【文档说明】中考数学二轮复习压轴题精讲专题4：二次函数与相似三角形 (含答案详解).doc，共(48)页，1.632 MB，由MTyang资料小铺上传

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二次函数与相似三角形突破口：寻找比例关系以及特殊角1.综合与探究如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在右侧），与轴交于点，点坐标为，连接，点是直线上方抛物线上一动点，且横坐标为．过点分别作直线的垂线段，垂足分别为和，连接．（

1）求抛物线及直线的函数关系式；（2）求出四边形是平行四边形时的值；（3）请直接写出与相似时的值．【答案】（1）抛物线的关系式为，直线的关系式为；（2）四边形是平行四边形时的值为或3；（3），，，．【解析】【分析】（1）由题意易得的值，进而得到二次函数的解析式，则点C、B坐标可得，最后求解直线BC

解析式即可；（2）由题意易得，则，为等腰直角三角形为等腰直角三角形，过点作轴于点，交于点，进而可证，然后可得，设，最后建立方程进行求解即可；（3）由题意可分以下几种情况进行分类求解：①当点E在点D上方时，存在与相

似，②当点E在点D下方时，与相似，然后根据相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解:（1）把代入中，得，解得，抛物线的关系式为，当时，得，点的坐标为，当时，得，解得，点在点左侧，点的坐标为，设直线的关系式为，把点和代入上式，得，解得，直线的关系式为；（2）由点坐标可知:，为等腰直

角三角形，，，为等腰直角三角形，如答图，过点作轴于点，交于点，在和中，，，为等腰直角三角形，四边形是平行四边形，，，又，，，点为抛物线上的动点，点为直线上的点，点的横坐标为，设，，，解，得，四边形是平行四边形时的值为或3；（3），．由（1）（2）可得△ADB为等腰

直角三角形，AB=6，，，，过点D作DE⊥x轴交于点E，DE=3，易得点D坐标为，设直线AC的解析式为，把，代入得：，解得，直线AC的解析式为，由与相似，可得：①当点E在点D上方时，且∠PDE=∠ACD，如图所示：PD∥AC，则有直线AC的斜率与直线PD的斜率相等，设直线PD的解析式为：，

把点D代入得：b=-7，设直线PD的解析式为：，联立直线PC与二次函数的解析式得：，解得：（不符合题意，舍去），；②当点E在点D上方时，且∠EPD=∠ACD，取AC的中点F，连接DF，如图所示：由中点坐标公式易得点，AD⊥BC，CF=FD，∠FCD=∠FDC，

∠FDP=90°，FD⊥DP，设直线FD的解析式为：，把点，点D代入解得：，即直线FD的解析式为：，设直线DP的解析式为：，把点D代入得：b=13，直线DP的解析式为：，联立直线PD与二次函数解析式得：，解得，；③当当点E在点D下方时，且∠PDE=∠ACD时，延长PD交AC于点F，如图所示

：∠PDE=∠FDC，∠FCD=∠FDC，FC=FD，AD⊥BC，易得∠FDA=∠FAD，CF=AF=FD，由②可直接得出直线PD的解析式为，联立直线PD与二次函数的解析式得：，解得：，；④当点E在点D下方，且∠PDE=∠CAD时，延长PD，交A

C于点H，如图所示：∠PDE=∠HDC，∠HDC+∠HCD=90°，PH⊥AC，直线AC与直线PD的斜率之积为-1，设直线PD的解析式为：，把点D代入得：，直线PD的解析式为：，联立直线PD与二次函数的解析式得：，解得，；综上所示：当与相似时，，，，．【

点睛】本题主要考查二次函数的综合运用及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与轴交于点C，点A的

坐标为，点B的坐标为点C的坐标为，（1）求抛物线的解析式；（2）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作轴于点G，交于点H，当线段时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，将线段绕点G顺时针旋转一个角，在旋转过程中，设线段与抛物线交于点N，在射线上是否存在点P，使得以P，N，G为顶点的三角形与

相似?如果存在，请求出点P的坐标（直接写出结果）；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，【解析】【分析】（1）根据点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝．带入即可求解抛物线的解析式；（2）由题意，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E

，求解AC直线方程，M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，表示出M和H的坐标，利用线段CM＝CH相等，即可求出点M的坐标；（3）首先确定△ABC是什么三角形，由题意可知△ABC是直角三角形．根据相似三角形边长的比例关系建立关系式，求解边长是否有解，有解即表示存在P点，解出即为坐标；【详解】

（1）设抛物线的解析式为把代入则则所以（2）如图1，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E，设直线AC解析式为y＝kx+b（k≠0），把A（4，0）、C（0，2）代入y＝kx+b，可得，解得：，∴直线AC解析式为，∵点M在抛物线上，点H在AC上

，MG⊥x轴，∴设则∴MH＝∵CM＝CH，OC＝GE＝2，∴MH＝2EH＝，∴解得（舍），所以（3）存在点P，使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似，理由为：∵抛物线与x轴交于A、B两点，A（4，0），A、B两点关于直线x＝成轴对称，∴B（﹣1，0），∴AC＝，BC＝，AB＝5，∴AC2

+BC2＝25，AB2＝52＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∴∠ACB＝90°，线段MG绕G点旋转过程中，旋转角∴∴分∠PNG＝90°或∠GPN＝90°两种情况讨论，每种情况下又根据直角边不同再分类讨论①当∠GPN＝90°时即NP⊥x轴设P点坐标为（n，0

），则N点坐标为∵P在射线GA上∴此时当△NPG∽△ACB时解得：（不符合题意，舍去），∴的坐标为（3，0）；当△NPG∽△BCA时解得：（不符合题意，舍去），∴的坐标为（，0）；②当∠PNG＝90°时作NP⊥x轴于K，此时由射影

定理可得△KPN∽△KNG∽△NGP∴当K分别为、时△KNG与△NG、△NG重合此时△NGP与△ABC相似∵△KPN∽△KNG∴当K与（3，0）重合时KG=1∴此时当K与（，0）重合时KG=∴此时综上所述存在以P，N，G为顶点的三角形与

相似的P点，P点坐标为【点睛】题考查了二次函数和三角形的相似的综合运用．熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键，属于难题．3.已知二次函数（为常数，且）的顶点为，图象与轴交点为，，且点在点左侧．（1

）求，两点的坐标．（2）当时，求的值．（3）在（2）的情况下，将轴下方的图象沿x轴向上翻折，与轴交于点，连接，记上方（含点，）的抛物线为．①设点为上一动点，当取最大值时，求点的坐标．②在上是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理

由．【答案】（1），；（2）；（3）①；②不存在点，见解析【解析】【分析】（1）令y=0，根据可得出，求解即可；（2）由题意可知：点坐标为，根据三角形的面积计算即可；（3）①先求出直线BC的解析式，设点的坐标为，过点向轴作垂线，交于点，根据三角形的面积计算即可；②分两种情况进行判断，当时，，证明也

是等腰直角三角形，根据条件计算即可；当，证得，再根据三角形相似的性质与二次函数的性质计算即可；【详解】解：（1），∵，∴，解得，；∴，；（2）由题意可知：点坐标为，，∵，，∴.∴.（3）①如图2，由（2）可知，点

坐标为.∴直线的解析式为.由翻折可知，的解析式为，设点的坐标为，过点向轴作垂线，交于点，.∵∴有最大值.当时，取最大值，此时.②不存在.详细解答过程：第一种情况，如图3，当时，，∵，∴.∵是等腰直角三角形，∴也是等腰直角三角形，∴，∴，∴点纵坐标为6，设，则时，

代入的解析式得，，∴不存在点；第二种情况，如图4，当，，∴，∵，∴，∴，若，则，∴，设，则，解得，（舍去），∵的对称轴为，，当时，由图易知，∴舍去，∴不存在点；【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，结合三角形相似和等腰

三角形的性质是解题的关键．4.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，－1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行

线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2－4x＋3；（2）=2；（3）存在符合条件的点E，且坐标为：

、、、．【解析】【分析】（1）根据题意可设函数解析式为，然后把点C代入解析式求解即可；（2）由（1）及题意可设直线BC的解析式为y=kx＋3，然后求解，进而可求证△ACD为直角三角形，然后利用面积计算公式求解即可；（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OC

B与△FED相似，则有当∠DFE=90°，即DF∥x轴和当∠EDF=90°，然后进行分类讨论求解即可．【详解】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为，代入C（0，3）后，得：，解得：a=1，∴抛物线的解析式：；（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；设直线BC的

解析式为：y=kx＋3，代入点B的坐标后，得：3k＋3=0，k=－1，∴直线BC：y=－x＋3；由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则D（2，1）；∴，，，即：，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；∴=AD?C

D==2；（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：①∠DFE=90°，即DF∥x轴；将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：，解得当x=2+时，y=－x+3=1－；当x=2－时，y=－x

+3=1+；∴、；②∠EDF=90°，易知，直线AD：y=x－1，联立抛物线的解析式有：，解得；当x=1时，y=-x+3=2；当x=4时，y=-x+3=-1；∴、；综上，存在符合条件的点E，且坐标为：、、、．【点睛】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质

及相似三角形存在性的讨论是解题的关键．5.如图①，在平面直角坐标系xOy中，批物线y＝x2﹣4x＋a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D．（1）求抛物线的对称轴；（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使

得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；（3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q

的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）直线x＝2；（2）；（3）存在，点Q的坐标为（﹣4，27）或（，）或（，）．【解析】【分析】（1）y＝x2﹣4x＋a＝（x﹣2）2＋a﹣4，即可求解；（2）求出直线AM的解析式为y＝﹣2x＋a，联立方程组可解得

点D的坐标（a，－a）；AC是以P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点D关于原点对称，即P（a，－a），将点P（﹣a，a）代入抛物线y＝x2﹣4x＋a，即可求解；（3）分、两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）∵y

＝x2﹣4x＋a＝（x﹣2）2＋a﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝2；（2）由y＝（x﹣2）2＋a﹣4得：A（0，a），M（2，a﹣4），由y＝x﹣a得C（0，﹣a），设直线AM的解析式为y＝kx＋a，将M（2，a﹣4）代人y＝kx＋a中，得2k＋a＝a﹣4，解得k＝﹣2，直线AM的解

析式为y＝﹣2x＋a，联立方程组得，解得，∴D（a，－a），∵a＜0，∴点D在第二象限，又点A与点C关于原点对称，∴AC是以P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点D关于原点对称，即P（－a，a），将点P（﹣a，a）代入抛物线y＝x2﹣4x＋a，解得a＝或a＝0

（舍去），∴a＝；（3）存在，理由如下：当a＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，此时M（2，﹣9），令y＝0，即（x﹣2）2﹣9＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，∴点F（﹣1，0）E（5，0），∴EN＝FN＝3M

N＝9，设点Q（m，m2﹣4m﹣5），则G（m，0），∴EG＝|m﹣5|QG＝|m2﹣4m﹣5|，又△QEG与△MNE都是直角三角形，且∠MNE＝∠QGE＝90°，如图所示，需分两种情况进行讨论：i）当时，即＝

，解得m＝2或m＝﹣4或m＝5（舍去）；当m＝2时点Q与点M重合，不符合题意，舍去，当m＝﹣4时，此时Q坐标为点Q1（﹣4，27）；ii）当时，即＝，，解得m＝或m＝－或m＝5（舍去），当m＝时，Q坐标为点Q2（，），当

m＝－，Q坐标为点Q3（－，），综上所述，点Q的坐标为（﹣4，27）或（，）或（，）．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，平行四边形的性质和判断，相似三角形的判断和性质，综合性强，能力要求高，注意“分类讨论”、“数形结合”数学思想的应用．6.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交

于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作

PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式是y=x2+x+3；（2）|MB﹣MD|取最大值为；（3）存在点P（1，6）．【解析】【分析】（1）根据待定系数

法，可得函数解析式；（2）根据对称性，可得MC=MD，根据解方程组，可得B点坐标，根据两边之差小于第三边，可得B，C，M共线，根据勾股定理，可得答案；（3）根据等腰直角三角形的判定，可得∠BCE，∠ACO，根据相似三角形的判定与性质，可得关于x的方程，根据解方程，可得x，根据自变量与函数

值的对应关系，可得答案．【详解】解：（1）将A（0，3），C（﹣3，0）代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式是y=x2+x+3；（2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，∴对l上任意一点有MD=MC，联立方程组，解得（不符合题意，舍），，∴B（﹣4，1），当点

B，C，M共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为BC的长，过点B作BE⊥x轴于点E，，在Rt△BEC中，由勾股定理，得BC=，|MB﹣MD|取最大值为；（3）存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，在

Rt△BEC中，∵BE=CE=1，∴∠BCE=45°，在Rt△ACO中，∵AO=CO=3，∴∠ACO=45°，∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，过点P作PG⊥y轴于G点，∠PGA=90°，设P点坐标为（x，x2+x+3）（x＞0）①当∠PAQ=∠BAC时，△PAQ∽△CAB，∵∠

PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴，即，∴，解得x1=1，x2=0（舍去），∴P点的纵坐标为×12+×1+3=6，∴P（1，6），②当∠PAQ=∠ABC时，△PAQ∽△CBA，∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC，∴△PGA∽△A

CB，∴，即=3，∴，解得x1=﹣（舍去），x2=0（舍去）∴此时无符合条件的点P，综上所述，存在点P（1，6）．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式；解（2）的关键是利用两边只差小于第三边得出M，B，C共线；解（3）的关键是利用相似三角

形的判定与性质得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏．7.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），点为抛物线的顶点.点在轴的正半轴上，交轴于点，绕点顺时针旋转得到，点恰好旋转到点，连接.（1）求点、、的坐标；（2）

求证：四边形是平行四边形；（3）如图2，过顶点作轴于点，点是抛物线上一动点，过点作轴，点为垂足，使得与相似（不含全等）.①求出一个满足以上条件的点的横坐标；②直接回答这样的点共有几个？【答案】（1），，；（

2）证明见解析；（3）①点P的横坐标为，，，②点P共有3个.【解析】【分析】(1)令y=0，可得关于x的方程，解方程求得x的值即可求得A、B两点的坐标，对解析式配方可得顶点D的坐标；(2)由，CO⊥AF，可

得OF=OA=1，如图2，易得，由此可得，继而证明为等边三角形，推导可得，再由，，可得，问题得证；(3)①设点的坐标为，分三种情况：点在点左侧，点在点右侧，点在之间，分别讨论即可得；②由①的结果即可得.【

详解】(1)令，解得或，故，，配方得，故；(2)∵，CO⊥AF，∴OF=OA=1，如图，DD1⊥轴，∴DD1//CO，∴，∴，即，∴，∴CF==2，∴，即为等边三角形，∴∠AFC=∠ACF=60°，∵∠ECF=∠

ACF，∴，∴，∵CF：DF=OF：FD1=1：2，∴DF=4，∴CD=6，又∵，，∴，∴四边形是平行四边形；(3)①设点的坐标为，(ⅰ)当点在点左侧时，因为与相似，则1)，即，∴(舍)，x2=-11；2)，即，∴(舍)，；(ⅱ)当点在点

右侧时，因为与相似，则3)，即，∴(舍)，(舍)；4)，即，∴(舍)，(舍)；(ⅲ)当点在之间时，∵与相似，则5)，即，∴(舍)，(舍)；6)，即，∴(舍)，；综上所述，点的横坐标为，，；②由①可得这样的点P共有3个.【点睛】本题考查的是函数与几何综合题，涉及了等边三角形的判定与性质，平

行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论并画出符合题意的图形是解题的关键.8.如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．（1）求，

的值；（2）求直线的函数解析式；（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．【答案】（1）；（2）（3），，，【解析】【分析】（1）根据，得出，，将A，B代入得出关于b，c的二元一次方程组求解即可；（2）根据二次函数是，，，得出的横

坐标为，代入抛物线解析式求出，设得解析式为：，将B，D代入求解即可；（3）由题意得tan∠ABD=，tan∠ADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n<0，Q（x，0）且x<3，分①当△PBQ∽△ABD时，

②当△PQB∽△ABD时，③当△PQB∽△DAB时，④当△PQB∽△ABD时四种情况讨论即可．【详解】解：（1）∵，∴，，∴将A，B代入得，解得，∴，；（2）∵二次函数是，，，∴的横坐标为，代入抛物线解析式得∴，设得解析式为：将B，D代入得，解得，∴直线的解析式为；（3）

由题意得tan∠ABD=，tan∠ADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n<0，Q（x，0）且x<3，①当△PBQ∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=，解得n=，tan∠PQB=tan∠AD

B即，解得x=1-，此时Q的坐标为（1-，0）；②当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ADB即=1，解得n=-2，tan∠QPB=tan∠ABD即=，解得x=1-，此时Q的坐标为（1-，0）；

③当△PQB∽△DAB时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=，解得n=，tan∠PQB=tan∠DAB即，解得x=-1，此时Q的坐标为（-1，0）；④当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即=1，解得n=-2，tan∠PQB=tan∠DAB即，解得x=5-，Q

的坐标为（5-，0）；综上：Q的坐标可能为，，，．【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握知识点灵活运用是解题关键．9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，其图象与轴交于点和点，与轴交于点．（1）直接写出抛物线的

解析式和的度数；（2）动点，同时从点出发，点以每秒3个单位的速度在线段上运动，点以每秒个单位的速度在线段上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，连接，再将线段绕点顺时针旋转，设点落在点的位置，若点恰好落在抛物线上，求的值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，

设为抛物线上一动点，为轴上一动点，当以点，，为顶点的三角形与相似时，请直接写出点及其对应的点的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）【答案】（1），；（2）t=，D点坐标为；（3）；；；；；；；

；；；．【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴以及点B坐标可求出抛物线表达式；（2）过点N作于E，过点D作于F，证明，得到，从而得到点D坐标，代入抛物线表达式，求出t值即可；（3）设点P（m，），当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，过点P作PR⊥y轴于点R，过点D作DS⊥x轴于点S，

根据△CPQ∽△MDB，得到，从而求出m值，再证明△CPQ∽△MDB，求出CQ长度，从而得到点Q坐标，同理可求出其余点P和点Q坐标.【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，∴，则b=-3a，∵抛物线经过点B（4，0），∴16a+4b+1=0，将b=-3a代

入，解得：a=，b=，抛物线的解析式为：，令y=0，解得：x=4或-1，令x=0，则y=1，∴A（-1，0），C（0，1），∴tan∠CAO=,∴；（2）由（1）易知，过点N作于E，过点D作于F，∵∠D

MN=90°，∴∠NME+∠DMF=90°，又∠NME+∠ENM=90°，∴∠DMF=∠ENM，，，（AAS），，由题意得：，，，，，，，又，故可解得：t=或0（舍），经检验，当t=时，点均未到达终点，符合题意，此时D点坐标为；（3）由（2）可知：D，t=时，M（，0），B（4，0）

，C（0，1），设点P（m，），如图，当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，过点P作PR⊥y轴于点R，过点D作DS⊥x轴于点S，则PR=m，DS=，若△CPQ∽△MDB，∴，则，，解得：m=0（舍）或1或5（舍），故

点P的坐标为：，∵△CPQ∽△MDB，∴，当点P时，，解得：CQ=，，∴点Q坐标为（0，），；同理可得：点P和点Q的坐标为：；；；；；；；；；；.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，二次函

数表达式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质，难度较大，计算量较大，解题时注意结合函数图像，找出符合条件的情形.10.如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B、C两点．（1）求抛物线的解析

式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、M．，垂足为N．设．①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；②当点P在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使与相

似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）-2，，1；（3）存在，（3，-2）【解析】【分析】（1）根据直线经过B、C两点求出B、C两点的坐标，将B、C坐标代入抛物线可得答案；（2）①由题意得P（m，），D（m，）；根据P、D、M三点中恰有一点是其它

两点所连线段的中点列式计算即可求得m的值；②先证明，得出，再根据与相似得出，则，可得出，求出点P的纵坐标，代入抛物线，即可求得点P的横坐标．【详解】解：（1）由直线经过B、C两点得B（4，0），C（0，-2）将B、C坐标

代入抛物线得，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）①∵，垂足为N．∴P（m，），D（m，），分以下几种情况：M是PD的中点时，MD=PM，即0-（）=解得，（舍去）；P是MD的中点时，MD=2MP，即=2（）解得，（舍去）；D是MP的中点

时，2MD=MP，即=2（）解得，（舍去）；∴符合条件的m的值有-2，，1；②∵抛物线的解析式为：，∴A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）∴AO=1，CO=2，BO=4，∴，又=90°，∴，∴，∵与相似∴，∴，∴，∴点P的纵坐标是-2，代入抛物线，得解得：（舍去），，∴点

P的坐标为：（3，-2）【点睛】本题考查二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定和性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会利用分类讨论的思想

解决数学问题．11.如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标；（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射

线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或．【解析】【分

析】（1）直接将和点代入，解出a，b的值即可得出答案；（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，

即可得出点P的坐标；（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．【详解】（1）抛物线过点和点抛物线解析式为

：（2）当时，直线BC解析式为：过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F设即（3）为等腰直角三角形抛物线的对称轴为点E的横坐标为3又点E在直线BC上点E的纵坐标为5设①当MN=EM，,时解得或（舍去）此时点M的坐标为

②当ME=EN，时解得：或（舍去）此时点M的坐标为③当MN=EN，时连接CM，易知当N为C关于对称轴l的对称点时，，此时四边形CMNE为正方形解得：（舍去）此时点M的坐标为在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶

点的三角形与相似，点M的坐标为：，或．【点睛】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．12.在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（

1）求抛物线的函数表达式（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求

出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，或【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，则可得△AEK∽△DEF，

继而可得，先求出BC的解析式，继而求得AK长，由可得，设点，进而可得，从而可得，再利用二次函数的性质即可求得答案；（3）先确定出∠ACB=90°，再得出直线的表达式为．设点的坐标为，然后分点在直线右侧，点在直线左侧两种情况分别进行讨论即可．【详解】（1）∵抛物线与轴

交于，两点，与轴交于点．∴，∴，∴抛物线的函数表达式为；（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点．则DG//AK，∴△AEK∽△DEF，∴，设直线BC的解析式为y=kx+n，将、代入则有：，解得，∴直线的表达式为，当x=-1时，，即

K（-1，），∴．∵．∴设点，则F点坐标为（m，），∴．∴，当时，有最大值．（3）∵，，．∴AC=，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=25=52=AB2，∴∠ACB=90°，∵过点作直线，直线的表达式为，∴直线的表达式为．设点的坐标为．①当点在直线右侧时，如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥

x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M，∴∠M=∠PNB=90°，∴∠BPN+∠PBN=90°，∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，∴∠QPM=∠PBN，∴，∴，又∵，∴，∴，∵NB=t-4，PN=，∴，∴QM=，PM=，∴

MN=+，，∴点的坐标为．将点的坐标为代入，得，解得：，t2=0（舍去），此时点的坐标为．②当点在直线左侧时．如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M，∴∠M=∠PNB=90°，∴∠BPN+∠PBN=9

0°，∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，∴∠QPM=∠PBN，∴，∴，又∵，∴，∴，∵NB=4-t，PN=，∴，∴QM=，PM=，∴MN=+，，∴点的坐标为．将点的坐标为代入，得，解得：，<0（舍去），

此时点的坐标为．【点睛】本题是二次函数综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键．13.如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴

与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．（1）求出二次函数和所在直线的表达式；（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标；（3）

连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）；（3）存在，点的坐标是．【解析】【分析】（1）将，代入，解出a，b得值即可；求出C点坐标，将C，B代入线段所在直线的表达式，

求解即可；（2）根据题意只要，四边形即为平行四边形，先求出点D坐标，然后求出DE，设点的横坐标为，则，，得出，根据，得，求解即可；（3）由（2）知，，根据与有共同的顶点，且在的内部，只有当时，，利用勾股定理，可得，，根据，即，解出t值

，即可得出答案．【详解】解：（1）由题意，将，代入，得，解得，∴二次函数的表达式，当时，，得点，又点，设线段所在直线的表达式，∴，解得，∴所在直线的表达式；（2）∵轴，轴，∴，只要，此时四边形即为平行四边形，由二次函数，得点，将代入，即，得点，∴，设点的横坐

标为，则，，由，得，解之，得（不合题意舍去），，当时，，∴；（3）由（2）知，，∴，又与有共同的顶点，且在的内部，∴，∴只有当时，，由，，，利用勾股定理，可得，，由（2）以及勾股定理知，，，∴，即，∵，

∴，∴，当时，，∴点的坐标是．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，灵活运用知识点是解题关键．14.如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是

抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3)或或

或．【解析】【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．【详解】

解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：…①；(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，，∵，故有最大值，当时，其最大值为；(3)∵，∴，∵，故与相似时，分为两

种情况：①当时，，，，过点A作AH⊥BC与点H，，解得：，∴CH＝则，则直线OQ的表达式为：…②，联立①②并解得：，故点或；②时，，则直线OQ的表达式为：…③，联立①③并解得：，故点或；综上，点或或或

．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．