【文档说明】新教材高一数学第二学期期末试卷04（原卷版+教师版）.doc，共(23)页，1.397 MB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-257672.html

以下为本文档部分文字说明：

新教材高一数学第二学期期末试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题（每小题5分，共8小题，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设复数12iz=−，则z在复平面中对应的点在

（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，已知甲、乙两人命中目标的概率分别为1223，，则至少有一人命中目标的概率（）A.12B.56C.13D.233.现

有5个数，其平均数是1，且这5个数的平方和是20，那么这组数的方差是（）A.3B.5C.3D.54.已知l，m，n是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.若⊥，//n，则n//B.若//m，//m，

则//C.若n=I，//mn，则//mD.若m，n是异面直线，//m，//n，lm⊥且ln⊥，则l⊥5.已知圆锥的母线长为2，母线与底面所成的角为60，则该圆锥的侧面积为（）A.2B.4C.23

D.436.某指挥中心A接到在其北偏东60相距5海里的甲船抛锚等待救援信号，指挥中心迅速通知在A西偏北30相距3海里的乙船前去救援，若乙船的速度是20海里/小时，则乙船需要航行（）小时A.320B.14C.720D.137.如图所示，在平行四边

形ABCD中，记ABa=uuurr，ADb=uuurr，若2DEEC=uuuruuur，AEBD交于F点，则=AFuuur（）A.3552ab+rrB.2355ab+rrC.2133ab+rrD.1233ab+rr8.某人用下述方法证明了正弦

定理：直线l与锐角ABC的边AB，AC分别相交于点D，E，设BCa=，=CAb，ABc=，90ADE=，记与DEuuur方向相同的单位向量为ir，ABBCAC+=uuuruuuruuurQ，∴()iABBCiAC+=ruuuruuurru

uur，进而得iABiBCiAC+=ruuurruuurruuur，即：()()cos90cos90aBbA−=−，即：sinsinaBbA=，钝角三角形及直角三角形也满足．请用上述方法探究：如图所示，直线l与锐角ABC的边AB，AC分别

相交于点D，E，设BCa=，=CAb，ABc=，ADE=，则与ABC的边和角之间的等量关系为（）A.()()cos+coscosaBbAc+−=B.()()coscossinaBbAc++−=C.()()co

scossinaBbAc−++=D.()()coscoscosaBbAc−++=二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.

一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有（）A.2个小球恰有1个红球B.2个小球不全为黑球C.2个小球至少有1个黑球D.2个小球都为黑球10.

已知向量()3,1a=r，()()cos,sin0b=r，()1,0c=r，则下列命题正确的是（）A.若ab⊥rr，则tan3=B.存在，使得abab+=−rrrrC.向量)312(2,e=r是与ar共

线的单位向量D.ar在cr上的投影向量为3cr11.函数()()sinfxx=+02，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数()fx的一个对称中心为,06B.直线1112x

=−是函数()fx图象的一条对称轴C.若()()122fxfx−=，则21xx−的最小值为2D.方程()=fxa在区间0,2上只有一个根时，实数a的取值范围为33(){1}22−U，12.如图，

在边长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别是棱1BB，11BC的中点，G是棱1CC上的动点，则下列说法正确的是（）A.当G为中点时，直线AGP平面1AEFB.当G为中点时，直线AG与EF所成的角为30C.若H是棱1AA上的动点，且1CGAH=，则平面1ACD⊥平面1BHGD.当

G在1CC上运动时，直线AG与平面11AADD所成的角的最大值为45第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（每小题5分，共4小题，共20分．）13.设复数()2212izmmm=−+−−为纯虚数，则复数1z−的模为___________.14

.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉样物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从40只“冰墩墩”，30只“雪容融”和20个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若

“冰墩墩”抽取了4只，则n为__________．15.在ABCV中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若()()3abcabcab+++−=，且2abc=，则sinbaA的值为______16.一种奖杯是由一个水晶球和一个托盘组成，如

图①所示，托盘由边长为4的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②所示，球心O到托盘底面的距离为433，则球的体积为__________．四、解答题（共6小题，共70分.17题10分，18-22每小题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量a

r，br满足(3,1)a=r，(2)(2)12abab−+=−rrrr，23ab=rr．（1）求向量ar与br的夹角；（2）求3ab−rr．18.将函数()πsin6fxx=−的图象上所有点的横坐标

缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向左平移π6个单位长度，得到函数()gx的图象．（1）求函数()gx的解析式及最小正周期；（2）在ABCV中，若()21gA=，2AC=，7BC=，求ABCV的面积．9.正三棱柱111ABCABC−中

，1AB=，12BB=，点,DE分别为11,BBAC的中点．（1）求证：//DE面ABC；（2）求三棱锥1CACD−的体积．20.某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分15

0分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，11

7，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方

图．（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数；（2）估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代表替）；（3）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人

的成绩不在同一组的概率．21.如图所示，四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，点P在底面的投影O点恰好是菱形ABCD对角线交点，点E为侧棱PC中点，若60BAD=，2AB=，3PO=．（1）求证：平面PBC⊥平面BD

E；（2）点Q在线段PA上，且2PQQA=，求二面角QBDE−−的平面角的正弦值．22.为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为2百米的半圆，出入口在圆心D处，C点为一居民小区，CD距离为2百米，按照设计要求，取圆

弧上一点A，并以线段AC为一边向圆外作等边三角形ABC，使改造之后的公园成四边形ABCD，并将BCD△区域建成免费开放的植物园，如图所示．设ADC=．（1）当5π6=，求四边形ABCD的面积；（2）当为何值时，线段BD最长并求最长值.新教材高一数学第二学期期末试卷本试卷

分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题（每小题5分，共8小题，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设复数12iz=−，则z在复平面中对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四

象限【答案】A【解析】【分析】化简复数，再由复数的几何意义即可得出答案.【详解】()()12i2i21i2i2i2i555z++====+−−+，z在复平面中对应的点为21,55，在第一象限.故选：A.2.甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，已知甲、乙两人命中目

标的概率分别为1223，，则至少有一人命中目标的概率（）A.12B.56C.13D.23【答案】B【解析】【分析】先求出甲、乙两人各射击一次，一人都未命中目标的概率，再由对立事件即可求出至少有一人命中目标的概率.

【详解】甲、乙两人各射击一次，一人都未命中目标的概率为:12111236−−=，至少有一人命中目标的概率：15166−=.故选：B.3.现有5个数，其平均数是1，且这5个数的平方和是20，那么这组数的方差是（）A.3B.5C.3D

.5【答案】C【解析】【分析】根据方差公式直接化简计算可得.【详解】设这5个数为125,,,xxxL，则1x=，22212520xxx+++=L，则这组数的方差是()()()222212515sxxxxxx=−+−++−L()()22221251251255xx

xxxxxx=+++−++++LL()21202155135=−+=.故选：C.4.已知l，m，n是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.若⊥，//n，则

n//B.若//m，//m，则//C.若n=I，//mn，则//mD.若m，n是异面直线，//m，//n，lm⊥且ln⊥，则l⊥【答案】D【解析】【分析】根据空间中线面、面面位置关系的判定定理与性质定理判断即可；【详解】解：对于A，若⊥，//n，则n或//n

或n与相交，故A错误；对于B，若//m，//m，则//或与相交，故B错误；对于C，若n=I，//mn，则m或//m，故C错误；对于D，若m，n是异面直线，//m，//n，lm⊥，且ln⊥，则由线面垂直的判定定理得l⊥，故D正确．故选

：D．5.已知圆锥的母线长为2，母线与底面所成的角为60，则该圆锥的侧面积为（）A.2B.4C.23D.43【答案】A【解析】【分析】由给定条件列出关于圆锥底面圆半径r，圆锥母线l的关系式，进而求出圆锥的侧面积

.【详解】设圆锥的底面圆半径为r，圆锥母线为l，由圆锥的结构特征知：cos60rl=o，即l=2r，所以1r=，圆锥侧面积2Srl==.故选：A6.某指挥中心A接到在其北偏东60相距5海里的甲船抛锚等待救援信号，

指挥中心迅速通知在A西偏北30相距3海里的乙船前去救援，若乙船的速度是20海里/小时，则乙船需要航行（）小时A.320B.14C.720D.13【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理计算出甲乙两船的距离即可求出

.【详解】如图，设甲在B处，乙在C处，由题可得5,3,120ABACBAC===，在ABCV中，由余弦定理得222153253492BC=+−−=，所以7BC=，所以乙船需要航行720小时.故选：C.7.如图所示，在

平行四边形ABCD中，记ABa=uuurr，ADb=uuurr，若2DEEC=uuuruuur，AEBD交于F点，则=AFuuur（）A.3552ab+rrB.2355ab+rrC.2133ab+rrD.1233ab+rr【答案】B【解析】【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到AF与A

E的比，再利用平面向量的线性运算与表示，即可求出要求的向量.【详解】因为2DEEC=uuuruuur，所以2233DEDCAB==，在ABCDY中，ABFEDFVV∽，则32AFABEFDE==，则35AFAE=，所以()3

332322355535555AFAEADDEADABADABab==+=+=+=+uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurrr，故选：B.8.某人用下述方法证明了正弦定理：直线l与锐角ABC的边AB，AC分别相交于点D，E，设BCa=，=CA

b，ABc=，90ADE=，记与DEuuur方向相同的单位向量为ir，ABBCAC+=uuuruuuruuurQ，∴()iABBCiAC+=ruuuruuurruuur，进而得iABiBCiAC

+=ruuurruuurruuur，即：()()cos90cos90aBbA−=−，即：sinsinaBbA=，钝角三角形及直角三角形也满足．请用上述方法探究：如图所示，直线l与锐角ABC的边AB，AC分别相交于点D，E，设BCa=，=CAb，ABc=，ADE

=，则与ABC的边和角之间的等量关系为（）A.()()cos+coscosaBbAc+−=B.()()coscossinaBbAc++−=C.()()coscossinaBbAc−++=D.()()coscoscosaBbAc−++=【答案】D

【解析】【分析】根据向量的加法法则及向量的数量积的运算，结合诱导公式即可求解.【详解】∵ABBCAC+=uuuruuuruuur，∴()iABBCiAC+=ruuuruuurruuur，进而得iABiBCiAC+=ruuurruuurru

uur，即cos()cos()cos()cπaBbπA−+−=−+，即coscos()cos()caBbA−+−=−+，即cos()cos()cosaBbAc−++=．故选：D.二、多项选择题

（每小题5分，共4小题，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“

2个小球都为红球”互斥而不对立的事件有（）A.2个小球恰有1个红球B.2个小球不全为黑球C.2个小球至少有1个黑球D.2个小球都为黑球【答案】AD【解析】【分析】根据互斥与对立的事件的定义即可得出答案.【详解】一个口袋内装有大小、形状相同的红球、黑球各2个，一次任意取出2个小球，这2个球可能

为：2个红球，2个黑球，1个红球1个黑球共3种情况，与事件“2个小球都为红球”互斥而不对立的事件：2个小球恰有1个红球或2个小球都为黑球.故选：AD.10.已知向量()3,1a=r，()()cos,sin0b=r，()1,0c=r，则下列命

题正确的是（）A.若ab⊥rr，则tan3=B.存在，使得abab+=−rrrrC.向量)312(2,e=r是与ar共线的单位向量D.ar在cr上的投影向量为3cr【答案】BCD【解析】【分析】根据向量关系依次计算判断即可.【详解】对A，若ab⊥rr，则3cossin0ab=+=rr，

则tan3=−，故A错误；对B，要使abab+=−rrrr，则0ab=rr，则tan3=−，因为0，所以23=，故存在，使得abab+=−rrrr，故B正确；对C，因为1331022−=，所以//aerr，又2213122e

=+=r，所以向量)312(2,e=r是与ar共线的单位向量，故C正确；对D，因为()1,0c=r为单位向量，则ar在cr上的投影向量为3acccc=rrrrr，故D正确.故选：BCD.11.函数()()sinfxx=+02

，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数()fx的一个对称中心为,06B.直线1112x=−是函数()fx图象的一条对称轴C.若()()122fxfx−=，则21xx−的最小值为2D.方程()=fxa在区间0,2上只有一个根时，实数a的取值范围

为33(){1}22−U，【答案】BC【解析】【分析】先根据函数图象求出函数解析式，然后逐个分析判断即可【详解】由函数图象可得41264T=−−=，所以T=，所以2=，得2=，所以()()sin2fxx=+，因为点

,112在函数图象上，所以sin2112+=，得2,Z62kk+=+，所以2,Z3kk=+，因为2，所以3=，所以()sin23fxx=+，

对于A，因为3sin206632f=+=，所以,06不是函数()fx的对称中心，所以A错误，对于B，因为11113sin2sin1121232f−=−+=−=，所以直线11

12x=−是函数()fx图象的一条对称轴，所以B正确，对于C，因为()()12maxmin2()()fxfxfxfx−==−，所以21xx−的最小值为22T=，所以C正确，对于D，当0,2x时，4

2,333x+，因为方程()=fxa在区间0,2上只有一个根，所以由图可知1a=或3322a−，即实数a的取值范围为33{1}22−U，，所以D错误，故选：BC12.如图，在边长为2的正方体1111ABCDABCD

−中，点E，F分别是棱1BB，11BC的中点，G是棱1CC上的动点，则下列说法正确的是（）A.当G为中点时，直线AGP平面1AEFB.当G为中点时，直线AG与EF所成的角为30C.若H是棱1AA上的动点，且1CG

AH=，则平面1ACD⊥平面1BHGD.当G在1CC上运动时，直线AG与平面11AADD所成的角的最大值为45【答案】ACD【解析】【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，利用向量关系依次求解每个选项即可判断.【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系

，设1,02CGtt=，当G为中点时，()()()()()10,2,1,2,0,0,2,0,2,2,2,1,1,2,2GAAEF，所以()()()()112,2,1,0,2,1,1,2,0,1,0,1AGAEAFEF=−−=−=−=−uuuruuuru

uuuruuur,设平面1AEF的一个法向量为(),,nxyz=r，则1100nAEnAF==uuuvvuuuuvv，即2020yzxy−=−+=，令1y=，则可得()2,1,2n=r，因为0AGn=uuurr，所以AGn⊥uuu

rr，因为AG平面1AEF，所以AGP平面1AEF，故A正确；因为32cos,232AGEFAGEFAGEF−===−uuuruuuruuuruuuruuuruuur，所以当G为中点时，直线AG与EF所成的角为45，故B错误；若1CGA

H=，则()()0,2,2,2,0,GtHt−，又()()()()112,0,0,0,2,0,0,0,2,2,2,2ACDB,则()()()()1112,2,0,2,0,2,2,0,,0,2,2ACADBGtBHt=−=−=−−=−−uuuruuuuruuuuruuuur，设平面1A

CD的一个法向量为()1111,,xnyz=ur，则11100nACnAD==uvuuuvuvuuuuv，即1111220220xyxz−+=−+=，令1x=，可得()11,1,1n=ur，设平面1BHG的一个法向量为()

2222,,nxyz=uur，则212100nBGnBH==uuvuuuuvuuvuuuuv，即()222220220xtzytz−−=−+−=，令22z=，可得()2,2,2ntt=−−uur，因为()(

)12112120nntt=−+−+=uruur，所以平面1ACD⊥平面1BHG，故C正确；因为()2,2,2AGt=−−uuur，易得平面11AADD的一个法向量为()0,1,0m=ur，设直线AG与平面11AADD所成的角为，则()()

()222222sincos,22228AGmAGmAGmtt====−++−−+uuururuuururuuurur，则当2t=时，sin取得最大值为22，所以直线AG与平面11AADD所成的角的最大值为45，故D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填

空题（每小题5分，共4小题，共20分．）13.设复数()2212izmmm=−+−−为纯虚数，则复数1z−的模为___________.【答案】5【解析】【分析】根据纯虚数的概念列方程组求m值，进而写出1z

−，即可求模.【详解】由题设，221020mmm−=−−，解得1m=，所以112iz−=−−，故1z−的模为5.故答案为：514.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉样物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从40只“冰墩墩”，3

0只“雪容融”和20个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为__________．【答案】9【解析】【分析】利用分层抽样中的比例列出方程，即可求出答案.【详解】440302040n=++，解得：9n

=.故答案为：915.在ABCV中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若()()3abcabcab+++−=，且2abc=，则sinbaA的值为______【答案】233【解析】【分析】由题意结合正弦定理、余弦定理可转化条件为1cos2C=、sinsinaAbC=，求得3C=后代

入运算即可得解.【详解】Q()()3abcabcab+++−=，222abcab+−=，2221cos22abcCab+−==，由()0,C可得3C=，又2abc=，sinsinaAbC=，111sinsin

3sin32233baAC====.故答案为：233.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，熟记公式，合理运用是解题的关键，属于中档题.16.一种奖杯是由一个水晶球和一个托盘组成，如图①所示，托盘由边长为4的等边

三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②所示，球心O到托盘底面的距离为433，则球的体积为__________．【答案】8627【解析】【分析】取,,DEEFDF中点,,GHI，连接,,AGBHCI，可得平面ABC到平面DE

F的距离为3，即可在球内建立勾股关系，求出半径即可得出体积.【详解】如图，取,,DEEFDF中点,,GHI，连接,,AGBHCI,因为ADEV是边长为2的等边三角形，所以AGDE⊥，因为平面ADE⊥平面DEF，平面ADEI平面DEFDE=，所以AG⊥平面D

EF,同理BH⊥平面DEF，CI⊥平面DEF，且3AGBHCI===，所以ABCV是边长为1的等边三角形，且平面ABC到平面DEF的距离为3，设ABCV的外接圆圆心为1O，半径为r因为球心O到托盘底面的距离为433，所以143333

3OO=−=，因为1232sin603r==，所以33r=，则球O的半径为22163OOr+=，所以球的体积为346863327=.故答案为：8627.四、解答题（共6小题，共70分.17题10分，18-22每小题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.

已知向量ar，br满足(3,1)a=r，(2)(2)12abab−+=−rrrr，23ab=rr．（1）求向量ar与br的夹角；（2）求3ab−rr．【答案】（1）6（2）2【解析】【分析】（1）设向量ar与br的夹角为，由题目条件求出2b=r，再由向量的夹角公式即可求出答案.

（2）由()222233233ababaabb−=−=−+rrrrrrrr，代入即可得出答案.【小问1详解】设向量ar与br的夹角为，∵()()2212abab−+=−rrrr，∴22412ab−=−rr，又∵()3,1a=r，∴2a=r，∴24412b−=−r，∴2b=r．233

cos222abab===rrrr，∵0，∴6=．【小问2详解】由（1）知2a=r，2b=r，又23ab=rr，()222233233ababaabb−=−=−+rrrrrrrr42323344=−+=，∴32ab−=rr．18.将函数()πsin6fxx

=−的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向左平移π6个单位长度，得到函数()gx的图象．（1）求函数()gx的解析式及最小正周期；（2）在ABCV中，若()21gA=，2AC=，7BC=，求ABCV的面积．【答案】（1）()πsin26gxx=+

，π（2）332【解析】【分析】（1）根据三角函数图象伸缩变化和平移规律可得()gx的解析式，再利用周期公式计算可得周期；（2）根据()21gA=求得A，由余弦定理可得AB，再利用ABCSV计算可得答案．【小问1详解】将函数()πsin6fxx=−的图象上所有点的横坐标缩短为原来

的12倍，纵坐标不变，得函数πsin26yx=−，再向左平移π6个单位长度，得()πππsin2sin2666gxxx=+−=+，∴2ππ2T==．【小

问2详解】∵()21gA=，∴π1sin262A+=，∵0πA，则ππ13π2666A+，∴π5π266A+=，∴π3A=，由余弦定理可得：()222π7222cos3ABAB=+−，即2230ABAB−−=，∴3AB=，∴11333sin322222ABCSABACA=

==△．19.正三棱柱111ABCABC−中，1AB=，12BB=，点,DE分别为11,BBAC的中点．（1）求证：//DE面ABC；（2）求三棱锥1CACD−的体积．【答案】（1）证明见解析（2）36【解析】【分析】（1）取AC中点F，可证得四边形BDEF为平行四边形，

得到//BFDE，利用线面平行的判定可证得结论；（2）取BC中点G，可证得AG⊥平面1CCD，利用体积桥11CACDACCDVV−−=，结合棱锥体积公式可求得结果.【小问1详解】取AC中点F，连接,BFEF，,EFQ分别为1,

ACAC中点，1//EFCC且112EFCC=，DQ为1BB中点，四边形11BCCB为平行四边形，1//BDCC且112BDCC=，//BDEF且BDEF=，四边形BDEF为平行四边形，//D

EBF，又DE平面ABC，BF平面ABC，//DE平面ABC.【小问2详解】取BC中点G，连接AG，Q三棱柱111ABCABC−为正三棱柱，ABCV为正三角形，1CC⊥平面ABC，AGBC⊥，1AGCC⊥，又

1BCCCC=I，1,BCCC平面1CCD，AG⊥平面1CCD，2213122AG=−=Q，1111121122CCDBCCBSS===VY，111113313326CACDACCDCCDVVSAG−−===

=V.20.某校为了提高学生安全意识，利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛（满分150分），加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学

的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成[100，110），[

110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五组，并画出了其频率分布直方图．（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的中位数和第80百分位数；（2）估计乙组20名同学成绩的平均分（同组中的每个数据用该组区间的

中点值代表替）；（3）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．【答案】（1）中位数是119，第80百分位数为133（2）127（3）35【解析】【分析】（1）

利用中位数与第p百分位数的定义即可求解；（2）利用在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和即可求解；（3）利用列举法写出基本事件的个数，结合古典概型的计算公式即可求解.【小问1详解】由题意可

知，甲组20名同学成绩的中位数是1171211192+=，∵2080%16=，∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为1321341332+=．所以甲组20名同学成绩的中位数为119,甲组20名同学成绩的第80百分位数为133.【小问2详解】由频率分布直方图可知：乙组20

名同学成绩的平均数分为：(1050.0101150.0201250.0251350.0301450.015)10127++++=．【小问3详解】甲组20名同学的成绩不低于140（分）的有2个，记作1A、2

A；乙组20名同学的成绩不低于140（分）的有0.01510203=个，记作1B、2B、3B．记事件A为“取出的2个成绩不是同一组”，任意选出2个成绩的所有样本点为：()12,AA，()11,AB，()12,AB，()13,AB，()21,AB，()22

,AB，()23,AB，()12,BB，()13,BB，()23,BB，共10个，其中两个成绩不是同一组的样本点是：()11,AB，()12,AB，()21,AB，()22,AB，()13,AB，()23,AB，共6个，∴63()105PA==．所以取出的2个人的成绩不在同一组的概率为

35.21.如图所示，四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，点P在底面的投影O点恰好是菱形ABCD对角线交点，点E为侧棱PC中点，若60BAD=，2AB=，3PO=．（1）求证：平面PBC⊥平面BDE；（2）点Q在线段PA上，且2PQQA=，求二面角QBDE−−的平面角的

正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）31010【解析】【分析】（1）通过证明PBBC=可得PCBE⊥，同理可得PCDE⊥，即可证明PC⊥平面BED，得出答案；（2）以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面BDE和平面QBD的法向量，利用向量关系即可求出.【小问1详解】

由题，PO⊥平面ABCD，所以POBD⊥，因为底面ABCD为菱形，60BAD=，2AB=，所以2BD=，在RtPOBV中，3PO=，1OB=，∴2PB=，因此2PBBC==，E是中点，可得：PCBE⊥，同理：PCDE⊥，∵BEDEE=，∴PC⊥平面BE

D，又因为PC平面PCB，所以平面PCB⊥平面BED．【小问2详解】以OA，OB，OP分别为x，y，z轴建系，则()3,0,0A，()3,0,0C−，()0,1,0B，()0,1,0D−，33,0,22E−，233,0,3

3Q，设平面BDE的法向量为()1111,,xnyz=ur，则1100nDBnBE==uvuuuvuvuuuv，即11112033022yxyz=−−+=，可取()1,0,1n=r，设平面QBD的

法向量为()2222,,nxyz=uur，则2200nDBnBQ==uuvuuuvuuvuuuv，即222220233033yxyz=−+=，可取()1,0,2n=−r，所以121210cos,1025nn−==uruur，设二面角QBDE−−的平面角为，∴310sin

10=．22.为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为2百米的半圆，出入口在圆心D处，C点为一居民小区，CD距离为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段AC为一边向圆外作等边三

角形ABC，使改造之后的公园成四边形ABCD，并将BCD△区域建成免费开放的植物园，如图所示．设ADC=．（1）当5π6=，求四边形ABCD的面积；（2）当为何值时，线段BD最长并求最长值【答案】（1）5384+平方百米（2）当2π3=时，BD的最大值为3百米【解析】【分析】（1）

在ADCV中，由余弦定理得2AC，再由面积公式得四边形ABCD的面积ADCABCSSS=+VV，计算即可求解；（2）由余弦定理计算得到AC，再由正弦定理得到sinACD，根据同角的平方关系得到cosACD，再由两角和的余弦公式求得cosDC

B，最后在BCD△中利用余弦定理得到2BD，结合三角恒等变换得到关于的式子，利用正弦三角函数的图像及性质求BD的最值.【小问1详解】由题意得，1AD=百米，2CD=百米，5π6ADC=，所以在ADCV中，由余弦定

理得2222cosACDADCDADC=+−()5π14212cos5236=+−=+百米，于是四边形ABCD的面积为213sin24ADCABCSSSDADCAC=+=+△△1153653812224

4++=+=平方百米．【小问2详解】在ADCV中，由余弦定理得：2222cosACDADCDADC=+−14212cos54cos=+−=−，∴54cosACBC==−百米，在ADCV中，由正弦定理得sinsinACDADCA=，即sinsinsin54cosDAD

CAAC==−，又DADC，所以DCA为锐角，∴22coscos1sin54cosDCADCA−=−=−，∴πcoscoscoscossins3πn3πi3DCBDCADCADCA

=+=−2cos3sin254cos254cos−=−−−，在DBC△中，由余弦定理得：2222cosDBDCBCDCBCDCB=+−2cos3sin454cos2254cos254cos254cos−=

+−−−−−−π523sin2cos54sin6=+−=+−．∵()0,π，∴当2π3=时，BD的最大值为3百米．