2k3k2＋1≥12，解得13≤k≤1，37所以实数k的取值范围为13，1.14．设函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是定义域为R的奇

函数．(1)求k的值；(2)若f(1)<0，试判断y＝f(x)的单调性(不需证明)，并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t的取值范围；(3)若f(1)＝32，g(x)＝a2x＋a－2x－2f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值

．解：(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴1－(k－1)＝0，∴k＝2.(2)由(1)知f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)，∵f(1)<0，∴a－1a<0.又a>0，且a≠1，∴0<a<

1，∴y＝ax在R上单调递减，y＝－a－x在R上单调递减，故f(x)在R上单调递减，故不等式化为f(x2＋tx)<f(x－4)，∴x2＋tx>x－4，即x2＋(t－1)x＋4>0恒成立，∴Δ＝(t－1)2－16<0，解得－3<t<5.∴符合题意的t的取值范围为(－3,5

)．(3)∵f(1)＝32，∴a－1a＝32，即2a2－3a－2＝0，∴a＝2或a＝－12(舍去)，g(x)＝22x＋2－2x－2(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2(2x－2－x)＋2，令t＝2x－2－x，∵t＝2x－2－x在[1，＋∞

)上单调递增，∴t∈32，＋∞.∴设h(t)＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，t∈32，＋∞，∴h(t)min＝h32＝54.即g(x)在[1，＋∞)上的最小值为54.1．设函数

f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论中正确的个数是()①对于∀x∈(－∞，1)，都有f(x)>0；②存在x>0，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三边长；38③若△ABC为钝角三角形，则存在x∈(1,2)，使f

(x)＝0.A．3B．2C．1D．0解析：选A①因为a，b，c是△ABC的三条边长，所以a＋b>c，因为c>a>0，c>b>0，所以0<ac<1,0<bc<1，当x∈(－∞，1)时，f(x)＝ax＋bx－cx＝cxacx＋bcx－1>cx

ac＋bc－1＝cx·a＋b－cc>0，故①正确；②令a＝2，b＝3，c＝4，则a，b，c可以构成三角形，但a2＝4，b2＝9，c2＝16却不能构成三角形，所以②正确；③已知c>a>0，c>b>0，若△ABC为钝角三角形，则a2＋b2－c2<0，因为f(1)＝a＋

b－c>0，f(2)＝a2＋b2－c2<0，根据零点存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点，所以存在x∈(1,2)，使f(x)＝0，故③正确．2．(广东五校联考)已知e为自然对数的底数，若对任意的x1∈[0,1]，总存在唯一的x2∈[－1,1]，使得x1＋x22

ex2－a＝0成立，则实数a的取值范围是()A．[1，e]B．(1，e]C.1＋1e，eD.1＋1e，e解析：选C令f(x1)＝a－x1，则f(x1)＝a－x1在x1∈[0,1]上单调递减，且f(0)＝a，f(1)＝

a－1.令g(x2)＝x22ex2，则g′(x2)＝2x2ex2＋x22ex2＝x2ex2(x2＋2)，且g(0)＝0，g(－1)＝1e，g(1)＝e.若对任意的x1∈[0,1]，总存在唯一的x2∈[－

1,1]，使得x1＋x22ex2－a＝0成立，即f(x1)＝g(x2)，则f(x1)＝a－x1的最大值不能大于g(x2)的最大值，即f(0)＝a≤e，因为g(x2)在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当g(x2)

∈0，1e时，存在两个x2使得f(x1)＝g(x2)．若只有唯一的x2∈[－1,1]，使得f(x1)＝g(x2)，则f(x1)的最小值要比1e大，所以f(1)＝a－1>1e，即a>1＋1e，故实数a的取值范围是1＋1e，e，故选C.3．(湖南六校联考)

已知实数a>0，函数f(x)＝ex－1＋a2，x≤0，ex－1＋a2x2－a＋x＋a2，x>0，若关于x的方程f[－f(x)]＝e－a＋a2有三个不等的实根，则实数a的取值范围是()A.1

，2＋2eB.2，2＋2e39C.1，1＋1eD.2，2＋1e解析：选B当x≤0时，令f(x)＝e－a＋a2，即ex－1＝e－a，得x＝1－a；当x>0时，令f(x)＝e－a＋a2得ex－1＋a2x2－(a＋1)x＋a2

＝e－a＋a2，显然方程无解，所以1－a≤0，即a≥1，因为f[－f(x)]＝e－a＋a2，所以－f(x)＝1－a，即f(x)＝a－1，所以方程f(x)＝a－1有三解，当x≤0时，f(x)在(－∞，0)上单调递增，且当x→－∞时，f(x)→a2，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋ax－a

－1，所以f′(x)是增函数，且f′(1)＝0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又f(1)＝0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，作出f(x)的大致图象如图所示，因为方程f(

x)＝a－1有三解，所以a2<a－1<1e＋a2，解得2<a<2＋2e.高考研究课(三)对数函数的2类考查点——图象、性质[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度对数函数的图象5年1考对数函数的应用对数函数的性质5年5考对数函数的单调

性、大小比较对数函数的图象及应用[典例](1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为()40(2)(成都一诊)设f(x)＝|ln(x＋1)|，已知f(a)＝f(b)(a<b)，则()A

．a＋b>0B．a＋b>1C．2a＋b>0D．2a＋b>1[解析](1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关

于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.(2)作出函数f(x)＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，由f(a)＝f(b)，得－ln(a＋1)＝ln(b＋1)，即ab＋a＋b＝0.

所以0＝ab＋a＋b<a＋b24＋a＋b，即(a＋b)(a＋b＋4)>0，显然－1<a<0，b>0，∴a＋b＋4>0.∴a＋b>0.故选A.[答案](1)A(2)A[方法技巧]应用对数型函数的图象可求解的2类问题(1)对一些可通过平移、对称变

换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[即时演练]1．函数y＝ln1|2x－3|的图象大致为(

)41解析：选A易知2x－3≠0，即x≠32，排除C、D.当x>32时，函数为减函数，当x<32时，函数为增函数，所以选A.2．若log6a＝log7b，则a，b,1的大小关系可能是()A．a>b>1B．b>1>aC．a>1>bD．1>a>b解析：选D作出函数y＝log6x与y＝lo

g7x的大致图象如图所示，因为log6a＝log7b，所以由图象可得1<a<b或0<b<a<1，故选D.3．已知f(x)＝|log2x|，0<x≤2，13x2－83x＋5，x>2，若a，b，c，d互不相等，

且f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，则a＋b＋c＋d的取值范围为________．解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，令a<b<c<d，因为f(a)＝f(b)，即|log2a|＝|log2b|，则－log2a＝log

2b，所以ab＝1，则a＋b>2ab＝2，当f(a)＝f(b)＝1时，可得a＋b＝52，所以2<a＋b<52；当x>2时，f(x)＝13x2－83x＋5的对称轴为x＝4，又f(2)＝13×22－83×2＋5＝1，且f(c)＝f(d)，所以c＋d＝8，所以a＋

b＋c＋d∈10，212.答案：10，212对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有.常见的命题角度有：比较大小与求值；与对数函数有关的单调性；由对数的单调性求参数或自变量的取值范围；对数函数性

质的综合问题.角度一：比较大小与求值1．若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则a，b，c的大小关系为()42A．a>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．b>c>a解析：选A由指数函数的性质可得a＝30.3>1，由对数函数

的性质可得b＝logπ3∈(0,1)，c＝log0.3e<0，所以a>b>c.2．设函数f(x)＝log2x，x＞0，log12－x，x＜0，若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________________．解

析：由f(a)＞f(－a)得a＞0，log2a＞log12a或a＜0，log12－a＞log2－a，即a＞0，log2a＞－log2a或a＜0，－log2－a＞log2－a解得a＞1或－1＜a＜0.答案

：(－1,0)∪(1，＋∞)[方法技巧]对数函数值大小比较的3种方法单调性法在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底中间量过渡法寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法根据图象观察得出大小关系角度二：与对数函

数有关的单调性3．若函数f(x)＝logax2＋32x(a>0，a≠1)在区间12，＋∞内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(2，＋∞)C．(1，＋∞)D.12，＋∞解析：选A令M＝x2＋32x，当x∈

12，＋∞时，M∈(1，＋∞)，因为f(x)>0，所以a>1.所以函数y＝logaM为增函数，又M＝x＋342－916，因此M的单调递增区间为－34，＋∞.又x2＋32x>0，所以x>0或x

<－32.所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．434．函数f(x)＝log12(x2－2x)的单调递减区间是________．解析：由题意得，x2－2x>0，则x<0或x>2，即函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，令t＝x2－2x，则原函数可化为y＝log12t，因为y＝l

og12t是减函数，t＝x2－2x在(2，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)＝log12(x2－2x)的单调递减区间是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)[方法技巧]解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤角度三：由对数的单调性求参数或自变量的取值范围5．函数f(x)＝loga(ax

－3)(a>0，且a≠1)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(0,1)C.0，13D．(3，＋∞)解析：选D由于a>0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x

)＝logau必为增函数，因此a>1.又u＝ax－3在[1,3]上恒为正，∴a－3>0，解得a>3，∴a的取值范围为(3，＋∞)．6．已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，则实数x的取值范围是________．

解析：原不等式⇔0<x<1，2x2＋1>3x>1①或x>1，2x2＋1<3x<1②，解不等式组①得13<x<12，不等式组②无解，所以实数x的取值范围为13，12.答案：13，12[方法技巧]44解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为

同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．角度四：对数函数性质的综合问题7．已知函数f(x)＝log221－x＋t是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是()A．(－1,0)B．(0,1)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

解析：选A由f(－x)＝－f(x)，得log221＋x＋t＝－log221－x＋t，所以21＋x＋t＝121－x＋t，整理得1－x2＝(2＋t)2－t2x2，可得t2＝1且(t＋2)2＝1，所以t＝－1，则f(x)＝log21＋x1－x<0，即1＋x

1－x>0，1＋x1－x<1，解得－1<x<0.8．(盐城中学月考)已知函数f(x)＝loga1－xb＋x(0<a<1)为奇函数，当x∈(－1，a]时，函数f(x)的值域是(－∞，1]，则a＋b的值为________．解析：由1－xb＋x>0，解得－b<x<1(b>0)．又奇函数定义域关于原点对称

，故b＝1.所以f(x)＝loga1－x1＋x(0<a<1)．又g(x)＝1－xx＋1＝－1＋2x＋1在(－1，a]上单调递减，0<a<1，所以f(x)在(－1，a]上单调递增．又因为函数f(x)的值域是(－∞，1]，故f(a)＝1，此时g(a)＝a，

即1－aa＋1＝a，解得a＝2－1(负根舍去)，所以a＋b＝2.答案：2[方法技巧]解决对数函数综合问题的3个注意点(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要

在其定义域上进行；(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．1．(全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x<3y<5zB．5z<2x<3y45C．3y<5z<2xD．3y<2x<5z解析：选D设2x＝3y＝5z＝k>1，∴x＝log2k，y

＝log3k，z＝log5k.∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝2logk2－3logk3＝2logk3－3logk2logk2·logk3＝logk32－logk23logk2·logk3＝lo

gk98logk2·logk3>0，∴2x>3y；∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝3logk3－5logk5＝3logk5－5logk3logk3·logk5＝logk53－logk35logk3·logk5＝logk125243logk3·logk5<0，∴3y<5z；∵2x－5z＝

2log2k－5log5k＝2logk2－5logk5＝2logk5－5logk2logk2·logk5＝logk52－logk25logk2·logk5＝logk2532logk2·logk5<0，∴5z>2x.∴5z>2x>3y.2

．(全国卷Ⅰ)若a>b>1,0<c<1，则()A．ac<bcB．abc<bacC．alogbc<blogacD．logac<logbc解析：选C对于选项A，考虑幂函数y＝xc，因为c>0，所以y＝xc为

增函数，又a>b>1，所以ac>bc，A错．对于选项B，abc<bac⇔bac<ba，又y＝bax是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C.3．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11

＋x2，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是()A.13，1B.－∞，13∪(1，＋∞)C.－13，1346D.－∞，－13∪13，＋∞解析：选

A∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－11＋－x2＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－11＋x2也递增，根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：

f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔13<x<1.故选A.4．(2013·全国卷Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞

c＞bD．a＞b＞c解析：选Da＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5

x，y＝log7x的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a＞b＞c，故选D.一、选择题1．已知lga＋lgb＝0(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是()解析：选B因为lga＋lgb＝0，所以lgab＝0，所以ab＝1，

即b＝1a，故g(x)＝－logbx＝－log1ax＝logax，则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，结合图象知B正确．故选B.2．(西安二模)若函数y＝log2(mx2－2mx＋3)的定义域为R，则实数m的

取值范围是()A．(0,3)B．[0,3)C．(0,3]D．[0,3]解析：选B由题意知mx2－2mx＋3>0恒成立．当m＝0时，3>0，符合题意；当m≠0时，47只需m>0，Δ＝－2m2－12m<0，解得0<m<3.综上0≤m<3，故选B.3．若偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减

，a＝f(log23)，b＝f(log45)，c＝f(232)，则a，b，c满足()A．a<b<cB．b<a<cC．c<a<bD．c<b<a解析：选B由偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又232>2>log23>log45>0，所以b<a<c.4.

(张家界模拟)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1解析：选A令g(x)

＝2x＋b－1，这是一个增函数，而由图象可知函数f(x)＝loga(g(x))是单调递增的，所以必有a>1.又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－1<f(0)<0，所以－1<logab<0，故a－1<b<1，因此0<a－1<b<1.故选A.5．(济宁质检)设函数f(x)

＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是()A．f(a＋1)>f(2)B．f(a＋1)<f(2)C．f(a＋1)＝f(2)D．不能确定解析：选A因为f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，所以0<a<1，所以1<a＋1<2，而

f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以有f(a＋1)>f(2)．6．已知a>b>0，a＋b＝1，x＝－1ab，y＝logab1a＋1b，z＝logb1a，则x，y，z的大小关系为()A．x<z<yB．x<y<zC．z<y<xD．x＝y<z解析：

选B因为a>b>0，a＋b＝1，所以1>a>b>0，所以1a>1,0<ab<14，1a＋1b＝1ab>4，所以x＝－1ab<－1，y＝logab1a＋1b＝－1，z＝logb1a∈(－1,0)

，所以x<y<z.7．(深圳二模)已知函数f(x)＝|lgx|.若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围48是()A．(22，＋∞)B．[22，＋∞)C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)解析：选Cf(x)＝|lgx|的

图象如图所示，由题知f(a)＝f(b)，则有0<a<1<b，∴f(a)＝|lga|＝－lga，f(b)＝|lgb|＝lgb，即－lga＝lgb，则a＝1b，∴a＋2b＝2b＋1b.令g(b)＝2b＋1b

，g′(b)＝2－1b2，显然当b∈(1，＋∞)时，g′(b)>0，∴g(b)在(1，＋∞)上为增函数，∴g(b)＝2b＋1b>3，故选C.8．设a，b，c∈R且c≠0，x1.53567891427lgx2a＋ba＋ba－c＋1b＋ca＋2b＋c3(c－a)2(a＋b)b－a3(a＋

b)若上表中的对数值恰有两个是错误的，则a的值为()A．lg221B.12lg314C.12lg37D．lg67解析：选B由题意可得lg3＝a＋b，lg9＝2(a＋b)，lg27＝3(a＋b)正确，lg

5＝a－c＋1⇒lg2＝c－a，lg6＝b＋c⇒lg2＝c－a，lg8＝3(c－a)⇒lg2＝c－a，故这三个都正确；此时，lg1.5＝lg3－lg2＝2a＋b－c≠2a＋b，所以表中lg1.5错误；lg7＝a＋2b＋c＝(a＋b)＋(b＋c)＝lg3＋lg6＝

lg18，显然错误；故表中lg14＝b－a是正确的．综上，lg2＝c－a，lg3＝a＋b，lg14＝b－a，所以a＝12(lg3－lg14)＝12lg314.二、填空题9．若log2x＝－log2(2y)，则x＋2y的最小值是______

__．解析：由log2x＝－log2(2y)，可得2xy＝1，且x，y均为正数，则x＋2y≥2x·2y＝2，49当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝12时，等号成立，故x＋2y的最小值是2.答案：210．(湛江

一模)已知函数f(x)＝loga2m－1－mxx＋1(a>0，且a≠1)是奇函数，则函数f(x)的定义域为________．解析：因为f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，即loga2m－1

－mxx＋1＋loga2m－1＋mx－x＋1＝0，化简得(m2－1)x2＝4m(m－1)对定义域上的每一个x都成立，所以m＝1，此时f(x)＝loga1－x1＋x.由1－x1＋x>0，解得－1<x<1.答案：(－1,1)11．(武汉

模拟)若函数f(x)＝loga(x2－ax＋5)(a>0，且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x1<x2≤a2时，f(x2)－f(x1)<0，则实数a的取值范围为________．解析：当x1<x2≤a2时，f(x2)－f(x1)<0，即函数f(x)在区间

－∞，a2上为减函数，设g(x)＝x2－ax＋5，则a>1，ga2>0，解得1<a<25.答案：(1,25)12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝lg2x2x＋1，若对任意实数t∈

12，2，都有f(t＋a)－f(t－1)≥0恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：设u＝2x2x＋1＝1－12x＋1，其在(0，＋∞)上是增函数，则f(u)＝lgu在(0，＋∞)上是增函数，所以复合函数f(x)＝lg2x2x＋1在(0，＋∞)

上是增函数．又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(t＋a)－f(t－1)≥0等价于f(t＋a)≥f(t－1)，即|t＋a|≥|t－1|，对任意实数t∈12，2恒成立，两边平方化简可得2(a＋1)t＋a2－1≥0恒成立，令g(t)＝

2(a50＋1)t＋a2－1，则g12＝a＋a2≥0，g＝a2＋4a＋3≥0，解得a≤－3或a≥0.答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞)三、解答题13．(枣庄模拟)设x∈[2,8]时，函数f(x)＝1

2loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－18，求实数a的值．解：f(x)＝12(logax＋1)(logax＋2)＝12[(logax)2＋3logax＋2]＝12logax＋322－18.当f(x)取最小值－18

时，logax＝－32.∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．∵f(x)是关于logax的二次函数，∴f(x)的最大值必在x＝2或x＝8处取得．若12loga2＋322－18＝1，则a＝2－13，此时f(x)取得最小值

时，x＝2－13－32＝2∉[2,8]，舍去；若12loga8＋322－18＝1，则a＝12，此时f(x)取得最小值时，x＝12－32＝22∈[2,8]，符合题意．∴a＝12.14．已知f(log2x)＝ax2－2x＋1－a

，a∈R.(1)求f(x)；(2)解关于x的方程f(x)＝(a－1)·4x；(3)设h(x)＝2－xf(x)，a≥12时，对任意x1，x2∈[－1,1]总有|h(x1)－h(x2)|≤a＋12成立，求实数a的取值范围．解

：(1)令log2x＝t，即x＝2t，则f(t)＝a·(2t)2－2·2t＋1－a，即f(x)＝a·22x－2·2x＋1－a.51(2)由f(x)＝(a－1)·4x，化简得22x－2·2x＋1－a＝0，即(2x－1)2＝a，当a<

0时，方程无解，当a≥0时，解得2x＝1±a，若0≤a<1，则x＝log2(1±a)，若a≥1，则x＝log2(1＋a)．(3)对任意x1，x2∈[－1,1]总有|h(x1)－h(x2)|≤a＋12成立，等价于当x∈[

－1,1]时，hmax－hmin≤a＋12，由已知得，h(x)＝a·2x＋1－a2x－2，令2x＝t，则y＝at＋1－at－2，t∈12，2，令g(t)＝at＋1－at－2，t∈12，2，①当a≥1时，g(t)＝at＋1－at－2

，t∈12，2单调递增，此时g(t)max＝g(2)＝a－2，g(t)min＝g12＝－3a2，g(t)max－g(t)min＝6a－32≤a＋12，解得a≤45(舍去)．②当45≤a<1时，g(t

)＝at＋1－at－2，t∈12，2单调递增，此时g(t)max＝g(2)＝a－2，g(t)min＝g12＝－3a2，g(t)max－g(t)min＝6a－32≤a＋12，解得a≤45，∴a＝45.③当12≤a<45时，g(t)＝a

t＋1－at－2，t∈12，2，在12，1a－1上单调递减，在1a－1，2上单调递增，且g(2)≥g12，∴g(t)max＝g(2)＝a－2，g(t)min＝g1a－1＝2

a－a－2，∴g(t)max－g(t)min＝a－2－(2a－a－2)≤a＋12即a≤45，∴12≤a<45.52综上，实数a的取值范围为12，45.1．已知函数f(x)＝cosx－π2，x∈[0，，log2017xπ，x∈[π，＋，若存在三个不

同的实数a，b，c，使得f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围为________．解析：当x∈[0，π)时，f(x)＝cosx－π2＝sinx，∴f(x)在(0，π)上关于x＝π2对称，且f(x)ma

x＝1；又当x∈[π，＋∞)时，f(x)＝log2017xπ是增函数，作出y＝f(x)的函数图象如图所示．令log2017xπ＝1得x＝2017π，∵f(a)＝f(b)＝f(c)，∴a＋b＝π，c∈(π，2017π)，∴a＋b＋c＝π＋c∈(2π，2018π)．答案：(2π，2018π

)2．(江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝x2，x∈D，x，x∉D，其中集合D＝xx＝n－1n，n∈N*，则方程f(x)

－lgx＝0的解的个数是________．解析：由于f(x)∈[0,1)，因此只需考虑1≤x<10的情况，在此范围内，当x∈Q且x∉Z时，设x＝qp，q，p∈N*，p≥2且p，q互质．若lgx∈Q，则由lgx∈(0,1)，

可设lgx＝nm，m，n∈N*，m≥2且m，n互质，因此10nm＝qp，则10n＝qpm，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lgx∉Q，故lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只需考虑lgx与每个

周期内x∉D部分的交点．画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期53x∉D的部分，且x＝1处(lgx)′＝1xln10＝1ln10<1，则在x＝1附近仅有一个交点，因此方程f(x)－lgx＝0的解的个数为8.答案：8高考研究课(四)函数图象

的3个常考方式——作图、识图、用图[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度作图未考查识图5年5考图的识别与判断用图5年4考函数图象的应用作图[典例]分别作出下列函数的图象：(1)y＝|lgx|；(2)y＝2x＋2；(

3)y＝x2－2|x|－1.[解](1)y＝lgx，x≥1，－lgx，0<x<1.图象如图(1)所示．(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图(2)所示．(3)y＝x2－2x

－1，x≥0，x2＋2x－1，x<0.图象如图(3)所示．[方法技巧]作函数图象的2种常用方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(2)图象变换法

：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换54作出，但要注意变换顺序．[即时演练]作出下列函数的图象：(1)y＝12|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝2x－1x－1.解：(1)作出y＝

12x的图象，保留y＝12x图象中x≥0的部分，加上y＝12x的图象中x≥0部分关于y轴的对称部分，即得y＝12|x|的图象，如图实线部分．(2)将函数y＝log2x的图象

向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图所示．(3)∵y＝2x－1x－1＝2＋1x－1，故函数图象可由y＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．识图[典例](1)函数y＝sinx－1x的图

象大致为()(2)(安庆模拟)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O沿l1以1m/s的速度匀速竖直向上移动，且在t＝0时，圆O与l2相切于点A，圆O被直线l2所截得到的两段圆弧中，位于l2上方的圆弧的长记为x，令y＝cosx，则

y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为()55[解析](1)易得函数y＝sinx－1x是奇函数，即图象关于原点对称，故排除D；令x＝π2，则y＝1－2π>0，故排除C；y′＝cosx＋1x2，显然

，当x∈0，π2时，y′>0，即函数y＝sinx－1x在0，π2上是增函数，因此，排除A，故选B.(2)法一：如图，设∠MON＝α，由弧长公式知x＝α，在Rt△AOM中，|AO|＝

1－t，cosx2＝|OA||OM|＝1－t，∴y＝cosx＝2cos2x2－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．故其对应的大致图象应为B.法二：由题意可知，当t＝1时，圆O在直线l2上方的部分为半圆，所对应的弧长为π×1＝π，所以cosπ＝－1，排除A，D；当t＝12时，如图所示，易知∠

BOC＝2π3，所以cos2π3＝－12<0，排除C，故选B.[答案](1)B(2)B[方法技巧]识别函数图象的策略(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4

)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．[即时演练]1．函数y＝x5－xex的图象大致为()解析：选B令x＝2，可得y＝32－2e2>0，故选B.562．函数y＝1＋x1－x的图象大致为()解析

：选A由y＝1＋x1－x＝21－x－1，可知x≠1，y≠－1，故选A.3．现有四个函数：①y＝x·sinx，②y＝x·cosx，③y＝x·|cosx|，④y＝x·2x的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号正确的排列是________．

解析：由函数的奇偶性可知，①y＝x·sinx是偶函数，对应第一个图；④y＝x·2x既不是奇函数也不是偶函数，是第二个图；③y＝x·|cosx|是奇函数，当x>0时，y＝x·|cosx|≥0，故图象是第四个图，因此②y＝x·cosx的图象是第三个图，故正

确的排列为①④②③.答案：①④②③图象的应用函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.常见的命题角度有：确定方程根的个数；求参数的取值范围；求不等式的解集

；研究函数的性质；利用函数对称性求值.角度一：确定方程根的个数1．已知f(x)＝|lgx|，x>0，2|x|，x≤0，则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0解的个数是________．57解析：方程2f2(x

)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝12或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知方程解的个数为5.答案：5角度二：求参数的取值范围2．已知函数y＝|x2－1|x－1的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．解析：由题意，y

＝f(x)＝x＋1，x≥1或x≤－1，－x－1，－1<x<1，作出函数f(x)的图象如图所示，结合图象知，若函数y＝|x2－1|x－1的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则0<k<1，或1<k<2.答案：(0,1)∪(1,

2)角度三：求不等式的解集3．(成都模拟)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数且f(1)＝0，则不等式fx－f－xx<0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1

，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)解析：选D因为f(x)为奇函数，所以不等式fx－f－xx<0化为fxx<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．角度四：研究函数的性质4．设函数

f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝121－x，则有下列命题：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2

,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝12x－3.其中所有正确命题的序号是________．解析：由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；58当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)

＝121＋x，函数y＝f(x)的部分图象如图所示．结合图象知②正确，③不正确．当3<x<4时，－1<x－4<0，f(x)＝f(x－4)＝12x－3，因此④正确．答案：①②④角度五：利用函数对称性求值5．已知函数f(x)＝

cosx＋2x－12(x<0)与g(x)＝cosx＋log2(x＋a)图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A．(－∞，－2)B.－∞，－22C.－2，22D．(－∞，2)解析：选D由题意可知，函数f(x)＝cosx＋2x－12

(x<0)关于y对称的函数y＝cosx＋2－x－12(x>0)的图象与g(x)＝cosx＋log2(x＋a)的图象有交点，则方程2－x－12＝log2(x＋a)(x>0)有解，令y＝2－x－12，y＝log2(x＋a)，则这两个函数的图象有交点，分别作出两个函数的图象如图所示，由图象可知当a≤0

时，两函数在(0，＋∞)上必有一个交点，当a>0时，要满足题意，则log2a<12，解得0<a<2，故a的取值范围为(－∞，2)．[方法技巧](1)研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想；(2)有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解决；(3)方程解的问题常转化

为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解决．1．(全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()59解析：选D∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.设g(x)

＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)<0，g′(2)>0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.2．

(2015·全国卷Ⅰ)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝()A．－1B．1C．2D．4解析：选C设(x，y)为y＝f(x)图象上任意

一点，则(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，所以有－x＝2－y＋a，从而有－y＋a＝log2(－x)(指数式与对数式的互化)，所以y＝a－log2(－x)，即f(x)＝a－log2(－x)，所以f(－2)＋f(－4)＝(a－log22)＋(a－log24)＝(a－1)＋(a－2)＝1，解得a＝

2.3.(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()解析：选B当x∈0，π4时，f

(x)＝tanx＋4＋tan2x，图象不会是直线段，从而排除A、C.60当x∈π4，3π4时，fπ4＝f3π4＝1＋5，fπ2＝22.∵22<1＋5，∴f

π2<fπ4＝f3π4，从而排除D，故选B.4．(2014·全国卷Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的

函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为()解析：选B由题意知，f(x)＝|cosx|·sinx，当x∈0，π2时，f(x)＝cosx·sinx＝12sin2x；当x∈π2，π时，f(x)＝－cosx·sinx＝－12sin

2x，故选B.一、选择题1．函数f(x)＝x2－sin|x|在[－2,2]上的图象大致为()解析：选B函数f(x)＝x2－sin|x|在[－2,2]上显然是偶函数，令x＝2，可得f(2)＝4－sin2>3，故排除C、D；当x>0时，f′(

x)＝2x－cosx，显然存在t∈0，12，使f′(t)＝0，则函数f(x)上(0，t)是减函数，在(t,2)上是增函数，故排除A，故选B.2.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，若f(x2＋2x＋1)·f[lg(x2＋10)]≤0，则实数x

的取值范围是()A．[－2,0]B．[1，＋∞)C．(－∞，1]61D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)解析：选A由题意，f(x2＋2x＋1)·f[lg(x2＋10)]≤0等价于x2＋2x＋1≥1，x2＋或x2＋2x＋1≤1，x2＋，即x2＋2x≥0，x

2＋10≤10或x2＋2x≤0，x2＋10≥10，解得－2≤x≤0.3．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1,3)上的解集为()A．(1,3)B．(－1,1

)C．(－1,0)∪(1,3)D．(－1,0)∪(0,1)解析：选C作出函数f(x)的图象如图所示．当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)>0得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪

(1,3)．4.若函数f(x)＝ax＋b，x<－1，x＋a，x≥－1的图象如图所示，则f(－3)等于()A．－12B．－54C．－1D．－2解析：选C由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(

x)＝2x＋5，x<－1，x＋，x≥－1，故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.5．(齐鲁名校模拟)已知函数f(x)＝4－x2，函数g(x)(x∈R且x≠0)是奇函数，当x>0时，g(x)＝log2x，则函数f(x)·g(x)的大致图象为()62解析

：选D易证函数f(x)＝4－x2为偶函数，又g(x)是奇函数，所以函数f(x)·g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A、B.又当x>0时，g(x)＝log2x，当x>1时，g(x)>0，当0<x<1时，g(x)<0;f(x)＝4－x2，当x>2时，

f(x)<0，当0<x<2时，f(x)>0，所以排除C，故选D.6．已知函数f(x)＝a－x2(1≤x≤2)与g(x)＝x＋2的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是()A.－94，＋∞B.－94，0C．[－2,0]D．[2,4]解析：选D

因为函数f(x)＝a－x2(1≤x≤2)与g(x)＝x＋2的图象上存在关于x轴对称的点，所以函数f(x)＝a－x2(1≤x≤2)与y＝－x＋2的图象存在交点，所以a－x2＝－x＋2(1≤x≤2)有解，令h(x)＝a－x2＋x－2(1≤x≤

2)，则h，h，解得2≤a≤4，故选D.7．(山东高考)已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝x＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A．(0,1]∪[23，＋∞)B．

(0,1]∪[3，＋∞)C．(0，2]∪[23，＋∞)D．(0，2]∪[3，＋∞)解析：选B法一：在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m2x－1m2与g(x)＝x＋m的大致图象．分两种

情形：(1)当0<m≤1时，1m≥1，如图①，当x∈[0,1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意；(2)当m>1时，0<1m<1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1

)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．法二：若m＝2，则y＝(2x－1)2，x∈[0,1]的值域为[0,1]，y＝x＋2，x∈[0,1]63的值域为[2，1＋2)，

所以两个函数图象无交点，故排除C、D；若m＝3，则点(1,4)是两个函数的公共点，故选B.8．已知函数f(x)＝x2－2，x>0，－3|x＋a|＋a，x<0的图象恰有三对点关于原点成中心对称，则a的取值范围是()A.－1716，－1B.－178，－2C.

1，1916D.1，1716解析：选D由题意，问题转化为函数y＝－3|x＋a|＋a(x<0)与y＝2－x2(x<0)的图象恰有三个公共点，显然a≤0时，不满足条件，当a>0时，画出草图如图，方程

2－x2＝3x＋4a，即x2＋3x＋4a－2＝0有两个小于－a的实数根．结合图形，有Δ＝9－a－，a>2－a2，a>0，∴1<a<1716.二、填空题9．(绵阳二诊)已知函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象分别如图所示，方程f(g(x))＝0和g(

f(x))＝0的实根个数分别为a和b，则a＋b＝____________.解析：由图象知f(x)＝0有3个根，分别为0，±m(m>0)，其中1<m<2，g(x)＝0有2个根，设为n，p，则－2<n<－1，0

<p<1，由f(g(x))＝0，得g(x)＝0或±m，由图象可知当g(x)所对应的值为0，±m时，其都有2个根，因而a＝6；由g(f(x))＝0，知f(x)＝n或p，由图象可以看出当f(x)＝n时，有1个根，而当f(x)＝p时，有3个根，即b＝1＋3＝4.所以a＋b＝6＋4＝10.

答案：1010．若函数f(x)＝ax－2x－1的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝________.解析：函数f(x)＝ax－2x－1＝a＋a－2x－1(x≠1)，当a＝2时，f(x)＝2，函数f(x)的图象不关于点(1,1)对称，故a≠2，其图象的对称中心为(1，a)，即a

＝1.64答案：111．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：作出函数f(x)与函数g(x)的图象，如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.答案：[－1，＋∞)12．

若f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－sinπ2x＋1，0≤x<2，fx－，x≥2，若方程f(x)＝kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是________．解析：由题意，作出函数f(x)的图象，如图所示，因为方程f(x)＝kx恰有3个不同的根，所以y＝f

(x)与y＝kx的图象有3个不同的交点，因此－13<k≤－14或14≤k<13.答案：－13，－14∪14，13三、解答题13．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x

)的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集．解：(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.(2)∵f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝x

x－，x≥4，－xx－，x<4.∴函数f(x)的图象如图所示．由图象知，函数f(x)有两个零点．(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为[2,4]．(4)从图象上观察可知：不等式f(x)>0的解集为{x|0<x<4或x>4}．6514．当

x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax(a>0，且a≠1)恒成立，求实数a的取值范围．解：设f(x)＝(x－1)2，g(x)＝logax(a>0，且a≠1)，要使x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需函数f(x)的图象在g(x)的图象下方

即可．当0<a<1时，由两函数的图象知，显然不成立；当a>1时，如图所示，使x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f(2)≤g(2)，即(2－1)2≤loga2，解得1<a≤2.综上可知，实数a的取值范围为(1,2]．1．设函数f(x)＝

－|lnx|，x>0，x2＋2x－1，x≤0，若f(a)＝f(b)＝f(c)＝f(d)，其中a，b，c，d互不相等，则对于命题p：abcd∈(0,1)和命题q：a＋b＋c＋d∈[e＋e－1－2，e2＋e－

2－2)真假的判断，正确的是()A．p假q真B．p假q假C．p真q真D．p真q假解析：选A不妨设a<b<c<d，作出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可得，－2<a<－1<b<0，1e2<c<1e，e<d<e2，由二次函数的对称性可知，a＋b＝－2，ab＝－1，由

f(c)＝f(d)，即－lnc＝lnd，则cd＝1，所以abcd＝－1，且e＋e－1－2<a＋b＋c＋d<e2＋e－2－2，因此命题p是假命题，命题q是真命题，故选A.2．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－2bx＋1，设

点(a，b)是区域x＋y－2≤0，x＋1≥0，y＋1≥0内的随机点，则函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率是()A.12B.19C.716D.2366解析：选C因为点(a，b)是区域x＋y－2≤0，x＋1

≥0，y＋1≥0，内的随机点，所以a＋b－2≤0，a＋1≥0，b＋1≥0，作出可行域如图中三角形ABC所示，面积为8.因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，所以ba≤1，且a>0，即a≥b，且a>0，表示的平面区域为图中阴影部分

所示，面积S＝12×3×3－12×2×1＝72，所以函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率P＝728＝716.高考研究课(五)函数零点的命题3角度——求个数、定区间、求参数[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度函数零点的个数未考查函数零点定区间未考查已知函数零点求参数值或

范围5年2考已知零点求参数值或范围判断函数零点的个数[典例](1)函数f(x)＝x2＋x－2，x≤0，－1＋lnx，x＞0的零点个数为()A．3B．2C．7D．0(2)(郑州质量预测)已知函数f(x)＝12x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为()

A．1B．2C．3D．4[解析](1)用“直接法”解题67由f(x)＝0得x≤0，x2＋x－2＝0或x＞0，－1＋lnx＝0，解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．(2)用图象法解题作出g(x)＝12x与h(x)＝cosx的图象，可以看到其在[0,2

π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.[答案](1)B(2)C[方法技巧]函数零点个数的3种判断方法直接求零点令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点零点存在性定

理利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点利用图象交点的个数画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的

零点[即时演练]1．函数f(x)＝sin(πcosx)在区间[0,2π]上的零点个数是()A．3B．4C．5D．6解析：选C令f(x)＝0，得πcosx＝kπ(k∈Z)⇒cosx＝k(k∈Z)，所以k＝0,1，－1.若k＝0，则x＝π2或x＝3π2；若k＝1，则x＝0或x＝2π；若k＝－1，则x＝

π，故零点个数为5.2．若偶函数f(x)的图象关于x＝1对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数g(x)＝f(x)－lg|x|的零点个数为()A．14B．16C．18D．20解析：选C函数g(x)＝f(x)－lg|x|的零点个数，即为函数y＝f(x)的图象与y＝lg|x

|68的图象的交点个数，由偶函数f(x)的图象关于x＝1对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，作出函数y＝f(x)的图象与y＝lg|x|的图象如图所示，由图象可知，交点个数为18.3．函数f(x)＝ex＋12x－2的零点个数为________．解析：∵f′(x)＝ex＋12

>0，∴f(x)在R上单调递增，又f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－32>0，∴函数f(x)在定义域内有零点且只有一个．答案：1确定零点所在区间[典例](温州十校联考)设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在

的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[解析]法一：用“零点存在性定理”解题∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0，∴f(1)·f(2)<0，∵函数f(x)＝lnx＋x－2的图象是连续的，∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,

2)．法二：用“数形结合法”解题函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．[答案]B[方法技巧]确定函数f(x)的零点所在区间的2

种常用方法零点存在性定理首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点69数形结合法通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区

间上是否有交点来判断[即时演练]1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是()A．(－3，－1)和(2,4)B．(－3，－

1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2)D．(－1,3)和(4，＋∞)解析：选A由表格可得二次函数f(x)的对称轴为x＝12，a＞0.又∵f(－3)·f(－1)＜0，f(2)·f(4)＜0可得f(x)的零点所在区间为(－3，－1)和(2,4)

，即方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在区间是(－3，－1)和(2,4)．2．下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间(－1,1)内有零点的函数是()A．y＝－x3B．y＝2x－1C．y＝x2－12D．y＝log2(x＋2

)解析：选B由函数在定义域内是增函数，排除A、C；y＝log2(x＋2)，当x＝－1时，y＝0，所以函数在区间(－1,1)内没有零点，排除D，故选B.已知函数零点求参数值或范围已知函数零点求参数值或范围是常考内容，主要考查零点的应用及数形结合思想与等价转化思想的应用.常见的

命题角度有：已知零点求参数值；已知零点个数求参数范围；二次函数的零点应用问题.角度一：已知零点求参数值1．(吉林模拟)函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.解析：求函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值

，因为f(2)＝－1＋ln2，由于ln2<lne＝1，所以f(2)<0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.答案：2角度二：已知零点

个数求参数范围702．已知函数f(x)＝a·ex，x≤0，－lnx，x>0，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f(f(x))＝0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0)B．(－∞，0)∪(0,1)C．(0,1)D．(0

,1)∪(1，＋∞)解析：选B由f(f(x))＝0得f(x)＝1，作出函数f(x)的图象，如图所示，当a<0,0<a<1时，直线y＝1与函数f(x)的图象有且只有一个交点，所以实数a的取值范围是(－∞，

0)∪(0,1)，故选B.3．已知函数f(x)＝a－|x＋1|，x≤1，x－a2，x>1，函数g(x)＝2－f(x)，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则实数a的取值范围是________．解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，因为g(x)＝2－f(x)

，所以f(x)－g(x)＝2(f(x)－1)＝0，所以y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，即函数f(x)的图象与直线y＝1有4个不同的交点，所以观察图象可得a>1，a－2≤1，－a2>1，解得2<a≤3.答案：

(2,3]4．(山东高考)已知函数f(x)＝|x|，x≤m，x2－2mx＋4m，x＞m，其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．解析：作出f(x)的图象

如图所示．当x＞m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m2＜m，即m2－3m＞0.又m＞0，解得m＞3.答案：(3，＋∞)[方法技巧]由函数零点情况求参数的常用方法(1)直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再

通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．角度三：二次函数的零点应用问题715．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1

小，求实数a的取值范围．解：法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1

<0，即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.故实数a的取值范围为(－2,1)．法二：函数f(x)的大致图象如图所示，则有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得a2＋a－2<0，∴－2<a<1.故实数a的取值范围是(－2,1)．[方法技巧]解决与二次函数有关的零点问题的3种

方法(1)利用一元二次方程的求根公式；(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．1．(全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()A．－12B.13C.12D．1解析：选C法一：由f(x)

＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以

f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x)图象的对称轴．由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝12.法二：由f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.ex－1＋e－x＋1

≥2ex－1·e－x＋1＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．72－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．若a>0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝12.若a≤0，

则f(x)的零点不唯一．综上所述，a＝12.2．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为()A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)解析：

选B当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1有两个零点，不符合题意，故a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2a，由题意得a<0且f2a>0，解得a<－2，选B.3．(2014·山东高考)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)

＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A.0，12B.12，1C．(1,2)D．(2，＋∞)解析：选B在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交

点，结合图象可知，当直线y＝kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y＝x－1的斜率时符合题意，故12<k<1.一、选择题1．函数f(x)＝x13－12x的零点所在的区间是()A.0，14B.

14，13C.13，12D.12，1解析：选C由f(x)＝x13－12x＝0，则x13＝12x，得x＝18x，令g(x)＝x－18x，则g(x)73在R上单调递增，可得g

13＝13－12<0，g12＝12－24>0，因此f(x)零点所在的区间是13，12.2．(吉林白山模拟)已知函数f(x)＝2x，x>1，x2＋4x＋2，x≤1，则函数g(x)＝f(x)－x的零点为

()A．0B．－1，－2C．－1,0D．－2，－1,0解析：选B当x>1时，g(x)＝f(x)－x＝0，则2x－x＝0.∵x>1，∴此时方程无解；当x≤1时，g(x)＝f(x)－x＝x2＋3x＋2＝0，则x1＝－1或x2＝－2.综上，函数g(x)的零点为－1，－2.

3．已知函数f(x)＝15x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0<x1<x0，则f(x1)的值()A．恒为正值B．等于0C．恒为负值D．不大于0解析：选A因为函数f(x)＝15x－log3x在(0，＋

∞)上是减函数，所以当0<x1<x0时，有f(x1)>f(x0)．又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)＝0，所以f(x1)>0，即此时f(x1)的值恒为正值，选A.4．(玉溪统考)已知函数f(x)＝

x＋2，x>a，x2＋5x＋2，x≤a，函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．[－1,1)B．[0,2]C．[－2,2)D．[－1,2)解析：选D由题意知g(x)＝2－x，x>a，x

2＋3x＋2，x≤a，因为g(x)有三个不同的零点，所以2－x＝0在x>a时有一个解，由x＝2得a<2；由x2＋3x＋2＝0得x＝－1或x＝－2，则由x≤a得a≥－1.综上，a的取值范围为[－1,2)，所以选D.5．若y＝f(x)是定义在R上的

函数，且满足：①f(x)是偶函数；②f(x＋2)是偶函数；③当0<x≤2时，f(x)＝log2017x，当x＝0时，f(x)＝0，则方程f(x)＝－2017在区间(1,10)内的所有实数根之和为()A．0B．10C．12D．24解析：选D由f

(x＋2)是偶函数，得f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x)的图象关于x＝2对称．74又因为f(x)是偶函数，所以f(x)的图象关于x＝0对称，所以x＝2n(n是整数)是函数f(x)的对称轴．当0<x≤2时，由f(x)＝log2017x，当x＝0时，f(x)＝0，所以在区间(1,10)内，方程

f(x)＝－2017有4个根，关于x＝4对称的两个根之和为8，关于x＝8对称的两个根之和为16，所以方程f(x)＝－2017在区间(1,10)内的所有实数根之和为24.6．设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝lnx＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(

x)的零点，则()A．g(a)<0<f(b)B．f(b)<0<g(a)C．0<g(a)<f(b)D．f(b)<g(a)<0解析：选A依题意，f(0)＝－3<0，f(1)＝e－2>0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即0<a<1.g(1)＝－3<0，g(2)

＝ln2＋3>0，且函数g(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1<b<2，于是有f(b)>f(1)>0，g(a)<g(1)<0，g(a)<0<f(b)，选A.7．(安徽六安模拟)已知函数

f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2,2)上恰有一个零点，则实数m的取值范围是()A.－38，18B.－38，18C.－38，18D.－18，38解析：选D当m＝

0时，函数f(x)＝－x－1有一个零点x＝－1，满足条件．当m≠0时，函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2,2)上恰有一个零点，需满足①f(－2)·f(2)<0或②f－＝0，－2<14m<0或③f

＝0，0<14m<2.解①得－18<m<0或0<m<38；解②得m∈∅，解③得m＝38.综上可知－18<m≤38，故选D.8．定义域为R的函数f(x)＝lg|x－2|，x≠2，1，x＝2，若关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5

，则f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝()A．1B．3lg275C．2lg2D．0解析：选B由函数f(x)的解析式可知，函数f(x)的图象关于x＝2对称，因为关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，所以方程一定有一

个根为f(x)＝1，而另一个根f(x)≠1.根据f(x)的解析式可知，f(x)＝1有3个解，一个是2，另外两个关于x＝2对称，其和为4；而另一个根f(x)≠1，它有两个解关于x＝2对称，则这两个根的和为4，

所以这5个根的和为x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝10，所以f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＝f(10)＝lg|10－2|＝3lg2.二、填空题9．已知f(x)＝x＋3，x≤1，－x2＋2x＋

3，x>1，则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为________．解析：函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)＝f

(x)－ex有2个零点．答案：210．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1,1)上没有零点，所以a≠0.因为函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(

－1)·f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)·(3a－1)<0，解得13<a<1，所以实数a的取值范围是13，1.答案：13，111．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根在区间

(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，则m的取值范围为________．解析：由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，得f－＝2>0，f＝2m＋1

<0，f＝4m＋2<0，f＝6m＋5>0，解得m<－12，m>－56.即－56<m<－12.76故m的取值范围是－56，－12.答案：－56，－1212．已知函数f(x)＝|x－a|－3x＋a－2有且仅有三个零点，且

它们成等差数列，则实数a的取值集合为________．解析：f(x)＝x－3x－2，x≥a，－x－3x＋2a－2，x<a，当x≥a时，由x－3x－2＝0，得x1＝－1，x2＝3，结合图形知，①当a<－1时，x3，－1,3成等差数列，则x3＝－5，代入－x－3

x＋2a－2＝0得，a＝－95；②当－1≤a≤3时，方程－x－3x＋2a－2＝0，即x2＋2(1－a)x＋3＝0，设方程的两根为x3，x4，且x3<x4，则x3x4＝3，且x3＋3＝2x4，解得x4＝3±334，又x3＋x4＝2(

a－1)，所以a＝5＋3338.③当a>3时，显然不符合．所以a的取值集合为－95，5＋3338.答案：－95，5＋3338三、解答题13．(信阳模拟)已知函数f(x)＝log2(2

x＋1)．(1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；(2)若g(x)＝log2(2x－1)(x>0)，且关于x的方程g(x)＝m＋f(x)在[1,2]上有解，求m的取值范围．解：(1)证明：∵函数f(x)＝log2(2x＋1)，任取x1<x2，则f(

x1)－f(x2)＝log2(2x1＋1)－log2(2x2＋1)＝log22x1＋12x2＋1，77∵x1<x2，∴0<2x1＋12x2＋1<1，∴log22x1＋12x2＋1<0，∴f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)∵g(x)＝m＋f(x)，∴m＝g(x)

－f(x)＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)＝log22x－12x＋1＝log21－22x＋1.∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4，∴log213≤log21－22x＋1≤log235，故m的取值范围为log21

3，log235.14．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[－1,2]时，求函数的最大值和最小值；(3)若函数g(x)＝f(x)－mx的

两个零点分别在区间(－1，2)和(2,4)内，求m的取值范围．解：(1)由f(0)＝2，得c＝2，又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1，故2a＝2，a＋b＝－1，解得a＝1，b＝

－2，所以f(x)＝x2－2x＋2.(2)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，对称轴为x＝1∈[－1，2]，故f(x)min＝f(1)＝1，又f(－1)＝5，f(2)＝2，所以f(x)max＝f(－1)＝5.(3)g

(x)＝x2－(2＋m)x＋2，若g(x)的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，则满足g－，g，g⇒5＋m>0，2－2m<0，10－4m>0，解得1<m<52.所以m的取值范围为1，52.

781．已知函数f(x)满足f(x)＝f1x，当x∈[1,3]，f(x)＝lnx，若在区间13，3内，曲线g(x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围为()A.0，1eB.0，12eC.ln33，1eD.

ln33，12e解析：选C令x∈13，1，则1x∈[1,3]，所以f(x)＝f1x＝ln1x＝－lnx，因为在区间13，3内，曲线g(x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同的交点，所以在区间13，3内，曲线y＝f(x)与y＝ax有

三个不同的交点，作出两个函数的图象如图所示，当直线y＝ax过点(3，ln3)时，a＝ln33，两条曲线有三个交点；当直线y＝ax与曲线y＝f(x)相切于点P时，设P(s，t)，则f′(s)＝1s，则切线方程为y－lns＝1s(x－s)，又因为切线过原

点，所以0－lns＝1s(0－s)，则s＝e，则a＝1e，所以实数a的取值范围为ln33，1e.2．已知函数g(x)＝1x＋1－3，－1<x≤0，x2－3x＋2，0<x≤1，若方程g(x)－mx－m＝0有且仅有两个不等的实根，则实数m的

取值范围是()A.－94，－2∪[0,2]B.－114，－2∪[0,2]C.－94，－2∪[0,2)D.－114，－2∪[0,2)解析：选C由g(x)－mx－m＝0可得g(x)＝mx＋m，原方程有两个相异的实根等价于两个

函数y＝g(x)与y＝mx＋m的图象有两个不同的交点，易知y＝mx＋m过定点(－1,0)，作出两函数大致图象如图所示．79当m>0时，因为临界位置为y＝m(x＋1)过点(0,2)和(1,0)，分别求出这两个位置的斜率k1＝2和k2＝0，此时m∈[0,2)；当m<0时，过点

(－1,0)向函数g(x)＝1x＋1－3，－1<x≤0的图象作切线，设切点为(x0，y0)，则有g′(x)＝－1x＋2，得－1x0＋2＝y0x0＋1，y0＝1x0＋1－3，解得x0＝－13，y0＝－32，得切线的斜率为k1＝－94，而过点(－1,0)，(0，－2)的斜率为k

2＝－2，所以m∈－94，－2，即m∈－94，－2∪[0,2)．故选C.