【文档说明】新教材高二数学第二学期期末试卷十一（原卷版+教师版）.doc，共(25)页，1.360 MB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高二数学第二学期期末试卷一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)．1.若随机变量1~6,3XB，则数学期望()EX=()A.13B.43C.2D.32.函数()3sinxfxex=的图

像在点()()0,0f处的切线的倾斜角为()A.π4B.π3C.π2D.2π33.若等差数列na的公差为d，前n项和为nS，记nnSbn=，则()A.数列nb是公差也为d的等差数列B.数列nb是公差为2d的等差数列C.数列nnab+是公差为32d的

等差数列D.数列nnab−是公差为32d的等差数列4.如图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程$$11ybxa=+$，相关系数为1r；方案二：剔除点()102

1,，根据剩下数据得到线性回归直线方程$$22ybxa=+$，相关系数为2r．则()A.1201rrB.2101rrC.1210rr−D.2110rr−5.若函数()(2)lnxfxaxexx=−+−存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数a的

取值范围为A.2211(,)ee−B.11(,)ee−C.21(,0]e−D.1(,0]e−6.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为

111,,101520，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为()A.0.08B.0.1C.0.15D.0.27.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，

问何日相逢，各穿几何．”翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为200尺，则至少需要多少天时间才能打穿？()A.6B.7C.8D.98.已知实数a

，b，c满足lnabcabceee==−且1a，则a，b，c的大小关系为()A.abcB.acbC.bcaD.bac二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5

分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在一个袋中装有大小相同的4黑球，6个白球，现从中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是()A.随机变量X服从超几何分布B.随机变量X服从二项分布C.()122PX==D.()95EX=10.已知数列na的前n项和为n

S，下列说法正确的是()A.若()21nSn=+，则na是等差数列B.若21nnS=−，则na是等比数列C.若na是等差数列，则()2121nnSna−=−D.若na是等比数列，则nS，2nnSS−，32nnSS−成等比数列11.设随机变量的分布列如下：1234

5678910p1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a则下列正确的是()A.当na为等差数列时，5615aa+=B.数列na的通项公式可以为()1091nann=+C.当数列na满足()11,2,92nnan

==L时，10912a=D.当数列na满足()()21,2,10kPkkak==L≤时，()11101nann=+12.已知函数()2123fxxx=+−，则下列命题正确的是()A.()fx在2,1−上是增函数B.()fx的值域是

22−,C.方程()2ffx=有三个实数解D.对于1x，2x(12xx)满足()()12fxfx=，则122xx+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知随机变量X服从正态分布()2,N，若()()151P

XPX−+=，则=______．14.定义在R上的函数()fx满足()()22021fxfx+−=，()fx的导函数为()fx，则()()20192021ff−−=______．15.数列{}na的前n项和为nS，且31n

nS=−，则数列213nnnbaa=−的最小值为______．16.设函数()ln2xfxkxx=−+，若存在唯一的整数0x．使得0()0fx，则实数k的取值范围______．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤．17.已知各项均不相等的等差数列{}na的前4项和为10，且1a，2a，4a是等比数列{}nb的前3项．(1)求na，nb；(3)设nnncab=，求nc的前n项和为nS．18.2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人

心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式．某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记Y表示了解，N表示不了解，统计结果如下表所示：(表一)了解情况YN人数14060(表二)男女合计Y

80N40合计(1)请根据所提供的数据，完成上面的22列联表(表二)，并判断是否有99％的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系;(2)用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为1P，“

4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为2P．试求出1P与2P，并比较1P与2P的大小．附：临界值参考表的参考公式()20pKK0.100.050.0250.0100.0050.0010K2.7063.8415.0246.6357.87910.828()

()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++)19.设数列{}na满足13a=，134nnaan+=−．(1)计算2a，3a，猜想{}na的通项公式并加以证明；(2)令2nnba=，*nN，证明：123111114nbbbb+

+++．20.天问一号火星探测器于2021年2月10日成功被火星捕获，实现了中国在深空探测领域的技术跨越.为提升探测器健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行探测器遥控技能知识竞赛

，已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立，做对A，B，C三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.题目ABC做对的概率0.80.60.4获得的奖金/元100020003000规则如下：按照A，B，C的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.(1)求甲获得的奖金X的分

布列及均值；(2)如果改变做题的顺序，获得奖金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得奖金的均值最大？(不需要具体计算过程，只需给出判断)21.已知函数()2()24lnfxxaxx=−，aR.(1)当0a=时，求函数()

fx的单调区间；(2)令2()()gxfxx=+，若[1,)x+，函数()gx有两个零点，求实数a的取值范围.22.已知函数()exfxaxb=+(其中e是自然对数的底数，a，bR)在点()()1,1f处的切线方程是2ee0xy−−=.(1)求函数()fx的单调区间.(2)设函数()()

2lnfxgxmxxx=−−，若()1gx在()0,x+上恒成立，求实数m的取值范围.新教材高二数学第二学期期末试卷一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)．1.若随机变量1~6,3XB，则数学期望()EX=()A.13B.43C.2D.3【答案】C【解

析】【分析】利用二项分布的期望公式可求得()EX的值.【详解】1~6,3XBQ，由二项分布的期望公式可得()1623EX==.故选：C.【点睛】本题考查二项分布期望的计算，考查计算能力，属于基础题.2.函

数()3sinxfxex=的图像在点()()0,0f处的切线的倾斜角为()A.π4B.π3C.π2D.2π3【答案】B【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在0x=处的导数，再由直线的斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】由()3sinxfxex=

，得()()3sincosxxfxexex=+，∴()()0003sin0cos03fee=+=，设()3sinxfxex=的图像在点()()0,0f处的切线的倾斜角为(0π)，∴tan3=，即π3

=．故选：B．3.若等差数列na的公差为d，前n项和为nS，记nnSbn=，则()A.数列nb是公差也为d的等差数列B.数列nb是公差为2d的等差数列C.数列nnab+是公差为32d的等差数列D.数列nnab

−是公差为32d的等差数列【答案】C【解析】【分析】根据已知写出等差数列na的通项公式与求和公式，从而可得nb，nnab+，nnab−的表达式，进而由等差数列的函数特性即可对选项进行逐一判断．【详解】根据题意，()11na

and+−=，()112nnnSnad−=+，故11122nnSbdnadn==+−是关于n的一次函数，∴数列nb是公差为12d的等差数列，故A、B错误；由133222nnabdnad+=+−是关于n的一次函数，得数列nnab+是公差为32d的等差数列，C正确；

又1122nnabdnd−−=是关于n的一次函数，则数列nnab−是公差为12d的等差数列，故D错误．故选：C．4.如图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程$

$11ybxa=+$，相关系数为1r；方案二：剔除点()1021,，根据剩下数据得到线性回归直线方程$$22ybxa=+$，相关系数为2r．则()A.1201rrB.2101rrC.1210

rr−D.2110rr−【答案】D【解析】【分析】根据散点图知变量x、y具有负线性相关关系，且点()1021,是离群值；剔除离群值后，线性相关性强些，是负相关，由此得出正确的结论．【详解】根据相关变量x、y的散点图知，变量x、y具有负线

性相关关系，且点()1021,是离群值；方案一中，没剔除离群值，线性相关性弱些，成负相关；方案二中，剔除离群值，线性相关性强些，也是负相关；所以相关系数2110rr−．故选：D5.若函数()(2)ln

xfxaxexx=−+−存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数a的取值范围为A.2211(,)ee−B.11(,)ee−C.21(,0]e−D.1(,0]e−【答案】D【解析】【详解】()()2lnxfxaxexx=−+−，x＞0，∴f′(x)=a(x﹣1)ex+1x﹣1=(x﹣1)(aex1x

−)，由f'(x)=0得到x=1或aex10x−=(*)由于f(x)仅有一个极值点，关于x的方程(*)必无解，①当a=0时，(*)无解，符合题意，②当a≠0时，由(*)得，a=1xxe，∴a0由于这两种情况都有，当0＜x＜1时，f'(x)>0，于

是f(x)为增函数，当x＞1时，f'(x)＞0，于是f(x)为减函数，∴x=1为f(x)的极值点，∵f(1)=﹣ae-1<0，∴1ae−,又a0综上可得a的取值范围是1,0e−．故选D．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件

构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．6.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有

5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为111,,101520，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为()A.0.08

B.0.1C.0.15D.0.2【答案】A【解析】【分析】利用条件概率公式即可求解.【详解】以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，P()1A=510，P()

2A=310，P()3A=210，P()1|BA=110，P()2|BA=115，P()3|BA=120；则由全概率公式，所求概率为P()B=P()()11|APBA+P()()22|APBA+P()()33|APBA=510×110+310×115+21

0×120=0.08.故选：A7.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何．”翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分

别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为200尺，则至少需要多少天时间才能打穿？()A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】设需要n天时间才能打穿，

结合题设列不等式并整理得2219902nn−−，令()221992nnfn=−−，利用函数零点存在性定理及函数单调性即可求出结果．【详解】设需要n天时间才能打穿，则1121220012112nn−−+−−，化简并整理得2219902nn−−，令()221992nnfn

=−−，则()7727219902f=−−；()8828219902f=−−，又()fn在)1,+单调递增，∴()fn在()7,8内存在一个零点，∴至少需要8天时间才能打通．故选：C．8.已知实数a，b，c满足l

nabcabceee==−且1a，则a，b，c的大小关系为()A.abcB.acbC.bcaD.bac【答案】A【解析】【分析】首先由1a得出1,0bc，排除两个选项，然后引入函数()lnfxxx=−，利用导数得单调性，引

入函数设()xxhxe=，由导数得单调性，然后比较,ab的大小得出结论．【详解】解：∵实数a，b，c满足lnabcabceee==−，1a，∴1b，0c，则排除B，C选项，令()lnfxxx=−，所以()1xfxx−=，∴()fx在01x上单调递减，在1x上单调递增，∴()()1

1fxf=，即lnxx，∴lnbbbbee，∴ababee，设()xxhxe=，()10xxhxe−=，()hx在1x上单调递减，则()()hahb，∴ab，排除D选项.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查实数的大小比较，解题方法

利用指数函数、对数函数的性质，构造新函数，由导数研究单调性，结合中间值bbe，比较,ab大小．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在一个袋中装

有大小相同的4黑球，6个白球，现从中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是()A.随机变量X服从超几何分布B.随机变量X服从二项分布C.()122PX==D.()95EX=【答案】ACD【解析】【分析】根据已知条件，结合超几何分布

的概率公式，以及期望公式，即可求解．【详解】由题设描述知：随机变量X服从(3,10,6)H超几何分布，故A正确，B错误，()1246310122CCCPX===，故C正确，()693105NEXnM===，故D正确.故选：ACD．10.已知数列na

的前n项和为nS，下列说法正确的是()A.若()21nSn=+，则na是等差数列B.若21nnS=−，则na是等比数列C.若na是等差数列，则()2121nnSna−=−D.若na是等比数列，则nS，2nnSS−，32nnSS−成等比数列【答案】B

C【解析】【分析】根据1nnnaSS−−=(2n)；11aS=即可判断选项A、B；根据等差数列的性质易判断选项C；易举反例()1nna=−进行判断选项D．【详解】当()21nSn=+时，114aS==；()221121nnnaSSnnn−=−=+−=+(2n)，14a=不满足上式

，所以数列na不是等差数列，选项A错误；当21nnS=−时，111aS==,()11121212nnnnnnaSS−−−=−=−−−=，且11a=满足上式，所以此时数列na是等比数列，选项B正确；根据等差数列的性质可知：(

)()()21121212122122nnnnnnSaaana−−−−=+==−；故选项C正确；当()1nna=−时，na是等比数列，而2110S=−+=，420SS−=，640SS−=，不能构

成等比数列，选项D错误．故选：BC．11.设随机变量的分布列如下：12345678910p1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a则下列正确的是()A.当na为等差数列时，5615aa+=B.数列na的通项公式可以

为()1091nann=+C.当数列na满足()11,2,92nnan==L时，10912a=D.当数列na满足()()21,2,10kPkkak==L≤时，()11101nann=+【答案】ACD【解析】【分析】根据分布列的性质知121

01aaa+++=L，结合数列的性质对选项一一分析即可.【详解】解析：由题目可知12101aaa+++=L；对于选项A，若na为等差数列，则()12105651aaaaa+++=+=L，所以5615aa+=，因此选项A正确；对于选项B，()10

10119191nannnn==−++，12101011111100119223101199aaa+++=−+−+−=LL，因此选项B不正确；对于选项C，由1,(1,2,9)2nn

an==L，则1012991112211212aaa−+++==−−L，所以10912a=，因此选项C正确；对于选项D，方法一：()2kPkka=≤，则()10101001Pa==≤，所以10111100101011a==满足题意当2k时，()()()22111kkkaPkPk

kaka−=−−=−−≤≤，则()()2111kkkaka−−=−，所以19101111111119910010910kkkaaaak−+====−满足题意当29n时，111011212111119nnnnnnnnaaaan

nnnn−++++++===−−−L()()10111111100101nnnn==−−则当18n时，()11101nann=−，因此选项D正确方法二：令()()21,2,310kkSPkkak===L≤，则()221111kkkkkaSSkaka+++=−=

+−即2kkakak+=+，()1,2,9k=L，于是有3211121121341nnnaaanaaaaaan−−==+LL()()121,2,101annn==+L1210111121211nSaaaaa=+++=

+−=L，解得11120a=，于是有()11101nann=+因此选项D正确故选：ACD【点睛】关键点点睛：根据分布列，得到12101aaa+++=L，运用等差，等比数列的性质对选项进行分析；当数列出现型如()1010119191nannnn==−++

，可以通过裂项求和；12.已知函数()2123fxxx=+−，则下列命题正确的是()A.()fx在2,1−上是增函数B.()fx的值域是22−,C.方程()2ffx=有三个实数解D.对于1x，2x(

12xx)满足()()12fxfx=，则122xx+【答案】ACD【解析】【分析】利用导数可判断出函数的单调性和最值，由函数的值域可得方程根的个数，利用()()12fxfx=以及基本不等式可得122xx+

．【详解】()()()122222161233112361,[2,2]2123123xxxfxxxxxx−−−=+−−=−=−−−，当2,0x−时，()0fx，()fx在2,0−上单调递增；当

0,1x时，()0fx；当1,2x时，()0fx，则()fx在0,1上单调递增，在1,2上单调递减；综上可得()fx在2,1−上是增函数，故A正确；()()22,14ff−=−=Q，()2,4fx−，故B不正确；方程()2ffx=，可得()1fx=−

或()2fx=，()()()22,14,22fff−=−==Q，方程共有三个实数解，故C正确；()1212,xxxx满足()()12fxfx=，即221122123123xxxx+−=+−，则()()1212

22122122213123123123123xxxxxxxxxx−+−=−−−=−+−，化简得()()222121222121232424322212312322333xxxxxxxx−+−+−+−+=，当且仅

当12xx=时取等号令12xxt+=，则2322423tt−，解得2t，故122xx+，故D正确故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知随机变量X服从正态分布()2,N，若()()151PXPX−+=，则=__

____．【答案】2【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得结果.【详解】()2,XNQ:，()()151PXPX−+=，又()()111PXPX−+−=，()()51PXPX=−，()5122+−==.故答案为：2.14.定义在R上的函数()fx满足(

)()22021fxfx+−=，()fx的导函数为()fx，则()()20192021ff−−=______．【答案】0【解析】【分析】利用复合函数的求导公式对()()22021fxfx+−=进行

求导，代入2019x=−即可得到答案．【详解】Q定义在R上的函数()fx满足()()22021fxfx+−=，()()20fxfx−−=，则()()()()()201922019201920210

ffff−−−−=−−=.故答案为：0.15.数列{}na的前n项和为nS，且31nnS=−，则数列213nnnbaa=−的最小值为______．【答案】42−．【解析】【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用换

元法和二次函数的性质的应用求出结果．【详解】解：数列{}na的前n项和为nS，且31nnS=−，当1n=时，解得12a=；当2n时，1123nnnnaSS−−=−=，由于首项符合通项，所以123nna−=．所以()22221426134313233393nnnnnnnba

a−−=−=−=−，设3nt=，(3t)，所以()2243943916992944ftttt=−=−−，当2n=，即9t=时，()()min1689424ftf==−=−，即数列nb的最小值为42−．故答案为：42−．16.设函数()ln2xfxkxx=−+

，若存在唯一的整数0x．使得0()0fx，则实数k的取值范围______．【答案】ln21,24+．【解析】【分析】由题意可得2ln20xkxx−+，设()2ln2gxxkxx=−+，讨论0k，0k，判断函数的

单调性，以及函数的图象和直线的斜率的变化，可得所求范围．【详解】由0x，可得()0fx，即为2ln20xkxx−+，设()2ln2gxxkxx=−+，当0k时，()1220gxkxx=−+，()

gx单调递增，存在无数个整数0x，使得()00gx，不符合题意；当0k时，由于0x，所以ln2xkxx−，lnxyx=，21lnxyx−=，当0ex时，0y，当ex时，0y，所以

函数lnxyx=在()0,e上单调递增，在()e,+上单调递减，所以lnxyx=的极大值也是最大值为1e，且0x→时，y→−，x→+时，0y→，所以作出函数lnxyx=和2ykx=−的大致图象，如图，过点()0,2−的直线2ykx=−介于(

)1,0，ln22,2之间时满足条件，直线2ykx=−过点()1,0时，k的值为2，直线2ykx=−过点ln22,2时，k的值为1n214+，由图可知，k的取值范围是ln21,24+．故答案为：ln21,24+．【点睛】本题的解

题的关键是利用函数lnxyx=和2ykx=−的大致图象，数形结合处理函数不等式问题.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知各项均不相等的等差数列{}na的前4项和为10，且1a，2a，4a是等比数列{}nb的前3项．(1)求na，nb；

(3)设nnncab=，求nc的前n项和为nS．【答案】(1)nan=，12nnb−=，*nN；(2)()121nnSn=−+.【解析】【分析】(1)根据题意,设等差数列{}na的公差为d，根据已知条件列出首项1a与

公差d的方程组，求1a与d，写出等差数列{}na的通项公式，进而求等比数列{}nb的通项公式；(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{}nc的通项公式，再运用错位相减法计算出前n项和为nS．【详解】(1)由题意，设等差数列{}na的公差为()0dd，则123410aaaa+++=，故145aa

+=，即1235ad+=，①∵1a，2a，4a是等比数列{}nb的前3项，∴2214aaa=，即()()21113adaad+=+，整理，得()10add−=，又0d，∴10ad−=，即1ad=，②联立①②，即11235adad+==，解得11a

d==，∴()111nann=+−=，*nN．设等比数列{}nb的公比为q，则21221aqa===，又111ba==，∴11122nnnb−−==，*nN．(2)由(1)，可得12nnnncabn−==，则0121121222322nnnScccn−=+

++=++++，∴()12122122122nnnnSn−+++=+−，两式相减，可得12112222nnnSn−=++++−−12212nnn−=−−()112nn=−−−，∴()121nnSn=−+．18

.2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式．某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况

进行了问卷调查，记Y表示了解，N表示不了解，统计结果如下表所示：(表一)了解情况YN人数14060(表二)男女合计Y80N40合计(1)请根据所提供的数据，完成上面的22列联表(表二)，并判断是否有99％的把握认为对“云

课堂”倡议的了解情况与性别有关系;(2)用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为1P，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为2P．试求出1P与2P，并比较1P与2P的大

小．附：临界值参考表的参考公式()20pKK0.100.050.0250.0100.0050.0010K2.7063.8415.0246.6357.87910.828()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++)【

答案】(1)表格见解析，有；(2)1256625P=，2216625P=，12PP.【解析】【分析】(1)依据题中数据直接填写，然后根据公式计算即可.(2)先计算男性了解“云课堂”倡议的概率，女性了解“云课堂”倡议的概率，然后可得1

P，2P进行比较即可.【详解】(1)男女合计Y8060140N204060合计100100200()22200804060202009.5246.6351001001406021K−==．对照临界值表知，有99％

的把握认为对“云课堂”倡议了解情况与性别有关系．(2)用样本估计总体，将频率视为概率，根据22列联表得出，男性了解“云课堂”倡议的概率为8041005=，女性了解“云课堂”倡议的概率为：6031005=，故313144125655625PC==，

313243221655625PC==，显然12PP．19.设数列{}na满足13a=，134nnaan+=−．(1)计算2a，3a，猜想{}na的通项公式并加以证明；(2)令2nnba=，*nN，证明：123111114nbbbb+++

+．【答案】(1)25a=，37a=，21nan=+，证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)由已知直接求解2a，3a，猜想{}na的通项公式为21nan=+，；利用数学归纳法的步骤证

明即可；(2)求得()()2222144141nnbannnnn==+=+++，放大后利用裂项相消法求和，即可证明结论．【详解】(1)由13a=，134nnaan+=−，得21343345aa=−=−=

，323423587aa=−=−=，猜想{}na的通项公式为21nan=+．下面利用数学归纳法证明：当1n=时，13a=成立；假设当nk=(kN，1k³)时成立，即21kak=+，则当1nk=+时，()()134321423211kkaakkkkk+=−=+−=+=++．∴当1nk=+时

结论成立．综上所述，对于任意nN，有21nan=+；(2)证明：()()2222144141nnbannnnn==+=+++，11111()4(1)41nbnnnn=−++则1231111111111111114

2231414nbbbbnnn++++−+−++−=−++．20.天问一号火星探测器于2021年2月10日成功被火星捕获，实现了中国在深空

探测领域的技术跨越.为提升探测器健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行探测器遥控技能知识竞赛，已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立，做对A，B，C三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.题目ABC做对的概率0.80.6

0.4获得的奖金/元100020003000规则如下：按照A，B，C的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.(1)求甲获得的奖金X的分布列及均值；(2)如果改变做题的顺序，获得奖金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得奖金的均值最大

？(不需要具体计算过程，只需给出判断)【答案】(1)分布列见解析，()2336EX=；(2)按照题目A，B，C的顺序做题，得到奖金的期望值最大.【解析】【分析】(1)由题意，X的可能取值为0，1000，3000，6000，计算每个取值的概率，写出分布列

，最后计算均值即可；(2)根据均值的性质以及概率的性质进行判断即可.【详解】(1)解：分别用A，B，C表示做对题目A，B，C的事件，则A，B，C相互独立.由题意，X的可能取值为0，1000，3000，6000.()()00.2PXPA===；()()10000.80.40.32PXPA

B====；()()30000.80.60.60.288PXPABC====；()()60000.80.60.40.192PXPABC====.所以甲获得的奖金X的分布列为：X0100030006000P0.20.320.2880.192()00.

210000.3230000.28860000.1922336EX=+++=.(2)改变做题的顺序，获得奖金的均值互不相同.决策的原则是选择期望值()EX大的做题顺序，这称为期望值原则.做对的概率大表示题目比较容易，做对的概率小表示题目比较难.猜想：按照由

易到难的顺序做题，即按照题目A，B，C的顺序做题，得到奖金的期望值最大.21.已知函数()2()24lnfxxaxx=−，aR.(1)当0a=时，求函数()fx的单调区间；(2)令2()()gxfxx=+，若[1,)x+，函数()gx有两个零点，求实数a的取值范围.【

答案】(1)函数()fx的单调递减区间为120,e−，单调递增区间为12e,−+(2)(),e+【解析】【分析】(1)当0a=时，()22lnfxxx=，求出()fx¢，可得函数()fx的单调区间；(2)依题意得，()()2224lngxxaxxx=−+，然后

求导，得()()()()44ln2424ln1gxxaxxaxxax=−+−+=−+，然后，分情况讨论即可求出实数a的取值范围【详解】(1)函数()fx的定义域为()0,+?当0a=时，()22lnfxxx=()()4ln22

2ln1fxxxxxx=+=+令()'0fx得2ln10x+>，解得12xe−，令()'0fx得2ln10x+<，解得120xe−，所以函数()fx的单调递减区间为120,e−，单调递增区间为12e,−+(2)()()2224lngxxaxxx=

−+，()()()()44ln2424ln1gxxaxxaxxax=−+−+=−+由)1,x+得ln10x+①当1a时，()'0gx，函数()gx在)1,+上单调递增，所以()()1gxg，即

()1gx，函数()gx在)1,+上没有零点.②当1a时，()1,xa时，()'0gx<，(),+xa时，()'0gx所以函数()gx在()1,a上单调递减，在(),+a上单调递增因为()110g=，()2240gaa=所以函数

()gx在)1,+有两个零点只需()()()2min12ln0gxgaaa==−解得ae综上所述，实数a的取值范围为(),e+【点睛】本题考查利用导数求单调性和单调区间的问题，解题的关键在于分情况讨论时注意数

形结合，属于难题22.已知函数()exfxaxb=+(其中e是自然对数的底数，a，bR)在点()()1,1f处的切线方程是2ee0xy−−=.(1)求函数()fx的单调区间.(2)设函数()()2lnfxgxmxxx=−−，若()1gx在()0,x+上恒成

立，求实数m的取值范围.【答案】(1)单调递减区间为(),1−−，单调递增区间为()1,−+；(2)(,2−.【解析】【分析】(1)求出()fx.由题意求出()1f，()1f，即可求出a，b，代入()fx，即可求出()fx的单调区间；(2)由(1)知()2elnxgxx

mxx=−−.解法1：要使()1gx在()0,x+上恒成立，只需()min1gx即可，利用导数求()mingx；解法2：要使()1gx在()0,x+上恒成立，等价于2ln1exxmx+−在()0,x+上恒成立.令()2l

n,01exxhxxx+−=，则只需()minmhx即可，利用导数求()minhx；解法3：要使()1gx在()0,x+上恒成立，等价于2ln1exxmx+−在()0,x+上恒成立.先证明ln

1tt+，可得当0x时，有()22elne1ln21xxxxxx+=++，可得2ln1e2xxx+−，即求实数m的取值范围.【详解】(1)对函数()exfxaxb=+求导得()()1exfxax=+，由条件可知()1eefab=+=，()()

111e2efa=+=，解得1a=，0b=，所以()exfxx=.()()1exfxx=+.令()0fx=得1x=−，于是，当(),1x−−时，()0fx，函数()fx单调递减；当()1,x−+时，()0fx，函数()fx单调递增

.故函数()fx的单调递减区间为(),1−−，单调递增区间为()1,−+.(2)由(1)知()2elnxgxxmxx=−−.解法1：要使()1gx在()0,x+上恒成立，只需()min1gx即可.因为()()2121exg

xxmx=+−−，()()22141e0xgxxx=++，所以()gx在()0,+上单调递增.因为当0x→时，()gx→−，当x→+时，()gx→+，所以，()gx在()0,+上存在唯一的零点0x，满足()()02000121e0xgxxmx=+−−=，所以(

)0200121exmxx=+−，且()gx在()00,x上单调递减，在()0,x+上单调递增，于是()()00222000000mineln2eln1.xxgxgxxmxxxx==−−=−−+由()min1gx得022002eln0xxx+，此时必有

001x，022002elnxxx−，两边同时取自然对数，则有()()00002ln2lnlnlnxxxx++−，即()()00002ln2lnlnlnxxxx+−−.构造函数()lnhxxx=+(

0x)，则()110hxx=+，所以函数()hx在()0,+上单调递增，又()()002lnhxhx−，所以002lnxx−，即0201exx.故()()20000011121e212oxmxxxxx=+−+−=，于是实数m的取值范围是(,2−.解法2

：要使()1gx在()0,x+上恒成立，等价于2ln1exxmx+−在()0,x+上恒成立.令()2ln1exxhxx+=−(0x)，则只需()minmhx即可.()2222elnxxxhxx+=，令()222elnxHx

xx=+(0x)，则()()2214e0xHxxxx=++，所以()Hx在()0,+上单调递增，又1e2ln2048H=−，()212e0H=，所以()Hx有唯一的零点0x，且0114x，()hx在()00,x上单调递减，在()0,x+上单调递增.因为022002

eln0xxx+=，两边同时取自然对数，则有()()00002ln2lnlnlnxxxx++=−，即()()00002ln2lnlnlnxxxx+=−−.构造函数()lnsxxx=+(0x)，则()110sxx=+，所以函数()sx

在()0,+上单调递增，又()()002lnsxsx=−，所以002lnxx=−，即0201exx=.所以()()02000min000ln1211e2xxxhxhxxxx+−+==−=−=.于是实数m的取值范围是(,2−

解法3：要使()1gx在()0,x+上恒成立，等价于2ln1exxmx+−在()0,x+上恒成立.先证明ln1tt+，令()ln1Qttt=−−(0t)，则()111tQttt−=−=，于是，当()0,1t时，()0Qt，()Qt单

调递减；当()1,t+时，()0Qt，()Qt单调递增，所以()()10QtQ=，故ln1tt+(当且仅当1t=时取等号)所以，当0x时，有()22elne1ln21xxxxxx+=++，所以2ln1e2xxxx++，即2ln1e2xxx+−，当且仅当2e1xx

=时取等号，于是实数m的取值范围是(,2−.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立问题，属于难题.