【文档说明】通用版高考数学(文数)一轮复习第01单元《集合与常用逻辑用语》学案(含详解) .doc，共(38)页，494.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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1第一单元集合与常用逻辑用语第1课集__合[过双基]1．集合的含义及表示(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉.(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法

．(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且∃x0∈B，x0∉

AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆AA＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集∀x，x∉∅，∅⊆A∅3．集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，

且x∈B}A∩B并集属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B2补集全集U中不属于集合A的元素组成的集合{x|x∈U，且x∉A}∁UA4．集合问题中的几个基本结论(1)集合A是其本身的子集，即A⊆A；(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；(3)A∪A

＝A∩A＝A，A∪∅＝A，A∩∅＝∅，∁UU＝∅，∁U∅＝U.[小题速通]1．(江西临川一中期中)已知集合A＝{2,0,1,8}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2∉A}，则集合B中所有的元素之和为()A．2B．－2C．0D.2解析：选

B若k2－2＝2，则k＝2或k＝－2，当k＝2时，k－2＝0，不满足条件，当k＝－2时，k－2＝－4，满足条件；若k2－2＝0，则k＝±2，显然满足条件；若k2－2＝1，则k＝±3，显然满足条件；若k2

－2＝8，则k＝±10，显然满足条件．所以集合B中的元素为－2，±2，±3，±10，所以集合B中的元素之和为－2，故选B.2．(河北武邑中学期中)集合A＝{x|x2－7x<0，x∈N*}，则B＝y

6y∈N*，y∈A中元素的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选DA＝{x|x2－7x<0，x∈N*}＝{x|0<x<7，x∈N*}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝y6y∈N*，y∈A＝{1,2,3

,6}，则B中元素的个数为4个．3．(黄冈三模)设集合U＝{1,2,3,4}，集合A＝{x∈N|x2－5x＋4<0}，则∁UA等于()A．{1,2}B．{1,4}C．{2,4}D．{1,3,4}解析：选

B因为集合U＝{1,2,3,4}，集合A＝{x∈N|x2－5x＋4<0}＝{x∈N|1<x<4}＝{2,3}，所以∁UA＝{1,4}．4．(天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝()A．{2

}B．{1,2,4}C．{1,2,4,6}D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：选BA∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}．5．(衡水押题卷)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝log2(x＋

2)，x∈A}，则A∩B3为()A．(0,1)B．[0,1]C．(1,2)D．[1,2]解析：选D因为A＝{x|0≤x≤2}，所以B＝{y|y＝log2(x＋2)，x∈A}＝{y|1≤y≤2}，所以A∩B＝{x|1≤x≤2}．[清易错]1．在写集合的子集时，易忽

视空集．2．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．3．在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，易忽略A＝∅的情况．1．(西安质检)已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合

P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为()A．8B．4C．3D．2解析：选B由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个，故选B.2．已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|,2}，∁UA＝{a＋3}，则实数

a的值为________．解析：∵∁UA＝{a＋3}，∴a＋3≠2且a＋3≠|a＋1|且a＋3∈U，由题意，得a＋3＝3或a＋3＝a2＋2a－3，解得a＝0或a＝2或a＝－3，又∵|a＋1|≠2且AU，∴a≠0且a≠－3，∴a＝2.答案：23．设集

合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，集合B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是________．解析：由题意知A＝{2,3}，又A∩B＝B，所以B⊆A.当m＝0时，B＝∅，显然成立；当m≠0时，B＝1m⊆{2,3}，所以1m＝2或1m＝3，即m＝12或13.故m组

成的集合是0，12，13.答案：0，12，13[全国卷5年命题分析]4考点考查频度考查角度集合的基本概念5年2考集合的表示、集合元素的性质集合间的基本关系未考查集合的基本运算5年11考交、并、补运算，多与不等

式相结合集合的基本概念[典例](1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为()A．3B．4C．5D．6(2)(厦门模拟)已知P＝{x|2<x<k，x∈N}，若

集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为________．[解析](1)∵a∈A，b∈B，∴x＝a＋b为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8，共4个元素．(2)因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为5<k≤6.[答案](1)B(2)

(5,6][方法技巧]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注

意检验集合是否满足元素的互异性．[即时演练]1．(莱州一中模拟)已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为()A．2B．3C．4D．5解析：选CA＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤

1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.2．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－32，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不

满足题意；当m＝－32时，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，5故m＝－32.答案：－32集合间的基本关系[典例](1)已知集合A＝{x|0<x<3}，C＝{x|a<x<a＋1}，若C⊆A，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，0]∪[3，＋∞)C．[0,2]D．[

0,3](2)已知集合A＝{x|1≤x＜5}，B＝{x|－a<x≤a＋3}，若B⊆(A∩B)，则实数a的取值范围为________．[解析](1)∵C⊆A，∴a≥0，a＋1≤3，解得0≤a≤2，故实数

a的取值范围为[0,2]．(2)因为B⊆(A∩B)，所以B⊆A.①当B＝∅时，满足B⊆A，此时－a≥a＋3，即a≤－32；②当B≠∅时，要使B⊆A，则－a<a＋3，－a≥1，a＋3<5，解得－32<a≤－1.由①②可知，实数a的取值范围为(

－∞，－1]．[答案](1)C(2)(－∞，－1][方法技巧]已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析．[即时演练]

1．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若B⊆A，则m＝________.解析：由已知得A＝{x|x＝－2或x＝－1}，B＝{x|x＝－1或x＝－m}．

因为B⊆A，当－m＝－1，即m＝1时，满足题意；当－m＝－2，即m＝2时，满足题意，故m＝1或2.6答案：1或22．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，实数a的取值范围是(c，＋∞)，则c＝________.解

析：由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)，由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.答案：4集合的基本运算集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些

集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力.常见的命题角度有：求交集或并集；交、并、补的混合运算；集合运算中的参数范围；集合的新定义问题.角度一：求交集或并集1．(山东高考)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1,2)B

．(1,2]C．(－2,1)D．[－2,1)解析：选D由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．2．(浙江高考)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝()A．(－1,2)B．(0,1)C．(－1,0)D．(1,2)解析：

选A根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．角度二：交、并、补的混合运算3．设全集U＝R，集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩(∁UB)＝()A．(0,2]B．(－1,2]C．[－1,2]D．[2，＋∞)7解析：选D因为A＝

{x|x>0}，B＝{x|－1<x<2}，所以∁UB＝{x|x≤－1或x≥2}，所以A∩(∁UB)＝{x|x≥2}．4．若全集U＝R，集合A＝{x|1<2x<4}，B＝{x|x－1≥0}，则A∪(∁UB)＝________.解析：A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则∁UB＝{x|

x<1}，所以A∪(∁UB)＝{x|x<2}．答案：{x|x<2}角度三：集合运算中的参数范围5．(上海高考)设集合A＝{x||x－2|≤3}，B＝{x|x<t}，若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是________．解析：因为集合A＝{x|－1≤x≤5}，B＝

{x|x<t}，且A∩B＝∅，所以t≤－1，即实数t的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]角度四：集合的新定义问题6．设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，则M－(M－P)＝()A．PB．M∩PC．M∪PD．M解析：选B设全集U，由题意可

得M－P＝M∩(∁UP)，所以M－(M－P)＝M∩P.7．对于集合M，定义函数fM(x)＝－1，x∈M，1，x∉M，对于两个集合A，B，定义集合AΔB＝{x|fA(x)·fB(x)＝－1}．已知A＝{2,4,6,8,10}，B＝{

1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合AΔB的结果为________．解析：由题意知当x∈A且x∉B或x∈B且x∉A时，有fA(x)·fB(x)＝－1成立，所以AΔB＝{1,6,10,12}．答案：{1

,6,10,12}[方法技巧]解集合运算问题4个注意点(1)看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简

单明了、易于解决．(3)应用数形常用的数形结合形式有数轴和Venn图．8(4)创新性问题以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决．1．(全国卷Ⅰ)已知集合A

＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则()A．A∩B＝{x|x<0}B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1}D．A∩B＝∅解析：选A∵集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，故选A.2．(全国卷Ⅱ)已知集合A＝

{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝()A．{1}B．{1,2}C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}解析：选C因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{

0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．3．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝()A．(－1,3)B．(－1,0)C．(0,2)D．(2,3)解析：选A将集合A与集合B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B

＝(－1,3)，故选A.4．(2014·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝()A．∅B．{2}C．{0}D．{－2}解析：选B因为B＝{x|x2－x－2＝0}

＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，所以A∩B＝{2}，故选B.5．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆AD.A⊆B解析：选B因为集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x

＞2或x＜0}∪{x|－5＜x＜5}＝R，故选B.9一、选择题1．(北京高考)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝()A．{x|－2<x<－1}B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<

1}D．{x|1<x<3}解析：选A由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2<x<－1}．2．设集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|2x∈N}，则A∩B中元素的个数为()A．3B．4C．5D．6解析：选D因为A＝{x|－3<x<3}，B＝{x|2x∈N}，所以由2x∈N可得A∩B

＝0，12，1，32，2，52，其元素的个数是6.3．(全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3B．2C．1D．0解析：选B因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线

y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.4．设集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝()A．(－1，＋∞)B．(－∞，3)C．(0,3)D．(－1,3)解析：选A因为集合A

＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x>0}，所以A∪B＝{x|x>－1}．5．(全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3}B．

{1,0}C．{1,3}D．{1,5}解析：选C因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．6．设集合A＝{－

1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是()A．7B．10C．25D．52解析：选B因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A

∩B，可知x可取0,1；10由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：xy－101230(0，－1)(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)1(1，－1)(1,0)(1,1)(1,2)(

1,3)所以A*B中的元素共有10个．7．(吉林一模)设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B中只有一个元素，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．[0,1)C．[1，＋∞)D．(－∞，1]解析：

选B由题意知，集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，画出数轴(如图所示)．若A∩B中只有一个元素，则0≤a<1，故选B.8．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝()A．{x|0<

x<1}B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2}D．{x|2≤x<3}解析：选B由log2x<1，得0<x<2，所以P＝{x|0<x<2}．由|x－2|<1，得1<x<3，所以Q＝{x|1<x<3}．由题意，得P－Q＝{x|0<x

≤1}．二、填空题9．(辽宁师大附中调研)若集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则实数a的值为________．解析：由题意知，集合A有且仅有两个子集，则集合A中只有一个元素．当a－

1＝0，即a＝1时，A＝23，满足题意；当a－1≠0，即a≠1时，要使集合A中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a－1)＝0，解得a＝－18.综上可知，实数a的值为1或－18.答案：1或－1810．已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x－1≥1}．若A∩B是集合{x|x

≥a}的子集，则实数a的取值范围为________．11解析：∵由x－1≥1，得x≥2，∴B＝{x|x≥2}．∵A＝{x|1≤x≤3}，∴A∩B＝{x|2≤x≤3}．若集合A∩B＝{x|2≤x≤3}是集合{x|x≥a}的子集，则a≤2.答案：(－∞，2]11．(贵阳监测)已知

全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是全集U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.(用列举法表示)解析：假设a1∈A，则a2∈A，由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，故假设不成立

；假设a4∈A，则a3∉A，a2∉A，a1∉A，故假设不成立．故集合A＝{a2，a3}．答案：{a2，a3}12．(北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第

三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种；②这三天售出的商品最少有________种．解析：设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第

二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示．由图可知：①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x)－x＝16(种)．②这三天售出的商品有(16－y)＋y＋x＋(3－x)＋(6＋x)＋(4－x)＋(14－y)＝43－y(种)．由于16－

y≥0，y≥0，14－y≥0，所以0≤y≤14.所以(43－y)min＝43－14＝29.答案：①16②29三、解答题13．已知A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|m≤x<1＋3m}．(1)当m＝1时，求A∪B；(2)若B

⊆∁RA，求实数m的取值范围．解：(1)因为m＝1时，B＝{x|1≤x<4}，所以A∪B＝{x|－1<x<4}．(2)∁RA＝{x|x≤－1或x>3}．12当B＝∅时，则m≥1＋3m，得m≤－12，满足B⊆∁RA，当B≠∅时，要使B⊆∁RA，须满足m<1＋3m，1＋3m≤－1或

m<1＋3m，m>3，解得m>3.综上所述，m的取值范围是－∞，－12∪(3，＋∞)．14．记函数f(x)＝2－x＋3x＋1的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B.(1)求A；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．解

：(1)由2－x＋3x＋1≥0，得x－1x＋1≥0，解得x<－1或x≥1，即A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．(2)由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0，∵a<1，∴a＋1>2a，∴B＝(2a

，a＋1)，∵B⊆A，∴2a≥1或a＋1≤－1，即a≥12或a≤－2，∵a<1，∴12≤a<1或a≤－2，∴实数a的取值范围是(－∞，－2]∪12，1.1．已知定义域均为{x|0≤x≤2}的函数

f(x)＝xex－1与g(x)＝ax＋3－3a(a>0)，设函数f(x)与g(x)的值域分别为A与B，若A⊆B，则a的取值范围是()A．[2，＋∞)B．[1,2]C．[0,2]D．[1，＋∞)解析：选

B因为f′(x)＝1－xex－1，所以f(x)＝xex－1在[0,1)上是增函数，在(1,2]上是减函数，又因为f(1)＝1，f(0)＝0，f(2)＝2e，所以A＝{x|0≤x≤1}；由题意易得B＝[3－3a,3－a]，因为[0,1]⊆[3

－3a,3－a]，13所以3－3a≤0且3－a≥1，解得1≤a≤2.2．已知集合A＝{x|x2－2018x＋2017<0}，B＝{x|log2x<m}，若A⊆B，则整数m的最小值是________．解析：由x2－2018x＋2017<0，解得1<x<2017，故A＝{x|1<x<

2017}．由log2x<m，解得0<x<2m，故B＝{x|0<x<2m}．由A⊆B，可得2m≥2017，因为210＝1024,211＝2048，所以整数m的最小值为11.答案：11第2课命题及其关系__充分条件与必要条件[过双基]1．命题概念使用

语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句特点(1)能判断真假；(2)陈述句分类真命题、假命题2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0

,2,4.3．充要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为Bp是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pA是B的真子集集合与充要条件p是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pB

是A的真子集p是q的充要条件p⇔qA＝Bp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/pA，B互不包含14[小题速通]1．命题“若a>b，则ac>bc”的逆否命题是()A．若a>b，则ac≤bcB．若ac≤bc，则a≤bC．若a

c>bc，则a>bD．若a≤b，则ac≤bc解析：选B由逆否命题的定义可知，答案为B.2．已知命题p：对于x∈R，恒有2x＋2－x≥2成立；命题q：奇函数f(x)的图象必过原点，则下列结论正确的是()A．p∧q为真B．(綈p)∨q为真C．p∧(綈q)为真D．(綈p)∧q为真解析：选C由指数函

数与基本不等式可知，命题p是真命题；当函数f(x)＝1x时，是奇函数但不过原点，则可知命题q是假命题，所以p∧(綈q)是真命题，故选C.3．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是()

A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[－3，＋∞)D．(－∞，－3)解析：选A法一：设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a≥1.法二：令a＝－3，则q：x>－3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B、C；同理，取a＝－4

，排除D，选A.4．已知命题p：x≠π6＋2kπ，k∈Z；命题q：sinx≠12，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B令x＝5π6，则sinx＝12，即p⇒/q；当sinx≠12时，x≠π6＋2kπ或5π6

＋2kπ，k∈Z，即q⇒p，因此p是q的必要不充分条件．[清易错]1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/B)两者的不同．1．“若x，y∈R且x2＋y

2＝0，则x，y全为0”的否命题是()A．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y全不为0B．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y不全为0C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2＋y2＝015D．若x，y∈R且xy

≠0，则x2＋y2＝0解析：选B原命题的条件：x，y∈R且x2＋y2＝0，结论：x，y全为0.否命题是否定条件和结论．即否命题：“若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y不全为0”．2．设a，b∈R，函数f(x)＝ax＋b(0

≤x≤1)，则f(x)>0恒成立是a＋2b>0成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A充分性：因为f(x)>0恒成立，所以f＝b>0，f＝a＋b

>0，则a＋2b>0，即充分性成立；必要性：令a＝－3，b＝2，则a＋2b>0成立，但是，f(1)＝a＋b>0不成立，即f(x)>0不恒成立，则必要性不成立．所以答案为A.[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度四种命题的相互关系及真假判断5年1考命

题的真假判断充分条件、必要条件5年1考充要条件的判断命题的相互关系及真假性[典例](1)(西安八校联考)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题

D．否定(2)原命题为“若an＋an＋12<an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的依次判断正确的是()A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假[解析](1)命题p：“正数a的平方

不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．(2)原命题是：“若an＋1<an，n∈N*，则{an}为递减数列”为真命题，则其逆否命题为真，逆命题是：“若{an}为递减数列，n∈N*，则an＋1<an”为真命题，所以否命题也为真命题．[答案](1)B(2)A16[方法

技巧]命题的关系及真假判断(1)在判断命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．(2)判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；

二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．[即时演练]1．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β

的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③解析：选A命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的

条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确．2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3B．2C．1D．0解析：选C易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命

题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．充分、必要条件的判定[典例](1)(浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．

充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)设α：1≤x≤3，β：m＋1≤x≤2m＋4，m∈R，若α是β的充分条件，则m的取值范围是________．[解析](1)因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1

＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5.(2)若α是β的充分条件，则α对应的集合是β对应集合的子集，则m＋1≤1，2m＋4≥3，解得－12≤m≤0.17[答案](1)C(2)－12，0[方法技巧]充要条件的

3种判断方法定义法直接判断若p则q，若q则p的真假等价法即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法集合法即设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，

则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件[即时演练]1．(四川高考)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分

条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵x>1，y>1，∴x＋y>2，即p⇒q.而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3>2，但不满足x>1且y>1，即q⇒/p．故p是q的充分不必要条件．2．已知m，n∈R，则“mn

<0”是“抛物线mx2＋ny＝0的焦点在y轴正半轴上”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C若“mn<0”，则x2＝－nmy中的－nm>0，所以“抛物线mx2＋ny＝0的焦点在y轴正半轴上”成立，是充分条件

；反之，若“抛物线mx2＋ny＝0的焦点在y轴正半轴上”，则x2＝－nmy中的－nm>0，即mn<0，则“mn<0”成立，故是充要条件.根据充分、必要条件求参数的范围根据充分条件、必要条件求参数的范围是对充分条件、必要条件与集合之间关系的深层次考查．此类题的解决方法一般有两种：(1)直接法：先

求出p，q为真命题时所对应的条件，然后表示出綈p与綈q，把綈p与綈q所对应的关系转化为綈p与綈q所对应集合之间的关系，列出参数所满足的条件求解；(2)等价转化法，把綈p，綈q的关系转化为p，q的关系．18[典例](安徽黄山调研)已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)

x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．[解析]由2x2－3x＋1≤0，得12≤x≤1，∴条件p对应的集合P＝x12≤x≤1.由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，∴条件q对应的集合为Q＝{x|a

≤x≤a＋1}．法一：用“直接法”解题綈p对应的集合A＝xx>1或x<12，綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x<a}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，即BA，∴a<12，a＋1≥1或a≤12，a＋1>1，∴0≤a≤1

2.即实数a的取值范围是0，12.法二：用“等价转化法”解题∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴根据原命题与逆否命题等价，得p是q的充分不必要条件．∴p⇒q，即PQ⇔a<12，a＋1≥1或a≤12，a＋1>1，解得0≤a≤12.即实数a的

取值范围是0，12.[答案]0，12[方法技巧]根据充分、必要条件求参数范围的2个注意点(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间

关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．19[

即时演练]1．(安阳调研)已知p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．若p是綈q的充分条件，则实数m的取值范围是________．解析：∵A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}，∴∁RB＝{x|x<m－2

或x>m＋2}．∵p是綈q的充分条件，∴A⊆∁RB，∴m－2>3或m＋2<－1，∴m>5或m<－3.答案：(－∞，－3)∪(5，＋∞)2．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为____

____．解析：由x2>1，得x<－1，或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.答案：－11．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(

x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选C当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点

，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．2．(天津高考)设θ∈R，则“θ－π12<π12”

是“sinθ<12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A法一：由θ－π12<π12，得0<θ<π6，故sinθ<12.由sinθ<12，得－7π6＋2kπ<θ<π6＋2kπ，k∈Z，推不出“θ－π1

2<π12”．故“θ－π12<π12”是“sinθ<12”的充分而不必要条件．法二：θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒sinθ<12，而当sinθ<12时，取θ＝－π6，－π6－π1220＝π4>π12.故“

θ－π12<π12”是“sinθ<12”的充分而不必要条件．3．(北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选D若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四

边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|

a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．4．(2015·陕西高考)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也

不必要条件解析：选Acos2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cosα＝±sinα.由cosα＝sinα可得到cos2α＝0，反之不成立，故选A.5．(2015·重庆高考)“x＞1”是“log12(x＋2)＜0”的()A．充要条件

B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B∵x＞1⇒log12(x＋2)＜0，log12(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，∴“x＞1”是“log12(x＋2)＜0”的充分而不必要条件．一、选择题1．命题“若α＝π4，则t

anα＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tanα≠1B．若α＝π4，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α＝π4D．若tanα≠1，则α≠π4解析：选D逆否命题是将原命题中的条件与结论都否定后再交换位置即可．21所以逆否命题为：若tanα≠1，则α≠π4.2．在

命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是()A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真解析：选D对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真

命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也

是假命题．故选D.3．“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”是“0<b<1”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交可得|b|2<1，所以－2<b<2，因此，“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交

”⇒/“0<b<1”，但“0<b<1”⇒“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”．故选C.4．命题p：“∀x>e，a－lnx<0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≤1B．a<1C．a≥1D．a>1解析：选B由题意知∀x>e，a<lnx恒成立，

因为lnx>1，所以a≤1，故答案为B.5．a2＋b2＝1是asinθ＋bcosθ≤1恒成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为a2＋b2＝1，所以设a＝cosα，b＝sinα，则asinθ＋bcosθ＝s

in(α＋θ)≤1恒成立；当asinθ＋bcosθ≤1恒成立时，只需asinθ＋bcosθ＝a2＋b2sin(θ＋φ)≤a2＋b2≤1即可，所以a2＋b2≤1，故不满足必要性．6．若向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的()A．充

分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若“a⊥b”，则a·b＝(x－1，x)·(x＋2，x－4)＝(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝2x2－3x－2＝0，则x＝2或x＝－12；若“x＝2”，则a·b＝0，即“a⊥b”，所以“a⊥b”是“x＝

2”的必要不充分条件．7．在△ABC中，“sinA－sinB＝cosB－cosA”是“A＝B”的()22A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B在△ABC中，当A＝

B时，sinA－sinB＝cosB－cosA显然成立，即必要性成立；当sinA－sinB＝cosB－cosA时，则sinA＋cosA＝sinB＋cosB，两边平方可得sin2A＝sin2B，则A＝B或A＋B＝π2，即充分性不成立．则在△ABC中，“sinA－sinB＝cos

B－cosA”是“A＝B”的必要不充分条件．8．设m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中不正确的是()A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”的充要条件B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分

不必要条件C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件解析：选C由垂直于同一条直线的两个平面平行可知，A正确；显然，当m⊂α时，“m⊥β”⇒“α⊥β”；当m⊂α时，“α⊥β”⇒/“m⊥β”，故B正

确；当m⊂α时，“m∥n”⇒/“n∥α”，n也可能在平面α内，故C错误；当m⊂α时，“n⊥α”⇒“m⊥n”，反之不成立，故D正确．二、填空题9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析：其中原命题和逆否命题为

真命题，逆命题和否命题为假命题．答案：210．下列命题正确的序号是________．①命题“若a>b，则2a>2b”的否命题是真命题；②命题“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是真命题；③若p是q的充分不必要条件

，则綈p是綈q的必要不充分条件；④方程ax2＋x＋a＝0有唯一解的充要条件是a＝±12.解析：①否命题“若2a≤2b，则a≤b”，由指数函数的单调性可知，该命题正确；②由互为逆否命题真假相同可知，该命题为真

命题；由互为逆否命题可知，③是真命题；④方程ax2＋x＋a＝0有唯一解，则a＝0或Δ＝1－4a2＝0，a≠0，求解可得a＝0或a＝±12，故④是假命题．答案：①②③11．已知集合A＝x1

2<2x<8，x∈R，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一23个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．解析：A＝x12<2x<8，x∈R＝{x|－1<x<3}，∵x∈B成立的一个充分

不必要条件是x∈A，∴AB，∴m＋1>3，即m>2.答案：(2，＋∞)12．给出下列四个结论：①若am2<bm2，则a<b；②已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，若变量y与z正相关，则x与z负相关；③“已知直线m，n和平面α，β，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β

”为真命题；④m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充分不必要条件．其中正确的结论是________(填序号)．解析：由不等式的性质可知，①正确；由变量间相关关系可知，当变量y和z是正相关时，x与z负相关，故②正确；③由已知条件，不能判断α与β的位置关

系，故③错误；④当m＝3时，直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直；当直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直时，(m＋3)m－6m＝0，则m＝3或m＝0，即m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互

相垂直的充分不必要条件，则④正确．答案：①②④三、解答题13．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不

等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．14．

已知集合A＝yy＝x2－32x＋1，x∈34，2，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．解：y＝x2－32x＋1＝x－342＋716，∵x∈34，2，∴716≤y≤2，24∴A＝y

716≤y≤2.由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A⊆B，∴1－m2≤716，解得m≥34或m≤－34，故实数m的取值范围是－∞，－34∪

34，＋∞.1．下列四个命题中，①命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”；②“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件；③命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的

逆命题为真命题；④命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0且n≠0”；⑤对空间任意一点O，若满足OP―→＝34OA―→＋18OB―→＋18OC―→，则P，A，B，C四点

一定共面．其中真命题的为________．(填序号)解析：①命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”，故①正确；②x＝4⇒x2－3x－4＝0；由x2－3x－4＝0，解得x＝－1或x＝4.∴“x＝4”是“x2－3x－4＝

0”的充分不必要条件，故②正确；③命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”，是假命题，如m＝0时，方程x2＋x－m＝0有实根，故③错误；④命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n

≠0”，故④错误；⑤∵34＋18＋18＝1，∴对空间任意一点O，若满足OP―→＝34OA―→＋18OB―→＋18OC―→，则P，A，B，C四点一定共面，故⑤正确．答案：①②⑤2．已知p：－x2＋4x＋12≥0，q：x2－2x

＋1－m2≤0(m>0)．(1)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________；(2)若“綈p”是“綈q”的充分条件，则实数m的取值范围为________．25解析：由题知，p为真时，－2≤x≤6，q为真时，1－m≤x≤1＋m，令P＝{x|－2≤x≤6}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋

m}．(1)∵p是q的充分不必要条件，∴PQ，∴1－m≤－2，1＋m>6或1－m<－2，1＋m≥6，解得m≥5，∴实数m的取值范围是[5，＋∞)．(2)∵“綈p”是“綈q”的充分条件，∴“p”是“q”的必要条件，∴Q⊆

P，∴1－m≥－2，1＋m≤6，m>0，解得0<m≤3，∴实数m的取值范围是(0,3]．答案：(1)[5，＋∞)(2)(0,3]第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[过双基]1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真

假假假假真2．全称量词与存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等∃3．全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有存在M中的一个x0，使p(x0)26p(x)成立成立简

记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)[小题速通]1．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈

p)∨q中，真命题的是()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：选C当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．故①p∧q为假命题；②p∨q为真

命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．2．若命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则在下列命题中真命题的是()A．p∧(綈q)B．(綈p)∧(綈q)C

．(綈p)∧qD．p∧q解析：选A由指数函数的性质可知，命题p是真命题，则命题綈p是假命题；显然，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，即命题q是假命题，命题綈q是真命题．所以命题p∧(綈q)是真命题．3．命题“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”的否定为()A．∃x0∈R，x20＋x

0＋1≥0B．∃x0∈R，x20＋x0＋1<0C．∀x∈R，x2＋x＋1≤0D．∀x∈R，x2＋x＋1<0解析：选B原命题∀x∈R，x2＋x＋1≥0为全称命题，所以原命题的否定为：∃x0∈R，x20＋x0＋1<0.4．若命题p：∃x0，y0∈Z，x20＋y

20＝2018，则綈p为()A．∀x，y∈Z，x2＋y2≠2018B．∃x0，y0∈Z，x20＋y20≠2018C．∀x，y∈Z，x2＋y2＝2018D．不存在x，y∈Z，x2＋y2＝2018解析：选A原命题为特称命题，故其

否定为全称命题，即綈p：∀x，y∈Z，x2＋y2≠2018.[清易错]1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．2．p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”．1．命题“全等

三角形的面积一定都相等”的否定是()27A．全等三角形的面积不一定都相等B．不全等三角形的面积不一定都相等C．存在两个不全等三角形的面积相等D．存在两个全等三角形的面积不相等解析：选D命题是省略量词的全称命题，易知选D.2．已知命题p

：∀x<1，都有log12x<0，命题q：∃x0∈R，使得x20≥2x0成立，则下列命题是真命题的是()A．p∨(綈q)B．(綈p)∧(綈q)C．p∨qD．p∧q解析：选C由题知，命题p为假，q为真，则p∨q为真，选C.[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查

角度简单的逻辑联结词未考查全称量词、存在量词5年2考线性规划与量词命题的判断，特称命题的否定含逻辑联结词的命题的真假判断[典例]已知命题p：∃x0∈R，使x20＋2x0＋5≤4；命题q：当x∈0，π2时，f(x)＝sinx＋4sinx的最小值为4，下列命

题是真命题的是()A．p∧qB．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧qD．p∧(綈q)[解析]令x＝－1，可得x2＋2x＋5≤4成立，故命题p是真命题；令sinx＝t，因为x∈0，π2，所以0<t<1，设y＝t＋4t，则y′＝

1－4t2<0，即函数y＝t＋4t在(0,1)上是减函数，所以y>5，即f(x)>5，故命题q是假命题，因此綈p是假命题，綈q是真命题，所以p∧(綈q)是真命题．[答案]D[方法技巧]1．“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题

真假的判断步骤28(1)确定命题的构成形式；(2)判断命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假．2．复合命题真假判断常用的方法(1)直接法：即判断出p，q的真假，再判断复合命题的真假．(2)特

殊值法：从题干出发通过选取特殊情况代入，作出判断．特殊情况可能是特殊值、特殊函数、特殊点、特殊位置、特殊向量等．(3)数形结合法：根据题设条件作出研究问题的有关图形，利用图形作出判断，从而确定正确答案．[即时演练]1．已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，sinx＝x＋1x，命题q：∃x0∈R，πx0

<1，则下列命题为真命题的是()A．p∧(綈q)B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧qD．p∧q解析：选C法一：命题p：∀x∈(0，＋∞)，sinx＝x＋1x，令x＝1，则sin1<1＋1，故命题p是假命

题，因此命题綈p是真命题；命题q：∃x0∈R，πx0<1，令x＝－1，则π－1<1，命题q是真命题，命题綈q是假命题，故命题(綈p)∧q是真命题．法二：因为x∈(0，＋∞)，所以sinx∈[－1,1]，x＋1x≥2x·1x＝2，则sinx<x＋1x，故命题p是假命题，因此命题綈p是真命题；命

题q：∃x0∈R，πx0<1，令x＝－1，则π－1<1，命题q是真命题，命题綈q是假命题，故命题(綈p)∧q是真命题．2．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立；命题q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，则实数a的

取值范围为________．解析：p为真：Δ＝4a2－16<0，解得－2<a<2；q为真：3－2a>1，解得a<1.∵p或q为真，p且q为假，∴p，q一真一假．当p真q假时，－2<a<2，a≥1⇒1≤a<2；当p假q真时，a≥2或a≤－2

，a<1⇒a≤－2.∴实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[1,2)．答案：(－∞，－2]∪[1,2)29全称命题与特称命题全称命题与特称命题是高考的常考内容，题型多为选择题，难度较小，属低档题.常见的命题角度有：全称命题、特称命题的否定；全称命题、特称命题的真假判断.角度一：全称命题、特称命题的否

定1．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则綈p为()A．∃x0∈R，sinx0≤1B．∀x∈R，sinx>1C．∀x∈R，sinx≥1D．∃x0∈R，sinx0>1解析：选D由于全称命题的否定是特称命题，且命

题p是全称命题，所以命题綈p为∃x0∈R，sinx0>1.角度二：全称命题、特称命题的真假判断2．下列命题为假命题的是()A．∀x∈R,3x>0B．∃x0∈R，lgx0＝0C．∀x∈0，π2，x>sinxD．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝3解析：选D

由指数函数的性质可知，∀x∈R,3x>0成立，故A是真命题；令x0＝1，则lgx0＝0，故B是真命题；令f(x)＝x－sinx，f′(x)＝1－cosx>0，即函数f(x)＝x－sinx在0，π2上是增函数，所以f(x)>f(0)＝0，所以x>sinx，故C是真命题；

因为sinx0＋cosx0＝2sinx0＋π4≤2，故D是假命题．[方法技巧]1．全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成

立即可．2．特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．30根据命题的真假求参数的取值范围[典例]若∃x0∈12，2，使得2x20－λx0＋1<0成立是假命题，则实

数λ的取值范围是()A．(－∞，22]B．(22，3]C.22，92D．{3}[解析]因为∃x0∈12，2，使得2x20－λx0＋1<0成立是假命题，所以∀x∈12，2，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即

∀x∈12，2，使得λ≤2x＋1x恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋1x，则f′(x)＝2－1x2，当x∈12，22时，f′(x)<0，当x∈22，2时，f′(x)>0，所以f(x)≥f22＝2

2，则λ≤22.[答案]A[方法技巧]根据命题真假求参数的3步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况，

求出参数的取值范围．[即时演练]1．已知a>0，且a≠1，命题p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减，命题q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若“p∨q”为假，则a的取值

范围为()A.1，52B.－∞，12∪1，52C.12，52D.12，1∪52，＋∞解析：选A当0<a<1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a>1时，函数

y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的．若p为假，则a>1.曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点等价于(2a－3)2－4>0，即a<12或a>52.若q为假，则a∈12，52.若使“p∨q”为假，则a∈(1，＋∞)∩

12，52，即a∈1，52.2．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________．31解析：“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当k＝0时，则有－1<0；当k≠0时，则有k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0

，解得－4<k<0，综上所述，实数k的取值范围是(－4,0]．答案：(－4,0]1．(浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃

x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2解析：选D由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．2．(20

15·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为()A．∀n∈N，n2>2nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n解析：选C因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”

，故选C.3．(山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∧綈qC．綈p∧qD．綈p∧綈q解析：选B当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－

2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．4．(2014·重庆高考)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A．p∧綈qB．綈p∧qC．

綈p∧綈qD．p∧q解析：选A命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题，选A.5．(2013·全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q

B．綈p∧qC．p∧綈qD．綈p∧綈q32解析：选B容易判断当x≤0时2x≥3x，命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图象，易知命题q为真命题．根据真值表易判断綈p∧q为真命题．6．(2015·山东高考)若“∀x

∈0，π4，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．解析：∵0≤x≤π4，∴0≤tanx≤1，又∵∀x∈0，π4，tanx≤m，故m≥1，即m的最小值为1.答案：1一、选择题1．下列命题为真命题的是()A．若

ac>bc，则a>bB．若a2>b2，则a>bC．若1a>1b，则a<bD．若a<b，则a<b解析：选D由ac>bc，当c<0时，有a<b，选项A错误；若a2>b2，不一定有a>b，如(－3)2>(－2)2，但－3<－2，选项B错误；若1a>1b，不

一定有a<b，如12>－13，但2>－3，选项C错误；若a<b，则(a)2<(b)2，即a<b，选项D正确．2．给出以下四个命题：命题p1：存在x∈R，x－2>lgx成立；命题p2：不存在x∈(0,1)，使不等式log2x<log

3x成立；命题p3：对任意的x∈(0,1)，不等式log2x<log3x成立；命题p4：对任意的x∈(0，＋∞)，不等式log2x<1x成立．其中的真命题有()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4解析：

选Ap1中取x＝10，则有10－2>lg10，故命题p1为真命题；由对数函数的性质知，p2为假命题，p3为真命题；p4中取x＝4不等式不成立，故选A.3．(石家庄一模)命题p：若sinx>siny，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列

命题为假命题的是()A．p或qB．p且q33C．qD．綈p解析：选B取x＝π3，y＝5π6，可知命题p是假命题；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．4．(唐山模拟)已知命题p：∃x0∈N，x30<x20；命题q：∀a∈(0,1)∪(

1，＋∞)，函数f(x)＝loga(x－1)的图象过点(2,0)，则()A．p假q真B．p真q假C．p假q假D．p真q真解析：选A由x30<x20，得x20(x0－1)<0，解得x0<0或0<x0<1，在这个范围内没有自然数，∴命题p为假命题；∵对任意的a∈(0,1)∪(1，

＋∞)，均有f(2)＝loga1＝0，∴命题q为真命题．5．下列命题中，假命题的是()A．∃x0∈R，lnx0<0B．∀x∈(－∞，0)，ex>0C．∀x>0,5x>3xD．∃x0∈(0，＋∞)，12x0<13x0解析：选D令x0＝

1e，则lnx0＝－1<0，故A正确；由指数函数的性质可知，B、C正确．因此答案为D.6．(河北六校联考)命题p：∃a0∈－∞，－14，使得函数f(x)＝x＋a0x＋1在12，3上单调递增；命题q：函数g(x)＝x＋log2x在

区间12，＋∞上无零点．则下列命题中是真命题的是()A．綈pB．p∧qC．(綈p)∨qD．p∧(綈q)解析：选D设h(x)＝x＋ax＋1.当a＝－12时，函数h(x)在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)

上为增函数，且h12＝16>0，则函数f(x)在12，3上必单调递增，即p是真命题；∵g12＝－12<0，g(1)＝1>0，∴g(x)在12，＋∞上有零点，即

q是假命题，故选D.7．命题p：“∃x0∈0，π4，sin2x0＋cos2x0<a”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，2]34C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)解析：选A因为命题p：“∃x0∈0，π4，sin2

x0＋cos2x0<a”是假命题，所以命题綈p：“∀x∈0，π4，sin2x＋cos2x≥a”是真命题，即(sin2x＋cos2x)min≥a，因为sin2x＋cos2x＝2sin2x＋

π4，且π4≤2x＋π4≤3π4，所以sin2x＋cos2x≥1，则a≤1.8．(贵阳期末)下列说法正确的是()A．命题“∀x∈R，ex>0”的否定是“∃x0∈R，ex0>0”B．命题“已知x，y∈R，若

x＋y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题是真命题C．“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”D．命题“若a＝－1，则函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的逆命题为真命题解析：

选BA：命题的否定是“∃x0∈R，ex0≤0”，∴A错误；B：逆否命题为“已知x，y∈R，若x＝2且y＝1，则x＋y＝3”，易知为真命题，∴B正确；C：分析题意可知，不等式两边的最值不一定在同一个点取到，故C错误；D：若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则：①a＝0，符合题意；②a≠

0，Δ＝4＋4a＝0，a＝－1，故逆命题是假命题，∴D错误．二、填空题9．命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是____________________．答案：∃x0∈R，cosx0>110．给出下列命题：①∀x∈R，x2＋1>0；②∀x∈N，x2≥1；③∃x0∈Z，x30<1；④

∃x0∈Q，x20＝3；⑤∀x∈R，x2－3x＋2＝0；⑥∃x0∈R，x20＋1＝0.其中所有真命题的序号是________．解析：①显然是真命题；②中，当x＝0时，x2<1，故②是假命题；③中，当x＝0时，x3<1，故③是真命题；

④中，对于任意的x∈Q，x2＝3都不成立，故④是假命题；⑤中，只有当x＝1或x＝2时，x2－3x＋2＝0才成立，故⑤是假命题；⑥显然是假命题．综上可知，所有真命题的序号是①③.答案：①③11．已知命题p：x2＋2x－3>0，命题q：13－x>1

，若“(綈q)∧p”为真，则x的取值范围是________．解析：命题p：x>1或x<－3；35由13－x>1，求解可得命题q：2<x<3，则命题綈q：x≥3或x≤2，因为“(綈q)∧p”为真，所以x≥3或x≤2，x>1或x<－3，解得x≥3或x<－

3，所以x的取值范围是(－∞，－3)∪[3，＋∞)．答案：(－∞，－3)∪[3，＋∞)12．给定两个命题，p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，则实数a的取值范围是________．解析：对任意实数x都有ax

2＋ax＋1>0恒成立⇒a＝0或a>0Δ＝a2－4a<0⇒0≤a<4；关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇒1－4a≥0⇒a≤14；若p真q假，则有0≤a<4，且a>14，∴14<a<4；若p假q真，则有a<0或a≥4，且a

≤14，∴a<0，所以实数a的取值范围为(－∞，0)∪14，4.答案：(－∞，0)∪14，4三、解答题13．已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a

－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．解：若p为真，则对称轴x＝－－42a＝2a在区间(－∞，2]的右侧，即2a≥2，∴0<a≤1.若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实数根．∴Δ＝[－16(a－1)]2－4×16<0，∴12<a<32.∵命题“p

∧q”为真命题，∴命题p，q都为真，36∴0<a≤1，12<a<32，∴12<a≤1.故实数a的取值范围为12，1.14．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0.q：实数x满足x2－x－6≤0，x2＋2x－8＞0.(1)若a＝1

，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：由x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)，得a＜x＜3a，即p为真命题时，a＜x＜3a，由x2－x－6≤0，x2＋2x－8＞0，得－2≤x≤3

，x＞2或x＜－4，即2＜x≤3，即q为真命题时，2＜x≤3.(1)a＝1时，p：1<x<3.由p∧q为真，知p，q均为真命题，则1＜x＜3，2＜x≤3，得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为(2,3)．(2)设A＝{x|a＜x＜3a}，B＝{x|2＜x≤3}，由题意知q是p

的充分不必要条件，所以BA，有0＜a≤2，3a＞3，所以1＜a≤2，所以实数a的取值范围为(1,2]．1．已知命题p：对于一切正实数x，y，不等式y4－cos2x≥asinx－9y恒成立．若命题綈p是假命题，则实数a的取值范围是()A.

－∞，43B．[3，＋∞)C．[－22，22]D．[－3,3]解析：选D因为命题綈p是假命题，所以命题p是真命题，由题意，对于一切正实数x，y，不等式y4＋9y≥asinx＋cos2x恒成立，37因

为y4＋9y≥2y4·9y＝3，所以对于一切正实数x，不等式3≥asinx＋cos2x，即sin2x－asinx＋2≥0恒成立，令sinx＝t，－1≤t≤1，设f(t)＝t2－at＋2，－1≤t≤1，当a2>1，即a>2时，函数f(t)＝t2－a

t＋2在[－1,1]上是减函数，所以f(1)＝3－a≥0，则2<a≤3；当－1≤a2≤1，即－2≤a≤2时，函数f(t)＝t2－at＋2在－1，a2上是减函数，在a2，1上是增函数，所以最小值是fa2＝a22－a×a2＋2≥0，则－2≤a≤2；当

a2<－1，即a<－2时，函数f(t)＝t2－at＋2在[－1,1]上是增函数，所以f(－1)＝3＋a≥0，则－3≤a<－2.综上可得，实数a的取值范围是[－3,3]．2．已知函数f(x)＝xex，在下列命题中，①曲线y＝f(x)必存在一条与x轴平行的

切线；②函数y＝f(x)有且仅有一个极大值，没有极小值；③若方程f(x)－a＝0有两个不同的实根，则a的取值范围是－∞，1e；④对任意的x∈R，不等式f(x)<12恒成立；⑤若a∈0，12e，则∃x1，x2∈R＋，可以使不等式f(x)≥a的

解集恰为[x1，x2]．其中正确命题的序号有________．解析：求导得，f′(x)＝1－xex.①令f′(x)＝1－xex＝0可得x＝1，即过点1，1e的切线与x轴平行，故①正确；②当x∈(－∞，1)时，函数f(x)是增函数，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x

)是减函数，所以函数f(x)有极大值f(1)＝1e，没有极小值，故②正确；③由②可知，当x∈(1，＋∞)时，0<f(x)<1e，当x∈(－∞，1)时，f(x)<1e，所以若方程38f(x)－a＝0有两个不同的实

根，则a的取值范围是0，1e，故③错误；④由②可知，f(x)≤f(1)＝1e<12，故④正确；⑤由②可知，若a∈0，12e，则∃x1，x2∈R＋，可以使不等式f(x)≥a的解集恰为[x1，x2]，故⑤正确．答案：①②④⑤