【文档说明】初高中数学衔接讲义03相似形与圆 3课时（含答案）.doc，共(29)页，1.891 MB，由MTyang资料小铺上传

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目录3．1相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理3.1.2相似形3.2三角形3.2.1三角形的“四心”3.2.2几种特殊的三角形3．3圆3.3.1直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2点的轨迹3．1相似形3.1.1．平行线分线段

成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平\作直线b交123,,lll于点',','ABC，不难发现''2.''3ABABBCBC==我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成

比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图3.1-2，123////lll，有ABDEBCEF=.当然，也可以得出ABDEACDF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.

例1如图3.1-2，123////lll，且2,3,4,ABBCDF===求,DEEF.解1232////,,3ABDElllBCEF\==Q28312,.235235DEDFEFDF====++图3.1-1例2在ABC中

，,DE为边,ABAC上的点，//DEBC，求证：ADAEDEABACBC==.证明（1）//,,,DEBCADEABCAEDACB==ADE∽ABC，.ADAEDEABACBC==证明（2）如图3.1-3，过A作直线//lBC，////,lDEBCADAEAB

AC=.过E作//EFAB交AB于D，得BDEF，因而.DEBF=//,.AEBFDEEFABACBCBC==.ADAEDEABACBC==从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线

），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3已知ABC，D在AC上，:2:1ADDC=，能否在AB上找到一点E，使得线段EC的中点在BD上.解假设能找到，如图3.1-4，设EC交BD于F，则F为E

C的中点，作//EGAC交BD于G.//,EGACEFFC=，EGFCDF，且EGDC=，’证：ABBDACDC=.证明过C作CE//AD，交BA延长线于E，//,.BABDADCEAEDC\=QQ

AD平分,,BACBADDAC衆??由//ADCE知,,BADEDACACE?行=?,,EACEAEAC\??即ABBDACDC\=.例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练习11．如图3.1-6，123//

//lll，下列比例式正确的是（）A．ADCEDFBC=B．ADBCBEAF=C．CEADDFBC=D.AFBEDFCE=2．如图3.1-7，//,//,DEBCEFAB5,ADcm=3,2,DBcmFCcm==求BF.3．

如图，在ABCV中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.4．如图，在ABCV中，BACÐ的外角平分线AD交BC的延长线于点D，求证：ABBDACDC=.5．如图，在ABCV的边AB、AC上分别取D、E两点，

使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F.求证：DFACEFAB=.3.1．2．相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例5如图3.1-11，四边形

ABCD的对角线相交于点O，BACCDB??，求证：DACCBD??.证明在OABV与ODCV中，,,AOBDOCOABODC?行=?\OABV∽ODCV，OAOBODOC\=，即OAODOBOC=.又OADV与OB

CV中，AODBOC??，\OADV∽OBCV，\DACCBD??.例6如图3.1-12,在直角三角形ABC中，BACÐ为直角，ADBCD^于.求证：（1）2ABBDBC=?，2ACCDCB=?；（2）2ADBDCD=?证明（1）在RtBACV与RtBDAV

中，BB??，BAC\V∽BDAV，2,.BABCABBDBCBDBA\==?即同理可证得2ACCDCB=?.图3.1-11图3.1-12（2）在RtABDV与RtCADV中，90oCCADBAD?-??，RtABD\V∽RtCADV，2,.ADDCA

DBDDCBDAD\==?即我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.例7在ABCV中，,,ADBCDDEABEDFACF^^^于于于，求证：AEABAFAC??.证明ADBC^Q，\ADBV为直角三

角形，又DEAB^，由射影定理，知2ADAEAB=?.同理可得2ADAFAC=?.AEABAFAC\??.例8如图3.1-14，在ABCV中，D为边BC的中点，E为边AC上的任意一点，BE交AD于点O.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当11211AEAC==+时，有223

21AOAD==+.（如图3.1-14a）（2）当11312AEAC==+时，有22422AOAD==+.（如图3.1-14b）（3）当11413AEAC==+时，有22523AOAD==+.（如图3.1-14c）在图3.1-14d中，当11AEACn=+时，参照上述研究结论，请你

猜想用n表示AOAD的一般结论，并给出证明（其中n为正整数）.解：依题意可以猜想：当11AEACn=+时，有22AOADn=+成立.图3.1-13图3.1-14证明过点D作DF//BE交AC于点F，QD是BC的中点，\F是EC的中点，由11AEACn=+可知1AEECn=，22,.2AEAEE

FnAFn\==+.2.2AOAEADAFn\==+想一想，图3.1-14d中，若1AOADn=，则?AEAC=本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定.数学的发展史就是不

断探索的历史.练习21．如图3.1-15，D是ABCV的边AB上的一点，过D点作DE//BC交AC于E.已知AD：DB=2：3，则:ADEBCDESSV四边形等于（）A．2:3B．4:9C．4:5D．4:212．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中

位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________.3．已知：ABCV的三边长分别是3，4，5，与其相似的'''ABCV的最大边长是15，求'''ABC的面积'''ABCSV.4．已知：如图3.1-16，在四边

形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.（1）请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；（2）若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形？5．如图点C、D在线段AB上，PC

DV是等边三角形，（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，ACPV∽PDBV？（2）当ACPV∽PDBV时，求APBÐ的度数.习题3.1A组1．如图3.1-18，ABCV中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（）A．DE=1，BC=7B．DE=2，BC=6C．DE=

3，BC=5D．DE=2，BC=82．如图3.1-19，BD、CE是ABCV的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则:PQBC等于（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：63．如图3.1-20，ABCDY中，E是AB延长线上一点，DE交BC

于点F，已知BE：AB=2：3，4BEFS=V，求CDFSV.图3.1-18图3.1-19图3.1-204．如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BEAC^交AC于F，过F作FG//AB交AE于G，求证：2AGAFFC=?.B组1．如图3.1-22，已知A

BCV中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则EFAFFCFD+的值为（）A．12B．1C．32D．22．如图3.1-23，已知ABCV周长为1，连结ABCV三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为

（）A．12002B．12003C．200212D．2003123．如图3.1-24，已知M为ABCDY的边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与ABCDY面积的比是（）A．13B．14C．16D．

512图3.1-22图3.1-23图3.1-24图3.1-214．如图3.1-25，梯形ABCD中，AD//BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF//AD.（1）求证：OE=OF；（2）求OEOEADBC+的值；（3）求证：112ADBCEF+=.C组1．如图3.1-2

6，ABCV中，P是边AB上一点，连结CP.（1）要使ACPV∽ABCV，还要补充的一个条件是____________.（2）若ACPV∽ABCV，且:2:1APPB=，则:BCPC=_____.2．如图3.1-27，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，

且BACBDCDAE???.（1）求证：BEADCDAE??；的比（只须写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想.3．如图3.1-28，在RtABCV中，AB=AC，90oA?，点D为BC上任一点，DFAB^于F，DEAC^于E，M为BC的中点，试判断

MEFV是什么形状的三角形，并证明你的结论.4．分别为B、D，AD和BC相交于E，EFBD^于F，我们可以证明111ABCDEF+=若将图3.1-29a中的垂直改为斜交，如图3.1-29b，//,ABCDADBC、相交，EF//AB交BD于F，则

：（1）111ABCDEF+=还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）请找出,ABDBCDSSVV和EBDSV之间的关系，并给出证明.3.1相似形练习11．D2．设510,,,283DEADxBFxxBCABx

====+，即103BF=.3．535,.49ABBDBDcmACDC===4．作//CFAB交AD于F，则ABBDCFDC=，又AFCFAEFAC==得,ACCF=ABBDACDC=.5．作//

EGAB交BC于G，,,EGCECEGCABABAC=即,ACCEDBABEGEG==DFACEFAB=.练习21．C2．12，183．2'''115346,()654.25ABCABCSS====4．（1）因为1////,2EHB

DFG所以EFGH是平行四边形；（2）当ACBD=时，EFGH为菱形；当,ACBDACBD=⊥时，EFGH为正方形.5．（1）当2CDACBD=时，ACPPDB；（2）120oAPB=.习题3.1图3.1-29A组1．B2.B3.9CDFS=4．BF为

直角三角形ABC斜边上的高，2BFAFFC=，又可证,AGBF=2AGAFFC=.B组1．C2.C3.A4．（1）//,,EOAEDEOFADBCEOOFBCABDCBC====.（2）1.OEOEAEBEADBCABAB+=+=（3）由（2）

知1112.ADBCOEEF+==C组1.(1)2ACAPAB=或ACPB=.(2):3:2BCPC=.2．（1）先证AEBADC，可得BEAECDAD=；（2）,BCABADADEACBDEAEAC==.3

．连AD交EF于O，连OM，ABC为等腰直角三角形，且AEDF为矩形，OM为RtAMD斜边的中线，11,22OMADEF==MEF为直角三角形.又可证BMFAME，得MFME=，故MEF为等腰直角三角形.4．（1）成立，1111,.EFEF

FDBFABCDBDBDABCDEF+=+=+=（2）111ABDBCDEBDSSS+=，证略.3.2三角形3．2．1三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1，在三角形ABCV中，有三条边,,A

BBCCA，三个角,,ABC行?，三个顶点,,ABC，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部

，恰好是每条中线的三等分点.例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知D、E、F分别为ABCV三边BC、CA、AB的中点，求证AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.证明连结DE，设AD、BE交于点G，QD、E分别为BC、AE的中点

，则DE//AB，且12DEAB=，GDE\V∽GABV，且相似比为1：2，2,2AGGDBGGE\==.设AD、CF交于点'G，同理可得，'2','2'.AGGDCGGF==则G与'G重合，\AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2:1.三角形的三条角

平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）图3.2-1图3.2-2图3.2-3图3.2-4图3.2-5例2已知ABCV的三边长分别为,,BCaACbABc===，I为ABCV的内心，且I在ABC

V的边BCACAB、、上的射影分别为DEF、、，求证：2bcaAEAF+-==.证明作ABCV的内切圆，则DEF、、分别为内切圆在三边上的切点，,AEAFQ为圆的从同一点作的两条切线，AEAF\=，同理，BD=BF，C

D=CE.22bcaAFBFAECEBDCDAFAEAFAE\+-=+++--=+==即2bcaAEAF+-==.例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知O为三角形ABC的重心和内心.求证三角形A

BC为等边三角形.证明如图，连AO并延长交BC于D.QO为三角形的内心，故AD平分BACÐ，ABBDACDC\=（角平分线性质定理）QO为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.1ABAC\=，即ABAC=.

同理可得，AB=BC.ABC\V为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）图3.2-6图3.2-7例4求证：三角形的三条高交于一点.已

知ABCV中，,ADBCDBEACE^^于于，AD与BE交于H点.求证CHAB^.证明以CH为直径作圆，,,90,oADBCBEACHDCHEC^^\??QDE\、在以CH为直径的圆上，FCBDEH\??.同理，E、D在以AB为直

径的圆上，可得BEDBAD??.BCHBAD\??，又ABDV与CBFV有公共角BÐ，90oCFBADB\??，即CHAB^.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三

个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习11．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2．（1）若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为abc、、，则三角形的内切圆的半径是___________;（2）若直角三角形的三边长分别为

abc、、（其中c为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________.并请说明理由.图3.2-8图3.2-93.2.2几种特殊的三角形等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、

重心G、垂心H必然在一条直线上.例5在ABC中，3,2.ABACBC===求（1）ABC的面积ABCS及AC边上的高BE；（2）ABC的内切圆的半径r；（3）ABC的外接圆的半径R.解（1）如图，作ADBC⊥于D.,ABACD=为BC的中点，2222,122222.2ABCADABBDS

=−===又1,2ABCSACBE=解得423BE=.（2）如图，I为内心，则I到三边的距离均为r，连,,IAIBIC，ABCIABIBCIACSSSS=++，即11122222ABrBCrCAr=++，解得22r=.（3）ABC是等腰三角形，外心O在AD上，连

BO，则RtOBD中，,ODADR=−222,OBBDOD=+图3.2-10图3.2-11图3.2-12222(22)1,RR=−+解得92.8R=在直角三角形ABC中，AÐ为直角，垂心为直角顶点A，外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半

径为2bca+-（其中,,abc分别为三角形的三边BC,CA,AB的长），为什么？该直角三角形的三边长满足勾股定理：222ACABBC+=.例6如图，在ABCV中，AB=AC，P为BC上任意一点.求证：22APABPBPC=

-?.证明：过A作ADBC^于D.在RtABDV中，222ADABBD=-.在RtAPDV中，222APADDP=-.22222()().APABBDDPABBDDPBDDP\=-+=-+-,,ABACADBCBDDC=^\=Q.BDDPCDDPPC\-=-=.22APABPBP

C\=-?.正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.例7已知等边三角形ABC和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为123,,hhh，图3.2-

13图3.2-14图3.2-15三角形ABC的高为h，“若点P在一边BC上，此时30h=，可得结论：123hhhh++=.”请直接应用以上信息解决下列问题：当（1）点P在ABCV内（如图b），（2）点在ABCV外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证

明；若不成立，123,,hhh与h之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）.解（1）当点P在ABCV内时，法一如图，过P作''BC分别交,,ABAMAC于',','BMC，由题设知'AMPDPE=+，而'AMAMPF=-，故PDPEPFAM++=，即123hhhh++=.法二如图，连

结，ABCPABPACPBCSSSS=++VVVVQ，11112222BCAMABPDACPEBCPF\????，又ABBCAC==，AMPDPEPF\=++，即123hhhh++=.（2）当点P在ABCV外如图

位置时，123hhhh++=不成立，猜想：123hhhh+-=.注意：当点P在ABCV外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，如123hhhh-+=，123hhhh--=（如图3.2-18，想一想为什么？）等.在解决上述问题时，“法一”中

运用了化归的数学思想方法，“法二”中灵活地运用了面积的方法.练习21．直角三角形的三边长为3，4，x,则x=________.图3.2-16图3.2-17图3.2-182．等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________.3．满足下列

条件的ABCV，不是直角三角形的是（）A．222bac=-B．CAB???C．::3:4:5ABC行?D．::12:13:5abc=4．已知直角三角形的周长为33+，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.5．证明：等腰

三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.习题3.2A组1．已知：在ABC中，AB=AC，120,oBACAD=为BC边上的高，则下列结论中，正确的是（）A．32ADAB=B．12ADAB=C．ADBD=D．22ADBD=2．三角形三边长分别是6、8、1

0，那么它最短边上的高为（）A．6B．4.5C．2.4D．83．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________.4．已知：,,abc是ABC的三条边，7,10ab==，那么c的取值范围是_________。5

．若三角形的三边长分别为18a、、，且a是整数，则a的值是_________。B组1．如图3.2-19，等边ABC的周长为12，CD是边AB上的中线，E是CB延长线上一点，且BD=BE，则CDE的周长为（）A．643+B．18123+C．623+D

．1843+2．如图3.2-20，在ABC中，2CABCA==，BD是边AC上的高，求DBC的度数。3．如图3.2-21，,90,oRtABCCM=是AB的中点，AM=AN，MN//AC，求证：MN=AC。4．如图3.2-22

，在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC.求:BC的值。图3.2-20图3.2-19图3.2-2图3.2-225．如图3.2-23，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且14ECBC=，求证：90oEFA?.C组1．已知241,2,

2,1kbkackack=+==−，则以abc、、为边的三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．形状无法确定2．如图3.2-24，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则A与12+之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律

是（）A．12A=+B．212A=+C．312A=+D．32(12)A=+3．如图3.2-25，已知BD是等腰三角形ABC底角平分线，且AB=BC+CD，求证：90oC?.4．如图3.2-26，在等腰Rt

ABC中90oC=，D是斜边AB上任一点，AECD⊥于E，图3.2-23图3.2-25图3.2-26图3.2-24BFCD⊥交CD的延长线于F，CHAB⊥于H，交AE于G.求证：BD=CG.3.2三角形练习11．证略2.（1）2Sabc++；（2）2abc+−.练习21．5或7

2.20o或80o3.C4．设两直角边长为,ab，斜边长为2，则13ab+=+，且224ab+=，解得3ab=，1232Sab==.5.可利用面积证.习题3.2A组1．B2.D3.120o4.317c5.8B组1．A2.18o3．连BM，证

MABAMN.4．在AC上取点E，使AE=AB，则ABDAED，BAED=.又BD=DE=EC，,:2:1.CEDCBC==5．可证ADFFCE，因而AFD与CFE互余，得90oEFA=.C组1．C．不妨设ac，可得222221,

1,akckabc=+=−=+，为直角三角形.2．B3．在AB上取E使BE=BC，则BCDBED，且AE=ED=DC，2180,90.ooCBEDAABCC===+=−=4．先证明ACECBF，得CE=BF，再证CGEBDF，得BD=CG.3．3圆3．3．1直线与圆

，圆与圆的位置关系设有直线l和圆心为O且半径为r的圆，怎样判断直线l和圆O的位置关系？观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离dr>时，直线和圆相离，如圆O与直线1l；当圆心到直线的距离dr=时，直线

和圆相切，如圆O与直线2l；当圆心到直线的距离dr<时，直线和圆相交，如圆O与直线3l.在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心O和弦AB的中点M的线段OM垂直于这条弦AB.且在R

tOMAV中，OA为圆的半径r，OM为圆心到直线的距离d，MA为弦长AB的一半，根据勾股定理，有222()2ABrd-=.当直线与圆相切时，如图3.3-3，,PAPB为圆O的切线，可得PAPB=，.OA

PA⊥，且在RtPOA中，222POPAOA=+.如图3.3-4，PT为圆O的切线，PAB为圆O的割线，我们可以证得PATPTB，因而2PTPAPB=.例1如图3.3-5，已知⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是AB的

中点，求弦BD的长度。解连结OD，交AB于点E。图3.3-1图3.3-2图3.3图3,BDADO=是圆心，1,3.2ODBBEAEABcm⊥===在RtBOE中，OB=5cm,BE=3cm,224.OE

OBBEcm=−=5,1.ODcmDEcm==在RtBDE中，BE=3cm,DE=1cm,10.BDcm=例2已知圆的两条平行弦的长度分别为6和26，且这两条线的距离为3.求这个圆的半径.解设圆的半径为r，分两种情况（如图3.3-6）：（1）若O在两条平行线的外侧，如

图（1），AB=6，CD=26，则由3OMON-=，得229243rr---=，解得5r=.（2）若O在两条平行线的内侧（含线上），AB=6，CD=26，则由3OMON+=，得229243rr-+-=，无解.综合得，圆的半径为5.设圆1O与圆2O半

径分别为,()RrRr，它们可能有哪几种位置关系？观察图3.3-7，两圆的圆心距为12OO，不难发现：当12OORr=−时，两圆相内切，如图（1）；当12OORr=+时，两圆相外切，如图（2）；当12OORr−时，两圆相内含，如图（3）；图3.3-5图3.3-6图3.3-7当

12RrOORr−+时，两圆相交，如图（4）；当12OORr+时，两圆相外切，如图（5）.例3设圆1O与圆2O的半径分别为3和2，124OO=，,AB为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB的长度.解连AB

交12OO于C，则12OOAB⊥，且C为AB的中点，设ACx=，则22129,4,OCxOCx=−=−2212944OOxx=−+−=，解得3158x=。故弦AB的长为31524x=.练习11.如图3.3-9，⊙O的半径为17cm，弦AB=30cm，

AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C，求弦AC和BD的长。2.已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB//CD，AB=8cm,CD=6cm,⊙O的半径等于5cm，求梯形ABCD的面积。3.如图3.3-10，⊙O的直径AB和弦C

D相交于点E，1,5,60,oAEcmEBcmDEB===求CD的长。图3.3-8图3.3-9图3.3-104．若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度.3．3．2点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某

个条件的所有点组成的.例如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r；同时，到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长

r的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.从

上面对圆的讨论，可以得出：（1）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条

线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：（2）和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：（3）到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分

线.例3⊙O过两个已知点A、B，圆心O的轨迹是什么？画出它的图形.分析如图3.3-11，如果以点O为圆心的圆经过点A、B，那么OAOB=；反过来，如果一个点O到A、B两点距离相等，即OAOB=，那么以O为圆心，OA为半径的圆一定经过A、B两点.这就是说，过A

、B点的圆的圆心的轨迹，就是到A、B两点距离相等的点的轨迹，即和线段AB两个端点距离相等的点的轨迹.答：经过A、B两点的圆的圆心O的轨迹是线段AB的垂直平分线.练习2图3.3-111．画图说明满足下列条件的点的轨迹：（1）到定点A的距离等于3cm的点的轨迹；（2）到直线l

的距离等于2cm的点的轨迹；（3）已知直线//ABCD，到AB、CD的距离相等的点的轨迹.2．画图说明，到直线l的距离等于定长d的点的轨迹.习题3.3A组1．已知弓形弦长为4，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为（）A．3B．52C．3D．42．在半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦

长为（）A．43B．33C．23D．33．AB为⊙O的直径，弦CDAB⊥，E为垂足，若BE=6，AE=4，则CD等于（）A．221B．46C．82D．264．如图3.3-12，在⊙O中，E是弦AB延长线上的一点，已知OB=10cm,OE=12cm，

30,oOEB=求AB。B组1．如图3.3-13，已知在RtABC中，90,5,12,oCACcmBCcm===以C为圆心，CA为半径的圆交斜边于D，求AD。图3.3-1图3.3-12．如图3.3-1

4，在直径为100mm的半圆铁片上切去一块高为20mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长。3．如图3.3-15，ABC内接于⊙O，D为BC的中点，AEBC⊥于E。求证：AD平分OAE。4．如图3.3-16，90oAOB=，C、D是AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=C

D。5．已知线段4ABcm=.画出到点A的距离等于3cm的点的轨迹，再画出到点B的距离等于2cm的点的轨迹，指出到点A的距离等于3cm，且到点B的距离等于2cm的点，这样的点有几个？3.3圆练习11．取AB中点M，连CM，MD，则,CMABDMAB⊥⊥，

且C，O，M，D共线，图3.3-16图3.3-15图3.3-142217158,25,9,OMCMDM=−===534,334ACcmBDcm==.2．O到AB，CD的距离分别为3cm,4cm，梯形的高为1

cm或7cm，梯形的面积为7或492cm.3.半径为3cm，OE=2cm.,OF=3,26CDcm=.4.外公切线长为12，内公切线长为43.练习21.(1)以A为圆心，3cm为半径的圆；（2）与l平行，且与l距离为2cm的两条平行线；（3）与AB平行，且与

AB,CD距离相等的一条直线.2.两条平行直线，图略.习题3.3A组1．B2.A3.B4.AB=8cm.B组1.作CMAD⊥于M，AB=13cm,6010,1331313CMADcm==.2.AB=120cm.3.先证BAOEAC=，再证OADDAE=.4．先证明75,oAECACE

==再证AE=BF=AC=CD.5．有2个，图略.245,2,1,21,22,1.aanaaaa+−=−−−+练习1．解下列不等式：（1）3x2－x－4＞0；（2）x2－x－12≤0；kl（3）x2＋3

x－4＞0；（4）16－8x＋x2≤0．2.解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a为常数）．习题2．3A组1．解下列方程组：B组1．m取什么值时,方程组24,2yxyxm==+有一个实数解

?并求出这时方程组的解．2．解关于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）．C组1．已知关于x不等式2x2＋bx－c＞0的解为x＜－1，或x＞3．试解关于x的不等式bx2＋cx＋4≥0．2．试求关于x的函数y＝－x2＋mx＋2在0≤x≤2上的最大值k．