【文档说明】新教材高一数学第二学期期末试卷十四（原卷版+教师版）.doc，共(27)页，1.351 MB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高一数学第二学期期末试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．1.设11zii=++，则z=（）A.12B.22C.32D.22.2021年湖南省新高考实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二

，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A=“他选择政治和地理”，事件B=“他选择化学和地理”，则事件A与事件B（）A.是互斥事件，不是对立事件B.是对立事件C.既不是对立事件，也不是互斥事件D.无法

判断3.已知两条不同直线l，m，两个不同平面，，则下列命题正确的是A.若//，l，m，则//lmB.若//，//m，l⊥，则lm⊥C.若⊥，l⊥，m⊥，则//lmD.若⊥，//l，//m，则lm⊥4.设

xR，则“250xx−”是“|1|1x−”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知21log2a=，212b−=，122c=，则a，b，

c的大小关系是（）A.bcaB.bacC.acbD.abc6.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得15BCD=，30CBD=，102mCD=，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB=（）A.302mB.203m

C.30mD.20m7.函数()cosfxxx=+的零点所在的区间为（）A.11,2−−B.1,02−C.10,2D.1,128.已知四边形ABCD中，ACBD⊥，22BDABBC===，23ACCD==，点E在四边形ABCD上

运动，则EBEDuuuruuur的最小值是（）A.3B.1−C.3−D.4−二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错

的得0分．9.为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（）A.频率分布直方图中a的值为

0.04B.这100名学生中体重不低于60千克的人数为20C.这100名学生体重的众数约为52.5D.据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.2510.将函数()()sin202fxx=−的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度，得到偶函数()hx的图象，则下

列结论中正确的有（）A.()hx的图象关于点,04−对称B.()hx的图象关于2x=对称C.()hx在2,123上的值域为13,22−D.()hx在,62

上单调递减11.下列说法正确的是（）A.若函数()fx在()1,1−存在零点，则()()110ff−一定成立B.“xR，2230xx−−”的否定是“0xR，200230xx−−=

”C.设M为平行四边形ABCD的对角线的交点，O为平面内任意一点，则2OAOBOCODOM+++=uuuruuuruuuruuuruuuurD.若230OAOBOC++=uuuruuuruuurr，O为ABCV所在平面一点，BOCSV和A

BCSV分别表示BOCV和ABCV的面积，则:1:3BOCABCSS=VV12.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1BC上运动，则（）A.直线1BD⊥平面11ACDB.二面角1BCDB−−的大小为2C.三棱锥11PACD−的体积为定值D.异面直线AP与

1AD所成角的取值范围是,42三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量3sin,14xm=−ur，2cos,cos44xxn=r，若mn⊥urr，则cos3x−=__________．1

4.关于x的方程2(2i)i10xaxa+−−+=有实根，则实数a的值为__________．15.为了了解一家公司生产的白糖的质量情况，现从这家公司生产的白糖中随机抽取了10袋白糖，称出各袋白糖的质量（单位：克）如下：4955005

03508498500493500503500则质量落在区间,xsxs−+（x表示质量的平均值，s为标准差）内的白糖有____________袋.16.已知函数ln,02()(4),24xxfxfxx=−，若当方程()fxm=有四个

不等实根1x、2x、3x、4x，(1x＜2x＜3x＜4x)时，不等式22341211kxxxxk+++恒成立，则x1·x2=________，实数k的最小值为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知sin3

mx→=−（，），2(coscosnxx→=，）函数()fxmn→=ur．（1）求()fx的最小正周期和最大值；（2）求()fx在π2,6π3上的单调区间．18.从①()()()acacbab−+=−，②3cossinaCcA=，③2π5coscos24CC++=三个

条件中任选一个补充在下面问题中，并解答：已知ABCV三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_________.（1）求角C的大小；（2）若ABCV为锐角三角形，2b=，求a的取值范围.19.在直三棱柱111ABCABC−中，D，E分别是1AA，11BC的中点．（Ⅰ）求证：1

//AE平面1CBD；（Ⅱ）若1DCBD⊥，1ACBC==，12AA=．（ⅰ）求二面角1BDCC−−的正切值；（ⅱ）求直线1AE到平面1CBD的距离．20.为打造精品赛事，某市举办“南粤古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展.

本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图：组数速度（千米/小时）参赛人数（单位：人）少年组)6,8300成年组)8,10600专业组10,12b（1）求a，b的值；（2）估计本次大

赛所有选手的平均速度（同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到0.01）；（3）通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人都来自“成年组”的概率.21.十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能

源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆）需另投入成本y（万元），且

210100,040100005014500,40xxxyxxx+=+−.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润S（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）（

2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.22.已知函数()42xxbfx+=为奇函数．（1）求实数b的值；（2）若对任意的0,1x，有()23202fxkxk−−+恒成立，求实数k的取值范围；（3）设()()log44xxmgxmfx−

=+−（0m，且1m），问是否存在实数m，使函数()gx在21,log3上的最大值为0？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．新教材高一数学第二学期期末试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．1.设11z

ii=++，则z=（）A.12B.22C.32D.2【答案】B【解析】【分析】对复数进行运算化简得1122zi=+，再进行模的计算，即可得答案；【详解】Q22111112,||122222ziizi=+=+=+=+，故选：B.【点睛】本题考查复数模的计算，考考运算求解能

力，属于基础题.2.2021年湖南省新高考实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A=“他选择政治和地理”，事件B=“他选择化学和地理”，则事

件A与事件B（）A.是互斥事件，不是对立事件B.是对立事件C.既不是对立事件，也不是互斥事件D.无法判断【答案】A【解析】【分析】根据对立事件、互斥事件的定义判断即可；【详解】解：依题意某同学已选了物理，则还有政治和地理，政治和化学，政治和生物，地理和化学，地理和生物，化学和生

物这6种情况，所以事件A与事件B是互斥事件，但是不是对立事件；故选：A3.已知两条不同直线l，m，两个不同平面，，则下列命题正确的是A.若//，l，m，则//lmB.若//，//m，l⊥，则lm⊥C.

若⊥，l⊥，m⊥，则//lmD.若⊥，//l，//m，则lm⊥【答案】B【解析】【分析】对A，//lm或,lm异面，所以该选项错误；对B，lm⊥，所以该选项正确；对C，lm⊥，所以该选项错误；对D，lm⊥或//lm或,lm相

交或,lm异面，所以该选项错误.【详解】对A，若//，l，m，则//lm或,lm异面，所以该选项错误；对B，若//，l⊥，所以l⊥，因为//m，则lm⊥，所以该选项正确；对C，若⊥，l⊥，m⊥，则lm⊥，所以该选项错误；对D，若⊥，//l，//m，则lm⊥或

//lm或,lm相交或,lm异面，所以该选项错误.故选：B.【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系的命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.4.设xR，则“250xx−”是“

|1|1x−”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知05x推不出11x−；由11x−

能推出05x，故“250xx−”是“|1|1x−”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．5.已知21log2a=，212b−=，122c=，则a，b，c的大小关系是（）A.bcaB.

bacC.acbD.abc【答案】C【解析】【分析】根据对数函数与指数函数的性质，分别判断a，b，c的范围，即可得出结果.【详解】因为221loglog102a==，221242b−===，121

224c==，所以acb.故选：C.6.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得15BCD=，30CBD=，102mCD=，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB=（）A.302mB.203mC.30mD.20m【答

案】D【解析】【分析】由已知在BCD△中，利用正弦定理可求CB的值，在RtABC△中，由45ACB=，可求塔高ABBC=的值.【详解】解：在BCD△中，15BCD=，30CBD=，102mCD=，由正弦定理sinsinCDCBCBDCDB=，可得()

102sin30sin1801530CB=−−，可得2202202CB==，在RtABC△中，45ACB=，所以塔高20mABBC==.故选：D.7.函数()cosfxxx=+的零点所在的区间为（）A.11,2−−B.1,02−C.10,2

D.1,12【答案】A【解析】【分析】先判断()0fx在(0,1上恒成立，排除CD；再判断()cosfxxx=+在1,0−上单调，计算出()1f−，12f−，()0f，根据函数零点存在性定理，即可得出结果.【详解】当01x时，0c

os1coscos01x=，所以()cos0fxxx=+恒成立，故10,2和1,12内不可能存在零点；排除CD.当10x−≤≤时，yx=单调递增，cosyx=也单调递增，所以()cosfx

xx=+在1,0−上单调递增；又()cosfxxx=+在R上为连续函数，且()()11cos11cos10f−=−+−=−+，111111coscoscos02222226f−=−+−=−+−+=，()0cos01f==，因此()110

2ff−−，()1002ff−，由函数零点存在性定理可得，仅区间11,2−−内有零点，即A正确，B错.故选：A.8.已知四边形ABCD中，ACBD⊥，22B

DABBC===，23ACCD==，点E在四边形ABCD上运动，则EBEDuuuruuur的最小值是（）A.3B.1−C.3−D.4−【答案】C【解析】【分析】由题意分析可知四线性ABCD关于直线BD对称，且BC

CD⊥，只需考虑点E在边,BCCD上的运动情况即可，然后分类讨论求出EBEDuuuruuur的最小值.【详解】如图所示，因为ACBD⊥，且ABBC=，所以BD垂直且平分AC，则△ACD为等腰三角形，又23ACCD==，所以△ACD为等边三

角形.则四边形ABCD关于直线BD对称，故点E在四边形ABCD上运动时，只需考虑点E在边,BCCD上的运动情况即可，因为22BDABBC===，易知222BCCDBD+=，即BCCD⊥，则0CBCD=uuuruuur，

①当点E在边BC上运动时，设()01EBCB=uuuruuur，则()1ECCB=−uuuruuur，∴()()141EBEDCBCB=−=−uuuruuuruuuruuur，当12=时，EBEDuuuruuur的最小值

为1−；②当点E在边CD上运动时，设()01EDkCDk=uuuruuur，则()1ECkCD=−uuuruuur，∴()()()1121EBEDECCBEDkCDkCDkk=+=−=−uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，当12k=时，EBEDuuur

uuur的最小值为3−；综上，EBEDuuuruuur的最小值为3−；故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积及数量积的最值问题，考查数形结合思想的运用、分类讨论思想的运用，难度稍大.二、多项选择题：本题

共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直

方图，则（）A.频率分布直方图中a的值为0.04B.这100名学生中体重不低于60千克的人数为20C.这100名学生体重的众数约为52.5D.据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25【答案】ACD【解析】【分析】利用频率之和为1可判断选项A，利用频率与频数的关系即可判断选项B，

利用频率分布直方图中众数的计算方法求解众数，即可判断选项C，由百分位数的计算方法求解，即可判断选项D．【详解】解：由(0.010.070.060.02)51a++++=，解得0.04a=，故选项A正确；体重不低于60千克的频率为(0.040.02)50.3+=，所以这100名学生

中体重不低于60千克的人数为0.310030=人，故选项B错误；100名学生体重的众数约为505552.52+=，故选项C正确；因为体重不低于60千克的频率为0.3，而体重在[60，65)的频率为004502..=，所以计该校学生体重的75%分位数约为1605

61.254+=，故选项D正确．故选：ACD．10.将函数()()sin202fxx=−的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度，得到偶函数()hx的图象，则下列结论中正确的有（）A.()hx的图象关于点,04−对称

B.()hx的图象关于2x=对称C.()hx在2,123上的值域为13,22−D.()hx在,62上单调递减【答案】ABD【解析】【分析】通过函数图象的伸缩平移变换可得的值，以及()fx与()hx解析

式，再根据三角函数图象性质判断各个选项.【详解】函数()()sin202fxx=−的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度,得()2sin23hxx=−+，又()hx为偶函数，故y轴为()hx的对称轴，即2,32kkZ−

+=+，解得,6kkZ=−，02Q，6=，()2sin2()sin2cos2663fxxhxxx=−=−+=，，()hx的对称中心：令2242kxkkZ

xkZ=+=+，，，，即对称中心为,042kkZ+，，当1k=−时，对称中心为,04−，故A选项正确；()hx对称轴：令2,,,2kxkkZxkZ==，当1k=时，对称轴为2x=，故B选项正确；2,123x

Q，32,,()cos21,632xhxx=−，故C选项错误；()hx的单调递减区间：令222kxkkZ+，，即2kxkkZ+，，又,,622kk+

，故函数()hx在,62上单调递减，D选项正确；故选：ABD.11.下列说法正确的是（）A.若函数()fx在()1,1−存在零点，则()()110ff−一定成立B.“xR，2230xx−−”的否定是“0xR，20

0230xx−−=”C.设M为平行四边形ABCD的对角线的交点，O为平面内任意一点，则2OAOBOCODOM+++=uuuruuuruuuruuuruuuurD.若230OAOBOC++=uuuruuuruuurr，O为ABCV所在平面一点，BOCSV和ABCSV分别表示BOCV和ABC

V的面积，则:1:3BOCABCSS=VV【答案】BD【解析】【分析】直接利用零点定理，命题的否定，向量的线性运算，向量的加法和三角形的面积的求法，逐一分析各个选项，即可得出答案．【详解】解：对于A：若函数

()fx在(1,1)−存在零点，且函数具有单调性，则(1)ff−（1）0一定成立，故A错误；对于B：“xR，2230xx−−的否定是“0xR，200230xx−−=”故B正确；对于C：如图所示：所以1()2O

MOBOD=+uuuuruuuruuur，1()2OMOAOC=+uuuuruuuruuur，所以4OAOBOCODOM+++=uuuruuuruuuruuuruuuur，故C错误；对于D：230OAOBOC++=uuuruuuruuurr，如图所示：整理得：2()()0OAOCOB

OC+++=uuuuuruuuruuuruuurr，取BC的中点为D，AC的中点为E，所以2ODOE=−uuuruuur，所以设OBDCDOSSt==VV，2CODCOESS=VV，2COEtS=V所以32CDEtS=V，由于DE为ABCV的中位线，所以

3462ABCtSt==V，故:1:3BOCABCSS=VV．故D正确；故选：BD．12.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1BC上运动，则（）A.直线1BD⊥平面11ACDB.二面角1BCDB−−的大小为2

C.三棱锥11PACD−的体积为定值D.异面直线AP与1AD所成角的取值范围是,42【答案】AC【解析】【分析】在A中推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D；在B中根据正方体性质显然不成立；在C中由B1C∥平

面A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；在D中异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[,]32即可求解.【详解】如图，在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D

1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；在B中，由正方体可知平面1BCD不垂直平面ABCD,故B错误；在C中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D，∵点

P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故C正确；在D中，当点P与线段1BC的端点重合时,异面直线AP与1AD所成角取得最小值为3,故异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[,]32，故D错

误.故选：AC【点睛】关键点点睛：根据正方体的图形与性质，结合线面垂直的判定，三棱锥的体积公式，二面角、异面直线所成角的概念，是解题的关键，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量3sin,14xm

=−ur，2cos,cos44xxn=r，若mn⊥urr，则cos3x−=__________．【答案】12【解析】【分析】利用平面向量垂直的坐标表示结合三角恒等变换化简得出1sin262x−=，利用二倍角

的余弦公式可求得结果.【详解】由mn⊥urr得21cos331123sincoscossinsincos44422222222xxxxxxxmn+=−=−=−−urr1sin0262x=−−=，所以，1sin262x−=，因此，

2211cos12sin1232622xx−=−−=−=.故答案为：12.14.关于x的方程2(2i)i10xaxa+−−+=有实根，则实数a的值为__________．【答案】【解析】【分析】设0

x为方程的实根，代入方程中化简，然后利用复数相等的条件可求出实数a的值【详解】设0x为方程的实根，则200(2i)i10xaxa+−−+=，的以200021()i0xaxxa++−+=，所以2000210()0xaxxa++=

−+=，所以22()210aa−−+=，得21a=，所以1a=，故答案为：15.为了了解一家公司生产的白糖的质量情况，现从这家公司生产的白糖中随机抽取了10袋白糖，称出各袋白糖的质量（单位：

克）如下：495500503508498500493500503500则质量落在区间,xsxs−+（x表示质量的平均值，s为标准差）内的白糖有____________袋.【答案】7【解析】【分析】根据平均数和标准差的计算公式，结合数据，即可求得结果.【详解】由题可得：(

)149550050350849850049350050350010x=+++++++++500=；212596444991610s=+++++=，故可得4s=.则区间[x﹣s，x+s]即为496,504.故落在该区间的产品件数为：7.

故答案为：7.16.已知函数ln,02()(4),24xxfxfxx=−，若当方程()fxm=有四个不等实根1x、2x、3x、4x，(1x＜2x＜3x＜4x)时，不等式22341211kxxxxk

+++恒成立，则x1·x2=________，实数k的最小值为___________．【答案】①.1②.322−【解析】【分析】根据分段函数性质画出()fx的图象，结合题设()fxm=，应用数形结合及对数函数的

性质可得0ln2m，利用对数的运算易得121xx=，由对称性可得34(4)(4)1xx−−=，再应用参变分离有22123411()1xxkxx−+−恒成立，构造22123411()()1xxg

xxx−+=−，利用换元法结合基本不等式求最值，即可求k的最小值.【详解】当24x时，042x−，∴()(4)ln(4)fxfxx=−=−，()fx如下图示：∴1x、2x､3x、4x对应A、B、

C、D的横坐标，由(2)ln2f=，故0ln2m，因为12lnlnxx=，又12012xx得121212lnlnln01xxxxxx−===故答题空1的答案为：1.由对称性同理可得：34(4)(4)1xx−−=，又因为()(4)fxfx=−得：324

xx=−，414xx=−，分离参数得：22123411()1xxkxx−+−，设2222212121234211211()11()13()()1(4)(4)1164()xxxxxxgxxxxxxx−+−+−+===−−−−−+，令12xxt+=，则12522xx+，5(2

,)2t，则213()()164tgxhtt−==−，再令4tn−=（322n）则2831313()()(8)()2444nnhtnnnnnn−+−===−−+=−++，∴323nn+（当且仅当3n=时取“=”），∴3()22n−，即3()22gx−，∴32

2k−，即实数k的最小值为322−.故答题空2的答案为：322−.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知sin3mx→=−（，），2(coscosnxx

→=，）函数()fxmn→=ur．（1）求()fx的最小正周期和最大值；（2）求()fx在π2,6π3上的单调区间．【答案】（1）最小正周期为π，最大值为232−．（2）π5π,612为单调递增区间；5π2π,123

为单调递减区间．【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标运算及三角恒等变换化简，由正弦型三角函数求周期、最值即可；（2）根据自变量的范围求出π23x−的范围，结合正弦型三角函数的单调性求解.【小问1详解】3133π3

()cossin(1cos2)sin2cos2sin(2)222232fxmnxxxxxx→==−+=−−=−−ur，因此()fx的最小正周期为π，最大值为232−．【小问2详解】当2,63ππx时，π02π3x−，

从而当ππ0232x−，即π5π612x时，()fx单调递增，当2π23ππx−，即5π2π123x时，()fx单调递减．综上可知，()fx在π5π,612上单调递增；在5π2π,123上单调递减．18.从①()()()acacbab−+=−，②3co

ssinaCcA=，③2π5coscos24CC++=三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答：已知ABCV三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_________.（1）求角C的大

小；（2）若ABCV为锐角三角形，2b=，求a的取值范围.【答案】选①②③（1）π3；（2）()1,4【解析】【分析】（1）选①：利用余弦定理以及已知条件可求得cosC的值，再结合角C范围即可求解；选②：利用正弦定理化边为角可得tanC的值，再结合角C范围即可求解；选③：利用诱导公式和同角三角

函数基本关系可求得cosC的值，再结合角C范围即可求解；（2）利用正弦定理，结合2π3BC+=将边a转化为角，再由锐角三角形求出B的范围，利用三角函数的性质即可求解.【详解】（1）选①：∵()()()acacbab−+

=−，∴222acabb−=−.∴222abcab+−=.∴2221cos222abcabCabab+−===.又∵()0,πC，∴3C=.选②：∵3cossinaCcA=，由正弦定理得3sincossinsinACCA=.∵()0,πA，∴sin0A，∴3cossinCC=，∴tan3C

=.又∵()0,πC，∴π3C=.选③：∵2π5coscos24CC++=，∴()225sincos1coscos4CCCC−+=−+=.∴21coscos04CC−+=.∴1cos2C=.又∵()0,πC，∴π3C=.（2）由正弦定理sinsinsinabcABC==，

∴2sinsinaAB=.∴()π2sin2sin2sin3sinsinsinBBCAaBBB++===sin3cos31sintanBBBB+==+.∵ABCV为锐角三角形，π3C=，可得2ππ032π02BB−，解得：ππ62B

，∴3tan,3B+，∴()10,3tanB∴()30,3tanB，∴14a.∴a的范围是()1,4.19.在直三棱柱111ABCABC−中，D，E分别是1AA，11BC的中点．（Ⅰ）求证：1//AE平面1CBD；（Ⅱ）若1DCBD⊥，1ACBC==，

12AA=．（ⅰ）求二面角1BDCC−−的正切值；（ⅱ）求直线1AE到平面1CBD的距离．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）（ⅰ）22；（ⅱ）66.【解析】【分析】（Ⅰ）取1CB中点F并连接EF，证明四边形1ADF

E为平行四边形，然后得到1//AEDF即可；（Ⅱ）（ⅰ）连接CD，首先得到1CDCD⊥，然后可得二面角1BDCC−−的平面角为BDC∠，然后证明BC⊥平面11ACCA，然后在RtBCDV中求解即可；（ⅱ）利用1111ACBDBACVV−−=Ｄ

求解即可.【详解】证明：（Ⅰ）取1CB中点F并连接EF，因为E是11BC的中点，所以1//EFBB，11=2EFBB因为D是1AA的中点，所以11//ADBB，1112ADBB=所以1//ADEF，1=ADEF，所以四边形1ADFE为平行四边形，所以1//AEDF，因为1AE平面1CB

D，DF平面1CBD，所以1//AE平面1CBD．（Ⅱ）（ⅰ）连接CD，因为1AC=，12AA=，D是1AA的中点，所以ADAC=，所以45ACD=，所以145CCD=，同理可得145CCD=，所以1CDCD⊥，因为1CDBD⊥

，所以二面角1BDCC−−的平面角为BDC∠，又CDBDD=I，所以1CD⊥平面CBD，因为BC平面CBD，所以1CDBC⊥，因为直三棱柱111ABCABC−，所以1CC⊥平面ABC，又BC平面ABC，所以1CCBC⊥，又111CDCC

C=，所以BC⊥平面11ACCA，因为CD平面11ACCA，所以BCCD⊥，易得2CD=，在RtBCDV中可得2tan2CBBDCCD==，所以二面角1BDCC−−的正切值为22（ⅱ）因为1//AE平面1CBD，所以直线1AE到平面1CBD的距离等于点1A到平面1CBD的距离，设点1A到

平面1CBD的距离为h，因为1111ACBDBACVV−−=Ｄ，所以111CBDACDhSBCS=△△，即112311122h=，解得66h=，所以直线1AE到平面1CBD的距离为66．20.为打造精品赛事，某市举办“南粤古驿道

定向大赛”，该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图：组数速度（千米/小时）参赛人数（单位：人）少年组)

6,8300成年组)8,10600专业组10,12b（1）求a，b的值；（2）估计本次大赛所有选手的平均速度（同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到0.01）；（3）通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人都来自

“成年组”的概率.【答案】（1）0.2a=，300b=；（2）9.05千米/小时；（3）25.【解析】【分析】（1）由频率和为1，求出a的值，再由频率分布直方图求出少年组的频率，而少年组的人数为300人，从而可求出总人数，进而可求出b的值；（2）利用平均数的公式求

解即可；（3）先利用分组抽样的定义求出成年组和专业组的人数，然后利用列举法求解即可【详解】（1）由频率分布直方图可知0.10.150.30.150.11a+++++=，∴0.2a=.少年组人数为300人，频率10.10.

150.25P=+=，总人数30012000.25n==人，∴1200300600300b=−−=.∴0.2a=，300b=.（2）平均速度6.50.17.50.158.50.29.50.310.50.1511.50.19.05v=+++++=，∴估计本次大赛的平均速度为9

.05千米/小时.（3）成年组和专业组的参赛人数分别为600人、300人.设在成年组和专业组抽取的人数分布为x，y，则6600300600300xy==+.∴4x=，2y=.∴由分层抽样在成年组中抽取4人，专业组中抽取2人.设成年组中的4人分别用A，B，C，D表示；专业组中的2人分

别为a，b表示.从中抽取两人接受采访的所有结果为：AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共15种.接受采访的两人均来自成年组的所有结果为：AB，AC，AD，BC，BD

，CD共6种.故接受采访的两人都来自成年组的概率为62155=.21.十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分

析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆）需另投入成本y（万元），且210100,040100005014500,40xxxyxxx+=+−.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年

能全部销售完.（1）求出2020年的利润S（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）2104003000

,040()100001500,40xxxSxxxx−+−=−−（2）100百辆，最大利润为1300万【解析】【分析】（1）根据题意分情况列式即可；（2）根据分段函数的性质分别计算最值.【小问1详解】由题意得当040x时，22()500(10100)30001040

03000Sxxxxxx=−+−=−+−，当40x≥时，1000010000()500501450030001500Sxxxxxx=−+−−=−−，所以2104003000,040()100001500,40xxxSxxxx−+−=−−

,【小问2详解】由（1）得当040x时，2()104003000Sxxx=−+−，当20x=时，max()1000Sx=，当40x≥时，1000010000()15001500()Sxxxxx=−−=−+10000100002200xxxx

+=Q，当且仅当10000xx=，即100x=时等号成立，()15002001300Sx−=，100x=时，max()1300Sx=，13001000Q，100x=时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元.22.已知函数()42xxbfx+=为

奇函数．（1）求实数b的值；（2）若对任意的0,1x，有()23202fxkxk−−+恒成立，求实数k的取值范围；（3）设()()log44xxmgxmfx−=+−（0m，且1m），问是否存在实数m，使函数()gx在21,log3上的最大值为0？若存

在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）1b=−；（2）3,2+；（3）不存在m满足条件，理由见解析．【解析】【分析】（1）由于函数在R上为奇函数，所以(0)0f=，从而可求出实数b的值；（2）由于()fx在R上单调递增，且()131222f

−=−=−，所以()23202fxkxk−−+可转化为221xkxk−−−在0,1x上恒成立，即()32141kxx++−+在0,1x上恒成立，设()()32141gxxx=++−+，求出其最大值即可；（3）设22xxt−=−，38,

23t，则220tmt−+在38,23t上恒成立，从而得176m，对于二次函数()22dttmt=−+，利用二次函数的性质可得()max8882329dtdm==−+，然后分()0,1m和171,6m求出

()maxht即可【详解】（1）∵函数()42xxbfx+=的定义域为R，且为奇函数，∴()010fb=+=，解得1b=−．此时4114()()22xxxxfxfx−−−−−===−，所以()fx为奇函数，所以1b=−（2）∵()4

4112222xxxxxxbfx+−===−，∴()fx在R上单调递增，且()131222f−=−=−．∵()23202fxkxk−−+，则()()23212fxkxkf−−−=−，又函数()fx在R上单调递

增，则221xkxk−−−在0,1x上恒成立，∴()32141kxx++−+在0,1x上恒成立，设()()32141gxxx=++−+，则()()max312gxgk==，∴实数k的取值范围为3,2+．（3

）不存在，理由如下，设22xxt−=−，38,23t，()()2log2mhttmt=−+，∴220tmt−+在38,23t上恒成立，∴min2mtt+，则176m，∵1m，则(

)170,11,6m．对于二次函数()22dttmt=−+，开口向上，对称轴为2mt=，∴11170,,22212m∴对称轴位于38,23的左侧，则二次函数()22d

ttmt=−+在38,23上单调递增，则()min3317224dtdm==−+，()max8882329dtdm==−+，假设存在满足条件的实数m，则当()0,1m时，由复合函数的单

调性判断方法，可知()()2log2mhttmt=−+为减函数，∴()max0ht=，则()()2minmin21dttmt=−+=，∴33171224dm=−+=，∴()160,13m=（舍），同理可知，当171,6m时，731

71,246m=（舍），综上所述，不存在实数m满足条件成立．【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性，考查不等式恒成立问题，考查二次函数性质的应用，解题的关键是设22xxt−=−，38,23t，则()()2log2mhttmt=−+，由220tmt−+求出(

)170,11,6m，然后分()0,1m和171,6m求出()maxht即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题