【文档说明】初高中数学衔接讲义02方程与函数 3课时（含答案）.doc，共(24)页，2.213 MB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-259182.html

以下为本文档部分文字说明：

目录2.1一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系（韦达定理）2．2二次函数2.2.1二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表示方式2.2.3二次函数的简单应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组解法

2.3.2一元二次不等式解法2.1一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为2224()24bbacxaa−+=．①因为a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是

一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2＝242bbaca−−；（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1＝x2＝－2ba；（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右

端是一个负数，而方程①的左边2()2bxa+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元

二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝242bbaca−−；（2）当Δ＝0时，方

程有两个相等的实数根１x1＝x2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；

（3）x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根2142aax++=，2242aax−+=．（3）由于该方程

的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，所以，①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；②当a≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×

1×a＝4－4a＝4(1－a)，所以①当Δ＞0，即4(1－a)＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根111xa=+−，211xa=−−；②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根

的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．２2.1.2根与系数的关系（韦达定理）若一元二次

方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝ba−，x1·x2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元

二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)程x2＋px＋q＝0的两根，出k的值，再由方程解出另

一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就为5x2－7x－

6＝0，解得x1＝2，x2＝－35．所以，方程的另的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x

1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．当m＝

－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满

足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元大方向个数分别为x，y

，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x，y，则x＋y＝4，①３xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，即x2－4x－12＝0，∴x1＝－2，x2＝6．∴112,6,

xy=−=或226,2.xy==−因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根．解这个方程，得x1＝－2，x2＝6．所以，这两个数是－2和6．

说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例5若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．（1）求|x1－x2|的值；（2）求221211xx+的值；（3）

x13＋x23．解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，∴1252xx+=−，1232xx=−）22221212122222221212125325()2()3()21137224

39()9()24xxxxxxxxxxxx−−−+++−+=====−．（3）x13＋x23＝(x1＋x2)(x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32−)]＝－2158．说明：一元二次方程的两根之差

的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则，2242bbacxa−−−=，４∴|x1－x2|＝2224424222bbacbbacbacaaa−+−

−−−−−=24||||bacaa−==．于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则|x1－x2|＝||a（其中Δ＝b2－4ac）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6若关于x的一元二次

方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．解：设x1，x2是方程的两根，则x1x2＝a－4＜0，①且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0．②由①得a＜4，由②得a＜174．∴a的取值范围是a＜4．练习1．选择题：

（1）方程222330xkxk−+=的习题2.1A组1．选择题:（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A）－3（B）3（C）－2（D）2（2）下列四个说法：①方程x2＋2x－7＝0的两

根之和为－2，两根之积为－7；②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73−；④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是（）（A）1个

（B）2个（C）3个（D）4个５（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－12．填空:（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．（2）方程2

x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则|x1－x2|＝．3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根

？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．B组1．选择题:若关于x的方程x2＋(k2－1)x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为（）

（A）1，或－1（B）1（C）－1（D）02．填空:（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于．（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3

的值是．3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．4．－1提示：(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9习题2．12．（1）2006提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n－1)＝

－1×(－2005－1)＝2006．（2）－3提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a3＋a2b＋ab2＋b3＝a2(a＋b)＋b2(a＋b)＝(a＋b)(a2＋b2)＝(a＋b)[(a＋b)2－2ab]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．3．（1）∵Δ＝(－k)2－4×1

×(－2)＝k2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根．（2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．4．（1）|x1－x2|＝24||baca−，122xx+＝2ba−；（2）x13＋x23＝333abcba

−．5．∵|x1－x2|＝164242mm−=−=，∴m＝3．把m＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m＝3．６C组1．（1）B（2）A（3）C提整数的实数k的整数值为－2，－3和－5．（3）当k＝－2时，x1＋x

2＝1，①x1x2＝18，②①2÷②，得1221xxxx+＋2＝8，即16+=，∴2610−+=，∴322=．4．（1）Δ＝22(1)20m−+；（2）∵x1x2＝－24m≤0，∴x1≤0，x2≥0，或x1≥0，x2≤0．①若x1≤0，x2≥0

，则x2＝－x1＋2，∴x1＋x2＝2，∴m－2＝2，∴m＝4．此时，方程为x2－2x－4＝0，∴115x=+，215x=−．②若x1≥0，x2≤0，则－x2＝x1＋2，∴x1＋x2＝－2，∴m－2＝－2，∴m＝0．此时，方程为

x2＋2＝0，∴x1＝0，x2＝－2．5．设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1x2＝a，由一根大于1、另一根小于1，得(x1－1)(x2－1)2.2.1二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质问题1函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在

怎样的关？为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝12x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象

．先列表：x…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．７再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图

象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函

数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2函数y＝a(x＋h)2＋k与y

＝ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平

移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定

了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋bxa)＋c＝a(x2

＋bxa＋224ba)＋c－24ba224()24bbacaxaa−=++，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：（1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；

顶点坐标为24(,)24bacbaa−−，对称轴为直线x＝－2ba；当x＜2ba−时，y随着x的增大而减小；当x＞2ba−时，y随着x的增大而增大；当x＝2ba−时，函数取最小值y＝244acba−．（2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为24(,)24bacbaa−

−，对称轴为直线x＝－2ba；图2.2-2xyO－1y＝2x2y＝2(x＋1)2y＝2(x＋1)2＋1y＝x2y＝2x2图2.2-1xOy８当x＜2ba−时，y随着x的增大而增大；当x＞2ba−时，y随着x

的增大而减小；当x＝2ba−时，函数取最大值y＝244acba−．上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．例1求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称

轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品

的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：x/元130150165y/件705035若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润＝日销售量

y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于设每天的利润为z（元），则z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x

－24000＝－(x－160)2＋1600，∴当x＝160时，z取最大值1600．９答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像

，求b，c的值．解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+2b)224bc+−，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224bbyxc=+++−+的图像，也就是函数y＝x2的图像，所以，240,220,4bbc−−=−+=解得b＝－8，c＝14．解

法二：把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，等价于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x2＋bx＋c的图像．由于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个

单位，得到函数y＝(x－4)2＋2的图像，即为y＝x2－8x＋14的图像，∴函数y＝x2－8x＋14与函数y＝x2＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问

题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时

，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．例4已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．解：（1）当a＝－2时，函数

y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0

时，函数取最小值y＝0；（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．１０说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的

二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．练习1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）（A）y＝2x2（B）y＝2x2－4x＋2（C）y＝2x2－1（D）y＝2x2－4x（2）函数y＝2(x－1)2

＋2是将函数y＝2x2（）（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的

顶点坐标为(1，－2)，则m＝，n＝．（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝时，函数图象经过原点．（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x＝时，函数取

最值y＝；当x时，y随着x的增大而减小．3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6x－x2．4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列

取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．2.2.2二次函数的三种表示方式xyO－2a①xyO－2aa

24图2.2－6xyOa－224a2②－2xyOaa24③１１通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠

0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于

是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0

)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，

则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba−，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2bcxxa

a++)=a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1)(x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1)(

x－x2)(a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达

形式中的某一形式来解题．１２例1已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数

a．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)yaxa=−+，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(32)1

a−=−+，解得a＝－2．∴二次函数的解析式为22(2)1yx=−−+，即y＝－2x2＋8x－7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此

，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例2已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式

设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开，得y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为2212444aaaa−−=−，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝12．

所以，二次函数的表达式为y＝21322xx+−，或y＝－21322xx−+．分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是

，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．又顶点到x轴的距离为2，１３∴顶点的纵坐标为2

，或－2．于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－12，或a＝12．所以，所求的二次函数为y＝－12(x＋1)2＋2

，或y＝12(x＋1)2－2．说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．例3已知二次函数的图象过点(－

1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得22,8,842,abccabc−=−+−==++解得a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次

函数为y＝－2x2＋12x－8．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？练习1．选择题:（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）无法确定（2）函数y＝

－12(x＋1)2＋2的顶点坐标是（）（A）(1，2)（B）(1，－2)（C）(－1，2)（D）(－1，－2)2．填空：（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a(a≠

0)．（2）二次函数y＝－x2+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为．3．根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；１４（3）函

数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．2.2.3二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1．平移变换问题1在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现

：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．例1求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析

式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然

后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．解：二次函数y＝2x2－4x－3的解析式可变为y＝2(x－1)2－1，其顶点坐标为(1，－1)．（1）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单

位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y＝2(x－3)2－2．（2）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是

(－1，2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y＝2(x＋1)2＋2．2．对称变换问题2在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具

有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．xyOx＝－1A(1,－1)A1(－3,－1)图2.2－7１５例2求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线对称后所得

到图象对应的函数解析式：（1）直线x＝－1；（2）直线y＝1．解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状．由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，

函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(－3，1)，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋12x＋17．（2）如图2．2－

8，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所

以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y＝－2(x－1)2＋3，即y＝－2x2＋4x＋1．二、分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．例3在国内

投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作

出函数图象．分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）

．解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数．这个函数的解析式为80,(0,20]160(20,40]240,940,80]320(60,80]400,(80,100]xxyxxx=由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．xyOy＝1A(1,

－1)B(1，3)图2.2－8１６例4如图9－2所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．（1）求函数y的解析式

；（2）画出函数y的图像；（3）求函数y的取值范围．分析：要对点P所在的位置进行分类讨论．解：（1）①当点P在线段AB上移动（如图2．2－10①），即0＜x≤2时，y＝12APBC＝x；②当点P在线段BC上移动（如图2．2－10②），即2＜x＜4时，y＝12PCAB

＝1(4)22x−＝4－x；③当点P在线段CD上移动（如图2．2－10③），即4＜x≤6时，y＝12PCAD＝1(4)22x−＝x－4；④当点P在线段DA上移动（如图2．2－10④），即6＜x＜8时，2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组解法方程2226

0xxyyxy+++++=是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x,2xy,2y叫做这个方程的二次项,x,y叫做一次项,6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：224310

,210;xyxyxy−++−=−−=222220,560.xyxxyy+=−+=ACBDP图2.2－10１７第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方

程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．例1解方程组22440,220.xyxy+−=−−=分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程

，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．解：由②,得x＝2y＋2，③把③代入①,整理,得8y2＋8y＝0，即y(y＋1)＝0．解得y1＝0，y2＝－1．把y1＝0代入③,得x

1＝2；把y2＝－1代入③,得x2＝0．所以原方程组的解是112,0xy==，220,1.xy==−说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．例2解方程组7,12.xyxy+==解法一：由①，得7.xy

=−③把③代入②，整理，得27120yy−+=解这个方程，得123,4yy==．把13y=代入③，得14x=；把24y=代入③，得23x=．所以原方程的解是114,3xy==，223,4.xy==解

法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,xy看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,xy．这个方程组的,xy是一元二次方程27120zz−−=的两个根，解这个方程，得①②①②１3z=，或4z=．所以原方程组的解是114,3;

xy==223,4.xy==练习1．下列各组中的值是不是方程组2213,5xyxy+=+=的解?（1）2,3;xy==（2）3,2;xy==（3）1,4;xy==（4）2,3;xy

=−=−2．解下列方程组:（1）225,625;yxxy=++=（2）3,10;xyxy+==−（3）221,543;xyyx+==−（4）2222,8.yxxy=+=2.3.2一元二次不等式解法二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下：

x－3－2－101234y60－4－6－6－406由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x＝6＝0；当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0；当－2＜x＜3时，y＜0，即x2

－x－6＜0．这就是说，如果抛物线y=x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么一元二次方程x2－x－6＝0的解就是x1＝－2，x2＝3；同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2－x－6＞0的解是x＜－2，或x＞3；一元二次不等式x2－x－6＜0的解是－2＜x＜3

．上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图

象来解一元二次不等式ax2１＋bx＋c＞0(a≠0)．为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0

，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞

0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2；不等

式ax2＋bx＋c＜0的解为x1＜x＜x2．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a，由图2.3－2②可知不等式a

x2＋bx＋c＞0的解为x≠－b2a；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．（2）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数了;（3）‘x2＋bx＋c＜0无解．今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接

求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．例3解不等式：由于上式对任意实数x都成立，∴原不等式的解为一切实数．（4）整理，得(x－3)2≤0.由于当x＝3时，(x－3)2＝0成立；而对任意的实

数x，(x－3)2＜0都不成立，∴原不等式的解为x＝3．（5）整理，得x2－x＋4＞0．Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．2例4已知不等式20(0)axbxca++的解是2,3xx或求不等式20bxaxc++的解．解：由不等式2

0(0)axbxca++的解为2,3xx或，可知0a，且方程20axbxc++=的两根分别为2和3，∴5,6bcaa−==，即5,6bcaa=−=．由于0a，所以不等式20bxaxc++可变为20bcxxaa++，即－2560,xx++整理，

得2560,xx−−所以，不等式20bxaxc+−的解是x＜－1，或x＞65．说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．例5解关于x的一元二次不等式210(xaxa++为实数).分析对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项

系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式的符号,而这里的是关于未知系数的代数式,的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对的符号进行分类讨论.解:24a=−,①当0,2aa−即

或2时,10xax++=2方程的解是221244,.22aaaaxx−−−−+−==所以,原不等式的解集为24,2aax−−−或242aax−+−；②当Δ＝0，即a＝±2时，原不等式的解为x≠－a2；③当0,22,a−即时原不等式的解为一切实数.3综上,当a≤－2

，或a≥2时，原不等式的解是24,2aax−−−或242aax−+−；当22,a−时原不等式的解为一切实数．例6已知函数y＝x2－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最小值为n，试将n用a表示出来．分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需

要对对称轴的位置进行分类讨论．解：∵y＝(x－a)2＋1－a2，∴抛物线y＝x2－2ax＋1的对称轴方程是x＝a．（1）若－2≤a≤1，由图2.3-3①可知,当x＝a时，该函数取最小值n＝1－a2；(2)若a＜-2时,由图2.3-3②可知,当x＝-2时，该函数取最

小值n＝4a+5；(2)若a＞1时,由图2.3-3③可知,当x＝1时，该函数取最小值n＝-2a+2.综上,函数的最小值为2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组解法练习1.（1）（2）是方程的组解；（3）（4）不是方程

组的解．2．（1）1115,20,xy==2220,15;xy=−=−（2）115,2,xy==−222,5;xy=−=（3）5,34.3xy==−（4）112,2,xy==222,2.xy=

=−2.3.2一元二次不等式解法练习41．（1）x＜－1，或x＞43；（2）－3≤x≤4；（3）x＜－4，或x＞1；（4）x＝4．2．不等式可以变为(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0，（1）当－1－a＜－1＋a，即a＞0时，∴－1－a≤x≤－1＋a；（2）当－1－a＝－

1＋a，即a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，∴x＝－1；（3）当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，∴－1＋a≤x≤－1－a．综上，当a＞0时，原不等式的解为－1－a≤x≤－1＋a；当a＝0时，原不等式的解为x＝－1；当a＜0时，原不等式的解

为－1＋a≤x≤－1－a．习题2．3A组1．（1）112,0,xy==2210,34.3xy==（2）110,0,xy==2224,512.5xy==−（3）1132,32,xy=+=−

2232,32;xy=−=+（4）312412343,3,3,3,1,1,1,1.xxxxyyyy=−===−==−==−2．（1）无解（2）232333x−（3）1－2≤x≤1＋2（4）x≤－2，或x≥2B组1．消去y，得

2244(1)0xmxm+−+=．当2216(1)160mm=−−=,即12m=时，方程有一个实数解．将12m=代入原方程组，得方程组的解为1,41.xy==2．不等式可变形为(x－1)(

x－a)＜0．∴当a＞1时，原不等式的解为1＜x＜a；当a＝1时，原不等式的无实数解；5当a＜1时，原不等式的解为a＜x＜1．C组1．由题意，得－1和3是方程2x2＋bx－c＝0的两根，∴－1＋3＝－b2，－1×3＝－c2，即b＝－

4，c＝6．∴等式bx2＋cx＋4≥0就为－4x2＋6x＋4≥0，即2x2－3x－2≤0，∴－12≤x≤2．2．∵y＝－x2＋mx＋2＝－(x－m2)2＋2＋m24，∴当0≤m2≤2，即0≤m≤4时，k＝2＋m24；当m2＜0，即m＜0时，k＝离开就