【文档说明】新教材高一数学第二学期期末试卷十七（原卷版+教师版）.doc，共(23)页，1.130 MB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高一数学第二学期期末试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当23＜m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（）A.第

一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知,abrr为不共线的非零向量，5ABab=+uuurrr，28BCab=−+uuurrr，33CDab=−rruuur，则（）A.,,ABC三点共线B.,,ABD三点共线C.,,BCD三点

共线D.,,ACD三点共线3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A.100，20B.200，20C.100，10

D.200，104.如图，已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的表面积为54，则球的体积为（）A.27B.36C.54D.1085.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A.23B.35C.

25D.156.在四棱柱1111ABCDABCD−中，1AA⊥平面ABCD，13AA=，底面是边长为4的菱形，且60DAB=，ACBDO=I，11111ACBDO=，E是1OA的中点，则点E到平面1OBC的距离为（）A.2B.1C.32D.37.四名

同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）．A.平均数为3，中位数为2B.中位数为3，众数为2C.平均数为2，方差为2.4D.中位数为3，方差为2.88.已知m，n为异面直线

，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，,l,l则（）A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l二、选择题：本题共4小题，每小题

5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.2022年北京冬奥会成功举办.中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品

行业市场增长.下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万/人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中错误．．的是（）A.2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降B.2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加C.201

6年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D.2016年至2021年，中国雪场滑雪人次增长率为12.6%10.已知向量()()1,1,2axbx=−=rr，，则（）A.abrrB.若/

/abrr，则2x=C.若ab⊥rr，则23x=D.2ab−rr11.(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则（）A.A，M，N，B四点

共面B.平面ADM⊥平面CDD1C1C.直线BN与B1M所成的角为60°D.BN∥平面ADM12.若ABCV的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足224sin02ABbaa+−+=，则下列结论正确的是（）A.角C可以为锐角B.22220abc+−=C.tanB的最小值为33D.3tan

tan0AC+=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局甲获胜的概率为______.14.某次海上联合作战演习中，红方一艘侦查艇发现在北偏东45°方

向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦查艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东()45+方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，则角的余弦值为_____

_.15.骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为3，ABE△，BEC△，ECDV均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，ACAPuuuruuur的最大值为_____

_.16.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，点D为棱11AC上的点.且1//BC平面1ABD，则11ADDC=_____.已知11ABBCAA===，2AC=，以D为球心，以52为半径的球面与侧面11AABB的交线长度为________.四、解答题：本

题共6小题，共70分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球12,AA和1个白球B的甲箱与装有2个红球12,aa和2个白球12,

bb的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．18.设z是虚数，ω＝z＋1z是实数，且－1<ω<2.（1）求

|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设μ＝11zz−+，求证：μ为纯虚数.19.如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD.20.某家庭记录了未使用节水龙头50天的

日用水量数据（单位：3m）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量)0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)0.5,0.6)0.6,0.7频数1324

9265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量)0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)0.5,0.6频数151310165（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日

用水量小于30.35m的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）21.记ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b

，c.已知sin2sinsinCAB=，点D在边AB上，且CDAB⊥（1）证明：12CDc=；（2）若226abab+=，求ACB.22.如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面2ADCBAD==，F为PA的中点，2P

D=，112ABADCD===，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N.（1）求证：//AC平面DEF；（2）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为6？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由.新教材高一数学第二学期期末试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，

共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当23＜m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】原复数化为（3m﹣2）+i（m﹣1），再根据m的范围确定.【详解】m（3

+i）﹣（2+i）化简得（3m﹣2）+i（m﹣1），∵213m＜＜∴3m﹣2＞0，m﹣1＜0∴所对应的点在第四象限故选：D.【点睛】本题主要考查复数的代数形式，考查了复平面内各象限复数的特点，属于基础题.2.已知,abrr为不共线的非

零向量，5ABab=+uuurrr，28BCab=−+uuurrr，33CDab=−rruuur，则（）A.,,ABC三点共线B.,,ABD三点共线C.,,BCD三点共线D.,,ACD三点共线【答案】B【解析】【分析】根据向量的

共线定理，对每个选项逐个分析.【详解】由于,abrr为不共线的非零向量，,ABBCuuuruuur向量，,BCCDuuuruuur向量显然没有倍数关系，根据向量共线定理，它们不共线，A，C选项错误；5BDBCCDabAB=+=+=uuuruuur

uuurrruuur，于是,,ABD三点共线，B选项正确；又13ACABBCab=+=−+uuuruuuruuurrr，显然和CDuuur也没有倍数关系，D选项错误.故选：B.3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取

2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A.100，20B.200，20C.100，10D.200，10【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020

002%200++=，其中高中生人数为20002%40=，高中生的近视人数为4050%20=，故选B.【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.4.如图，已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的表面积为54，则球的体积为（）A.27B.36C.54D.108【答

案】B【解析】【分析】利用圆柱的表面积求出球的半径R，再根据球的体积公式可求出结果.【详解】设球的半径为R，则圆柱的表面积为222226RRRR+=，所以2654R=，得3R=，所以球的体积为344273633VR===.故选：B5.生物实验室

有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A.23B.35C.25D.15【答案】B【解析】【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．

【详解】设其中做过测试的3只兔子为,,abc，剩余的2只为,AB，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}abcabAabBacAacBaAB，{,c,},{,

c,},{b,,},{c,,}bAbBABAB共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},abAabBacAacB{,c,},{,c,}bAbB共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，选B．【点睛】本题主要考查古典概率的

求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．6.在四棱柱1111ABCDABCD−中，1AA⊥平面ABCD，13AA=，底面是边长为4的菱形，且6

0DAB=，ACBDO=I，11111ACBDO=，E是1OA的中点，则点E到平面1OBC的距离为（）A.2B.1C.32D.3【答案】C【解析】【分析】分别以1OAOBOOuuuruuuruuuur、、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法计

算即可.【详解】易得1OO⊥平面ABCD，所以1OOOA⊥，1OOOB⊥．又OAOB⊥，所以分别以1OAOBOOuuuruuuruuuur、、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：因为底面ABCD是边长为4的菱形，60DAB=，所以23=OA，2OB=，则()23,0,

0A，()0,2,0B，()23,0,0C−，()10,0,3O，所以()10,2,3OB=−uuur，()123,0,3OC=−−uuuur．设平面1OBC的法向量为(),,nxyz=r，则1100nOBnOC==

ruuurruuuur，所以2302330yzxz−=−−=，取2z=，则3x=−，3y=，则()3,3,2n=−r是平面1OBC的一个法向量．设点E到平面1OBC的距离为d．因为E是1OAuuur的中点，所

以33,0,2E，133,0,2EO=−uuuur，则()()221233,0,3,3,2323322EOndn=−+−−+==uuuurrr，所以点E到平面1OBC的距离为32．故选：C.7.四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰

子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）．A.平均数为3，中位数为2B.中位数为3，众数为2C.平均数为2，方差为2.4D.中位数为3，方差为2.8【答案】C【解析】【分析】根据题意举出反例，即可得

出正确选项．【详解】解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现

点数6，故B错误；对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差S2＞15（6﹣2）2＝3.2＞2.4，∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：x＝15（1+2+3+3+6）＝3方差为S2＝15[（1﹣3）

2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故D错误．故选：C．8.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，,l,l则（）A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交

，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】【详解】试题分析：由m⊥平面，直线l满足lm⊥，且l，所以//l，又n⊥平面，,lnl⊥，所以l//，由直线,mn为异面直线，且m⊥平面,n⊥平面，则与相交，否则，若//则推出//mn，与,m

n异面矛盾，所以,相交，且交线平行于l，故选D．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对

的得2分，有选错的得0分.9.2022年北京冬奥会成功举办.中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长.下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万/人次）与同比增长

率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中错误．．的是（）A.2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降B.2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加C.2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率

近似相等，所以同比增长人数也近似相等D.2016年至2021年，中国雪场滑雪人次增长率为12.6%【答案】ACD【解析】【分析】根据统计图，结合上升和下降的情况以及数据逐一判断即可.【详解】对于A：2016年至2018年，中国雪

场滑雪人次的同比增长率逐年增加，2018年至2021年同比增长率逐年下降，故A错误；对于B：由条形图可知，2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故B正确；对于C：由条形图可知，2016年与2021年，中国雪场滑雪人

次的同比增长率近似相等，但是2015年滑雪人次为800万，2020年滑雪人次为1750万，同比增长基数差距大，同比增长人数不相等，故C错误；对于D：由统计图可知，2016车至2021年，中国雪场滑雪人次的增长率约为1970900100%11

8.9%900−，故D错误，故选：ACD.10.已知向量()()1,1,2axbx=−=rr，，则（）A.abrrB.若//abrr，则2x=C.若ab⊥rr，则23x=D.2ab−rr【答案】ACD【解析】【分析】A用向量相等判断，B用向量共

线的坐标运算来判断，C用向量垂直的坐标运算来判断，D用向量模的运算来判断.【详解】显然abrr，A对，//abrr得：()1212xxx=−=或1x=−，B错，ab⊥rr，()22103xxx+−==，C对，()()()()

222221,3132222abxxxxx−=−−=−+−=−+vv，2ab−rr，D对．故选：ACD11.(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则（）A.A，M，N，B四点共面B.平面ADM⊥平面

CDD1C1C.直线BN与B1M所成的角为60°D.BN∥平面ADM【答案】BC【解析】【分析】由点线面之间的关系，及面面垂直，线面平行的判定方法，依次判断各选项即可得出结果.【详解】如图所示，对于A，直线AM，BN是异面

直线，故A，M，N，B四点不共面，故A错误；对于B，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可得AD⊥平面CDD1C1，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正确；对于C，取CD的中点O，连接BO，ON，可知三角形BON为等边三角形，故C正确；对于D，因为

BN∥平面AA1D1D，显然BN与平面ADM不平行，故D错误．故选：BC.12.若ABCV的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足224sin02ABbaa+−+=，则下列结论正确的是（）A.角C可以为锐角B.22220abc+

−=C.tanB的最小值为33D.3tantan0AC+=【答案】BD【解析】【分析】选项A，结合诱导公式、二倍角公式对已知等式化简可得cosC，即可判断；选项B，由A和余弦定理，即可判断；选项D，结合选项B的结论，再根据同角三角函数的商数关系、正弦定理和余弦定理，可推出ta

n1tan3AC=−，从而可判断；选项C，结合选项D的结论，再由三角形的内角和定理与正切的两角和公式，结合基本不等式，即可判断．【详解】解：∵224sin02ABbaa+−+=，∴224cos02Cbaa−+=，即(

)22cos10baaC−++=，∴cos02bCa=−，又()0,C，∴C一定为钝角，故选项A错误；由余弦定理知，222cos22abcbCaba+−==−，化简得22220abc+−=，故选项B正确；∵()()222222222tansincoss

incos1tancossinsincos332abcbcAACACabCACCAcbabbca+−−=====−+−，∴3tantan0AC+=，故选项D正确；∵ABC++=，∴()tantantan3

tan2tantan1tantan1tan3tantan3tanACAABACACAAAA+−=−+=−=−=−++，∵C为钝角，∴0,2A，tan0A，∴113tan23tan23tantanAAAA+=，当且仅当13tantanAA

=，即3tan3A=时，等号成立，此时tanB取得最大值33，故选项C错误.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为35，乙获胜的

概率为25，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局甲获胜的概率为______.【答案】54625【解析】【分析】由题得恰好进行了4局甲获胜，则甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，再由独立事件的乘法公式即可得出答案.【详解】由题得恰好进行了4局甲获胜，则甲第一局赢，第二

局输，第三、四局赢，此时3233545555625P==.故答案为:54625.14.某次海上联合作战演习中，红方一艘侦查艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦查艇

以每小时14nmile的速度，沿北偏东()45+方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，则角的余弦值为______.【答案】1114【解析】【分析】设红方侦查艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，即可得到14ACx=，10BCx=，在A

BCV中，利用余弦定理得到关于x的方程，求解得到x，从而得到BC，再利用正弦定理得到sin，由同角的平方关系即可得到cos.【详解】设红方侦查艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则14ACx=，10BCx=，120ABC

=.根据余弦定理得()()222141210240cos120xxx=+−，解得2x=，故28AC=，20BC=.根据正弦定理得sinsin120BCAC=，解得20sin12053sin2814==，因为060，所以211cos1

sin14=−=，故答案为：1114.15.骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为3，ABE△，BEC△，ECDV均是边长为4的等边三角形.

设点P为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，ACAPuuuruuur的最大值为______.【答案】60【解析】【分析】方法一：以D为坐标原点建立平面直角坐标系，设()3cos,3sinP，根据向量数量积的坐标运算和三角恒等变换知识可表示出12sin483ACAP=++

uuuruuur，则当sin13+=时可得所求最大值；方法二：根据向量线性运算可得()ACAPACADDP=+uuuruuuruuuruuuruuur，利用向量数量积的定义和运算律可化简得到4812cos,ACAPACDP=+uuuruuuruuuruuur，由此可

求得最大值.【详解】方法一：以点D为坐标原点，DA为x轴负半轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()8,0A−，()2,23C−，点P在以D为圆心，3为半径的圆上，可设()3cos,3sinP，()6,23AC=uuur，()3cos8,3sinAP=+uuu

r，63cos6sin4812sin483ACAP=++=++uuuruuur，则当sin13+=时，ACAPuuuruuur取得最大值124860+=.方法二：()ACAPACADDPACADACDP=

+=+uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur()22cos,43433cos,ACACDPACDPACDP=+=+uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur4812cos,AC

DP=+uuuruuur，则当ACuuur与DPuuur同向，即cos,1ACDP=uuuruuur时，ACAPuuuruuur取得最大值为124860+=.16.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，点D为棱11

AC上的点.且1//BC平面1ABD，则11ADDC=________.已知11ABBCAA===，2AC=，以D为球心，以52为半径的球面与侧面11AABB的交线长度为________.【答案】①.1②.3【解析

】【分析】取AC的中点为E，分别连接1CE和BE，利用面面平行的性质定理证明//ADCE，又1//DCAE，可证得四边形1ADCE为平行四边形，进而可得D为11AC的中点，进一步计算可得11ADDC的值；球面与侧面11AABB的交线长，即截面圆的弧长，

通过分析计算可得PDQ△为等边三角形，进而可求出弧PQ的长度.【详解】取AC的中点为E，分别连接1CE和BE，细查题意知，只有当D是11AC的中点时，才满足题意，原因如下：当D是11AC的中点时，1//ADEC，1//BDBE，1ADBDD=，/

/BE平面1ABE，1//DC平面1ABE，∵1BEECE=，∴平面1//BEC平面1ABE，∵1BC平面1BEC，1//BC平面1ABD，Q平面1//ADB平面BCE，又平面11AACC平面1ADBAD=，平面11AA

CC平面11BCECE=，1//ADCE，又Q1//DCAE，四边形1ADCE为平行四边形，1111122AEDCACAC===，即D为11AC的中点，所以111ADDC=；球面与侧面11AABB的交线长，即截面圆的弧长，1ABBC==Q，2AC=，222ABBCAC+=，即ABBC⊥，

易得1111ABBC⊥，取11AB的中点为D¢，故可得11DDAB⊥，Q平面111ABCÇ平面1111AABBAB=，DD平面111ABC，DD⊥平面平面11AABB，圆心距12DD=，设交线的轨迹为PQ，52DS=，截面圆半径222251122DSDSDD=−

=−=，又因为1PQ=，所以PDQ△为等边三角形，»133PQ==.故答案为：1，3.【点睛】方法点睛：对于第一空，证明四边形1ADCE为平行四边形，可利用面面平行的性质定理；对于第二空，通过作出

图形，分析截面圆的特征，然后进行几何计算，进而得出PDQ△为等边三角形，最后计算弧长.四、解答题：本题共6小题，共70分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球12,A

A和1个白球B的甲箱与装有2个红球12,aa和2个白球12,bb的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．【答案】

（Ⅰ）111211122122,,,,,,,,,,,,AaAaAbAbAaAa21221212,,,,,,,,,,,,AbAbBaBaBbBb（Ⅱ）说法不正确；【解析】【详解

】试题分析：（Ⅰ）利用列举法列出所有可能的结果即可；（Ⅱ）在（Ⅰ）中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，中奖概率大于不中奖概率是错误的；试题解析：（Ⅰ）所有可能

的摸出结果是：111211122122,,,,,,,,,,,,AaAaAbAbAaAa21221212,,,,,,,,,,,,AbAbBaBaBbBb（Ⅱ）不正确，理由如下：由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的

结果为11122122,,,,,,,,AaAaAaAa共4种，所以中奖的概率为41123=，不中奖的概率为1211333−=，故这种说法不正确．考点：概率统计18.设z是虚数，ω＝z＋1z是实数，且－1<ω<2.（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设μ＝11zz

−+，求证：μ为纯虚数.【答案】（1）|z|＝1，1,12−.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，设z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，由复数的加法及除法运算法则求出ω，根据ω是实数

，且y≠0，可得x2＋y2＝1，从而可得|z|的值，又－1<ω<2，从而可得复数z的实部的取值范围；（2）根据复数除法的运算法则求出μ＝11zz−+，结合（1）问结论即可证明.【小问1详解】解：因为z是虚数，所以设z＝x

＋yi(x，y∈R，且y≠0)，则ω＝z＋1z＝(x＋yi)＋1ixy+＝x＋yi＋22ixyxy−+＝22()++xxxy＋22()iyyxy−+，因为ω是实数，且y≠0，所以y－22yxy+＝0，即x2＋y2＝1，所以|z|＝221xy+=，此

时ω＝2x，又－1<ω<2，所以－1<2x<2，解得－12<x<1，所以复数z的实部的取值范围是1,12−；【小问2详解】证明：μ＝11zz−+＝1(i)1(i)xyxy−+++＝22(1i)(1i)(1)

xyxyxy−−+−++＝222212i12xyyxxy−−−+++，又由（1）知x2＋y2＝1，所以μ＝－1+yxi，因为y≠0，所以μ为纯虚数.19.如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F

分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】简单考察空间想象能力和推理论证能力、线面平行和垂直的判定与性质，容易题.【详解】（1）因为E、F分别是AP、AD

的中点，,EFPDP又PDQ平面,PCDEF面PCD，直线EF‖平面PCD（2）AB=AD,BAD=60,oQF是AD的中点，,BFAD⊥又平面PAD⊥平面ABCD，PADABCDAD,面面＝,BFPAD⊥面所以，平面BEF⊥平面PAD.20.某家庭记录了未使用

节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量)0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0

.5)0.5,0.6)0.6,0.7频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量)0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)0.5,0.6频数151310165（1）在答题卡上作出使

用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在

区间中点的值作代表．）【答案】（1）直方图见解析；（2）0.48；（3）347.45m.【解析】【分析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的

高，从而得到直方图；（2）结合直方图，算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年能节约用水多少3m，从而求得结果

.【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m的频率为0.20.110.12.60.120.050.48+++=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m的概率的估计值为0.48；（3）该家庭未使用节水

龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x=++++++=．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.2

5130.35100.45160.5550.3550x=+++++=．估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m−=．【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及

到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.21.记ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin2sinsin

CAB=，点D在边AB上，且CDAB⊥（1）证明：12CDc=；（2）若226abab+=，求ACB.【答案】（1）证明见解析（2）512【解析】【分析】（1）在RtCDB△中由锐角三角函数，得sinCD

Ba=，代入条件sin2sinsinCAB=，由正弦定理角化边得2cDaaC=，即证；（2）由三角形等面积法，得11sin22ABCSabCcCD==△，代入12CDc=可得22sincabC=；将条件2

26abab+=和22sincabC=同时代入余弦定理2222coscababC=+−，化简后利用辅助角公式得到π3sin42C+=，即可求解.【小问1详解】在CDB△中，因为CDAB⊥，所以sinCDBa=，又因为sin2

sinsinCAB=，所以sin2sinsinCBA=，即sin2sinCCDAa=在ABCV中，根据正弦定理，得2cDaaC=，故12CDc=.【小问2详解】在ABCV中，11sin22ABCSabC

cCD==△，又由（1）知，12CDc=，所以22sincabC=，在ABCV中，根据余弦定理，得2222coscababC=+−，又由已知，226abab+=，得2sin62cosabCababC=−，所以6sincos2CC+=，则π62sin42C

+=，即π3sin42C+=，因为()0,C，则π5π,444C+，所以π43C+=或π2π43C+=，所以12C=或512C=，又点D在边AB上，且CDAB⊥，12CDc=

，所以,ACDBCD必有一个大于等于4，所以512C=.22.如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面2ADCBAD==，F为PA的中点，2PD=，112ABADCD===，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N.（1）求证：//AC平面DEF；（

2）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为6？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，192FQ=.【解析】【分析】（1）连接FN，证明//FNAC，再利用线面平行的判定定理作答.（2）根据给定条件，以点D

为原点建立空间直角坐标系，借助向量计算作答.【小问1详解】因为四边形PDCE为矩形，则N为PC的中点，连接FN，如图，在PAC△中，F，N分别为PA，PC的中点，则有//FNAC，而直线FN平面DEF，AC平面DEF，所以//AC平面DEF.【小问2详解】因PD⊥平面ABCD，,DADC平

面ABCD，则,DPDADPDC⊥⊥，而DADC⊥，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，直角梯形ABCD中，2PD=，112ABADCD===，则12(002),(100),(110),(020),(02

2),(0),,,22,,,,,,,,,PABCEF，(112),,,,,(110)PBBC=−=−uuuruuur，设平面PBC的法向量为(),,mxyz=ur，则200mPBxyzmBCxy=+−==−+=uuuvvuuuvv，令1x=

，得()1,12,m=ur，假定存在点Q满足条件，设()01FQFE=uuuruuur，整理得,,12(1)(2)22Q−+，则,12(1)(21,)22BQ++=−−uuur，因为直线BQ与平面BCP所成角的大

小为6，所以2|||51|1sin|cos62||||219,|107BQBQmBQmm−==+==−uuuruuururuuururur，解得1=，即点Q与E重合，所以在线段EF上存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为6

，且192FQEF==.