【文档说明】新教材高二数学第二学期期末试卷八（原卷版+教师版）.doc，共(29)页，1.247 MB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高二数学第二学期期末试卷一､单项选择题(本小题共8小题.在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上)1.已知i是虚数单位，则复数202220212i2iz−=+所对应的点所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.甲､乙､丙､丁四位

同学各自对x，y两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求的相关系数r，如下表相关系数甲乙丙丁r0.92−0.780.69−0.887则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性？()A.甲B.乙C

.丙D.丁3.设xR，则“20xx−”是“11x−”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.()14nxnNx−展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数

最大值为()A.6B.10C.15D.205.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为,OBAC，,MN分别是对边,OBAC的中点，点G在线段MN上，2MGGN=uuuuvuuuv，现用基向量,,OAOBOCuuuvuuuvuuuv表示向量OGuuuv，设OGxOAyOBzOC=++uuuvu

uuvuuuvuuuv，则,,xyz的值分别是()A.111333xyz===，，B.111336xyz===，，C.111363xyz===，，D.111633xyz===，，6.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中

比40000大的偶数共有A.144个B.120个C.96个D.72个7.若曲线()lnfxxx=+在点()()00,xfx处的切线方程为ykxb=+，则kb+的最小值为()A.1−B.12−C.12D.18.已知双曲线()

222:410xCyaa−=的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线2:2Eypx=的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线1:43110lxy−+=和2:1lx=−距离之和的最小值为()A.1B.2C.3D.4二､

多项选择题(本大题共4小题.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)9.下列说法正确的有()A.若随机变量()21,XN:，()40.79PX=，则()20.21PX−=≤B.若随机变量110,3XB:，则方差()3222DX+=C.从

10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为13514415CCCD.已如随机变量X的分布列为()()()1,2,31aPXiiii===+，则()229PX==10.设复数12zz，满足120zz+=，

则()A.12zz=B.12=zzC.若()132izi=−+，则122zzi=−D.若()1131iz−+=，则213z11.已知函数()sinfxxx=，下列说法正确的是()A.函数()fx在()0,上不单调B.函数()fx在,2ππ内有两个极值点C

.函数()fx在2,2−内有4个零点D.函数()()1lnfxgxx+=在区间(1,上的最小值为1ln12.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，PAD△为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，AC，B

D交于点E，则下列结论正确的是()A.若//PD平面MAC，则M为PB的中点B.若M为PB的中点，则三棱锥MPAC−的体积为33C.锐二面角BPDA−−的大小为3D.若4BPBM=uuuruuuur，则直线MC与平面BDP所成角的余弦值为57三

､填空题(本大题共4小题.其中第16题共有2空；其余题均为一空.请把答案填写在答题卡相应位置上)13.点A是椭圆1C：221259xy+=与双曲线2C：22197xy−=的一个交点，点1F，2F是椭圆1C的两个交点，则1

2AFAF=___________.14.为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣5名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有__

_________种(用数字作答)15.已知()3121mxx−+的展开式中的常数项为8，则实数m=___________.16.购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金20

万元.已知该保险每一份保单需要赔付的概率为510−，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为___________(保留两位有效数字)；一年度内盈

利的期望为___________万元.(参考数据：()51051100.37−−)四､解答题(本大题共6小题.请在答题卡指定区城内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17.某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量x、y的数据如下：东部城市A东部

城市B东部城市C西部城市D西部城市Ex4050602030y1101802103070(1)根据上述数据补全下列22联表：(2)判断是否有99%的把握认为东､西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关.参考公式：()()()()()

22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.临界值表：()20PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822列联表：东部城市西部

城市总计甲50乙600总计65080018.已知函数()32113fxxxax=+++.(1)当3a=−时，求函数()fx的极值；(2)当2a时，若函数()fx在区间,2a上单调递增，求实数a的取值范围.19.

如图，在直三棱柱111ABCABC−中，12AAABAC===，ABAC⊥，M是棱BC的中点，点P在线段1AB上.(1)若12BPPA=uuuruuur，求直线MP与直线AC所成角的余弦值大小；(2)若N是1CC的中点，直线1AB与平面PMN所成角的正

弦值为77，求线段BP的长度.20.某学校招聘在职教师，甲､乙两人同时应聘.应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为23，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为34，13，12，笔试三个环节至少通过

两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为34，12，乙面试部分每个环节通过的概率依次为23，34，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师.甲､乙两人通过各个环

节相互独立.(1)求乙未能参与面试的概率；(2)记甲本次应聘通过的环节数为X，求X的分布列以及数学期望；(3)若该校仅招聘1名在职教师，试通过概率计算，判断甲､乙两人谁更有可能入职.21.在平面直角坐标系xOy中，椭

圆C：()222210xyabab+=的离心率为32，直线yx=被椭圆C截得的线段长为4105.(1)求椭圆C的方程：(2)设直线l与C交于M､N两点，点D在椭圆C上，O是坐标原点，若四边形OMDN为平行四边形，则此四

边形的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.22.已知函数()lnfxaxxa=++.(1)判断()fx的单调性，并写出单调区间；(2)若()fx存在两个零点1x，2x，求a的取值范围，并证明121xx.新教材高二数学第二学期期末试卷一､单项选择

题(本小题共8小题.在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上)1.已知i是虚数单位，则复数202220212i2iz−=+所对应的点所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D

.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘方和除法化简复数z，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】2022450522iii1+===−Q，450521120iii+==，则()()()20222021

32i2i363i2i2i2i2i55z−−====−+++−，因此，复数z在复平面内对应的点在第四象限.故选：D.2.甲､乙､丙､丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求的相关系数r，如下表相关系数甲乙丙丁r0.92−0.780.69−0.887则

哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性？()A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】A【解析】【分析】根据||r的绝对值越大，两变量具有更强的线性相关性，即可判断得到答案．【详解】解：因为|0.92||0.88

7||0.78||0.69|−−，所以甲同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性．故选：A．3.设xR，则“20xx−”是“11x−”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别解出不等式：20

xx−，|1|1x−，即可判断出结论．【详解】解：由20xx−解得：01x；由|1|1x−解得：02x．因为()()0,10,2Ü“20xx−”是“|1|1x−”的充分不必要条件．故选：A．4.()14nxnNx−展开式中所有

项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为()A.6B.10C.15D.20【答案】B【解析】【分析】令1x=，得所有项指数和，求得指数n，再根据二项式系数的性质得结论．【详解】令1x=得(41)243n−=，5n=，展开式中二项式

系数最大的项是第3和第4项，最大的二项式系数为235510CC==．故选：B．5.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为,OBAC，,MN分别是对边,OBAC的中点，点G在线段MN上，2MGGN=uuuuvuuuv，现用基向量,,OAOBOCuuuvuuuvuuuv表

示向量OGuuuv，设OGxOAyOBzOC=++uuuvuuuvuuuvuuuv，则,,xyz的值分别是()A.111333xyz===，，B.111336xyz===，，C.111363xyz===，，D.111633xyz===，，【答案】D【解析】【分析】根据向量的

加减法运算和数乘运算原则可表示出OGuuur，进而得到结果.【详解】()1212121223232323OGOMMGOAMNOAMAANOAOAAN=+=+=++=++uuuruuuuruuuuruuuruuuur

uuuruuuruuuruuuruuuruuurQ()525221636332OAABBNOAABBC=++=++uuuruuuruuuruuuruuuruuur()()521111633633OAOBOAOCOBOAOBOC=+

−+−=++uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur16x=，13y=，13z=故选：D【点睛】本题考查用基底表示向量，关键是能够熟练掌握向量的加减法运算和数乘运算原则.6.用数字0,1,2,3,4,5组成没有

重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A.144个B.120个C.96个D.72个【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨

论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有

3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选B考点：排列、组

合及简单计数问题．7.若曲线()lnfxxx=+在点()()00,xfx处的切线方程为ykxb=+，则kb+的最小值为()A.1−B.12−C.12D.1【答案】D【解析】【分析】先根据题意建立k，b的方程，再把kb

+用一个变量来表示，再构造函数求最小值即可得到kb+的最小值．【详解】解：000()lnfxxx=+，因为切点在直线上，所以000lnxxkxb+=+①，1()1fxx=+，结合导数的几何意义有001()1kfxx==+②，因为00x，所以1k，联立①②消

去0x得1ln(1)bk=−−−，所以1ln(1)kbkk+=−−−，(1)k，令()1ln(1)gxxx=−−−，则12()111xgxxx−=−=−−，令()0gx，解得2x；令()0gx，解得12x，所以()gx在(1,2)上单调

递减，在(2,)+上单调递增，因此()()21mingxg==，故kb+的最小值为1．故选：D．8.已知双曲线()222:410xCyaa−=的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线2:2Eypx=的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M

到直线1:43110lxy−+=和2:1lx=−距离之和的最小值为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的顶点到渐近线的距离求双曲线方程，根据抛物线的定义结合几何关系转化，利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，进行转化求解.【详解】双曲线()222:41

0xCyaa−=的渐近线方程2xya=，右顶点(),0a，到其一条渐近线的距离23414aa=+，解得32a=，所以双曲线的焦点坐标()1,0，所以抛物线焦点坐标()1,0，即抛物线方程24yx=，如图：过点M作1MAl

⊥，垂足为A，作准线的垂线MC，垂足为C，连接MF，根据抛物线定义有：MAMCMAMF+=+，即动点M到直线1:43110lxy−+=和2:1lx=−距离之和，当,,AMF三点共线时，距离之和最小，即点F到直线1:43110lxy−+=的距离，40113169

−+=+.故选：C【点睛】此题考查抛物线的定义和几何性质，根据双曲线的顶点到渐近线的距离关系求方程，利用几何关系转化求距离之和的最小值.二､多项选择题(本大题共4小题.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)9.下列说法正确的有

()A.若随机变量()21,XN:，()40.79PX=，则()20.21PX−=≤B.若随机变量110,3XB:，则方差()3222DX+=C.从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有

一名女生的概率为13514415CCCD.已如随机变量X的分布列为()()()1,2,31aPXiiii===+，则()229PX==【答案】AD【解析】【分析】根据正态分布的对称性质计算后非商业性A，由二项分布的方

差公式胶方差的性质计算后判断B，由古典概型概率公式计算概率后判断C，由随机变量分布列的性质求解判断D．【详解】A．(2)(4)1(4)10.790.21PXPXPX−==−=−=，A正确；B．122010339

DX==，220(32)3()9209DXDX+===，B错误；C．至少有一名女生的概率为13223145105105105415CCCCCCCPC+++=，C错；D．12612aaa++=，43a=

，423(2)239PX===，D正确．故选：AD．10.设复数12zz，满足120zz+=，则()A.12zz=B.12=zzC.若()132izi=−+，则122zzi=−D.若()1131iz−+=，则213z【答案】BCD【解析】【分析】由

待定系数法先假设1zabi=+，则2zabi=−−，根据共轭复数的概念判断A选项，根据模长的公式判断B选项，根据复数的运算法则判断C选项，根据复数的几何意义判断D选项.【详解】设复数1zabi=+，由120zz+=，所以2zabi=

−−，因此：12zabiz=−，故A选项错误；因为22222212,()()zabzabab=+=−+−=+，所以B选项正确；因为()132izi=−+，所以1312izii+==+−，则21zi=−−所以12(1)(1)2zziii=+−−=−，所以C选项正确

；因为()1131iz−+=，根据复数的几何意义可知，复数1zabi=+所表示的点(,)ab的轨迹是以(1,3)为圆心，1为半径的圆，则由对称性可知，复数2zabi=−−所表示的点(,)ab−−的轨迹是以(1,3)−−为圆心，1为半径的圆，由2z的几何意义表示点

(,)ab−−与(0,0)间的距离，由图可知：213z，故D选项正确；故选：BCD.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义以及复数的乘除运算，在求解过程中始终利用21i=−对式子进行化简，而复数的几何意

义有两个，一个是点对应，一个是向量对应，在解题中要清楚.11.已知函数()sinfxxx=，下列说法正确的是()A.函数()fx在()0,上不单调B.函数()fx在,2ππ内有两个极值点C.函数()fx在2,2−内有

4个零点D.函数()()1lnfxgxx+=在区间(1,上的最小值为1ln【答案】AD【解析】【分析】求导得()sincosfxxxx=+，令()sincosgxxxx=+，求出()gx，对于A，根据特殊点的函数值说明即可；对于B，利用导数说明其

单调性，即可得到其极值点；对于C：令()sin0fxxx==，分解正弦函数的性质计算可得；对于D：结合B得到0lnlnx，即可判断D是否正确．【详解】解：()sinfxxx=，()sincosfxxx

x=+，令()sincosgxxxx=+，()coscossin2cossingxxxxxxxx=+−=−，对于:()Afx在(0,)上连续，(0)()0ff==，所以()fx在(0,)上不单调，故A正确；对于B：因为()2cossingxxxx=−，当(2x，)时，()0

gx，()gx单调递减，因为()()1022gf==，()()0gf==−，所以存在唯一0(2x，)，使得0()0fx=，随着x的变化，()fx，()fx的变化情况如下：x(2，0)0x0(x，)(

)fx+0−()fx极大值所以()fx在(2，)内有且只有一个极值点，故B错误；对于C：令()sin0fxxx==，得0x=或xk=，kZ，所以在[2−，2]上有5个零点，故C错误；对于D：由选项B可知，()fx在0(1,)x内单调递增

，在0(x，)内单调递减，又因为()1sin10f=，()0f=，所以当(1x，]时，0lnlnx，所以()11()lnlnfxgxx+=…，当且仅当x=时取等号，所以()gx在(1，]上的最小值为1ln，故D正确．故选：AD．12.

如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，PAD△为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是()A.若//PD平面MAC，则M为PB的中点B.若M为PB的中点，则三棱锥

MPAC−的体积为33C.锐二面角BPDA−−的大小为3D.若4BPBM=uuuruuuur，则直线MC与平面BDP所成角的余弦值为57【答案】ABD【解析】【分析】对于A，根据线面平行性质可得//MEPD，进而得到M为PB的中点；对于B，利用1122MPACBPACPABCV

VV−−−==求解即可；对于C，作PD的中点Q，则AQB∠为锐二面角BPDA−−的平面角，再结合余弦定理可求解二面角BPDA−−的平面角的余弦值，即可判断C错误；对于D，建系，求平面BDP的法向量，根据向量的夹角来求直线MC与平面BDP所成角的余弦值．【详解】解：对于A，连接

ME，当//PD平面MAC，根据线面平行的性质可得//MEPD，从而得到M为PB的中点．故A正确；MQ为PB的中点，1122MPACBPACPABCVVV−−−==，取AD中点F，连接PF，因为PAD△为等边三角形，所以P

FAD⊥，又平面PAD⊥平面ABCD，由面面垂直性质可得PF⊥底面ABCD，111232233323PABCABCVSPF−===V，33MPACV−=，所以B正确．连接BF，因为PF⊥

底面ABCD，又BF平面ABCD，所以PFBF⊥，在RtPBFV中，22358,2PBPFBFBDPAAD=+=+====，取PB中点Q，连接BQ，AQ，BQPD⊥，AQPD⊥，AQB为锐二面角BPDA−−的平面角，在AQBV中，22222,(22)17ABBQB

DDQ==−=−=，2222213AQADQD=−=−=，由余弦定理可得22221cos27AQBQABAQBAQBQ+−==，所以3AQB，故C错误．对于D，建立空间直角坐标系Fxyz−，则(1A−，0，0)，(1B−，2，0)，(1C，2，0)，(0P，0，3)

，(1D，0，0)，因为4BPBM=uuuruuuur，所以333(,,)424M−，713(1,2,3),(1,0,3),(,,)424BPPDMC=−=−=−uuuruuuruuuur设平面PBD的法向量(,,)nxyz=r，则00nBPnPD==uuuvruuuvr，

即23030xyzxz−+=−=，取1z=，解得3xy==，所以(3,3,1)n=r，73335424cos,7491333116416MCnMCnMCn+−===++++uuuurruuuurruuuurr，故

D正确．故选：ABD．三､填空题(本大题共4小题.其中第16题共有2空；其余题均为一空.请把答案填写在答题卡相应位置上)13.点A是椭圆1C：221259xy+=与双曲线2C：22197xy−=的一个交点，点1F，2F是椭圆1C的两个交点，则12AFAF=___________.

【答案】16【解析】【分析】先判断出椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设1||AFm=，2||AFn=，利用椭圆与双曲线的定义，求出mn，即可得到答案；【详解】解：椭圆221:1259xyC+=的焦点在x轴上，且22

225916cab=−=−=，双曲线222:197xyC−=的焦点在x轴上，且2229716cab=+=+=，所以椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设1||AFm=，2||AFn=，由椭圆与双曲线的定义，可得106mnmn+=

−=，所以2222()||410664mnmnmn+−−==−=，所以16mn=，所以12||||16AFAF=．故答案为：16．14.为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣5名志

愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有___________种(用数字作答)【答案】150【解析】【分析】该安排可按先分组后排序处理，再用乘法原理求得．【详解】解：该安排先分组，有两种，为1，1，3和1，2，2；共有2

235351015252CCC+=+=种，再排序336A=种，故不同的安排方法共有256150=种，故答案为：150．15.已知()3121mxx−+的展开式中的常数项为8，则实数m=___________.【答案】2−【解析】

【分析】由多项式乘法则求得常数项，列方程求解．【详解】()323133121(2)(1)mxmxxxxx−+=−+++，常数为23m−，由238m−=得2m=−．故答案为：2−．16.购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20

元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金20万元.已知该保险每一份保单需要赔付的概率为510−，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为___________(保留两位有效数字)；一年度内盈利的期望为________

___万元.(参考数据：()51051100.37−−)【答案】①.0.63②.180【解析】【分析】设该保险业务需赔付为事件A，由相互独立事件的概率公式可求得()PA，结合对立事件的概率公式可求得

()PA，再利用数学期望的定义求解即可.【详解】由题意，设该保险业务需赔付为事件A，该保险每一份保单需要赔付的概率为510−，则每一个保单不需要赔付的概率为5110−−，故10万份保单都不需要赔付的概率为()()51051100.37PA−=−，所以，保险业务需赔付的概

率为()()10.63PAPA=−，设10万份保单需赔付的件数为X，则()5510,10XB−:，则需赔付的保险金为200000X，则()()552000002000002000001010200000EXEX−===(元)

20=(万元)，所以，一年度内盈利的期望为201020180−=(万元).故答案为：0.63；180.四､解答题(本大题共6小题.请在答题卡指定区城内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17.某企业的甲

、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量x、y的数据如下：东部城市A东部城市B东部城市C西部城市D西部城市Ex4050602030y1101802103070(1)根据上述数据补全下列22联表：(2)判断是否有

99%的把握认为东､西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关.参考公式：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.临界值表：()20PKk0.150.100.050.

0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822列联表：东部城市西部城市总计甲50乙600总计650800【答案】(1)联列表答案见解析；(2)有99%的把握认为东

､西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关.【解析】【分析】(1)根据题中信息可完善22列联表；(2)计算出2K的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】(1)22列联表如下表所示：东部城市西部城市总计甲15050200乙500100600总计6

50150800(2)由题意可知，()()()()22800100008006.836.6351505005010015050500100117K==++++，则有99%的把握认为东、西部的地区差异与甲､乙两种产品的

销售量相关.18.已知函数()32113fxxxax=+++.(1)当3a=−时，求函数()fx的极值；(2)当2a时，若函数()fx在区间,2a上单调递增，求实数a的取值范围.【答案】(1)极大值为

10，极小值为23−；(2))0,2.【解析】【分析】(1)分别求出()0fx、()0fx的解集，确定函数的单调区间后根据极值的概念即可得解；(2)转化条件得()0fx在,2a上恒成立，根据二次函数的性质，分别讨论1a−、1a2−时()minf

x的值即可得解.【详解】(1)当3a=−时，()321313fxxxx=+−+，则()()()22331fxxxxx=+−=+−，令()0fx，解得1x或3x−；令()0fx，解得31x−，所以()fx在(),3−−上单调递增，在()3,1−上单调递减，在()1,+

上单调递增，则()fx的极大值为()310f−=，极小值为()213f=−.(2)因为()32113fxxxax=+++，所以()22fxxxa=++，则当,2xa时，()0fx恒成立，所以①当1a−时，()()min110fxfa−=−=，不满足题意

，故舍去；②当1a2−时，()()2min30fxfaaa=+=，解得0a或3a−(舍去).综上，实数a的取值范围为)0,2.19.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，12AAABAC===，ABAC⊥，M是棱BC的中点，点P在线段1A

B上.(1)若12BPPA=uuuruuur，求直线MP与直线AC所成角的余弦值大小；(2)若N是1CC的中点，直线1AB与平面PMN所成角的正弦值为77，求线段BP的长度.【答案】(1)32626；(2)22.【解析】【分析】(

1)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和直线MP与直线AC的方向向量的坐标，由向量的夹角公式求解即可；(2)设(Px，y，)z，设1,01BPBA=uuuruuur剟，求出点P的坐标，求出直线1AB的方向向量与平面P

MN的法向量，然后利用向量的夹角公式建立等式关系，求解的值，即可得到答案．【详解】解：以1,,ABACAAuuuruuuruuur为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A，()2,0,0B，(

)0,2,0C，()10,0,2A，()1,1,0M，(1)因为12BPPA=uuuruuur，所以24,0,33P，则14,1,33MP=−−uuur，()0,2,0AC=uuur，设直线MP与

直线AC所成角为，则2326cos261161299MPACMPAC−===++uuuruuuruuuruuur，所以直线MP与直线AC所成角的余弦值大小为32626，(2)由()0,2,1N，得()1,1,1MN=−−uuuur，可设(),,Pxyz，()101BPBA

=uuuruuur，则()()2,,2,0,2xyz−=−，解得22x=−，0y=，2z=，所以()22,0,2P−，所以()12,1,2MP=−−uuur，可设平面PMN的一个法向量为()111,,nxyz=r，由nMN⊥uuuurr，nMP⊥uuurr，即00nM

NnMP==uuuuvruuuvr，可得()11111101220xyzxyz−++=−−+=，取111,,122n=+r，又因为()12,0,2BA=−uuur，且设直线1AB与平面PMN所成角为，所以()1

1221121272sincos,711112222nBAnBAnBA−++====+++uuuruuurruuur，解得14=，所以114BPBA=uuruuur，所以121

42BPBA==.20.某学校招聘在职教师，甲､乙两人同时应聘.应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为23，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为34，1

3，12，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为34，12，乙面试部分每个环节通过的概率依次为23，34，若面试部分的两个

环节都通过，则可以成为该学校的在职教师.甲､乙两人通过各个环节相互独立.(1)求乙未能参与面试的概率；(2)记甲本次应聘通过的环节数为X，求X的分布列以及数学期望；(3)若该校仅招聘1名在职教师，试通过概率计算，判断甲､乙两人谁更有可能入职.【答案】(1)1124；

(2)分布列答案见解析，数学期望：7927；(3)甲更可能成为该校的在职教师.【解析】【分析】(1)根据事件的互斥性及每一次是否通过相互独立求解即可；(2)首先确定随机变量X的可能取值，再分别求出相应的概率值，列出分布列计算数学期望；(3)分别计算甲乙通过成为

在职教师的概率值，比较大小，得出结论.【详解】(1)若乙笔试部分三个环节一个都没有通过或只通过一个，则不能参与面试，故乙未能参与面试的概率1211113211211143243243243224P=+++=.(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，5，()3110327PX

===，()2131221C339PX===，()223211112C334218PX===，()322321121113173C34233424227PX==+

+=，()3223211312131174C34242334254PX==++=，()3231153429PX===.则X的分布列为X012345P1272911

8727175419故()121717179012345279182754927EX=+++++=.(3)由(2)可知，甲成为在职教师的概率223121315C9334218P=+=甲，乙成为在职教师的概率1123131243448P

=−=乙.因为PP甲乙，所以甲更可能成为该校的在职教师.【点睛】本题考查相互独立事件的概率､离散型随机变量的分布列以及期望.在求解过程中需清楚互斥事件的概率加法计算公式和相互独立事件的概率乘法计算公式，分布列中需要准确计算每个可能取值的概率值，最后计

算数学期望.21.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为32，直线yx=被椭圆C截得的线段长为4105.(1)求椭圆C的方程：(2)设直线l与C交于M､N两点，点D在椭圆C上，O是坐标原点，若四边形OMDN为平行四边形，则此四边形的面积

是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】(1)2214xy+=；(2)是定值，定值为3.【解析】【分析】(1)根据离心率可得,ab关系，根据直线被椭圆截得的线段长可求a，从而可得椭圆的方程.(2)设()11,Mxy，()22,Nxy，再

设112cossinxy==，222cossinxy==，根据D在椭圆上可得()1cos2−=−，从而可得()3sin2−=，故可得四边形的面积为定值.【详解】(1)由题意知，

2232cabaa−==，可得224ab=，联立2224xyayx+==，得55xa=，所以254101155ABa=+=，解得2a=.所以椭圆的方程为2214xy+=.(2)可设()11,Mxy，()22,Nxy，则由四边形OMDN为平行四边形

，可得()1212,Dxxyy++，又因为点D在椭圆C上，所以()()22121214xxyy+++=，化简可得，121242xxyy+=−，可令112cossinxy==，222cossinxy==，代入

上式，得2cos2cos4sinsin2+=−，即为()4cos2−=−，则()1cos2−=−，所以()3sin2−=，则211222cossin2cossinOMDNOMNSSxyxy==−=−Y△()32sin

232=−==，故平行四边形OMDN的面积为定值且定值为3.22.已知函数()lnfxaxxa=++.(1)判断()fx的单调性，并写出单调区间；(2)若()fx存在两个零点1x，2x，求a的取值范围，并证明121xx.【答案】(1)答案见解

析；(2)a的取值范围为(),1−−，证明见解析.【解析】【分析】(1)对()fx求导，再对a分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可；(2)结合(1)中结论及题意可得0a，求得()fx的最值，结合题意可得1a−，根据函数的单调性及零点存在性定理可得若()fx有两个零点，则a的取值范围为(

,1)−−．不妨设120xax−，分析可得要证121xx，只需证11212211ln021xxxxxx−−+，令11()ln21thttt−=−+，(0t，1]，利用导数证得()0ht，即可得证．

【详解】(1)因为()lnfxaxxa=++，定义域为()0,+，所以()1afxx=+，则①当0a时，()0fx，即()fx的单调增区间为()0,+，无减区间；②当0a时，令10ax+，解得0xa−，当10ax+，可解得xa−，所以()fx的单调递减区间为()0,a−，

单调递增区间为(),a−+.(2)()()10aaxfxxxx+=+=，①当0a时，()0fx，则()fx在()0,+上单调递增，()fx至多有一个零点，不合题意；②当0a时，当()0,xa−时，()0fx，()fx在()0,a−上单调递减；当(),xa−+时，()0f

x，()fx在(),a−+上单调递增，则()()()minln0fxfaaa=−=−，解得1a−，注意此时110fee=，(i)当21a−−时，()3340feea=+，此时31aee−，则()

fx在()0,a−和(),a−+上分别存在一个零点；(ii)当2a−时，()22lnaaafeaeeaeaa−−−=++=−+，设()2agaeaa−=−+，2a−，则()21agae−=−−+，()2

0agae−=−，所以()ga在(),2−−单调递增，则()()2250gage−=−+，所以()ga在(),2−−单调递减，则()()2260gage−=−，即()0afe−，此时1aa

ee−−，则()fx在()0,a−和(),a−+分别存在一个零点；综上，若()fx有两个零点，则a的取值范围为(),1−−；下面证明121xx，不妨设120xax−，由()()120fxfx==，得1122ln0ln0axxaaxx

a++=++=，两式相减得，1212lnlnxxaxx−−=−，两式相加得，()1212121212lnln2lnln2xxxxxxxxaxx+++=−=−−−−，要证121xx，只需证12lnln0xx+，即证1121212112221lnln1ln0221xxxxxxxx

xxxx−−−−=−++，令()11ln21thttt−=−+，(0,1t，则()()()()22211202121thttttt−=−=++，所以()ht在(0,1单调递增，则()()10hth=，又因为()120,

1xx，故等号成立，即得证.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最

)值问题处理．