【文档说明】初高中数学衔接讲义01数与式的运算 2课时（含答案）.doc，共(13)页，869.649 KB，由MTyang资料小铺上传

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目录1.1数与式的运算1.1.1绝对值1.1.2乘法公式1.1.3二次根式1.1.４分式1．2分解因式1.1数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.aaaaaa==−

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：ba−表示在数轴上，数a和数b之间的距离．例1解不等式：13xx−+−＞4．解法一：由01=−x，得1=x；由30x−=，得3x=；

①若1x，不等式可变为(1)(3)4xx−−−−，即24x−+＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若12x，不等式可变为(1)(3)4xx−−−，即1＞4，∴不存在满足条件的x；③若3x，不等式可变为(1)(3)4xx−+−，即24x−＞4，解得x＞4．又x≥3，\点B之间

的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．所以，不等式‘由|AB|＝2，可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．x＜0，或x＞4．１练习1．填空：（1）若5=x，则x=_________；若4−=x，则x=_________.（2）如果5=+ba，且1−=

a，则b＝________；若21=−c，则c＝________.2．选择题：下列叙述正确的是（）（A）若ab=，则ab=（B）若ab，则ab（C）若ab，则ab（D）若ab=，则ab=3．化简：|x

－5|－|2x－13|（x＞5）．1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()ababab+−=−；（2）完全平方公式222()2abaabb=+．我们还可以

通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()abaabbab+−+=+；（2）立方差公式2233()()abaabbab−++=−；（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac++=+++++；（4）两数和立方公式33223()33a

baababb+=+++；（5）两数差立方公式33223()33abaababb−=−+−．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx+−−+++．解法

一：原式=2222(1)(1)xxx−+−=242(1)(1)xxx−++=61x−．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)xxxxxx+−+−++=33(1)(1)xx+−=61x−．例2已知4abc++=，4abbcac++=，求22

2abc++的值．２解：2222()2()8abcabcabbcac++=++−++=．练习1．填空：（1）221111()9423abba−=+（）；（2）(4m+22)164(mm=++)；（3）2222(2)4(abcabc+−=+++)．2．选择

题：（1）若212xmxk++是一个完全平方式，则k等于（）（A）2m（B）214m（C）213m（D）2116m（2）不论a，b为何实数，22248abab+−−+的值（）（A）总是正数（B）总是负数（C

）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一般地，形如(0)aa的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如232aabb+++，22ab+等是无理式，

而22212xx++，222xxyy++，2a等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两

个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a与a，36+与36−，2332−与2332+，等等．一般地，ax与x，axby+与axby−，axb+与axb−互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分

母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)ababab=；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母

有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．３2．二次根式2a的意义2aa==,0,,0.aaaa−例1将下列式子化为最简二次根式：（1）12b；（2）

2(0)aba；（3）64(0)xyx．解：（1）1223bb=；（2）2(0)abababa==；（3）633422(0)xyxyxyx==−．例2计算：3(33)−．解法一：3(33)−＝333−＝3(33)(33)(33)+−+＝33393+−＝3(31)6

+＝312+．解法二：3(33)−＝333−＝33(31)−＝131−＝31(31)(31)+−+＝312+．例3试比较下列各组数的大小：（1）1211−和1110−；（2）264+和226－.解：（1）∵1211(1211)(1211)1121111211

1211−−+−===++，1110(1110)(1110)11110111101110−−+−===++，又12111110++，∴1211−＜1110−．（2）∵226(226)(226)2226,1226226===－－+－++１又4＞22，∴6＋4＞6＋22，∴

264+＜226－.例4化简：20042005(32)(32)+−．解：20042005(32)(32)+−＝20042004(32)(32)(32)+−−＝2004(32)(32)(32)+−−＝200

41(32)−＝32−．例5化简：（1）945−；（2）2212(01)xxx+−．解：（1）原式5454=++22(5)2252=++2(25)=−25=−52=−．（2）原式=21()xx−1xx=−，∵01x

，11xx，所以，原式＝1xx−．1例6已知3232,3232xy−+==+−，求22353xxyy−+的值．解：∵223232(32)(32)103232xy−++=+=−++=+−，323213232xy−+==+

−，∴22223533()1131011289xxyyxyxy−+=+−=−=．练习1．填空：（1）1313−+＝_____；（2）若2(5)(3)(3)5xxxx−−=−−，则x的取值范围是_____；（3

）4246543962150−+−=_____；（4）若52x=，则11111111xxxxxxxx+−−++−+=++−+−−________．2．选择题：等式22xxxx=−−成立的条件是（）（A）2x（B）0x（C）2x（D）02x3．若22111aaba−+−=+，求ab+

的值．4．比较大小：2－35－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义形如AB的式子，若B中含有字母，且0B，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：AAMBBM=；AAMBBM=．上述性质被称为分式的基本性质．22．繁分式像abcd+，2mnpmnp

+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1若54(2)2xABxxxx+=+++，求常数,AB的值．解：∵(2)()2542(2)(2)(2)ABAxBxABxAxxxxxxxxx++++++===++++，∴5,24,ABA+==解得2,3AB==．例

2（1）试证：111(1)1nnnn=−++（其中n是正整数）；（2）计算：1111223910+++；（3）证明：对任意大于1的正整数n，有11112334(1)2nn++++．（1）证明：∵11(1)11(1)(1)nnnnnnnn+−−==+++，∴111(

1)1nnnn=−++（其中n是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1111223910+++11111(1)()()223910=−+−++−1110=−＝910．（3）证明：∵1112334(1)nn+++

+＝111111()()()23341nn−+−++−+＝1121n−+，又n≥2，且n是正整数，3∴1n＋1一定为正数，∴1112334(1)nn++++＜12．例3设cea=，且e＞1，2c2－5ac＋

2a2＝0，求e的值．解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，∴e＝12＜1，舍去；或e＝2．∴e＝2．练习1．填空题：对任意的正整数n，1(2)nn=+(112nn−+)；2．选择题：若223xyxy−=+，则xy＝（）（A）

１（B）54（C）45（D）653．正数,xy满足222xyxy−=，求xyxy−+的值．4．计算1111...12233499100++++．习题1．1A组1．解不等式：(1)13x−；(2)327xx++−；(3)116xx−++

．２．已知1xy+=，求333xyxy++的值．43．填空：（1）1819(23)(23)+−＝________；（2）若22(1)(1)2aa−++=，则a的取值范围是________；（3）1111112233445

56++++=+++++________．B组1．填空：（1）12a=，13b=，则2223352aabaabb−=+−________；（2）若2220xxyy+−=，则22223xxyyxy++=+____；2．已知：

11,23xy==，求yyxyxy−−+的值．C组1．选择题：（1）若2ababba−−−=−−−，则（）（A）ab（B）ab（C）0ab（D）0ba（2）计算1aa−等于（）（A）a−（B）a（C）a−−（D）a−2．解方程2

2112()3()10xxxx+−+−=．3．计算：1111132435911++++．4．试证：对任意的正整数n，有111123234(1)(2)nnn+++++＜14．51.1.1．绝对值1．（1）5；4（2）4；1−或32．D3．3x－181.1.2．

乘法公式1．（1）1132ab−（2）11,24（3）424abacbc−−2．（1）D（2）A1.1.3．二次根式1．（1）32−（2）35x（3）86−（4）5．2．C3．14．＞1.1.4．分式1．122．B3．21−4．99100习题1．1A组1．（1）2x−或4x（2

）－4＜x＜3（3）x＜－3，或x＞32．13．（1）23−（2）11a−（3）61−B组1．（1）37（2）52，或－152．4．C组1．（1）C（2）C2．121,22xx==3．36554．提示：1111[](1)(2)2(1)(1

)(2)nnnnnnn=−+++++61．2分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）22()xabxyaby−++；

（4）1xyxy−+−．解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．说明：今后在分解与

本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图1．2－4，得22()xabxyaby−++＝()

()xayxby−−（4）1xyxy−+−＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)（如图1．2－5所示）．2．提取公因式法与分组分解法例2分解因式：（1）32933xxx+++；（2）222456xxyyxy+−−+

−．－1－2xx图1．2－1－1－211图1．2－2－2611图1．2－3－ay－byxx图1．2－4－11xy图1．2－57解：（1）32933xxx+++=32(3)(39)xxx+++=2(3)3(3)xxx+++=2(3)(3)xx++．或32933xxx+

++＝32(331)8xxx++++＝3(1)8x++＝33(1)2x++＝22[(1)2][(1)(1)22]xxx+++−++＝2(3)(3)xx++．（2）222456xxyyxy+−−+−=222(4)56xyxyy+−−+−=22(4)(2)(3)xyxyy+−−−−

=(22)(3)xyxy−++−．或222456xxyyxy+−−+−=22(2)(45)6xxyyxy+−−−−=(2)()(45)6xyxyxy−+−−−=(22)(3)xyxy−++−．3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若关于x的方程20(0)axbx

ca++=的两个实数根是1x、2x，则二次三项式2(0)axbxca++就可分解为12()()axxxx−−.例3把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）221xx+−；（2）2244xxyy+−．解：（1）令221xx

+−=0，则解得112x=−+，212x=−−，∴221xx+−=(12)(12)xx−−+−−−=(12)(12)xx+−++．（2）令2244xxyy+−=0，则解得1(222)xy=−+，1(222)xy=−−，∴2244xxyy+−=[2(12)][2(12)]xyx

y+−++．练习1．选择题：多项式22215xxyy−−的一个因式为（）（A）25xy−（B）3xy−（C）3xy+（D）5xy−82．分解因式：（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3；（3）x2－2x－1；

（4）4(1)(2)xyyyx−++−．习题1．21．分解因式：（1）31a+；（2）424139xx−+；（3）22222bcabacbc++++；（4）2235294xxyyxy+−++−．2．在实数范围内因式分解：（1）253xx−+；（2）2223xx−−；（3）2234xxyy+−；（

4）222(2)7(2)12xxxx−−−+．3．ABC三边a，b，c满足222abcabbcca++=++，试判定ABC的形状．4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．1.2分解因式1．B2．（1）(x＋2)(x＋4)（2）22(2)(

42)abaabb−++（3）(12)(12)xx−−−+（4）(2)(22)yxy−−+．习题1．21．（1）()()211aaa+−+（2）()()()()232311xxxx+−+−（3）()()2bcbca+++

（4）()()3421yyxy−++−2．（1）51351322xx+−−−；（2）()()2525xx−−−+；（3）2727333xyxy−+++

；（4）()3(1)(15)(15)xxxx−+−−−+．3．等边三角形4．(1)()xaxa−++