【文档说明】新教材高一数学第二学期期末试卷十三（原卷版+教师版）.doc，共(21)页，2.048 MB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高一数学第二学期期末试卷本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2,Mxxnn==Z，21,Nxxnn==+Z，4,Pxxnn

==Z，则（）A.MPÜB.PMÜC.NPD.MNI2.已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击3次，至少击中2次的概率，先由计算器输出0到9之间取整数值的随机数，指定0.1表示没有击中目标，2

，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标.因为射击3次，故以每3个随机数为一组，代表射击3次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：572029714985034437863964141469037623261

804601366959742671428据此估计，该射击运动员射击3次至少击中2次的概率约为（）A.0.8B.0.85C.0.9D.0.953.设02，2cosa=，cos2b=，2logcosc=，则a，b，c的大小关系为（）A.a

bcB.bacC.acbD.cab4.已知函数()()logafxxb=−（0a且1a，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A.0a，1b−B.0a，10b−C.01a，1b−D.01a，10b−5.若1sin62−=

，则cos23−=（）A.12B.12−C.32D.32−6.已知,,abcR，在下列条件中，使得ab成立的一个充分而不必要条件是（）A.33abB.22acbcC.11abD.22ab7.函数()()0.2sinlog02fxx

xx=−的零点个数为（）A.1B.2C.3D.48.设A，B，C，D是平面内四个不同的点，且()()0ABCDCDABABCD++=uuuruuuruuuruuur，则向量ABuuur与CDuuur（）A.同向平行B.反向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直二、多项选择题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于任意两个向量,abrr，下列命题正确的是（）A.abab++rrrrB.

abab−−rrrrC.ababrrrrD.若abrr，则abrr10.下列命题中正确的是（）A.若复数z满足Rz，则RzB.若复数z满足Rzz，则RzC.若复数z满足20z³，则RzD.若复数z满足1Rz，则Rz11.已知直线6x=是函数()

()()sin20fxx=+的一条对称轴，则（）A.点,06是函数()fx的一个对称中心B.函数()fx在2,63上单调递减C.函数()yfx=的图像可由sin2yx=的图像向左平移6个单位长度得到D.函数()yfx=与()s

in26gxx=−的图像关于直线4x=对称12.在正三棱柱111ABCABC−中，11ABAA==，点P满足1APABBCBB=++uuuruuuruuuruuur，其中0,1，0

,1，则下列说法正确的是（）A.当1+=时，则存在点P，使得1CPBA∥B.当1+=时，则存在点P，使得B，P，1C三点共线C.当12=时，则存在点P，使得1A，1B，C，P四点共面D.当12=时，则存在点P，使得1ABAP⊥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.

设z＝11i+＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________.14.若1OA=uuur，4OB=uuur，2OAOB=uuruuur，则以OA，OB为邻边的平行四边形的面积是______.15.已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图

为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.16.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三

角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在ABCV中，已知30ACB=，且31=−AB，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A，B，C，则ABCV的面积最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤

.17.已知函数()31sincos442fxxx=+++（1）讨论函数()yfx=的周期性和奇偶性；（2）若()14f=，()0,，求的值.18.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，E，F分别是线段11AB，BC的中点.（1）证明

：EF∥平面11AACC；（2）若2ABBC==，直线EF与1BB所成角的余弦值是33，求四面体1BEFB的体积.19.读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生

60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图.男生一周阅读时间频数分布表小时频数)0,29)2,425)4,63

)6,83（1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数；（2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数z；（3）从一周课外阅读时间为)4,6的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概

率.（注：以各组的区间中点值代表该组的各个值）20.如图，在三棱锥ABCD−中，AB，BC，CD两两互相垂直，M，N分别是AD，BC的中点.（1）证明：MNBC⊥；（2）设2BC=，25AD=，MN和平面BCD所成角的大小为π6，求二面角ACDB−−的

大小.21.目前，新冠还在散发，防疫任重道远，经济下行，就业压力大，为此，国家大力提倡大学生自主创业.小李大学毕业后在同一城市开了A，B两家小店，每家店各有2名员工.五一期间，假设每名员工请假的概率都

是12，且是否请假互不影响.若某店的员工全部请假，而另一家店没有人请假，则调剂1人到该店以维持正常运转，否则该店就关门停业.（1）求有员工被调剂的概率；（2）求至少有一家店停业的概率.22.已知ABCV的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ABACBABCCACB+=

uuuruuuruuuruuuruuuruuur（1）若coscosABba=，判断ABCV的形状并说明理由；（2）若ABCV是锐角三角形，求sinC的取值范围.新教材高一数学第二学期期末试卷本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间1

20分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2,Mxxnn==Z，21,Nxxnn==+Z，4,Pxxnn==Z，则（）A.MPÜB.PMÜC.NPD.MNI【答案】B【解析】【分析】

利用交集的定义和相等集合的定义即可直接得出结果.【详解】因为2Mxxnn==Z，，21Nxxnn==+Z，，4Pxxnn==Z，，所以MPPMNPMN==II，，，Ü.故选：B2.已知某射击运动员每

次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击3次，至少击中2次的概率，先由计算器输出0到9之间取整数值的随机数，指定0.1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标.因为射击3次，故以每3个随机数为一组，代表射

击3次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：572029714985034437863964141469037623261804601366959742671428据此估计，该射击运动员射击3次至少击中2次的

概率约为（）A.0.8B.0.85C.0.9D.0.95【答案】C【解析】【分析】应用列举法写出所有含0，1至多1个的随机数，利用古典概型的概率求法求概率即可.【详解】20组随机数中含0，1至多1个的随机数为：572，029，714，985，034，437，863，964，469，0

37，623，261，804，366，959，742，671，428共18组.所以该射击运动员射击3次至少击中2次的概率约为180.920=故选：C3.设02，2cosa=，cos2b=，2log

cosc=，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.bacC.acbD.cab【答案】D【解析】【分析】根据题意和三角函数的性质可得0cos1，结合指数函数、对数函数的单调性求出bc、的范围，即可得出结果.【详解】因为02

，所以0cos1，则20cos1a=，cos0221b==，22logcoslog10c==，所以cab，故选：D4.已知函数()()logafxxb=−（0a且1a，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确

的是（）A.0a，1b−B.0a，10b−C.01a，1b−D.01a，10b−【答案】D【解析】【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【详解】因为函数()()logafxxb=−为减函数，所以01a又因为函数图象与x轴的交点在正半轴

，所以10xb=+，即1b−又因为函数图象与y轴有交点，所以0b，所以10b−，故选：D5.若1sin62−=，则cos23−=（）A.12B.12−C.32D.32−【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式计算可得；【详

解】解：因为1sin62−=，所以2211cos2cos212sin1236622−=−=−−=−=.故选：A.6.已知,,abcR，在下列条件中，使得ab成立的一个充

分而不必要条件是（）A.33abB.22acbcC.11abD.22ab【答案】B【解析】【分析】由充分而不必要条件的定义，再结合不等的性质依次判断即可.【详解】对于选项A，33ab是ab

成立的一个充要条件，即选项A不符合题意；对于选项B，由22acbc，可知0c，则ab，反之不成立，即选项B是ab成立的一个充分而不必要条件，即选项B成立；对于选项C，若0,0ab，满足11ab，但

是ab不成立，即选项C不符合题意；对于选项D，由22ab，不能判断,ab的大小关系，即选项D不符合题意.故选：B.【点睛】此题考查了不等式的性质、充分而不必要条件的判断，属于基础题.7.函数()()0.2sinlog02

fxxxx=−的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由()0fx=得0.2sin=log2xx，再在同一坐标系下画出函数0.2sinlog2yxyx==

，的图像，观察函数的图像即得解.【详解】解：令()0fx=得0.2sin=log2xx，在同一直角坐标系内画出函数sin2yx=和()0.2log0yxx=的图象，由图象知，两函数的图象恰

有3个交点，即函数()fx有3个零点，故选：C.8.设A，B，C，D是平面内四个不同的点，且()()0ABCDCDABABCD++=uuuruuuruuuruuur，则向量ABuuur与CDuuur（）A.同向平行B.反向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【答案】B【解析】【分析】设ABx=u

uur，()0,0CDyxy=uuur，则对原式化简可得()()0xyABCDxy++=uuuruuur，从而有0ABCDxy+=uuuruuur，进而可判断出ABuuur与CDuuur的关系【详解】设ABx

=uuur，()0,0CDyxy=uuur，则原式可化为()()0ABCDyABxCD++=uuuruuuruuuruuur即()()()220yABxCDxyABCD+++=uuuruuuruuuruuur，即()()0xyABCDxy++=uuuruuur所以

ABCDABCD=−uuuruuuruuuruuur，所以ABuuur与CDuuur反向平行，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错

的得0分.9.对于任意两个向量,abrr，下列命题正确的是（）A.abab++rrrrB.abab−−rrrrC.ababrrrrD.若abrr，则abrr【答案】AC【解析】【分析】由向量的概念、加法、减法和数量积运算依次判断4个选项即可.【详解

】对于A，abab++rrrr显然正确；对于B，当,abrr为非零向量，且ab=−rr时，显然20abaab−=−=rrrrr，B错误；对于C，coscosabababab==rrrrrrrr，C正确；对于D，向量无法比较大小，D错误.故选：AC.10.下列命

题中正确的是（）A.若复数z满足Rz，则RzB.若复数z满足Rzz，则RzC.若复数z满足20z³，则RzD.若复数z满足1Rz，则Rz【答案】ACD【解析】【分析】利用复数分类可判断AB；利用22202i+=+zabab，分0a=、0b=讨论可判

断C；22221i=−++abzabab利用复数的分类可判断D.【详解】设复数()i,Rzabab=+，i是虚单位.对于A，由Rz得0b=，则Rz，所以A正确；对于B，取iz=，可得1zz=，所以B不正确；对于C，由

22202i+=+zabab，故ab=0,若0a=则izb=，220=−zb，所以0a若0b=，则Rza=，所以C正确；对于D，因为()()22221iiiiababzabababab−==−+−++，由1Rz得，0b=，所以D正确.故选：ACD.11.已知

直线6x=是函数()()()sin20fxx=+的一条对称轴，则（）A.点,06是函数()fx的一个对称中心B.函数()fx在2,63上单调递减C.函数()yfx=的图像可由sin2yx=的图像向左平移6个单位长度得到D

.函数()yfx=与()sin26gxx=−的图像关于直线4x=对称【答案】BD【解析】【分析】根据题意和三角函数对称轴的定义求得6π=，进而求得函数()fx的解析式，利用整体代换法、代入检验法和正弦函数的单调性依次判断选项即可

.【详解】因为直线6x=是函数()()()sin20fxx=+的一条对称轴，所以262k+=+，kZ，∴6π=，故函数()sin26fxx+=，因为sin1062f==，所以A错误；当2,63x时，32,622x

+，所以函数()fx在2,63上单调递减，故B正确；函数sin2yx=的图像向左平移6个单位长度得到函数sin23yx=+的图像，所以C错误；因为7sin[2()]sin22266fxxx−=−+=

−()7sin2sin266xxgx=−−=−=，所以D正确，故选BD.12.在正三棱柱111ABCABC−中，11ABAA==，点P满足1APABBCBB=++uuuru

uuruuuruuur，其中0,1，0,1，则下列说法正确的是（）A.当1+=时，则存在点P，使得1CPBA∥B.当1+=时，则存在点P，使得B，P，1C三点共线C.当12=时，则存在点P，使得

1A，1B，C，P四点共面D.当12=时，则存在点P，使得1ABAP⊥【答案】BCD【解析】【分析】直接利用异面直线的定义和线面垂直及面面垂直的充要条件和平面向量的共线的应用判断各项的结论．【详解】由题知1BPBCBB=+uuuruuuru

uur，0,1，0,1，对于选项A和B，当1+=时，点P在线段1BC上，故直线CP与1BA异面，所以A错误；当P为线段1BC的中点时，B，P，1C三点共线，所以B正确；对于选项C，当12=时，

取线段BC、11BC的中点分别为M，1M，连接1MM，因为112BPBCBB=+uuuruuuruuur，即1MPBB=uuuruuur，所以1MPBB∥uuuruuur，则点P在线段1MM上.当P位于1MM与1BC的交点处时，1A，1B，C，P四点共面，所以C正确；

对于选项D：当12=时，取1CC的中点1D，1BB的中点D，因为112BPBCBB=+uuuruuuruuur，DPBC=uuuruuur，所以DPBC∥uuuruuur，则点P在线段1DD上，当点P在点1D处时，取AC的中点

E，连接1AE，BE，因为BE⊥平面11ACCA，又1AD平面11ACCA，所以1ADBE⊥在正方形11ACCA中，11ADAE⊥.又1BEAEE=，BE，1AE平面1ABE.故1AD⊥平面1ABE，又1AB平面1ABE，所以11ABAD⊥，所以D正确，

故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设z＝11i+＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________.【答案】22【解析】【分析】根据复数除法运算法则，结合复数模公式进行求解即可.【详解】1111111(1)(1)2222iziiiiiiii−=

+=+=−+=+++−Q,22112()()222z=+=.故答案为：22【点睛】本题考查了复数除法的运算法则和复数模的计算，考查了数学运算能力.14.若1OA=uuur，4OB=uuur，2OAOB=uuruuur，则以OA，OB为邻边的平行四边形的面积是______.【答案】

23【解析】【分析】根据数量积定义可得AOB，然后由三角形面积公式可得.【详解】由4cos2OAOBAOB==uuruuur得1cos2AOB=，因为0AOB，所以3AOB=，于是该平行四

边形的面积12214sin2323OABSS===V.故答案为：2315.已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.【答案】4【解析】【分析】根据已知先求母线长，再结合轴截面可得半径，然后

可得.【详解】有题意可知，23PA=，所以23PA=所以，圆锥的轴截面是边长为23的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，所以tan3tan301RODADOAD====，所以该圆锥的内切球的表面积为4.故答案为：4

16.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在

ABCV中，已知30ACB=，且31=−AB，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A，B，C，则ABCV的面积最大值为______.【答案】33##133【解析

】【分析】设ABCV的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，连接,ACBC，则90ACB=，由等边三角形的性质可求出,ACBC，从而可求出AB，在ABCV中，利用余弦定理结合基本不等式可得224ab+„，从而可求出ABCV的面积最大值【详解】设ABCV的三

个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.连接,ACBC，则由题设得，90ACB=，因为以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A，B，C，所以323233ACbb==，3

3BCa=，所以2233ABab=+在ABCV中，由余弦定理可得2222cos30ababc+−=即223423abab+−=−又222abab+„，∴()222242323abab+−−+„即224ab+„（等号当2ab==时成立），由题意可得

ABCV为等边三角形，故233434433ABCSAB==„△故答案为：33四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知函数()31sincos442fxxx

=+++（1）讨论函数()yfx=的周期性和奇偶性；（2）若()14f=，()0,，求的值.【答案】（1）函数()fx是周期为，为奇函数（2）7π12=或1112=【解析】【分析】(1)根据两角和的正、余弦公式和同角三

角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式可得1()sin22fxx=−，结合()()fxfx+=、()()fxfx−=−即可得出函数的周期与奇偶性；(2)由(1)可得1sin22=−，结合角的取值范围即可求出结果.【小问1详解】()31sincos442fxxx=+++

()()221sincoscossin222xxxx=+−++()2111sincossin2222xxx=−++=−，因为()()()11sin2sin222fxxxfx+=−+=−=()()()11sin2sin22

2fxxxfx−=−−==−所以函数()fx是周期为，为奇函数；【小问2详解】由1()4f=，得11sin224−=，即1sin22=−因为()0,，所以()20,2，于是726=或1126=故7π12=或1112

=18.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，E，F分别是线段11AB，BC的中点.（1）证明：EF∥平面11AACC；（2）若2ABBC==，直线EF与1BB所成角的余弦值是33，求四面体1BEFB的体积.【答案】（1）证明见解析（2）16【解析】

【分析】(1)设G为AB的中点，连接EG、FG，则1EGAA∥、FGAC∥，利用面面平行的判定定理即可证明；(2)由（1）知GEF是异面直线EF与1BB所成角，解三角形得1EG=，结合三棱锥的体积公式计算即可.【

小问1详解】设G为AB的中点，连接EG，FG，则1EGAA∥，FGAC∥，又EG平面11AACC，FG平面11AACC，1AAAC，平面11AACC，所以EG∥平面11AACC，FG∥平面11AACC，又EGFGGEGFG=I，、平面EFG，所以平面EFG∥

平面11AACC，又EF平面EFG，所以EF∥平面11AACC；【小问2详解】由（1）知，GEF是异面直线EF与1BB所成角，所以3cos3GEF=，在RtEFG△中，因为2FG=，3cos3GEF=.所以1EG=，因此1111111113326BEFBEFBBFBBVVSEB−===

=△.19.读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单

位：小时）的频率分布直方图.男生一周阅读时间频数分布表小时频数)0,29)2,425)4,63)6,83（1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数；（2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数z；（3）从一周课外阅读时间为)4

,6的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率.（注：以各组的区间中点值代表该组的各个值）【答案】（1）分位数是163，众数是3（2）3.6（3）13【解析】【分析】(1)根据频率分

布直方图，结合众数、百分位数的求法计算即可；(2)根据频数分布表直接求出男生一周课外阅读时间平均数x，根据频率分布直方图，结合平均数的求法求出女生一周课外阅读时间的平均数y，即可求出总样本的平均数；(3)根据频数分布表与频率分布直方图求出一周课外阅读时间为)4,6的男生与女生人数，结合古

典概型的概率公式计算即可.【小问1详解】由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3，设女生一周阅读时间的75%分位数为a，()111322424484a++−=，解得163a=；【小问2详解】由频数分

布表估计男生一周课外阅读时间平均数193255373340x+++==由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数1111212325274244812y=+++=所以估计总样本的平均数3404603.6100z+==【

小问3详解】由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为)4,6的学生中男生有3人，女生有1260158=（人）若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为a，女生有5人，记为1b，2b，3b，4b，

5b，则样本空间1234512131415232425343545Ω,,,,,,,,,,,,,,abababababbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb=，共有15个样本点.记事件A=“恰好一男一女”，则12345,,,,Aababababab=故

所求概率()51153PA==.20.如图，在三棱锥ABCD−中，AB，BC，CD两两互相垂直，M，N分别是AD，BC的中点.（1）证明：MNBC⊥；（2）设2BC=，25AD=，MN和平面BCD所成角

的大小为π6，求二面角ACDB−−的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）π4.【解析】【分析】（1）取BD的中点P，连接MP，NP，由三角形的中位线与已知条件可知，BCMP⊥，BCNP⊥，证得BC⊥平面MNP，从而得到MNBC⊥；（2）根据几何关系得到CD⊥平面ABC、AB⊥平面BCD、

MP⊥平面BCD，从而得出ACB为二面角ACDB−−的平面角，MNP是MN和平面BCD所成的角，再根据解三角形知识求出AB、BC的长，进而得到ACB的大小.【小问1详解】取BD的中点P，连接MP，NP

.因为M，N分别是AD，BC的中点.所以//MPAB，//NPCD又因为ABBC⊥，BCCD⊥所以BCMP⊥，BCNP⊥，又MPNPP=Q，BC⊥平面MNP.又MN平面MNP，所以MNBC⊥.【小问2详解】因为ABCD⊥，BCCD⊥，ABBCB=，所以

CD⊥平面ABC，所以ACB为二面角ACDB−−的平面角，又因为ABBC⊥，ABCD⊥，所以AB⊥平面BCD，ABBD⊥.连接BM，则152BMAD==在RtMNB△中22512MNBMBN=−=−=，因为//MPAB，所以MP⊥平面BCD.故MNP是M

N和平面BCD所成的角，即π6MNP=，且1MP=，在RtABC△中，22ABMP==，2BC=，所以π4ACB=，故所求二面角ACDB−−的大小为π4.21.目前，新冠还在散发，防疫任重道远，经济下行，就业压力大，为此，国家

大力提倡大学生自主创业.小李大学毕业后在同一城市开了A，B两家小店，每家店各有2名员工.五一期间，假设每名员工请假的概率都是12，且是否请假互不影响.若某店的员工全部请假，而另一家店没有人请假，则调剂1人到该店以维持正常运转，否则该店就关门停业.（1）求有员工被调剂的概率；（2

）求至少有一家店停业的概率.【答案】（1）18（2）516【解析】【分析】(1)设事件=iA“A家小店有i名员工请假”，iB=“B家小店有i名员工请假”，其中0,1,2i=，根据事件的基本关系和独立事件的概率公式即可求出有员工被调剂的概率；(2)记事件D=“至

少有1家店停业”，则211222DABABAB=++，根据事件的基本关系和独立事件的概率公式计算即可.【小问1详解】记事件=iA“A家小店有i名员工请假”，iB=“B家小店有i名员工请假”，其中0,1,2i=，由题设知，事

件iA，iB相互独立，且()()2001124PAPB===，()()21111222PAPB===，()()2221124PAPB===记事件C=“有员工被调剂”，则0220CABAB=+，且02AB，20AB互斥，所

以()()()()()()022002201112448PCPABABPAPBPAPB=+=+==，故有员工被调剂的概率为18；【小问2详解】记事件D=“至少有1家店停业”，则211222DABABAB=++

，且21AB，12AB，22AB互斥，所以()()()()()211222211222111111542424416PDPABABABPABPABPAB=++=++=++=，故至少有一家店停业的概率为516.22.已知ABCV的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ABACBABC

CACB+=uuuruuuruuuruuuruuuruuur（1）若coscosABba=，判断ABCV的形状并说明理由；（2）若ABCV是锐角三角形，求sinC的取值范围.【答案】（1）ABCV是等边三

角形，理由见解析（2）63,32【解析】【分析】(1)根据平面向量数量积的定义和余弦定理可得2222abc+=，结合题意与正弦定理可得sin2sin2AB=，利用诱导公式计算分析即可得出结果；(2)设ab„，则223

ab，进而有13bta=„，根据余弦定理可得11cos4yCtt==+，结合函数的单调性求出cosC的取值范围，进而得出sinC的取值范围.【小问1详解】ABCV是等边三角形.理由如下：由数量积的定义得，coscos2cosc

bAcaBbaC+=.由余弦定理得2222222222222bcaacbabc+−+−+−+=，即2222abc+=，由正弦定理及coscosABba=，得sincossincosAABB=，即sin2sin2AB=，因为()220,2AB

、，所以22AB=或22AB+=，当22AB=时，ABCV是等腰三角形，此时abc==，所以ABCV是等边三角形；当22AB+=，即2AB+=时，ABCV是直角三角形，这与2222abc+=矛盾.故ABCV是等边三角形.【小问2详解】不

妨设ab„，由2222abc+=，得22222222aabcb+=剟，于是acb剟，又因为ABCV是锐角三角形，所以222acb+，即223ab，因此13ba„，由余弦定理得，2221cos24abcbaC

abab+−==+，令bta=，则13t„，函数114ytt=+在)1,3上单调递增.所以1113cos,423Ctt=+，因此63sin,32C

故sinC的取值范围是63,32.