【文档说明】新教材高一数学第二学期期末试卷02（原卷版+教师版）.doc，共(26)页，1.475 MB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高一数学第二学期期末试卷选择题部分（共60分）一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合31Axxnn==+N∣，，集合34567810B=，，

，，，，，则ABI中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.42.知向量1234ab==rr（，），（，），则ab−=rr（）A.26（，）B.26−（，）C.46（，）D.22−−（，）3.几何学中把变换前后两点间距离保持不变的变换称为刚体变换，在平面中作图形变换，易知平

移变换是一种刚体变换，以下两个函数fx（）与gx（），其中gx（）可以由fx（）通过平移得到的是（）A.sin4cos46fxxgxx==−（），（）B.2234fxxgxx==+（），（

）C.322333fxgxxx=−=++−（），（）D.415fxxgxx=+=（），（）4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数":设xR，用x表示

不超过x的最大整数，则yx=称为高斯函数，也称取整函数，例如:1.323.43−=−=，，已知11()313xfx=−+，则函数()yfx=的值域为（）A.0B.10−，C.01，D.101−，，5.已知R，则函数2()1xfxxa=+的图像

不可能是（）A.B.C.D.6.如图，小吕考虑用一个棱长为12mm的正四面体硬木件VABC−，削磨出一个体积最大的球，他的第一步是削去一个小正四面体111VABC−，则截面111ABC△面积的最大值为（）A.223mmB.293mm4C.243mmD.293mm7.如

图所示，唐唐在背景墙上安装了一台视频监视器，P为唐唐坐在工位上时相当于眼睛位置的一点，P在背景墙上的水平投影点为B，过B作垂直于地面的直线AB，分别交监视器上、下端于A、H两点，测得2m1.5mABBH==，，若APBHPB==，，则−为唐

唐看监视器的视角.唐唐通过调整工位使视角取得最大值，此时PB的长为（）A.3mB.6mC.2mD.42m38.若函数()2exfxaxb=++，则下列说法正确的是（）A.若1b−，则对于任意0a函数()()ffx都有2个零点B.若1b−，则对于任意0a

函数()()ffx都有4个零点C.若1b−，则存在00a使得函数()()ffx有2个零点D.若1b=−，则存在00a使得函数()()ffx有2个零点二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若110ab，则下列不等式正确的是（）A.abB.abC.abab+D.2baab+10.掷一枚骰子，记事件A为掷出的数大于4，事件B为掷出偶数

点，则下列说法正确的是（）A.5()6PAB=UB.1()3PA=C.事件A与事件B为相互独立事件D.事件A与事件B对立11.我们知道，函数yfx=（）的图象关系坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数yfx=（）为奇函数.有同学发现可以将其推广为:函数yf

x=（）的图象关于点Pab（，）成中心对称图形的充要条件是函数yfxab=+−（）为奇函数.现在已知，函数322fxxmxnx=+++（）的图像关于点20（，）对称，则（）A.20f=（）B.13f=（）C.对任意xR，有220fxfx++−=（）（）D.存在非零

实数0x，使()()00220fxfx+−−=12.若正四棱柱1111ABCDABCD−的底面棱长为4，侧棱长为3，且M为棱1AA的靠近点A的三等分点，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且满足MP与底面ABCD的所成

角π4…，则下列结论正确的是（）A.点P所在区域面积为π4B.四面体11PACD−的体积取值范围为68，C.有且仅有一个点P使得1MPPC⊥D.线段1PC长度最小值为17非选择题部分（共90分）三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数z

满足12zi=+，则||z=_________.14.已知函数()2log,032,0xxxfxx−=−，则12ff=______.15.在扇形OPQ中，半径为1，圆心角为02

，若要在扇形上截取一个面积为13的矩形ABCD，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则tan的最小值为________16.已知向量abrr，，满足236abc===rrr，若以向量abrr，为基底，将向量cr表示成cab=+rrr（，为实数），都有1+„

，则abrr的最小值为________四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，已知ABCV的外接圆O的半径为4，2AOACAB=+uuuruuuruuur.（1）求A

BCV中AC边的长;（2）若4AB=，求OCABuuuruuur.18.已知函数()()()sin0,0fxAxA=+（1）若将fx（）图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再将所得图像向上平移1个单位得到gx（）的图像，且gx（）的图像关于y轴对称

，求的最小正值;（2）如图，函数fx（）的图像与y轴的交点为01M（，），与x轴正半轴最靠近y轴的交点为30N（，），y轴右侧第一个最高点和第一个最低点分别为BC，，其中OBCOV（为坐标原点）的面积为32.π2，求fx（）的解析式，以及fx（）的最小正周期.19.已

知函数sin2sin66fxxx=−++（）.（1）若3sin65x+=，求fx（）的值;（2）若在锐角ABCV中，角ABC，，所对的边分别为abc，，，已知22fAa==（），，求ABCV的周长的取值范围.20.2020年4月21日，习近平总书记

在学校考察调研时提出“文明其精神，野蛮其体魄”，“野蛮其体魄”就是强身健体，青少年的体质状况不仅关乎个人成长和家庭幸福，也关乎国家末来和民族希望.某校为了解学生每日行走的步数，在全校2400名学生中随机抽取200名，给他们配发了

计步手环，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示，（1）求a的值，并求出这200名学生日行步数的样本平均数；（2）学校为了鼓励学生加强运动，决定对步数大于或等于11000步的学生加1分，计入期末三好学生评选的体育考核分，估计全校每天获得加分的人数.（3）

利用该调查数据，估计从该校高一（1）班任取3名学生，恰有2人能获得加分的概率.21.如图，在三棱柱:111ABCABC−中，2ABACABAC⊥==，，点D为线段BC中点，侧面11BCCB为矩形.（1）证明:平面1AAD⊥平面11BCC

B;（2）若123AAB=，二面角1ABCA−−的正切值为12，求1CC与平面1ABC所成角的正弦值.22.已知函数22()01xafxax−=−，（1）当1a=时，求()fx在区间48，上的值域;（2）函数()gxxxa=−，若对任意048x，，存在12

48xx，，，且12xx，使得()()()120gxgxfx==，求a的范围.新教材高一数学第二学期期末试卷选择题部分（共60分）一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.

已知集合31Axxnn==+N∣，，集合34567810B=，，，，，，，则ABI中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义求出ABI，即可得出答案.【详解】解

：因为集合31Axxnn==+N∣，，集合34567810B=，，，，，，，所以4,7,10AB=，所以ABI中元素的个数为3个.故选：C.2.知向量1234ab==rr（，），（，），则ab−=rr（）A.26（，）B.26−（，）C.46（，）D.22−−（，）

【答案】D【解析】【分析】由向量坐标的减运算直接计算即可.【详解】解：因为1234ab==rr（，），（，），所以ab−=rr(1,2)(3,4)−＝(2,2)−−.故选：D.3.几何学中把变换前后两点间距离保持不变的变换称为刚体变换，在平面中作图形变换，易知平移

变换是一种刚体变换，以下两个函数fx（）与gx（），其中gx（）可以由fx（）通过平移得到的是（）A.sin4cos46fxxgxx==−（），（）B.2234fxxgxx==+（），（）C.322333fxgxxx=−=++−（），（）D.41

5fxxgxx=+=（），（）【答案】A【解析】【分析】利用平移变换判断.【详解】A.因为()cos4sin4626gxxx=−=−−，sin4sin4312xx=+=+，所以是由()sin4

fxx=向左平移得到，故正确；B.因为()234gxx=+，所以无法由()2fxx=平移得到，故错误；C.因为()22353233363gxxx=+=−−+−+−，所以无法由()323fxx=−+平移得到，故错误；D.因为()()5554144gxx

x==+−，所以无法由()41fxx=+平移得到，故错误；故选：A4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数":设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx=称为高斯函数，也称取整函数，例如:1.

323.43−=−=，，已知11()313xfx=−+，则函数()yfx=的值域为（）A.0B.10−，C.01，D.101−，，【答案】B【解析】【分析】先求解函数11()313xfx=−+的值域，在根据高

斯函数的定义确定()yfx=的值域.【详解】解：因为311x+，所以10131x+，则111233133x−−+，所以函数()fx的值域为12,33−，故()yfx=的值域为-1或0.故选：

B5.已知R，则函数2()1xfxxa=+的图像不可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据含参函数的解析式和函数特殊值判断函数可能的图像.【详解】根据2()1xfxxa=+可知210x+>，所以当0x时，0x，即()0fx，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D

均有可能出现.故选：A6.如图，小吕考虑用一个棱长为12mm的正四面体硬木件VABC−，削磨出一个体积最大的球，他的第一步是削去一个小正四面体111VABC−，则截面111ABC△面积的最大值为（）A.223mmB.293mm4C.243mmD.2

93mm【答案】D【解析】【分析】由题可知，顶点V到平面111ABC的距离为正四面体的高减去内切球的直径，利用正四面体的特征可得内切球的半径与高的比值为14，则11114ABCABCSS=△△，求解ABCV的面积即可.【详解】解：如图，在正四面体VABC−中，顶点V在底

面ABC的投影，即为正三角形ABC的中心D点，连接AD交BC与点E，因为正四面体的棱长为12mm，则31263mm2AE==，211263363mm2ABCS==V，因为正四面体的四个面均为正三角形，且其内切球的球心到各面的距离均为半径，故设正四面体VABC

−内切球的半径为r，球心为点O，点O在线段VD上，则4VABCOABCVV−−=，即11433ABCABCVDSrS=VV,解得14rVD=，设顶点V到平面111ABC的距离为h，则122hVDrVD=−=，由题意得平面111//ABC平面ABC，故11

12193mm4ABCABCSS==VV，故选：D.7.如图所示，唐唐在背景墙上安装了一台视频监视器，P为唐唐坐在工位上时相当于眼睛位置的一点，P在背景墙上的水平投影点为B，过B作垂直于地面的直线AB，分别交监视器上、下端于A

、H两点，测得2m1.5mABBH==，，若APBHPB==，，则−为唐唐看监视器的视角.唐唐通过调整工位使视角取得最大值，此时PB的长为（）A.3mB.6mC.2mD.42m3【答案】A【解析】【分析】由题意可知，,,0,2

−，要使−最大，只要()tan−最大即可，在RtAPBV和RtHPBV中，可得tan,tan的关系，再根据两角差的余弦公式化简整理从而可得出答案.【详解】解：由题意可知，,,0,2−，则tantan0，因为函数ta

nyx=在0,2递增，则要使−最大，只要()tan−最大即可，在RtAPBV中，2tanABPBPB==，在RtHPBV中，1.5tanHBPBPB==，所以tan24tan1.53==，即4tantan3=，则()21tantantan113tan4

31tantan431tan4tan3tan−−===+++，当且仅当34tantan=，即3tan2=时，取等号，此时23tan3=，1.53tanPB==，所以视角取得最大值时，PB的长为3.故选：A.8.若函数()2

exfxaxb=++，则下列说法正确的是（）A.若1b−，则对于任意0a函数()()ffx都有2个零点B.若1b−，则对于任意0a函数()()ffx都有4个零点C.若1b−，则存在00a使得函数()()ffx有2个零点D.若

1b=−，则存在00a使得函数()()ffx有2个零点【答案】B【解析】【分析】先判断出偶函数，求导讨论()fx在)0,+上的单调性，确定最小值，再结合选项，讨论最小值和0的大小，进而分析出()fx的零点，再分析()()ffx的零点即可.【详解】易得定义域为R

，又()()2exfxaxbfx−=++=，则()fx为偶函数；当0x时，()2exfxaxb=++，()e2xfxax=+，当0a时，则()e20xfxax=+，则()fx在)0,+上单增，()()01fxfb=+，又()fx为偶函数，则在R上，()m

in1fxb=+；对于A，若1b−，则()min10fxb=+，故在R上有()0fx，令()tfx=，则0t，易得()0ft，则()()ffx无零点，故A错误；对于B，若1b−，则()min10fxb=+，又(),xfx→+→+，故()fx在)0,+上有1个零点1x，又()f

x为偶函数，则在(),0−上有另一个零点1x−，则()()ffx零点的个数等价于()1fxx=以及()1fxx=−解的个数，又1>0x，易得()1fxx=有2个解，又121e0xaxb++=，令()

2e1(0)xgxaxxx=+−−，则()e210xgxax=+−，则()gx单增，即()()00gxg=，则2e10xaxx+−−，可得1211e10xaxx+−−，即110bx−−−，即11bx+−，则()1fxx=−有2个解，综上可得对任意0a，()1fxx=以

及()1fxx=−有4个解，即()()ffx有4个零点，故B正确；C错误；若1b=−，则()min10fxb=+=，则()fx有唯一零点0，则()()ffx零点的个数等价于()0fx=解的个数，显然只有1个解0，即对任意0a，()()ffx只有1个零点，故D错误.故选：B.【点睛】

本题关键点在于讨论()fx最小值和0的大小，进而分析出()fx的零点；当()min0fx时，易得()fx有两个零点1x，1x−，通过构造函数()2e1(0)xgxaxxx=+−−判断1x−和1b+的大小，是求出()1fxx=−

解的个数的关键.二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若110ab，则下列不等式正确的是（）A.ab

B.abC.abab+D.2baab+【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式的基本性质求解即可【详解】由于110ab，则0ba，故ab错误；0abab+正确；||||ab正确；2222abababbaaba

b++==，2baab+，正确故选：BCD．10.掷一枚骰子，记事件A为掷出的数大于4，事件B为掷出偶数点，则下列说法正确的是（）A.5()6PAB=UB.1()3PA=C.事件A与事件B为相互独立事件D.事件A与事件B对立【答案】BC【解析】【分析】根据

古典概型的概率公式可得1()3PA=，1()2PB=，即可判断B项，利用概率的加法公式可判断A项，利用相互独立事件的定义可判断C项，利用对立事件的定义可判断D项.【详解】解：由题可知，事件A的概率为1()3PA=，事件B的概率为1()2PB=，故B项正确；因为1112()()()()3263PA

BPAPBPAB=+−=+−=，故A项错误；因为事件AB表示“掷出的数大于4”且“掷出偶数点”，即“掷出6”，所以1()6PAB=，又111()()()326PAPBPAB===，故事件A与事件B

为相互独立事件，故C项正确；因为115()()1326PAPB+=+=，故事件A与事件B不是对立事件，故D项错误.故选：BC.11.我们知道，函数yfx=（）的图象关系坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数yfx=（）为奇函数.有同学发现可以将其推广为:函数yfx=（）的图象关于点P

ab（，）成中心对称图形的充要条件是函数yfxab=+−（）为奇函数.现在已知，函数322fxxmxnx=+++（）的图像关于点20（，）对称，则（）A.20f=（）B.13f=（）C.对任意xR，有220fxfx++−=（）（）D.存在非零实数0x，使()()00220fx

fx+−−=【答案】ACD【解析】【分析】根据题意可得函数()2yfx=+为奇函数，从而可判断D；再根据()()220fxfx++−+=，可求出,mn的值，从而可判断A，B；令()()220fxfx+−−=，解方程即可判断D.【详解】解：由题意，因为函数322fxxmxnx=+++（）的图像关

于点20（，）对称，所以函数()2yfx=+为奇函数，所以()()220fxfx++−+=，故C正确；又()()()32261244210yfxxmxmnxmn=+=++++++++，则()()()()22226242100fxfxmxmn++−+=++++=，所以60

42100mmn+=++=，解得67mn=−=，所以()()323672,25fxxxxfxxx=−+++=−，则()()20,14ff==，故A正确，B错误；令()()220fxfx+−−=，则32100xx−=，解得0x=或5，所以存在

非零实数0x，使()()00220fxfx+−−=，故D正确.故选：ACD.12.若正四棱柱1111ABCDABCD−的底面棱长为4，侧棱长为3，且M为棱1AA的靠近点A的三等分点，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且满足MP与底面ABCD的所成角π4…，则下列结论正确的是（）

A.点P所在区域面积为π4B.四面体11PACD−的体积取值范围为68，C.有且仅有一个点P使得1MPPC⊥D.线段1PC长度最小值为17【答案】AB【解析】【分析】A选项，根据题意得到P所在区域为以A为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD内部部分（包含边界弧长），得到区域面积；B选

项，根据P点不同位置求出点P到平面11ACD的距离最大值及最小值，求出最大体积和最小体积；C选项，寻找到不止一个点使得1MPPC⊥；D选项，结合P的所在区域及三角形两边之和大于第三边求出1PC长度最小值.【详解】A选项，当1MAAP==时，MP与与底面ABCD的所成角π4=，

故点P所在区域为以A为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD内部部分（包含边界弧长），即圆的14，面积为211π1π44=，A正确；如图，当点P位于AE上时，此时点P到平面11ACD的距离最大，最大距离为341255AH==，此时四面体11PACD−的体积为11111124583325ACD

SAH==V，当P与点F重合时，此时点P到平面11ACD的距离最小，最小距离为FK，因为△BFK∽△BAH，所以34FKAH=，所以最小体积为3864=，故四面体11PACD−的体积取值范围为68，

，B正确；C选项，不妨点P与点F重合，此时2221134PCFBBCCC=++=，由余弦定理得：222111123436cos022234MFCFCMMFCMFCF+−+−===，则1π2MFC=同理可得：1π2MEC=，故多于一个点P使得1MPPC⊥，C错误；D选项，

当PC取最小值时，线段1PC长度最小，由三角形两边之和大于第三边可知：当A，P，C三点共线时，PC取得最小值，即min421PC=−，则()221min42134282PC=−+=−，D错误故选：AB非选择题部分（共90分）三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知复数z满足12zi=+，则||z=_________.【答案】5【解析】【分析】根据复数模的运算公式进行求解即可.【详解】因为12zi=+，所以22||125z=+=.故答案为：5【点睛】本题考查了复数模的运算公式，

考查了数学运算能力，属于基础题.14.已知函数()2log,032,0xxxfxx−=−，则12ff=______.【答案】1【解析】【分析】将12x=代入解析式可得12f，由()112fff

=−可求得结果.【详解】211log122f==−Q，()113212fff=−=−=.故答案为：1.15.在扇形OPQ中，半径为1，圆心角为02，若要在扇形上截取一个

面积为13的矩形ABCD，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则tan的最小值为________【答案】2.4【解析】【分析】设POC=，分别用含有的三角函数表示,ADAB，写出矩形的面积，求出矩形的面积的最大值即ta

n2的最大值，即可求出tan的最小值.【详解】设POC=，()0,，扇形OPQ中，半径为1，sinADBC==，cosOB=，sincostantanADABOBOAOB=−=−=−，sinsincostanABCDS=−11cos2sin22tan

−=−1cos2111sin2(sin2sincos2cos)2tan2tan2sin2tan=+−=+−11cos(2)2sin2tan=−−，当2=时，矩形ABCD的最大面积为1111tan2

sintan22−=，所以当11tan223，解得：2tan23.即min2tan23=,22tan2tan=1tan2−，令()tan=02xx，所以22211xyxxx==−−，y在()0,+上单调递增，当23x=

时，y取得最小值，所以tan的最小值为2221235213=−.故答案为：125.16.已知向量abrr，，满足236abc===rrr，若以向量abrr，为基底，将向量cr表示成cab=+rrr（，为实数），都有1+„，则abrr的最小值为_

_______【答案】4410−【解析】【分析】向量abrr，的模长已知，根据数量积公式可知所求为向量abrr，夹角余弦值的最小值，结合函数()cosfxx=在区间0,π上单调递减可得abrr的最小值为4410−.【详解】由题可知，6,2,3.abc===rrr不

妨设()60OAa,==uuurr，OBb=uuurr,OCc=uuurr,则点B、C分别在以原点为圆心，半径分别为2和3的圆上运动，又cab=+rr（，为实数），都有1+„，所以当A、B、C三点共线时且此线与半径为2的圆相切时，向量abrr，的夹角最大

，此时，abrr的最小.此时，在AOC△中，由余弦定理可得，()222222cos263542236441036OAOCACAOCOAOC+−=+−+=−=cos23cos441023234410aba

bAOC=−−===rrrr故答案为：4410−.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，已知ABCV的外接圆O的半径为4，2AOACAB=+uuuruuuruuur.（1）求ABCV中AC边的长;（2）若4A

B=，求OCABuuuruuur.【答案】（1）2（2）-12【解析】【分析】（1）先判断出2BOAC=uuuruuur，即可求出122ACBO==；（2）先判断出向量OAABuuuruuur,夹角为23，,ACAB

uuuruuur夹角为23.把OCOAAC=+uuuruuuruuur转化为()OCABOAACAB=+uuuruuuruuuruuuruuur，利用数量积的定义和运算律直接求解.【小问1详解】因为2AOACAB=+uuuruuuruuur，所以2BOAC=uuuruuur

.所以//ACBO，且122ACBO==.【小问2详解】因为ABCV的外接圆O的半径为4，所以4OAOB==.又4AB=，所以ABOV为等边三角形，所以3AOBOAB==.所以向量OAABuuuruu

ur,夹角为23.因为//ACBO，所以3OACAOB==，所以向量,ACABuuuruuur夹角为23.因为OCOAAC=+uuuruuuruuur,所以()OCABOAACAB=+uuuruuuruuuruuuru

uurOAABACAB=+uuuruuuruuuruuur22coscos33OAABACAB=+uuuruuuruuuruuur11442422=−+−12=−.18.已知函

数()()()sin0,0fxAxA=+（1）若将fx（）图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再将所得图像向上平移1个单位得到gx（）的图像，且gx（）的图像关于y轴对称，求的最小正值;（2）如图，函数

fx（）的图像与y轴的交点为01M（，），与x轴正半轴最靠近y轴的交点为30N（，），y轴右侧第一个最高点和第一个最低点分别为BC，，其中OBCOV（为坐标原点）的面积为32.π2，求fx（）的解析式，以及fx（）的最小正周期.【答案】（1）π2（2）()ππ2sin44fxx=

+，最小正周期为8【解析】【分析】（1）根据函数平移得到()gx的解析式，根据gx（）为偶函数求出的最小正值为π2；（2）根据OBCV面积求出2A=，代入特殊点坐标求出π4=，π4=，从而求出fx（）的解析式，以及

fx（）的最小正周期.【小问1详解】由题意得：()()sin21gxAx=++，且ππ,2kk=+Z，当0k=时，取得最小正值，最小正值为π2；【小问2详解】由图像可知：sin1A=，()sin30A+=，因为0A，所以123322OBCBSONyA===V，

解得：2A=，即2sin2=，因为π2，所以π4=，因为与x轴正半轴最靠近y轴的交点为30N（，），所以πsin304+=，所以π3π4+=，解得：π4=，()ππ2sin44fxx=+

，最小正周期为2π8=19.已知函数sin2sin66fxxx=−++（）.（1）若3sin65x+=，求fx（）的值;（2）若在锐角ABCV中，角ABC，，所对的边分别为abc，，，已知22fAa==（），，求ABC

V的周长的取值范围.【答案】（1）825（2）(4,6]【解析】【分析】（1）化简得到()22sinsin166fxxx=+++−，将3sin65x+=代入求解；（2）

由()2fA=，求得3A=，得到外接圆的直径，然后由三角形的周长24sin6lB=++求解.【小问1详解】解：()sin2sin66fxxx=−++cos2sin36xx=−+++，22sinsin166xx

=+++−因为3sin65x+=，所以()2338215525fx=+−=；【小问2详解】()22sinsin1266fAAA=+++−=，即22sinsin3066AA+++−=，解得sin1

6A+=或3sin62A+=−（舍去），则62A+=，解得3A=，所以外接圆的直径为432sin3aRA==，所以三角形的周长为()22sinsinlRBC=++，222sinsin3RBB

=++−223sin6RB=++24sin6B=++，因为三角形是锐角三角形，所以0202BC，即022032BB−，解得62B，则5366B+，1sin126B+

，所以(4,6]l.20.2020年4月21日，习近平总书记在学校考察调研时提出“文明其精神，野蛮其体魄”，“野蛮其体魄”就是强身健体，青少年的体质状况不仅关乎个人成长和家庭幸福，也关乎国家末来和民族希望.某

校为了解学生每日行走的步数，在全校2400名学生中随机抽取200名，给他们配发了计步手环，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示，（1）求a的值，并求出这200名学生日行步数的样本平均数；（2）学校为了鼓励学生加强运动，决定对步数大于或等于11000步的学生加1分，计入期末

三好学生评选的体育考核分，估计全校每天获得加分的人数.（3）利用该调查数据，估计从该校高一（1）班任取3名学生，恰有2人能获得加分的概率.【答案】（1）0.10a=；9.44千步；（2）720（3）0.189【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图进行

数据分析，利用频率和为1求出a；利用求平均数公式直接求解；（2）先求出样本中步数大于或等于11000步的学生所占的频率，由此估计全校每天获得加分的频率，即可求出全校每天获得加分的人数；（3）利用相互独立事件的概率公式和概率的加法公式即可求解.【小问1详解

】在频率分别直方图中，设第i组的频率为()1,2,3,4,5,6,7,8ifi=.则10.00520.01f==；20.05520.11f==；30.0920.18f==；40.1520.30f==；52fa=；60.0820.16f==；70.01520.03f==；80.005

20.01f==.由811iif==，可得：520.20fa==，解得：0.10a=.这200名学生日行步数的样本平均数为1122334455667788xfxfxfxfxfxfxfxfx=+++++++0.0130.1150.1870.3090.201

10.16130.03150.0117=+++++++=9.44.【小问2详解】设步数大于或等于11000步的学生所占的频率为p.则0.1010.0820.01520.00520.3p=+++=.由此估计全校每天获得加分的同学的频率为0.3

，所以估计全校每天获得加分的人数为24000.3720=.【小问3详解】由题意可得：每名同学能获得加分的概率为0.3，且他们相互独立.所以任取3名学生，恰有2人能获得加分的概率为0.30.30.70.30.70.30.70.30.30.189P=++=.21.如图，在三棱柱:11

1ABCABC−中，2ABACABAC⊥==，，点D为线段BC中点，侧面11BCCB为矩形.（1）证明:平面1AAD⊥平面11BCCB;（2）若123AAB=，二面角1ABCA−−的正切值为12，求1CC与平面1ABC所成角的正弦值.【答

案】（1）证明见解析；（2）1010.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理证得BC⊥平面1AAD，再由面面垂直的判定定理可得证；（2）由（1）可得1ADA就是二面角1ABCA−−的平面角，设1AAx=，在1AABV，1ADB△

，1AADV中，由余弦定理建立方程可求得12AA=，以点D为坐标原点，,,DADBDz分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用线面角的空间向量求解方法可求得答案.【小问1详解】证明：因为2ABACABAC⊥==，，点D为

线段BC中点，所以ADBC⊥，又侧面11BCCB为矩形，所以1BBBC⊥，所以1AABC⊥.又1AAADA=I，所以BC⊥平面1AAD，因为BC平面11BCCB，所以平面1AAD⊥平面11BCCB；【小问2详解】解：由（1）得BC⊥平面1AAD，所以1

BCAD⊥，又BCAD⊥，所以1ADA就是二面角1ABCA−−的平面角，所以11tan2ADA=，则11525sin,cos55ADAADA==，设1AAx=，在1AABV中，123AAB=，2AB=，所以21222+422c

os+2+43xxxxAB=−=，在1ADB△中，212221+2+42+2+2ADABBDxxxx=−=−=，所以在1AADV中，2221111cos2ADADAAADAADAD+−=，即(

)2222225522+2+2+2+2xxxxx+−=，化简得23440xx−−=，解得2x=（23x=−舍去），所以12AA=，以点D为坐标原点，,,DADBDz分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

如下图所示，过1A作1AH⊥底面ABC，因为12AA=，2212412ABxx=++=，则123AB=，221110ADABBD=−=，则1115sin102,25AHADADAAH====，则()1(22,0,2),(2,0,0),(0,2,0),0,2,0AABC−，则1(22,2,2

),(0,22,0)ABBC=−−=−uuuruuur，设平面1ABC的法向量为(,,)mxyz=r，由122220mABxyz=−+−=uuurr，22mBC=−uuurr，则0y=，令1x=，则2z=−，即(1,0,2)m=−r，11(2,0,2)CCAA==uuuuruuu

r，设1CC与平面1ABC所成的角为，则111210sincos,1052CCmCCmCCm====uuuururuuuururuuuurur，所以1CC与平面1ABC所成角的正弦值为1010.22.已知函数22()01xafxax−

=−，（1）当1a=时，求()fx在区间48，上的值域;（2）函数()gxxxa=−，若对任意048x，，存在1248xx，，，且12xx，使得()()()120gxgxfx==，求a的范围.【答案】（1）1462,37（2）8864,15

9【解析】【分析】（1）利用定义法求解函数()fx在区间48，上的单调性，根据单调性求解值域即可；（2）根据题意判断函数()gx在区间48，上不单调，由此可判断4a，利用定义法证明当4a时，函数()fx在区间48，上单调递增，且()gx在区间48，的最大

值max()(8)gxf，最小值min()(4)gxf，分类讨论a的取值范围，列不等式组即可求解.【小问1详解】解：当1a=时，22(1)(1)11()1111xxxfxxxxx−−+−===+−−−−，在区间

48，上任意取两个值12,xx，令12xx，则12121212121211()()11()11(1)(1)xxfxfxxxxxxxxx−−=+−−−+=−+−−−−，因为1212,4,8,xxxx，所以12()()fx

fx，故函数()fx在区间48，上单调递增，又114162(4)41,(8)813377ff=+−==+−=，所以()fx在区间48，上的值域为1462,37.【小问2详解】解：因为对任意048x，，存在1248xx，，，且12xx，使得()()()

120gxgxfx==，所以函数()gxxxa=−在区间48，上不单调，又2212()1011xaafxxaxx−−=++−−=，，在区间48，上任意取两个值,mnxx，令mnxx，则(21)()1212()()11()11(1)(1)mn

mnmnmnmnmnaxxaafxfxxxxxxxxx−−−−−=++−−−=−+−−−−，当04a，4,8x时，2()gxxax=−，函数()gx在区间48，上单调递增，不满足题意，故4a，当4a时，210a−，故()()mnfxf

x，则函数()fx在区间48，上单调递增，则162642(4),(8)37aaff−−==，当48a时，函数22,4(),8axxxagxxaxax−=−，故函数()gx在区间4,a上单调递减，在区间(,8a上单调递增

，则(4)416,()0,(8)648gagaga=−==−，故6424167(4)(8)642(8)(8)6487()(4)16203aagfagfagafa−−−−−，解得8864159a；当8

a=时，2()8gxxx=−,在区间48，上单调递减，不满足题意；当816a，4,8x时，2()gxaxx=−，对称轴为2ax=，且482a，则2(4)416,(8)864,()22aagagag=−=−=，故21624163(4)(

4)162(8)(4)8643()(8)642227aagfagfaagfaa−−−−−，解得3247a，与816a矛盾，故不满足题意；当16a时，2()gxaxx=−，在区间48，上单调递增，不满足题意.综上，a的范围

为8864,159.