【文档说明】新教材高一数学第二学期期末试卷十六（原卷版+教师版）.doc，共(17)页，815.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高一数学第二学期期末试卷分值：150时量：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集1234{}U=，，，，集合{}

{2,12}3AB==，，，则()UABUð（）A.{134}，，B.{3}4，C.3D.4【答案】D【解析】【分析】先求,AB的并集再求补集即可.【详解】易知{1,2,3}AB?，则()4UAB=ð，故选：D.2.设()i2iz=+，z为z的共轭复数，则z=（）A.

12i+B.12i−−C.12i−D.12i−+【答案】B【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数z，即可得到其共轭复数；【详解】解：()2i2iii12i2z=++=−+=Q，12zi=−−，故选：B．3.如图，四边形ABCD是平行四边形，则1122ACBD+=uuuru

uur（）A.ABuuurB.CDuuurC.CBuuurD.ADuuur【答案】D【解析】【分析】由平面向量的加减法法则进行计算.【详解】由题意得ACABAD=+uuuruuuruuur，BDADAB=−uuuruuuruuur，

所以()111222ACBDABADADABAD+=++−=uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur.故选：D.4.设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若m∥，n∥，则mn∥B.若m∥，∥，则m∥C.

若m∥，⊥，则m⊥D.若mn∥，m⊥，则n⊥【答案】D【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，//m，//n，则,mn可能平行，相交，异面，故A错误；B选项，//m，

∥，则可能m，故B错误；C选项，//m，⊥，则可能m，也可能m∥，故C错误；D选项，根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面，则另一条也垂直该平面，故D正确.故选：D.5.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:4:5，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽

取一个容量为260的样本，则从高三年级抽取的学生人数为（）A.40B.50C.80D.100【答案】D【解析】【分析】利用分层随机抽样的概念即得.【详解】因为高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:4:5，所以从高三年级抽取的学生人数

为52601004+4+5=．故选：D.6.已知0.21.5a=，0.20.8log1.20.8bc==，，则（）A.acbB.cbaC.abcD.cab【答案】A【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性和中间值比较大小【详解】因为0.20.20.81.51,log1.20

,0.8(0,1),abc===，所以acb故选：A7.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，底面是边长为1的正方形，若1160AABAAD==，且12AA=，则1AC的长为（）A.5B.22C.10D.15【答案】C【解析】【分析】将1,,ABADAA

uuuruuuruuur作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示1ACuuur，然后对其平方化简后，再开方可求得结果【详解】由题意得11,2ABADAA===uuuruuuruuur，11,90,,,60A

BADAAABADAA===uuuruuuruuuruuuruuuruuur，因为11ACABBCCC=++uuuuruuuruuuruuuur1ABADAA=++uuuruuuruuur,所以()2211ACABA

DAA=++uuuuruuuruuuruuur212121222ADAAADABAAADAAABAB=+++++uuuruuuruuuuruuuruuruuuruuuruuuruuur114211cos90212cos60

212cos60=+++++10=，所以110AC=uuur，故选：C8.在新冠病毒流行期间，为了让居民能及时了解疫情是否被控制，专家组通过会商一致认为：疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，记连续7天每天记录的新

增感染人数的数据为一个预报簇，根据最新的连续四个预报簇①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数3x；②平均数3x，且标准差3s；③平均数3x，且极差2m；④众数等于1，且极差4m．其中符

合疫情被控制的预报簇个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】对于①、②举例判断，对于③，分别由极差为0，1，2进行分析即可，对于④，由于众数为1，极差4m，从而可判断出最大值【详解】解：①错，举反例：0，0，0，0，2，6，6，其平均数2

3x=„，不符合指标，②错，举反例：0，3，3，3，3，3，6，其平均数3x=，且标准差1827s=„，不符合指标，③对，若极差等于0或1，在3x„的条件下，显然符合指标；若极差等于2且3x„，则每天新增感染人数的最小值和最大值有下列可能：（1）0，2，（2）1，3，（3）2，4，

符合指标，④对，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标，故选：B．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选

对的得2分．9.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A.cosyx=与sin2yx=+B.2(1)yx=−与1yx=−C.sin2yx=与sincosyxx=D.lg2yx=与2lgyx=【答案】AB【解

析】【分析】根据同一函数的对应法则、定义域都相同，结合各选项中的函数解析式判断是否为同一函数即可.【详解】A：sin()cos2yxx=+=与cosyx=的对应法则、定义域都相同，符合；B：2(1)|1

|yxx=−=−与1yx=−的对应法则、定义域都相同，符合；C：1sincossin22yxxx==与sin2yx=的对应法则不同，不符合；D：22lglgyxx==与lg2yx=的对应法则不同，不符合.故选：AB10.若()19PAB=，()23PA=，()13PB=，则关于事件A与B的

关系正确是（）A.事件A与B互斥B.事件A与B不互斥C.事件A与B相互独立D.事件A与B不相互独立【答案】BC【解析】【分析】根据互斥与独立事件的定义判断即可【详解】因为()19PAB=，所以A与B能同时发生，不是互斥事件，故A错误，B正确；Q()23PA=，所以()

13PA=，又()13PB=，故()()()PABPAPB=成立，故事件A与B相互独立，故C正确，D错误故选：BC11.下列命题中正确的是（）A.已知平面向量ar满足1a=r，则1aa=rrB.已知复数z满足1z=，则1zz=C.已知平面向量ar，br满足abab+=−

rrrr，则0ab=rrD.已知复数1z，2z满足1212zzzz+=−，则120zz=【答案】ABC【解析】【分析】结合选项逐个验证，向量的模长运算一般利用平方处理，复数问题一般借助复数的运算来进行.【详解】因为21aaa

==rrr，所以A正确；设izab=+，则izab=−，因为1z=，所以221ab+=，所以()()22ii1zzababab=+−=+=，所以B正确；因为abab+=−rrrr，所以222222aabbaabb++=−+rrrrrrrr，即0ab=rr，所以C正确；因为1i1i+

=−，然而1ii0=，所以D不正确.故选：ABC.12.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成二面角A−BD−C，形成四面体A−BCD，如图所示，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则（）A.若二面角A−BD−C为60°，则AC=2B.若二面角A−BD−C为90°，则EF⊥B

CC.若二面角A−BD−C为90°，过EF且与BD平行的平面截四面体A−BCD所得截面的面积为2D.四面体A−BCD的外接球的体积恒为823【答案】ACD【解析】【分析】对于A，取BD的中点O，连接,AOCO，则可得AOC为二面角ABDC−−的平面角

，然后可得AOC△为等边三角形，从而可求出AC的长，对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量判断，对于C，取CD的中点M，AB的中点N，连接,,,EMMFFNEN，可证得过EF且与BD平行的平面截四面体ABCD−所得的截面为矩形EMFN，从而可求出其面积，对于D，由正方形的

性质可知OAOBOCOD===,所以可得点O为四面体A−BCD的外接球的球心，而半径为定值，所以可得外接球的体为定值【详解】对于A，取BD的中点O，连接,AOCO，因为2ABBCCDAD====，所以,AOBDCOBD⊥⊥，所以A

OC为二面角ABDC−−的平面角，所以60AOC=，因为122AOCOBD===，所以AOC△为等边三角形，所以2ACAO==，所以A正确，对于B，由选项A可知，AOC为二面角ABDC−−的平面角，因为二面角A−BD−C为90°，所以90AOC=，所以,,OAOCOD两两垂直

，所以以O为原点，,,OCODOA所在的直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,2,0)OCDAB−，所以(2,2,0)BC=uuur，因为点E，F分别为线段BC，AD的中点

，所以2222,,0,0,,2222EF−,所以22,2,22EF=−uuur，所以2222201022BCEF=−++=uuuruuur，

所以BCuuur与EFuuur不垂直，即EF与BC不垂直，所以B错误，对于C，取CD的中点M，AB的中点N，连接,,,EMMFFNEN，因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，所以EM∥BD，FN∥BD，MF∥AC，NE∥AC，1111,,,2222EMBDFNBDMFCNEAC===

=,所以,,,EMFN四点共面，因为EM平面EMFN，BD平面EMFN,所以BD∥平面EMFN,由选项A可知,AOBDCOBD⊥⊥，因为AOCOO=I，所以BD⊥平面AOC，因为AC平面AOC，所以BDAC⊥，所以EMMF⊥，所以过EF且与BD平行的平面截四面体AB

CD−所得的截面为矩形EMFN，因为二面角A−BD−C为90°，所以90AOC=,所以222ACAOCO=+=因为122EMBD==,112MFAC==，所以截面的面积为2，所以C正确，对于D，因为由正方形的性质可知2OAOBOCOD====，所以可得点O为四面体A−BCD的外接球的球心，且球

的半径为2，所以四面体A−BCD的外接球的体积恒为()3482233=，所以D正确，故选：ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若0x，则4xx+的最小值为________________．【答案】4【解析】【分析】利用基本不等式求得最小值.【详解】4

40,24xxxxx+=，当且仅当4,2xxx==时等号成立.故答案为：414.cos45cos15sin45sin165−=________．【答案】12##0.5【解析】【分析】先利用诱导公式化简，

再利用差角公式求解.【详解】()1cos45cos15sin45sin165cos45cos15sin45sin15cos45152−=−=+=.故答案为：1215.已知圆锥的底面半径为1，其

侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为________．【答案】4【解析】【分析】设圆锥的母线长为l，则由题意可得2213l=，求出l，从而可求出侧面积，进而可求得其表面积【详解】设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是

一个圆心角为120°的扇形，所以2213l=，解得3l=，所以圆锥的表面积为21213142+=，故答案为：416.在△ABC中，角A，B为锐角，若sin23sinsinCBA=，则tantanAB的最小值是________．【答案】13【解析】【分析】由题意()sin2

3sinsinABBA+=，再根据两角和的正弦公式，结合同角三角函数的关系可得tantan23tantanABBA+=，再结合基本不等式求最值即可【详解】因为sin23sinsinCBA=，故()sin23sinsinABBA+=，即sincoscossi

n23sinsinABABBA+=，因为角A，B为锐角，故tantan23tantanABBA+=，由基本不等式23tantantantan2tantanBAABAB=+，即3tantan3AB，故1tantan3AB，当且仅当6AB

==时取等号.故答案为：13四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量(cos,sin)axx=r，(3,3)b=−r，0,x．（1）若ar与br共线，求x的值；（2）记()fxa

b=rr，求函数()yfx=的最大值和最小值及对应的x的值．【答案】（1）56x=（2）0x=时()3maxfx=；56x=时()23minfx=−【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示即可求解.（2）现用向量数量积的坐标表示求出()

fx，再根据cosx的单调性求出最大最小值.【小问1详解】因为(cos,sin),(3,3),[0,]axxbx==−rr.由//abrr可得3cos3sinxx−=，即3tan3x=−.所以56x=.【小问2详解】因为(

)3cos3sin23cos()6fxabxxx==−=+rr，0,x.所以7[,]666x+，当66x+=，即0x=时，max()3fx=.当6x+=，即56x=时，min()23fx=−.18.如图，边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，

点F是BC中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．（Ⅰ）求证A'D⊥EF；（Ⅱ）求三棱锥A'﹣EFD的体积．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）83．【解析】【分析】(Ⅰ)

取EF中点M,再证明EF⊥平面A′DM即可.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知''''13AEFDEAMDFAMDAMDVVVSEF−−−=+=V,再求解'AMDSV与EF即可.【详解】（Ⅰ）证明：取EF中点M,连接A′M,DM,显然,DE＝DF

,故DM⊥EF；显然,A′E＝A′F,则A′M⊥EF,又A′M∩DM＝M,且都在平面A′DM内,∴EF⊥平面A′DM,∵A′D⊂平面A′DM,∴A′D⊥EF；（Ⅱ）易知,''''13AEFDEAMDFAMDAMD

VVVSEF−−−=+=V,222222EF=+=,22222'4164232ADDMDEEMADAEEM==−=+−=+−=，,22''422AMAEEM=−=−=,∴DM2＝A′M2+A′D2,∴'142222AMDS

==V,∴'18222233AEFDV−==．【点睛】本题主要考查了异面直线垂直的证明,同时也考查了体积求法中的切割求解,需要根据题意找到合适的底面与高,属于中等题型.19.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这5

0名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），……，[80，90），[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数（保留一位小数）；（3）从评分在[40,60)的受访职工中

，随机抽取2人，求此2人评分都在[50,60)的概率．【答案】（1）0.006a=（2）76.4（3）310p=【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图的各个小矩形的面积之和为1求出a；(2)根据频率分布直方图估计中位数；(3)根据频率分布直方图求出从评分在

[40,50)和[50,60)的人中抽取的人数，再根据古典概型计算概率.【小问1详解】由频率分布直方图得：(0.0040.0180.02220.028)101a++++=，解得0.006a=．【小问2详解】评分在[40,70]

的概率为0.32，评分在[40,80]的概率为0.6，该企业的职工对该部门评分的50%分位数位于[70,80]，所以50%分位数为0.50.327076.40.028−+；【小问3详解】受访职工中评分在[50,60)的有：500.006103=人，记为

a，b，c，受访职工中评分在[40,50)的有：500.004102=人，记为A，B，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有的可能结果有10种，分别为：{a，}b，{a，}c，{a，}A，{a，}B，{b，}c，{b，}A，{b，}B，{c，}A，{c，}B，{A，}B，此2人评分

都在[50,60)包含的基本事件有{a，}b，{a，}c，{b，}c，共3个，从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，此2人评分都在[50,60)的概率310p=．20.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱

AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2．（1）设F为B1C1中点，求证；A1F∥平面BDE；（2）求直线A1B1与平面BDE所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）26【解析】【分析】（1）取BE中点G，

连接FG、DG，可得四边形A1DGF为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答；（2）以C为原点，1CACBCC、、为xy、、z的正方向建立空间直角坐标系，求出11ABuuuur，平面DBE的一个平面法向量，利用线面角的向量求法可得答案.【小问1详解】取BE中

点G，连接FG、DG，则FG//CC1//AA1，1113222CEBBFG++==，所以FG//A1D且FG=A1D，所以四边形A1DGF为平行四边形，所以A1F//DG，又A1F平面BDE，DG平面BDE，所以AF1//平面BDE.【小问2详解】以C为

原点，1CACBCC、、为xy、、z的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，()()()2,0,10,2,0,0,0,2,DBE，()()112,0,30,2,3,AB，()112,2,0=−uuuurAB，()()2,2,12,0,1,=−−=−uuuruuurDBDE，设平面DBE的一个平

面法向量为(),,nxyz=r，所以00==uuurrruuurDEnnDB，即22020−+−=−+=xyzxz，令1x=，则2,2zy==，()1,2,2=rn，设直线的直线11AB与平面BDE所成角的为，所以

111111242sincos,689−+====ruuuurruuuurruuuurnABnABnAB.21.滨湖区拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区域ABC为主题活动区，其中60,45,

126ACBABCABm===；AD、CD为游客通道(不考虑宽度),且120ADC=，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休憩.（1）求AC的长度；（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，求L的最大值.【答案】（1）；（2）

163m．【解析】【详解】试题分析：（1）由正弦定理可知,代入数据便可求得AC的长度；（2）在三角形中，,可假设,60DACDAC==−，利用正弦定理可求得,从而将转化为关于的三角函数，再利用三角恒等变换及函数的最值求得的最

大值.试题解析：（1）由已知由正弦定理，得sin60sin45ABAC=得24ACm=.（2）在ABC中，设,60DACDAC==−，由正弦定理sinsinsinACADCDADCACDCAD

==，()163sin60,163sinADCD=−=，()163sin60163sinLADCD=+=−+()31163cossin163sin6022=+=+16

3.因060，当30=时，取到最大值163m.考点：正弦定理，三角恒等变换，函数的最值.【方法点睛】本题主要考查正弦定理的运用及利用三角恒等变换求最值．在三角形中，当已知两角及其一角的对边时，经常利用正弦定理来求得另一边，而对于三角形中两边和（周长）

的取值范围，可利用正弦定理将和（周长）转化为某一个内角的三角函数，经过三角恒等变换，然后结合函数的单调性求得最值．22.己知函数()2cossin4fxxaxa=−++−，0,x．（1）求()fx的最小值()ga；（2）若()fx在0,上有零点，

求a的取值范围，并求所有零点之和．【答案】（1）g（a）320320442aaaaaa−−+−−=−剟（2）3a…，所有零点之和为【解析】【分析】（1）由函数()222sincos4sin324aafx

axxaxa=−+−=+−+−，根据[0x，]，得到sin[0x，1]，分2a−0，012a−剟，12a−，讨论求解；2（）由()0fx=，根据sin1x，得到231sinsinxax+=−，令sin[0tx=，1)，得到2314211tattt+==−+−−−，利用勾

函数的性质求解.【小问1详解】解：Q函数()222sincos4sin324aafxaxxaxa=−+−=+−+−，[0xQ，]，sin[0x，1]，当2a−0时，即0a时，则si

n0x=时，()fx取得最小值g（a）3a=−；当012a−剟时，即20a−剟时，则sin2ax=−时，()fx取得最小值g（a）234aa=−+−；当12a−时，即2a−时，则sin1x=时，()fx取得最小值g（a）4=．综上可

得，g（a）320320442aaaaaa−−+−−=−剟．【小问2详解】[0xQ，]，sin[0x，1]，由()0fx=，可得()2sin31sin?xxa+=−，当sin1x=时，此等式不成立．故有sin1x，231sinsinxax+=−，令sin[0tx=

，1)，则2314211tattt+==−+−−−，令1(0,1]mt=−，则24amm=+−，由对勾函数的性质得：函数a在(0,1]上单调递减，故当m=1，即0=t时，3a=；当m趋于0，即t趋于1时，a趋于正无穷大，所以3a…，所有零点之和为．