【文档说明】新教材高一数学第二学期期末试卷十（原卷版+教师版）.doc，共(20)页，1004.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高一数学第二学期期末试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知23iz=−，则z的虚部为（）A.3iB.3i−C.3D.3−2.某次

数学竞赛中有甲、乙、丙三个方阵，其人数之比为2∶3∶5．现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，其中方阵乙被抽取的人数为（）A.10B.15C.20D.253.底面半径为2，母线长为4的圆锥的表面积为（）A.6B.12C.23D.

264.若向量(1,),(1,2)axbx==−rr，且()aab⊥−rrr，则x的值为（）A.1−B.0C.1D.0或15.△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1a=，12b=，3cos2A=，则sinC=（）A.14B.158C.34D.1538+6.在正方体ABC

D−A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，则异面直线AM与C1D1所成角的正切值为（）A.12B.13C.52D.727.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、、兑八卦，每一卦

由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），现有1人随机的从八卦中任取两卦，六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（）A.114B.328C.314D.7288.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点（端点除外），且ADx

AByAC=+uuuruuuruuur，则91xy+的最小值为（）A.16B.17C.18D.19二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得

5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题不正确的是（）A.三点确定一个平面B.两条相交直线确定一个平面C.一条直线和一点确定一个平面D.两条平行直线确定一个平面10.若复数z满足()1i13iz−=−，则（

）A.1iz=−+B.z的实部为1C.1iz=+D.22iz=11.在ABCV中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知coscos2BbCac=−，34ABCS=!，且2b=，则（）A.1cos2B=B.1sin2B

=C.1ac=D.5ac+=12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（）A.三棱锥A−D1PC的体积不变B.直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为,42

C.直线AP与平面ACD1所成角的大小不变D.二面角P−AD1−C的大小不变三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.一组数1、2、4、5、6、6、7、8、9的75%分位数为________．14.已知事件A、B互斥，且事件A发生的概率P（A）＝14，事件B发生的P（B）

＝15，则事件A、B都不发生的概率是________．15.如图，为了测量河对岸的塔高AB．可以选与塔底B在同一水平面内的两个基点C与D，现测得CD＝30米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又∠CB

D＝30°，则塔高AB＝________米．16.已知A、B、C是半径为3的球O的球面上的三个点，且∠ACB＝120°，AB＝3，AC＋BC＝2．则三棱锥OABC−的体积为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤．17.若ar，br，cr是同一平面内的三个向量，其中a=r（3，1−）．（1）若210c=r，且ar∥cr，求cr的坐标；（2）若102b=r且2ab+rr与2ab−rr垂直，求ar与br的夹角．18.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD

为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点.（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC.19.我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80)，

第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．（1）根据样本频率分布直

方图估计样本的中位数与平均数；（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？20.已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()sinsinsinsinbACBCac−=−+．（1）求角A；（2）从两个条

件：①3a=；②△ABC的面积为33中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．21.如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，3ABCD=，高3h=，3tan2A=，将它沿对称轴OO1折叠，使二面角A−OO1−B为直二面角．（1）证明：AC⊥BO1；（2）求二面角O−AC−O1的正弦值．22

.已知O为坐标原点，对于函数()sincosfxaxbx=+，称向量()OMab=uuuur，为函数()fx的伴随向量，同时称函数()fx为向量OMuuuur的伴随函数.（1）设函数()33sin(π)sin(π)2gxxx=−−−，试求()gx的伴随向量OMuuuur；（2）记向

量()13ON=uuur，的伴随函数为()fx，求当()85fx=且ππ36x−，时cosx的值；（3）由（1）中函数()gx的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移2π3

个单位长度得到()hx的图象，已知()23A−，，()26B，，问在()yhx=的图象上是否存在一点P，使得APBP⊥uuuruuur.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.新教材高一数学第二学期期末

试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知23iz=−，则z的虚部为（）A.3iB.3i−C.3D.3−【答案】C【解析】【分析】先

求出共轭复数，再求出其虚部即可【详解】因为23iz=−，所以23iz=+，所以z的虚部为3，故选：C2.某次数学竞赛中有甲、乙、丙三个方阵，其人数之比为2∶3∶5．现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，其中方阵乙被抽取的人数为（）A.1

0B.15C.20D.25【答案】B【解析】【分析】根据抽样比即可求解.【详解】由题意可知：方阵乙被抽取的人数为350=15235++，故选：B3.底面半径为2，母线长为4的圆锥的表面积为（）A.6B.12C.23D.26【答案】B【解析】【分析】利用

圆锥的表面积公式即得.【详解】由圆锥的底面半径为2，母线长为4，则圆锥的表面积为224212S=+=.故选：B.4.若向量(1,),(1,2)axbx==−rr，且()aab⊥−rrr，则x的值为（）A.1−B.0C.1D.0或1【

答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标运算,结合垂直时向量的坐标关系,即可求得x的值.【详解】根据向量的坐标运算,可知()()()1,1,2,2abxxxx−=−−=−rr因为()aab⊥−rrr,由向量垂直的坐标关系可

得()()1,,20xxx−=,即220xxx+−=解方程可得0x=或1x=故选:D【点睛】本题考查了向量的坐标运算,垂直时的坐标运算,属于基础题.5.△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1a=，12b=

，3cos2A=，则sinC=（）A.14B.158C.34D.1538+【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理求得sinB，进而求得cosB，再由()sinsinCAB=+结合和角公式求解即可.【详解】由3cos2A=及()0,A知6A=，1si

n2A=，由正弦定理得sinsinabAB=，解得1sin4B=，又ba，则0,6B，2115cos144B=−=，则()()8s153insinsinCABAB=−+=+=+.故选：D.6.在

正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，则异面直线AM与C1D1所成角的正切值为（）A.12B.13C.52D.72【答案】C【解析】【分析】根据线线平行，找到直线AM与C1D1所成角为AMN，在三角形中即可求解【详解】取1DD的中点N,连接,

MNAN,因为11//MNCD,故AMN或其补角即为直线AM与C1D1所成角，因为CD⊥平面11ADDA,//MNCD，故MN⊥平面11ADDA,AN平面11ADDA,所以MNAN⊥,故AMNV是直角三角形，设正方体的棱长为2，则2222112,2152MNANADDD==+=+=

,所以5tan2ANAMNMN==故选：C7.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、、兑八卦，每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），现有1人随机的从八卦中

任取两卦，六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（）A.114B.328C.314D.728【答案】C【解析】【分析】八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎．离、艮、兑八卦，从八卦中任取两卦，基本事件总数28C

28n==，这两卦的六个线中恰有两个阴线包含的基本事件总数有：211331CCC6m=+=，由此能求出这两卦的六个线中恰有两个阴线的概率．【详解】解：八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎．离、艮、兑八卦，从八卦中任取两卦，基本事件总数28C28n==，这

两卦的六个线中恰有两个阴线包含的基本事件总数有：211331CCC6m=+=，这两卦的六个线中恰有两个阴线的概率为632814mpn===．故选：C．8.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点（端点除外），且ADxAByAC=+uuuruuuruuur，则91xy+的最小值为（）A.16

B.17C.18D.19【答案】A【解析】【分析】由题意可得1xy+=，则9191()xyxyxy+=++，化简后可利用基本不等式可求得结果【详解】因为点D是线段BC上的动点（端点除外），且ADxAByAC=+uuuru

uuruuur，所以1xy+=，且0,0xy，所以9191()xyxyxy+=++991yxxy=+++910216yxxy+=，当且仅当9yxxy=，即31,44xy==时，取等号，所以91xy+的最小值为16，故选：

A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题不正确的是（）A.三点确定一个平面B.两条相交直线确定一个平面C.一条直线和一点确定一个平面D.两条平行直

线确定一个平面【答案】AC【解析】【分析】利用立体几何的3个公理与推论即可判断出答案.【详解】对于A选项：若3点在同一直线上时，则不能确定一个平面.错误；对于B选项：两条相交直线确定唯一一个平面.正确；对于C选项：当点在

直线上时，则不能确定一个平面.错误；对于D选项：两条平行直线确定唯一一个平面.正确；故答案为：AC.10.若复数z满足()1i13iz−=−，则（）A.1iz=−+B.z的实部为1C.1iz=+D.22iz=【答案】BD【解析】【分析】根据复数的模长公式以及除法运算可得1iz=+，进而可判断

A,B,根据共轭复数可判断C，根据乘方运算，可判断D.【详解】由()1i13iz−=−得：()21i21i1-izz−===+，因此A错误，实部为1，则B正确，1iz=−，故C错误，()2221i12i+i2iz=+=+=，故D正确.故选:BD11.在ABCV中，a、b、c分别为角A、

B、C的对边，已知coscos2BbCac=−，34ABCS=!，且2b=，则（）A.1cos2B=B.1sin2B=C.1ac=D.5ac+=【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦定理化简得出cosB的值

，结合角B的取值范围可求出B的值，可判断AB选项的正误；利用三角形面积公式可判断C选项的正误；利用余弦定理可判断D选项的正误.【详解】由coscos2BbCac=−及正弦定理可得2sincoscossinsincosABBCBC−

=，即()2sincossincoscossinsinsinABBCBCBCA=+=+=，AQ、()0,B，则sin0A，故1cos2B=，所以，3B=，由coscos2BbCac=−可知cos0C且2ca，即2C且2ca，133sin

244ABCSacBac===△，则1ac=，由余弦定理可得()()222222222cos33bacacBacacacacac==+−=+−=+−=+−，故5ac+=，由51acac+==，解得512512ac+=−=或51251

2ac−=+=，显然满足2C且2ca，所以，ACD选项正确，B选项错误.故选：ACD.12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（）A.三棱锥A−D1

PC的体积不变B.直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为,42C.直线AP与平面ACD1所成角的大小不变D.二面角P−AD1−C的大小不变【答案】ABD【解析】【分析】对于选项A，由已知可得1//BC平面1ACD，可得

BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，由此可判断；对于选项B，由11//BCAD，可得直线CP与直线AD1的所成角即为直线CP与直线BC1的所成角，由此可判断；对于选项C，点P在直线BC1上运动时，直

线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，可判断；对于选项D，当点P在直线BC1上运动时，AP平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，故D正确.【详解】对于选项A，因为11//BCAD，1BC面1ACD，1AD面1ACD，所以1//BC平面1A

CD，所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，又11ACPDPCADVV−−=，所以三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故A正确；对于选项B，因为11//BCAD，点P在直线BC1上运动，所以直线CP与直线AD1的所成角即为直线CP与直线BC1的所成角，因为1BCCV为等腰直角三角形，故

B项正确；对于选项C，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，故C错误；对于选项D，当点P在直线BC1上运动时，AP平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，故D正确.故选：ABD.三、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分13.一组数1、2、4、5、6、6、7、8、9的75%分位数为________．【答案】7【解析】【分析】由百分位数的定义直接求解【详解】因为975%6.75=，所以75%分位数为第7个数7，故答案为：714.已知

事件A、B互斥，且事件A发生的概率P（A）＝14，事件B发生的P（B）＝15，则事件A、B都不发生的概率是________．【答案】1120【解析】【分析】事件A、B互斥，事件AB、都不发生的对立事件是事件A与B至少有一个发生,由此即可

求出答案.【详解】事件A、B互斥，且事件A发生的概率P（A）＝14，事件B发生的P（B）＝15，事件AB、都不发生的对立事件是事件A与B至少有一个发生,所以事件AB、都不发生的概率为：1111()1()1()4520PABPAB=−=−+=.故答案为：1120.15.如图，

为了测量河对岸的塔高AB．可以选与塔底B在同一水平面内的两个基点C与D，现测得CD＝30米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又∠CBD＝30°，则塔高AB＝________米．【答案】30【解析】【分析】设ABh=米，进而可得BC

，BD，然后利用余弦定理求解.【详解】设ABh=米，在ABCV中，tan45ABBCh==o，在ABD△中，3tan30ABBDh==o，在BCD△中，2222cos30CDCBDBCBDB=+−o，即()2223303232hhhh=+

−，所以2230h=，解得30h=（米）.故答案为：30.16.已知A、B、C是半径为3的球O的球面上的三个点，且∠ACB＝120°，AB＝3，AC＋BC＝2．则三棱锥OABC−的体积为________．【答案】66【解析】【分析】利用

正弦定理即可求出ABCV的外接圆半径，即可求出三棱锥OABC−的高，利用余弦定理即可求出ACBC,可计算出ABCV的面积，再利用锥体的体积公式即可求出答案.【详解】因为3,120ABACB==.所以ABCV的外接圆半径为312sin2sin120ABrACB===.所以三棱锥O

ABC−的高为22322hr=−=.在ABCV中，由余弦定理可得：2222cosABACBCACBCACB=+−∠即()2223ACBCACBCACBCACBC=++=+−解得1ACBC=.所以13sin12024AB

CSACBC==V.所以1136223346OABCABCVSh−===△.故答案为：66.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.若ar，br，cr是同一平面内的三个向量，其中a=r（3，

1−）．（1）若210c=r，且ar∥cr，求cr的坐标；（2）若102b=r且2ab+rr与2ab−rr垂直，求ar与br的夹角．【答案】（1）(6,2)c=−r或()6,2c=−r（2）=【解析】【分析】（1）设(),cxy=r，则由ar∥cr可得30xy+=，

再由210c=r，得2240xy+=，解方程组可求出,xy，从而可求出cr的坐标；（2）由2ab+rr与2ab−rr垂直，可得()()220abab+−=rrrr化简可求得5ab=−rr，从而得cos1=−，进而

可求出【小问1详解】设(),cxy=r，//,(3,1)aca=−rrrQ，∴30xy+=，又210c=r，2240xy+=．解得：62xy==−或62xy=−=．∴(6,2)c=−r或()6,2c=−r【小问2详解】∵102b=r且2ab

+rr与2ab−rr垂直，∴()()220abab+−=rrrr，即222320aabb+−=rrrr．又10a=r，代入上式解得5ab=−rr，∴10cos10cos52ab==−rr∴cos1=−，又[0,]，∴=．18.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABC

D为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点.（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）取PC的中点G，连接FG，BG，则FG为中位线，根据题意，可证明四边形BEFG是平

行四边形，利用线面平行的判定定理，即可得证；（2）设AC∩BD＝O，连接PO，根据题意可证BD⊥PO，BD⊥AC，利用面面垂直的判定定理，即可得证.【详解】证明：（1）取PC的中点G，连接FG，BG，如图所示：∵F是PD的中点，∴FG∥CD，且12FG

CD=，又∵底面ABCD是菱形，E是AB中点，∴BE∥CD，且12BECD=，∴BE∥FG，且BE＝FG，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，又EF⊄平面PBC，BG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC；（2）设AC∩BD＝O，则O是BD中点，连接PO，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC

，又∵PB＝PD，O是BD中点，∴BD⊥PO，又AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.【点睛】本题考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，需熟悉各个定理所需的条件，

才能进行分析和证明，考查逻辑分析、推理证明的能力，属中档题.19.我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第

5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．（1）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好

”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？【答案】（1）中位数为2603，平均数为87.25；（2）910【解析】【分析】（1）计算各组的频率得中位数在第三组，不妨设为x，进而根据()850.06

0.1x−=求解，根据平均数的计算方法计算即可得答案.（2）由分层抽样得良好”的学生有2人，“优秀”的学生有3人，进而根据古典概型求解即可.【详解】解：（1）第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.35，第三章的频率为0.30，第四组的频率为

0.20，第五组的频率为0.10，所以中位数在第三组，不妨设为x，则()850.060.50.050.35x−=−−，解得52608533x=+=，平均数为77.50.0582.50.3587.50.392.50

.297.50.187.25++++=；（2）根据题意，“良好”的学生有400.416=人，“优秀”的学生有400.624=人，所以分层抽样得“良好”的学生有165240=人，“优秀”的学生有245340=人，将三名优秀学生分别记为,,ABC，两名良好

的学生分别记为,ab，则这5人中选2人的基本事件有：,,,,,,,,,ABACBCAaAbBaBbCaCbab共10种，其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：,,,,,,,,ABACBCAaAbBaBbCaCb共9种，所以

至少有一人是“优秀”的概率是910P=20.已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()sinsinsinsinbACBCac−=−+．（1）求角A；（2）从两个条件：①3a=；②△ABC的面积为33中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的

取值范围．【答案】（1）3A=（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理将已知式子统一成边的形式化简，再利用余弦定理可求出角A；（2）若选①，则由正弦定理可得23sin,23sinbB

cC==，从而表示出三角形的周长，化简后利用正弦函数的性质可求出其范围，若选②，由33ABCS=V结合已知条件可得12bc=，再利用余弦定理表示出a，然后表示出三角形的周长，结合基本不等式可求出其范围【小问1详解】因为

()sinsinsinsinbACACac−=−+，所以()bacbcac−=−+，得222bcdbc+−=，所以2221cos22bcaAbc+−==,因为()0,A,所以3A=【小问2详解】选择①3a=，因为,3,3Aa==由正弦定理

得23sinsinsinbcaBCA===，所以23sin,23sinbBcC==即△ABC的周长23sin23sin3labcBC=++=++．223sin23sin33lBB=+−+33s

in3cos36sin36BBB=++=++，因为2(0,)3B，所以51,sin166626BB++，即△ABC周长的取值范围是（6，9]．选择②33ABCS=V．因为3A=，13sin3324

ABCSbcAbc===V，得12bc=，由余弦定理得()()22222336abcbcbcbcbc=+−=+−=+−，即△ABC的周长()236labcbcbc=++=+−++，因为243bcbc+=，当且仅当23bc==时等号成立所以()243364363l−+=．即△ABC

周长的取值范围是[63,)+．21.如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，3ABCD=，高3h=，3tan2A=，将它沿对称轴OO1折叠，使二面角A−OO1−B为直二面角．（1）证明：AC⊥BO1；（2）求二面角O−AC−O1的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）134【解析】【分析】（1）由题

意可知∠AOB是所折成的直二面角的平面角，则AO⊥平面1OBCO，得OC是AC在平面1OBCO内的射影，然后由已知的数据可求出160OOB=，130OOC=，所以得1OCBO⊥，从而可得结论，（2）设1OCOBE=，过点E作EFAC⊥于点F，连接1OF，可得1OFE是二

面角1OACO−−的平面角，然后结合已知数据在1OFEV中求解即可【小问1详解】由题知1OAOO⊥，1OBOO⊥，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB．因为1OOOBO=I，所以AO⊥平面

1OBCO，所以OC是AC在平面1OBCO内的射影，在四边形ABCD是等腰梯形中，3ABCD=，高3h=，3tan2A=，得6AB=，2CD=，13OO=在1RtOOBV和1RtOOC△中，113tan33OBOOBOO===，11113tan33OCOOCOO===，所以160OOB=

，130OOC=，所以1OCBO⊥，因为AO⊥平面1OBCO，1BO平面1OBCO，所以1AOBO⊥，因为AOOCO=I，所以1BO⊥平面AOC，因为AC平面AOC，所以1ACBO⊥【小问2详解】由（1）知1ACBO⊥，1OCBO⊥，所以1BO⊥平面AOC．设1OCOBE=，过

点E作EFAC⊥于点F，连接1OF，因为1EFOBE=I，所以AC⊥平面1OEF，因为1OF平面1OEF，所以1OFAC⊥所以1OFE是二面角1OACO−−的平面角．由（1）知得，3ABCD=，高3h=，3tan2A=，得6AB=，2CD=．所以3OA=，13OO=，11OC=，所以123

OA=，13AC=，因为平面1AOOD⊥平面1BOOC，平面1AOODI平面11BOOCOO=，11OOCO⊥，所以1CO⊥平面1AOOD，因为1AO平面1AOOD，所以11COAO^所以1112313OAOCOFAC==．又113sin302OEOO=

=o，所以11113sin4OEOFEOF==．所以二面角1OACO−−的正弦值为134．22.已知O为坐标原点，对于函数()sincosfxaxbx=+，称向量()OMab=uuuur，为函数()fx的伴随向量，同时称函数()fx为向量OMuuuur的伴随函数.（1）设函数()3

3sin(π)sin(π)2gxxx=−−−，试求()gx的伴随向量OMuuuur；（2）记向量()13ON=uuur，的伴随函数为()fx，求当()85fx=且ππ36x−，时cosx的值；（3）由（1）中函数()gx的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整

个图象向右平移2π3个单位长度得到()hx的图象，已知()23A−，，()26B，，问在()yhx=的图象上是否存在一点P，使得APBP⊥uuuruuur.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）()3,1OM=−uuuur（2）43310

+（3）存在点()0,2P，使得APBP⊥uuuruuur.【解析】【分析】（1）利用诱导公式求出()3sincosgxxx=−+，从而得到()gx的伴随向量；（2）根据向量得到()fx，利用利用凑角法得到cosx；

（3）先求出()hx，再设出P点坐标，利用向量垂直关系得到方程，变形整理后得到2219252cos224xx−=−，根据等式左右两边的取值范围，得到当且仅当0x=时，2192cos22x−

和2254x−同时等于254，此时()0,2P.【小问1详解】()33sin(π)sin(π)3sincos2gxxxxx=−−−=−+，故()3,1OM=−uuuur；【小问2详解】由题意得：()π8sin3cos2sin35fx

xxx=+=+=，故π4sin35x+=，由于ππ36x−，，所以ππ23x+0，，所以π3cos35x+=，所以ππππππcoscoscoscos

sinsin333333xxxx=+−=+++3143433525210++=.【小问3详解】()π3sincos2cos3gxxxx=−+=+，所以()12cos2hxx=，假设存在点1,2co

s2Pxx，使得APBP⊥uuuruuur，则2211112,2cos32,2cos644cos18cos1802222APBPxxxxxxx=+−−−=−+−+=uuuvuuuv即2219252cos2

24xx−=−，因为122cos22x−，所以131952cos2222x−−−，所以225191692cos4224x−，又因为2252544x−，所以当且仅当0x=时，2192cos22x−和2254x−同时等于254，此

时()0,2P，故在函数()yhx=的图象上存在点()0,2P，使得APBP⊥uuuruuur.