【文档说明】新教材高一数学第二学期期末试卷03（原卷版+教师版）.doc，共(18)页，960.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高一数学第二学期期末试卷数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11i+的虚部是A.12−B.12C.1i2D.1i2−2.设向量(2,1)a

=r，(3,)bm=r，ab⊥rr，则m=（）A.-6B.32−C.16−D.323.设空间中的平面及两条直线a，b满足a且b，则“ab=”是“//a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不

必要条件4.某地区对居民用电实行阶梯电价以提高能源效率，统计该地区每户居民月均用电量，得到相关数据如表：分位数50%分位数60%分位数70%分位数80%分位数90%分位数户月均用电量（单位：kWh）150162173195220如果将该地区居民用户的月均用

电量划分为三档，第一档电量按照覆盖70%的居民用户的月均用电量确定，第二档电量按照覆盖90%的居民用户的月均用电量确定，则第二档电量区间为（）A.(162,173]B.(173,195]C.(173,220]D.(220,)+5.已知ABCV的面积为32ABACuuuruuur，则BAC=（

）A.π6B.π4C.π3D.2π36.在正方体1111ABCDABCD−中，与直线1AB不垂直的直线是（）A.1ABB.BCC.1ADD.1BD7.已知某圆台上下底面的面积之比为1∶9，侧面积为16π3，母线长为2，则该圆台的高为（）A.

2B.253C.43D.18.从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，则恰好抽到一对夫妇的概率为（）A.16B.15C.14D.13二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.9.关于复数z及其共轭复数z，下列说法正确的是（）A.zz+RB.||||zz=C.2||zzz=D.||||zzzz=10.设平面向量||1a=r，||2b=r，br在ar方向上的投影向量为cr，则（）A.accb=rrrrB.abac=rr

rrC.||2acrr„D.||||acac=rrrr11.已知100个零件中恰有2个次品，现从中不放回地依次随机抽取两个零件，记事件1A=“第一次抽到的零件为次品”，事件2A=“第二次抽到的零件为次品”，事件A=“抽到的两个零件中有次品”

，事件B=“抽到的两个零件都是正品”，则（）A.()()12PAPA=B.()()12()PAPAPA=+C.()()()=+PABPAPBD.()()12()11PBPAPA=−−12.某学校规定，若五个工作日内学校某天有超过3个人的体温测

量值高于37.5℃，则需全员进行核酸检测.该校统计了五个工作日内每天体温超过37.5℃的人数，则根据这组数据的下列信息，能断定该校不需全员进行核酸检测的是（）A.中位数是1，平均数是1B.中位数是1，众数是0C.中位数是2，众数是2D.平均数是2，方差是0.8三、填空题：本题共4

小题，每小题5分，共20分.13.在ABCV中，2BC=，2AC=，3π4BCA=，则AB=__________.14.如图，边长为2的正方形ABCD是用斜二测画法得到的四边形ABCD的直观图，则四边形ABCD的面积为__________.15.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数

之和为8的概率是__________.16.如图，ABCD是棱长为6的正四面体，,EF为线段AB的三等分点，,GH为线段CD的三等分点，过点EFGH，，，分别作平行于平面BCD，平面ACD，平面ABD，平面ABC的截面，则正四面体ABCD被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为_______

____.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABCV中，3AB=，2AC=，π3A=，点D，E分别在边AB，BC上，且ADDB=uuuruuur，2BEEC=uuuruuur，设DExAByAC=+uuuruuur

uuur.（1）求x，y的值；（2）求||DEuuur.18.某学校派出甲、乙、丙三名同学参加英语演讲比赛，已知甲、乙、丙三人晋级的概率分别为13，34，23，且三人是否晋级彼此独立.（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人晋级的概率；（2）求甲、乙、丙三人中

恰有两人晋级的概率.19.如图，在正三棱柱111ABCABC−中，M，N分别为棱1AA，BC的中点.（1）证明：//AN平面1BMC；（2）证明：平面1BMC⊥平面11BBCC.20.学校统计了高三年级1000名学生的某次数学考试成绩，已

知所有学生的成绩均在区间100,150内，且根据统计结果绘制出如下频率分布表和频率分布直方图.分组频数频率)100,1100.05)110,120)120,130400)130,1400.3140,1500.1合计10001（1）求图中a的值；（2）试估计这1000名学

生此次数学考试成绩的中位数.21.如图1，在梯形ABCD中，//ABCD，ADDC⊥，224ABADCD===，将ADB△沿DB折成如图2所示的三棱锥PDBC−，且平面PDB⊥平面DBC.（1）证明：PDBC⊥；（2）设N为线段PC的中点，求直线DN与平面PBC所成角的正切值.22

.如图，边长为2的等边ABCV所在平面内一点D满足CDtAB=uuuruuur（0t），点P在边BC上，||PBm=uuur.PDB△的面积为3，记aAB=uuurr，bAC=uuurr.（1）用ar，br及m表示PCuuur；（2

）求CBPDuuuruuur的最小值.新教材高一数学第二学期期末试卷数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.1.复数11i+的虚部是A.12−B.12C.1i2D.1i2−【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算，将分子分母同乘以分母的共轭复数，化简为复数的标准形式a+bi(a,b∈R)，b即为虚部.【详解】(

)()11i1i11i1i1i1i222−−===−++−，所以复数11i+的虚部是12−．2.设向量(2,1)a=r，(3,)bm=r，ab⊥rr，则m=（）A.-6B.32−C.16−D.32【答案】A【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数即可.【详解】由题意，60abm=+=

rr，即6m=−.故选：A3.设空间中的平面及两条直线a，b满足a且b，则“ab=”是“//a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由直线、

平面的位置关系，结合充分和必要条件定义作出判断.【详解】当ab=时，因为a且b，所以a与可能相交；当//a时，因为a且b，所以ab=；即“ab=”是“//a”的必要不充分条件.故选：B4.某地区对居民用电实行阶梯电价以提高能源效率，统计该地区每户居民月均用电量，

得到相关数据如表：分位数50%分位数60%分位数70%分位数80%分位数90%分位数户月均用电量（单位：kWh）150162173195220如果将该地区居民用户的月均用电量划分为三档，第一档电量按照覆盖70%的居民用户的月均用电量确定，第二档电量按照覆盖90%的居民用户

的月均用电量确定，则第二档电量区间为（）A.(162,173]B.(173,195]C.(173,220]D.(220,)+【答案】C【解析】【分析】根据题设户均用电量的百分位数对应的值，结合电量覆盖要求即可

得第二档电量区间.【详解】由题意，第一档用电量区间为(0,173]，第二档用电量区间为(173,220].故选：C5.已知ABCV的面积为32ABACuuuruuur，则BAC=（）A.π6B.π4C.π3D.2π3【

答案】C【解析】【分析】由向量数量积的定义及三角形面积公式可得3cossinBACBAC=，结合三角形内角性质即可求BAC.【详解】由题设，33||||cos22ABCSABACABACBAC==Vuuur

uuuruuuruuur，又1||||sin2ABCSABACBAC=Vuuuruuur，所以3cossinBACBAC=，即tan3BAC=，而0BAC，故π3BAC=.故选：C6.在正方体

1111ABCDABCD−中，与直线1AB不垂直的直线是（）A.1ABB.BCC.1ADD.1BD【答案】C【解析】【分析】在正方体中，借助线面垂直关系进行判断.【详解】如图所示，在正方形11ABBA中，11ABAB⊥；因为BC⊥

平面11ABBA，故1BCAB⊥；连接1BC、AC，因为11//BCAD，所以1AB与1AD所成的角为60，不垂直；易得1BD⊥平面1ABC，所以11BDAB⊥；所以C正确.故选：C.7.已知某圆台上下底面的面积之比为1

∶9，侧面积为16π3，母线长为2，则该圆台的高为（）A.2B.253C.43D.1【答案】B【解析】【分析】设圆台的上底面半径为r，母线长为l，高为h，由题意确定下底面的半径为3r，由圆台的侧面积公式求出r，由此求解圆台的高即可．【详解】

解：设圆台的上底面半径为r，母线长为l，高为h，因为圆台的上底面面积是下底面面积的19倍，所以下底面的半径为3r，又母线长2l=，圆台的侧面积为16π3，则3(3)2(316π)rrlrr+=+=，解得23r=，则圆台的高223222523h=−−=．故选：B．8.从三对夫妇中随机

抽选2人参加采访活动，则恰好抽到一对夫妇的概率为（）A.16B.15C.14D.13【答案】B【解析】【分析】根据题意，列举出从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动的情况，进而结合古典概型求解即可.【详解】解：设()(

)()121212,,,,,aabbcc分别表示三对夫妇，从中随机抽选2人参加采访活动的情况有：()()()()()1211121112,,,,,,,,,,aaababacac()()()()21222122,,,,,,,ababacac，()()()121112,,,,,bbbcb

c，()()2122,,,bcbc，()12,cc，共15种；其中，恰好抽到一对夫妇的概率为()()()121212,,,,,aabbcc，共3种，所以，恰好抽到一对夫妇的概率为31155P==.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每

小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.关于复数z及其共轭复数z，下列说法正确的是（）A.zz+RB.||||zz=C.2||zzz=D.||||zzzz=【答案】ABD【解析】【分

析】根据题意，设i,,zababR=+，则izab=−，进而依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：根据题意，设i,,zababR=+，izab=−，则2zza+=R，22||||zzab==+，22222,2iz

zabzabab=+=−+，22||||zzzzab==+，故选：ABD10.设平面向量||1a=r，||2b=r，br在ar方向上的投影向量为cr，则（）A.accb=rrrrB.abac=rrrrC.||

2acrr„D.||||acac=rrrr【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积的定义，逐一验证，即可求解.【详解】解：对于AB,如图，当45=o时，2cos,,cosacacccbcbaaacbb=====rrrrrrrrrrrrrrr，均不相等

，故AB错误，因为||||1ca=rr，2||||||cos||2acacc==rrrrr,故C对，||||cosacac=rrrr，故D错误.故选：C.11.已知100个零件中恰有2个次品，

现从中不放回地依次随机抽取两个零件，记事件1A=“第一次抽到的零件为次品”，事件2A=“第二次抽到的零件为次品”，事件A=“抽到的两个零件中有次品”，事件B=“抽到的两个零件都是正品”，则（）A.()()12PAPA=B.

()()12()PAPAPA=+C.()()()=+PABPAPBD.()()12()11PBPAPA=−−【答案】AC【解析】【分析】利用事件之间的关系，结合概率的加法、乘法公式求解.【详解】1211

100C1()C50PA==，2492111()509950PA+==，所以A正确；因为12AA，12AAA=U，故()()1212()()PAPAPAPAA=+−I，所以B错误；因为AB=I，AB=U,即A、B为对立事件，故()()()=+PABPAPB，所以C正确；2

982100A9897()A10099PB==，()()124949115050PAPA−−=()PB，所以D错误.故选：AC.12.某学校规定，若五个工作日内学校某天有超过3个人的体温测量值高于37.5℃

，则需全员进行核酸检测.该校统计了五个工作日内每天体温超过37.5℃的人数，则根据这组数据的下列信息，能断定该校不需全员进行核酸检测的是（）A.中位数是1，平均数是1B.中位数是1，众数是0C.中位数是2，众数是2D.平均数是2，方差是0.8【答案】AD【解析

】【分析】利用中位数、众数、平均数和方差的定义逐项判断.【详解】A.因为中位数是1，设五个工作日内每天体温超过37.5℃的人数为从小到大的顺序为a，b，1，c，d，因为平均数是1，所以15abcd++++=，若4d=，则0abc===，不合题意，

故正确；B.设五个工作日内每天体温超过37.5℃的人数为从小到大的顺序为0，0，1，2，4，满足中位数是1，众数是0，但有一天超过3，故错误；C.设五个工作日内每天体温超过37.5℃的人数为从小到大的顺序为0，2，2，

3，4，满足中位数是2，众数是2，但有一天超过3，故错误；D.设五个工作日内每天体温超过37.5℃的人数为a，b，c，d，e，因为平均数是2，方差是0.8，则10abcde++++=，()()()()()222221222220.85abcde

−+−+−+−+−=，即()()()()()22222222224abcde−+−+−+−+−=，则4e，若4e=，从方差角度来说2abcd====，不满足10abcde++++=，所以4e，故正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共

20分.13.在ABCV中，2BC=，2AC=，3π4BCA=，则AB=__________.【答案】10【解析】【分析】已知两边及其夹角，利用余弦定理求解第三边.【详解】在ABCV中，2BC=，2AC=，3π4BCA=，由余弦定理得，2222232cos(2

)2222cos4ABBCACBCACBCA=+−=+−224222()102=+−−=所以10AB=.故答案为：10.14.如图，边长为2的正方形ABCD是用斜二测画法得到的四边形AB

CD的直观图，则四边形ABCD的面积为__________.【答案】82【解析】【分析】根据题意，求出直观图正方形ABCD的面积，由直观图和原图的面积关系分析可得答案．【详解】解：根据题意，正方形ABCD的边长为2，其面积2

24S==，其该平面图形的面积2282SS==，故答案为：82．15.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数之和为8的概率是__________.【答案】536【解析】【分析】先计算基本事件的样本空

间，再计算所求事件的种数，按照古典概型计算即可.【详解】连续投掷2次，骰子点数的样本空间为6636=，2次点数之和为8的有：()()()2,6,3,5,4,4，故有2215+=种，其概率为536；故答案为：536.16.如图，ABCD是棱长为6的正四面体，,EF为线段AB的三等分点，

,GH为线段CD的三等分点，过点EFGH，，，分别作平行于平面BCD，平面ACD，平面ABD，平面ABC的截面，则正四面体ABCD被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为___________.【答案】4623【解析

】【分析】根据题意，取BCD△中心O，连接OA，进而得OA⊥平面BCD，再根据几何体关系计算得182ABCDV−=，223AEMNV−=，进而得正四面体ABCD被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为46243ABCDAEMNVVV−−=−=.【详解】解：如图，取BCD△中心O

，连接OA，因为ABCD是棱长为6的正四面体，所以OA⊥平面BCD，根据几何关系：23BO=，6AB=，26AO=，所以正四面体ABCD的体积为：111366261823322ABCDBCDVSOA−===V，因

为平面//EMN平面BCD，E为线段AB的三等分点，所以19EMNBCDSS=△△，三棱锥AEMN−的高13hOA=，所以1118222327273AEMNEMNABCDVShV−−====V，所以正四面体ABCD被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为82462418233AB

CDAEMNVVV−−=−=−=.故答案为：4623四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABCV中，3AB=，2AC=，π3A=，点D，E分别在边AB，BC上，且ADDB=uuuruuur，2BEEC=uuuruuur，设DExABy

AC=+uuuruuuruuur.（1）求x，y的值；（2）求||DEuuur.【答案】（1）16x=−，23y=（2）76【解析】【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得2163ABADCE+=−uuuuuruuruur，即可得解；（2）根据数量

积的定义求出ABACuuuruuur，再根据222316DAEABC=+−uuuuuuuururr，利用数量积的运算律计算可得；【小问1详解】解：因为ADDB=uuuruuur，2BEEC=uuuruuur，所以12DBAB=uuuruu

ur，23BEBC=uuuruuur，所以()121212232363DEDBBEABBCABACABABAC=+=+=+−=−+uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur所以16x=−，23y=；【小问2详解】

解：因为1cos3232ABACABACA===uuuruuuruuuruuur，所以222211263246993DABACABACABCEA=++−−=uuuruuuruuuruuuruuuruuuurruu224912369ABACAB

AC+−=uuuruuuruuuruuur2244932393612369=+−=，所以76DE=uuur；18.某学校派出甲、乙、丙三名同学参加英语演讲比赛，已知甲、乙、丙三人晋级的概率分别为13，34，23，且三人是否晋级彼此独立.

（1）求甲、乙、丙三人中至少有一人晋级的概率；（2）求甲、乙、丙三人中恰有两人晋级的概率.【答案】（1）1718；（2）1736.【解析】【分析】（1）正难则反，先求三个人全没有晋级的概率，再用对立事件求概率

即可；（2）分成三种情况，分别考虑其中有一人没有晋级的情况.【小问1详解】设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为A，依题意13217()111134318PA=−−−−=；【小问2详解】设甲乙丙三人至

少一人晋级的事件为B，依题意13213213217()11134334334336PB=−+−+−=.19.如图，在正三棱柱111ABCABC−中，M，N分别为棱1AA，B

C的中点.（1）证明：//AN平面1BMC；（2）证明：平面1BMC⊥平面11BBCC.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取1BC的中点D，连接ND，MD，即可得到四边形AMDN为平行四边形，从而得到//ANMD，即可得证；（2）依题意可得1BBAN⊥、BCA

N⊥，即可得到AN⊥平面11BBCC，再由//ANMD，即可得到MD⊥平面11BBCC，从而得证；【小问1详解】证明：取1BC的中点D，连接ND，MD，因为M，N分别为棱1AA，BC的中点，所以11////NDCCAA，112NDCCAM==，所以四边形AMDN为平行四边

形，//ANMD，又MD平面1BMC，AN平面1BMC，//AN平面1BMC；【小问2详解】证明：∵1BB⊥平面ABC，AN平面ABC，所以1BBAN⊥，又BCAN⊥，1BCBBB=I，1,BCBB平面11BBCC，所以AN⊥平面11BBCC，

因为//ANMD，所以MD⊥平面11BBCC，又MD平面1BMC，所以平面1BMC⊥平面11BBCC；20.学校统计了高三年级1000名学生的某次数学考试成绩，已知所有学生的成绩均在区间100,150内，且根据统计结果绘制出如下频率分布表

和频率分布直方图.分组频数频率)100,1100.05)110,120)120,130400)130,1400.3140,1500.1合计10001（1）求图中a的值；（2）试估计这1000名学

生此次数学考试成绩的中位数.【答案】（1）0.015a=；（2）127.5.【解析】【分析】（1）补全直方表数据，根据频率和为1求参数a；（2）利用直方表及中位数的求法求1000名学生此次数学考试成绩中位数.【小问1详解】由题设，频率直方表如下：分组频

数频率)100,110500.05)110,12015010a)120,1304000.4)130,1403000.3140,1501000.1合计10001所以100.15a=，可得0.015a=.【小问2详解】由（1）知：0.05100.20.50.05100.40.

6aa+=++=，所以中位数位于)120,130内，令中位数为x，则0.0510(120)0.040.2(120)0.040.5axx++−=+−=，可得127.5x=.21.如图1，在梯形ABCD中，//A

BCD，ADDC⊥，224ABADCD===，将ADB△沿DB折成如图2所示的三棱锥PDBC−，且平面PDB⊥平面DBC.（1）证明：PDBC⊥；（2）设N为线段PC的中点，求直线DN与平面PBC所成

角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）233.【解析】【分析】（1）由已知及勾股定理可证BDBC⊥，再由面面垂直的性质证BC⊥面PDB，根据线面垂直的性质证结论.（2）由等体积法有CPBDDPBCVV−−=求出D

到面PBC距离，再证明PDPC⊥求出DN，即可求线面角的正弦值，进而求其正切值.【小问1详解】由224ABADCD===，且//ABCD，ADDC⊥，所以等腰Rt△ABD中22BD=，若E为CD中点，则ABED为正方形，所以

BECD⊥，且2BEDEEC===，故22BC=，所以222BDBCCD+=，则BDBC⊥，又面PDB⊥平面DBC，面PDBI平面DBCBD=，BC平面DBC，所以BC⊥面PDB，而PD面PDB，则PDB

C⊥.【小问2详解】由（1）知：BC⊥面PDB，且PBD△为等腰直角三角形，所以122PBDSPBPD==V，而22BC=，故14233CPBDPBDVBCS−==V，由PB面PDB，有PBBC⊥，而2PBAB==，且CPBDDPBCVV

−−=，所以1222PBCSPBBC==V，若D到面PBC距离为h，则14233PBChS=V，所以2h=.由（1），2PD=，4CD=，而2223PCPBBC=+=，故222PDPCCD+=，所以PDPC⊥，而N为线

段PC的中点，故3PN=，所以227DNPNPD=+=，若直线DN与平面PBC所成角为，则2sin7hDN==，故23tan3=.22.如图，边长为2的等边ABCV所在平面内一点D满足CDtAB=uuuruuur（

0t），点P在边BC上，||PBm=uuur.PDB△的面积为3，记aAB=uuurr，bAC=uuurr.（1）用ar，br及m表示PCuuur；（2）求CBPDuuuruuur的最小值.【答案】（1）

2222mmPCba−−=−uuurrr（2）4【解析】【分析】（1）根据向量的运算求解即可；（2）由题知2222PDmmbta−−−−=uruurr，CBab=−uuurrr，进而得224CmBtPD+−=uuuruuur，设

三角形PBD在PB边上的高为h，根据几何关系得2tm=，再结合基本不等式求解即可.【小问1详解】解：因为ABCV是边长为2的等边三角形，||PBm=uuur，所以，2PCm=−，所以2222222222mmmmmPCBCACA

Bba−−−−−==−=−uuuruuuruuuruuurrr【小问2详解】解：因为22222222mmmmbatPDPCCaaDbt−−−−−+=−−=+=rrruuuruuuruuurrr，CBABACab=−=−uuuruuuruuurrr，12222ab==rr，2ab

==rr，所以，()2222CBmmDbaPbta=−−−−−ruuuruuurrrr2224222424222mmmtttmm−−−−−+−=+−=−−，设三角形PBD在PB边上的高为h，则132m

h=，所以23hm=，因为CDtAB=uuuruuur（0t），所以//,60CDABBCD=ouuuruuur，所以123122sin6022BCDStm==o△，即4tm=，所以，882242422484=4tmmmmmCB

PD+−==+−−=−uuruuur，当且仅当82mm=，即2m=时等号成立，所以CBPDuuuruuur的最小值为4.