【文档说明】新教材高二数学第二学期期末试卷五（原卷版+教师版）.doc，共(30)页，1.234 MB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高二数学第二学期期末试卷一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合2log1Axx=，集合|0Bxx=，则AB=U()A.()0,+?B.)0,2C.()0,2D

.)0,+2.设(12i)2ixy+=+，其中x，y是实数，则|i|xy+=A.2B.4C.25D.233.命题“()0,x+，x3＋3x≥1”的否定是()．A.()0,x+，x3＋3x＜1B.()0,x+，x3＋3x≥1C.()0,x+，x3＋3x＜1

D.x3＋3x≤14.已知向量(),2am=r，()1,1b=r，若2aba+=+rrr，则实数m=()A.2B.2−C.12D.12−5.若随机变量服从正态分布()22,3N，()()3521PaPa−=+，则实数a等于()A.1−

B.0C.1D.26.将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为A.66B.48C.36D.307.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点P，Q分别在半圆弧C1C，A1A(

均不含端点)上，且C1，P，Q，C在球O上，则()A.当点Q在弧A1A的三等分点处，球O的表面积为(1133)−B.当点P在弧C1C的中点处，过C1，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形C.球O的表面积的取值范围为(4π，8π)D.当点P在弧C1C的中

点处，三棱锥C1—PQC的体积为定值8.已知大于1的正数a，b满足22lnanbbea，则正整数n的最大值为()A.7B.8C.9D.11二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，

有选错的得0分，部分选对得2分)9.na是等差数列，公差为d，前项和为nS，若56SS，678SSS=，则下列结论正确的是()A.0dB.70a=C.95SSD.170S10.随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速

上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是2012年至2018年中国雪场滑雪人次(万人次)与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是()A.2013年至2018年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增

加B.2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加C.2013年与2018年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D.2012年到2018年，中国雪场滑雪人次增长率约为146.2%11.在ABCV中，三边长分别为a，b，c，且

4abc=，则下列结论正确的是()A.224abab+B.4abab++C.224abc++D.4abc++12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数

学家，用其名字命名的“高斯函数”：设xR，用[]x表示不超过x的最大整数，则()[]fxx=称为高斯函数，例如：[3.5]4,[2.1]2−=−=.则下列命题中正确的是()A.,,1xyxy−R，则[][]xy=B.,,[][][

]xyxyxy++R„C.1,[][2]2xxxx++=RD.若tR，使得3451,2,3,,2nttttn====−L同时成立，则正整数n的最大值是5三、填空题(本题共4小题，每小题5分

，共20分)13.5(2)xx+的展开式中，x3的系数是_________.(用数字填写答案)14.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中

成活的株数，若X的方差2.1DX=，(3)(7)PXPX==，则p=________．15.已知()()()11xxfxaexex=++++与2()xgxe=的图象有且只有两个不同的公共点，其中e为自然对数的底数

，则a的取值范围是_______.16.设双曲线222116xyb−=的左右两个焦点分别为1F、2F，P是双曲线上任意一点，过1F的直线与12FPF的平分线垂直，垂足为Q，则点Q的轨迹曲线E的方程________；M在曲线E上，点(8,0)A，(5,6)B，则12AMBM+的最小值__

______.四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.在ABCV中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C．已知a，b，c成等比数列．(1)求角B的取值范围；(2)若1123tantan3AC+=，求角B的值.18

.已知正项数列na的前n项和为nS，且满足：11a=，211nnnaSS++=+.(1)求数列na的通项公式；(2)设1(21)(21)nnnbaa=−+，求数列nb的前n项和nT.19.如

图，在多面体1111ABDABCD−中，四边形1111ABCD，11ADDA，11ABBA均为正方形，点M是BD的中点，点H在1CM上，且1AH与平面ABD所成角的正弦值为33.(1)证明：11//BD平面1BC

D；(2)求二面角1AAHB−−的大小.20.已知椭圆2222:1(0)xyOabab+=过点13,2−，()()0000,0Axyxy，其上顶点到直线330xy++=的距离为2，过点A的直线l与x，y轴的交点分别为M、N，且2ANMA=uuuruuur.(1

)证明：||MN为定值；(2)如上图所示，若A，C关于原点对称，B，D关于原点对称，且BDNM=uuuruuuur，求四边形ABCD面积的最大值.21.函数()()1lnfxxx+=.(1)若函数()fx的图象在xt=处的切线过()0,2−，求t的值；(2)()()1fx

ax−在()1,+恒成立，求a的取值范围.22.一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为()00.4a

a.每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为.(1)证明：在各个取值对应的概率中，概率()1

P=的值最大；(2)在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发.现在有三个勘探小组(1,2,3)iAi=可派出，若小组iA能完成特殊任务的概率t；()()1,2,3itP

ii===，且各个小组能否完成任务相互独立.试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小.新教材高二数学第二学期期末试卷一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知

集合2log1Axx=，集合|0Bxx=，则AB=U()A.()0,+?B.)0,2C.()0,2D.)0,+【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的单调性解不等式，求得集合A，根据并集的运算即可得出答案.【详解】解：因为2log1x，所以02x

，所以02Axx=，所以AB=U)0,+.故选：D.2.设(12i)2ixy+=+，其中x，y是实数，则|i|xy+=A.2B.4C.25D.23【答案】C【解析】【详解】由(12i)2ixy+=+，得2i2ixxy+=+,其中x，y是实数，2,

4xy==则22i2425xy+=+=.3.命题“()0,x+，x3＋3x≥1”的否定是()．A.()0,x+，x3＋3x＜1B.()0,x+，x3＋3x≥1C.()0,x+，x3＋3x＜1D.x3＋3x≤1【答案】A【解析】【

分析】将“任意”改为“存在”，只否定结论.【详解】“()0,x+，x3＋3x≥1”的否定是“()0,x+，x3＋3x＜1”.故选：A.4.已知向量(),2am=r，()1,1b=r，若2aba+=+rrr，则实数m=

()A.2B.2−C.12D.12−【答案】A【解析】【分析】分析可知ar与br同向，利用平面向量共线的坐标表示可求得m的值.【详解】因为()1,1b=r，则2b=r，由已知可得abab+=+rrrr，等式abab+=+rrrr两边平方可得222222aabbaabb++=++rrrrrr

rr，则abab=rrrr，故ar与br同向，所以，2m=.故选：A.5.若随机变量服从正态分布()22,3N，()()3521PaPa−=+，则实数a等于()A.1−B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据正态分布的对称性计算．【详解】由题意352122aa−++=，解得

0a=．故选：B．6.将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为A.66B.48C.36D.30【答案】D【解析】【详解】试题分析：由题意，四名学

生有两名分在一个班有24C种，再分到三个不同的班有33A种，而甲、乙两名学生被分到同一个班的有33A种，所以满足条件的种数是23343330CAA−=．故选D．考点：分类计数原理7.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点P，Q分别在半圆弧C1C，A1A(

均不含端点)上，且C1，P，Q，C在球O上，则()A.当点Q在弧A1A的三等分点处，球O的表面积为(1133)−B.当点P在弧C1C的中点处，过C1，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形C.球O的表面积的取值范围为(4π，8π)D.当点P在弧C1C的中点处，三

棱锥C1—PQC的体积为定值【答案】D【解析】【分析】取1CC中点E，1DD中点F，1AA中点G，根据球的性质，容易知道球心O在线段EF上，设出OE的长度和∠FGQ，算出FQ的长度，利用OC1=OQ，即可判断A,B；作出过C1，P,Q三点的截面即可判断C；利用11QPCCAPCCVV−−=即可求出

体积，进而判断D.【详解】如图1，取1CC中点E，1DD中点F，1AA中点G，由题意，球心O在线段EF上，设,[0,)2FGQ=，在FGQV中，由余项定理2||22cosFQ=−，设OEx=，则22||1OCx=+，∴()2222||||||122cosOQOF

FQx=+=−+−，设外接球半径为R，∵2221||||OQOCR==，∴()22122cos1xx−+−=+，∴1cos[0,1)x=−，∴221[1,2)Rx=+，∴球O的表面积24[4,8)SR=，C错误；当点Q在¼1AA的三等分点处，=6，则31co

s12x=−=−，2221311||11324ROC==−+=−，∴∴球O的表面积()241143SR==−，A错误；对B，如图2，取1DD中点F，当Q在»FA上时，连接AF，在平面ADD1A1上过点

Q作AF的平行线，与线段1DD，AD分别交于M,N，延长C1P与BC交于R，连接RN交AB于S，此时截面为1CMNSP，B错误；对D,当点P位于¼1CC的中点处，三棱锥1CPQC−的体积11111211323QPCCA

PCCVV−−===为定值，D正确.故选：D.【点睛】本题涉及知识点较多，题目运算量大比较复杂，多面体外接球的球心的确定，一定要取多面体的特殊面，先确定其外心，然后过外心作截面的垂线，设出球心(垂线上)的位置，进而根据勾股定理求出外接球半径；如果棱锥的体积不好求得，我们可

以用等底等高的棱锥进行转化.8.已知大于1的正数a，b满足22lnanbbea，则正整数n的最大值为()A.7B.8C.9D.11【答案】C【解析】【分析】22lnnanbbea等价于22lnannbeba，令()2lnnxfxx=，()2xnegx

x=，分别求()fx，()gx的导数，判断函数的单调性，可求得()fx有最大值2222nnfee=，()gx有最小值22nnnegn=，根据题意，即求()()maxminfxgx，代入为2222nnenen

，等价于2ln22nnn+−，令()2ln22xxxx+=−−，即求()0x的最大的正整数.对()x求导求单调性，可知()x单调递减，代入数值计算即可求出结果.【详解】解：由题干条件可知：22lnnanbbea等价于22lnannbeba，令()

2lnnxfxx=，()1x，则()121ln(2ln)ln(2ln)'nnnxxnxxnxfxxx−+−−==()'0fx=，2nxe=，当()'0fx时，21,nxe，当()'0fx时，2,nxe+所以

()fx在21,ne上单调递增，在2,ne+上单调递减，则()fx有最大值2222nnfee=.令()2xnegxx=，()1x，则()()222'xnexngxx−=，当12n时，此题无解，所以12n，则(

)'0,2ngxx==，当()'0,2ngxx，当()'0,12ngxx，所以()gx在1,2n上单调递减，在,2n+上单调递增，则()gx有最小值22nnnegn=.若22lnannbeba成立，只需22nnfeg

，即2222nnenen，即222nnne−+，两边取对数可得：22)ln2(nnn+−.2n=时，等式成立，当3n时，有2ln22nnn+−，令()2ln22xxxx+=−−，本题即求()0x的最大的正整数.()241'0(2)xxx

−=−−恒成立，则()x在)3,+上单调递减，()58ln403=−，()1199ln1.57141.51072=−−，()310ln502=−，所以()0x的最大正整数为9.故选：C.【点睛】本题考查构造函数法解决恒成立问题.方法点睛：双变元的

恒成立问题，经常采用构造成两个函数，转化为()()12fxgx，若()()12maxminfxgx，则复合恒成立的情况.二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分)9.na是等差数列，

公差为d，前项和为nS，若56SS，678SSS=，则下列结论正确的是()A.0dB.70a=C.95SSD.170S【答案】ABD【解析】【分析】结合等差数列的性质、前n项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由67SS=，可得7670SSa−

==，故B正确；由56SS，可得6560SSa−=，由78SS，可得8780SSa−=，所以876aaa，故等差数列na是递减数列，即0d，故A正确；又()9567897820SSaa

aaaa−=+++=+，所以95SS，故C不正确；又因为等差数列na是单调递减数列，且80a，所以90a，所以()117179171702aaSa+==，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本

题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12nnnaSSn−−=，及()12nnnaaS+=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.10.随着202

2年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是2012年至2018年中国雪场滑雪人次(万人次)与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是()A.2013年至2018年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加B

.2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加C.2013年与2018年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D.2012年到2018年，中国雪场滑雪人次增长率约为146.2%【答案】BD【解析】【分析】根据图中条形统计图和折线图的实际意义分析

逐个判定即可.【详解】由2012年至2018年中国雪场滑雪人次(万人次)与同比增长率的统计图可知：对于A，2013年至2015年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加，而2015年至2018年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年减少，故A错误；对于B，2013年至2018年，中国雪场滑雪

人次逐年增加，故B正确；对于C，2013年与2018年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是同比增长人数不相等，2018年比2013年增长人数多，故C错误；对于D，2012年至2018年，中国雪场滑雪人次增长率约为1970-800100%146.2%800，故D

正确．故选：BD．【点睛】本题考查统计图表的应用，考查学生的数据分析能力，属于基础题.11.在ABCV中，三边长分别为a，b，c，且4abc=，则下列结论正确的是()A.224abab+B.4abab++C.224

abc++D.4abc++【答案】ABC【解析】【分析】根据不等式的性质，由三角形的性质，可判断A正确；利用基本不等式，可判断BC正确；由特殊值法，可判断D错.【详解】A选项，因为a，b，c为三角形三边，所以abc−，则224ababab

c−=，即224abab+，故A正确；B选项，根据三角形的性质可得，abc+，则24abababcabc+++=，当且仅当abc=时，等号成立；因此4abab++，故B错；C选项，22222424abcabcabc+=++，当且仅当2bcabc=

=，即42222bcabc====时，等号成立，此时bca+不满足三角形性质，故222242abcabcabc+++，即C正确；D选项，若12abc===，则能构成三角形，且满足4abc=，但此时54abc++=，即D错；故选：ABC.【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须

验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设xR，用[]x表示不超过x的最大整数

，则()[]fxx=称为高斯函数，例如：[3.5]4,[2.1]2−=−=.则下列命题中正确的是()A.,,1xyxy−R，则[][]xy=B.,,[][][]xyxyxy++R„C.1,[][2]2xxxx++

=RD.若tR，使得3451,2,3,,2nttttn====−L同时成立，则正整数n的最大值是5【答案】CD【解析】【分析】根据“高斯函数”的定义逐个分析可得答案.【详解】对于A，当1,2xy==时，满足1xy−，但是[]1[]2xy=

=，故A错误；对于B，设[]xxa=+，01a，[]yyb=+，01b，则[][]xyxyab+=+++，则[][[][]][][][]xyxyabxyab+=+++=+++，因为01,01ab，所以02ab+，所以[]0ab+，所以[][][]xyxy++，故B错误；

对于C，设[]xxa=+，01a，则22[]2xxa=+，[2][2[]2]2[][2]xxaxa=+=+，11[]22xxa+=++，11[][][]22xxa+=++，11[][]2[][]22xxx

a++=++，所以11[][][2][][2]22xxxaa++−=+−，当102a时，11122a+，021a，得1[][2]02aa+==，所以1[][][2]2xxx++=，当112a时，13122a

+，122a，得1[][2]12aa+==，所以1[][][2]2xxx++=，综上所述：1[][][2]2xxx++=.故C正确；对于D，当3n=时，得312t，得312t，当4n=时，得341223tt，得3

441223tt，得3422t，当5n=时，得345122334ttt，得34455122334ttt，得3532t，当6n=时，得345612233445tttt

，得344556612233445tttt，得35363225tt，此不等式组无解，综上所述：符合题意的正整数n的最大值是5，故D正确.故选：CD【点睛】关键点点睛：理解并运

用“高斯函数”的定义解题是解题关键.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.5(2)xx+的展开式中，x3的系数是_________.(用数字填写答案)【答案】10【解析】【详解】试题分析：5(2)xx+的展开式的通项为555255(2)()2rrrrrrCxxC

x−−−=(0r=，1，2，…，5)，令532r−=得4r=，所以3x的系数是452C10=.考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项1rT+,再确定r的值,从而确定指定项系数.14.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活

动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差2.1DX=，(3)(7)PXPX==，则p=________．【答案】0.7【解析】【分析】由题意可知：()

X~B10,p，且()()()1012.137ppPXPX−===，从而可得p值．【详解】由题意可知：()X~B10,p∴()()()1012.137ppPXPX−===，即21001002100.5ppp−+=,∴0.7

p=故答案为：0.7【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15.已知()()()11xxfxaexex=++++与2()xgxe=的图象有且只有两个不同

的公共点，其中e为自然对数的底数，则a的取值范围是_______.【答案】)11,2+−U【解析】【分析】问题转化为()()211xxxaexexe++++=有两个不同的实根，再利用参变分离法，把问题转变为11xxxex

aexe+=−++，进而令1()1xxxexgxexe+=−++0()xx，利用导数讨论()gx的图像，进而利用数形结合可以求解【详解】由题意得，问题转化为()()211xxxaexexe++++=①有两个不同的实根，又因为由函数x

ye=与1yx=−−的图像可知，它们有一个交点，其横坐标0x满足021x−−，且当10xex++=，即001xex=−−时，方程①无解，不满足题意，所以当10xex++时，方程①等价于11xxxexaexe+=−++，令1()1xxxexgxexe+=−++0()xx，则22

11'()(1)xxxgxxeexe=+++，所以由'()0gx，得0x，函数()gx的单调递增区间为(0,)+；由'()0gx得0xx或00xx，即函数()gx的单调递减区间为0(,)x−和0

(,0)x，所以当0x=时，函数()gx取得极小值1(0)2g=−，又当x从左到右无限趋近于0x时，()gx→−，当x从右到左无限趋近于0x时，()gx→+，且当x→+时，()1gx→，由此可作出函数()gx的大

致图像，如图所示，则由图易知，当函数ya=与函数()ygx=有两个交点，即方程①有两个不同的实数根时，a的取值范围为)11,2+−U故答案为：)11,2+−U【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用参变分离法，把问题转变为11xxxexaex

e+=−++，然后，令1()1xxxexgxexe+=−++，最后利用导数讨论其图像，本题的难度比较大，考查学生的转化化归思想和数形结合的运用16.设双曲线222116xyb−=的左右两个焦点分别为1F、2F，P是双曲线上任意一点，过1F的直线与12FPF

的平分线垂直，垂足为Q，则点Q的轨迹曲线E的方程________；M在曲线E上，点(8,0)A，(5,6)B，则12AMBM+的最小值________.【答案】①.2216xy+=②.35【解析】【分析】延长1FQ与2PF的延长线交于点M，计算12142OQPFPF=−=得到轨迹方程

，取点()2,0C，12AMBMMCBMBC+=+，解得答案.【详解】如图所示：延长1FQ与2PF的延长线交于点M，则()22121114222OQMFPMPFPFPFa==−=−==，故轨迹方程为2216xy+=.取点(

)2,0C，则12OCOMOMOA==，MOCMOA:，故12MCPA=，1352AMBMMCBMBC+=+=，当BMC共线时等号成立.故答案为：2216xy+=；35【点睛】本题考查了轨迹方程，长度的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，

取点()2,0C证明相似是解题的关键.四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.在ABCV中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C．已知a，b，c成等比数列．(1)求角B的取值范围；(2)

若1123tantan3AC+=，求角B的值.【答案】(1)03B；(2)3B=.【解析】【分析】(1)由a，b，c成等比数列，可得2bac=，再利用余弦定理和基本不等式可得1cos2B，结合余弦函数的性质可求得角B的取值范围；(2)由已知可得(

)sin23sinsin3ACAC+=，而sin()sinACB+=，再由2bac=得2sinsinsinBAC=，所以可得3sin2B=，从而可求出角B的值【详解】解：(1)因为a，b，c成等比数列，所以2bac=，由余弦定理2222c

osbacacB=+−，得222cos2acbBac+−=，所以2222221cos2222acbacacacacBacacac+−+−−===，当且仅当ac=时取等号，又因为B为ABCV的内角，所以03B，(2)()sin

11coscos23tantansinsinsinsin3ACACACACAC++=+==，又因为2bac=，所以由正弦定理有2sinsinsinBAC=，.因为ACB+=−，所以sin()sinACB+=，得2si

n23sin3BB=，即3sin2B=，由2bac=知，b不是最大边，所以3B=.18.已知正项数列na的前n项和为nS，且满足：11a=，211nnnaSS++=+.(1)求数列na的通项公式

；(2)设1(21)(21)nnnbaa=−+，求数列nb的前n项和nT.【答案】(1)nan=；(2)21nnTn=+.【解析】【分析】(1)利用1nnnaSS−=−可得数列na是等差数列，即可求出通项公式；

(2)由裂项相消法可求出.【详解】解：(1)由211nnnaSS++=+，又有21nnnaSS−=+，()2n，两式相减得()22112nnnnaaaan++−=+，因为0na，所以()112nna

an+−=，又11a=，22121aaaa=++，解得22a=，满足11nnaa+−=，因此数列na是等差数列，首项为1，公差为1，所以()111nann=+−=，(2)()()12121nbnn=−+11122121nn=−−+所以()()12111111111

...21323521212nnTbbbnn=+++=−+−++−−+L11122121nnn=−=++.19.如图，在多面体1111ABDABCD−中，四边形1111ABCD，11ADDA，11ABBA均为正方形

，点M是BD的中点，点H在1CM上，且1AH与平面ABD所成角的正弦值为33.(1)证明：11//BD平面1BCD；(2)求二面角1AAHB−−的大小.【答案】(1)见解析；(2)3.【解析】【详解】【分析】分析：(1)根据条件可证得四边形11BD

DB是平行四边形，故11//BDBD，然后由线面平行的判定定理可得结论成立．(2)由题意易知1,,AAABAD两两垂直且相等，故建立空间直角坐标系，通过向量的运算来求二面角1AAHB−−的大小．详解：(1)因为四边形11ADDA，11ABBA均为正方

形，所以11//DDAA且11DDAA=，11//BBAA且11BBAA=，所以11//DDBB且11DDBB=，所以四边形11BDDB是平行四边形，所以11//BDBD．又因为BD平面1BCD，11BD平面1BCD，所以

11//BD1BCD平面．(2)由题意易知1,,AAABAD两两垂直且相等，以A为坐标原点，分别以1,,ABADAAuuuruuuruuur的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz−．令11AA=，则()()()()11110,0,1,1,0,0,0,1,0,1,1,

1,,,022ABDCM．设(),,Hxyz，且11(01)CHCM=uuuuvuuuuv,则11(1,1,1)(,,1)22xyz−−−=−−−，故1,1,122xyz=−=−=−，所以点H的坐标为(1,1,1)22−−

−，故1(1,1,)22AH=−−−uuuuv．易得()10,0,1AA=uuur为平面ABD的一个法向量．设1AH与平面ABD所成角为，则112223sincos,3(1)(1)22AAAH−===−+−

+uuuvuuuuv，解得23=或2=−(舍去)，所以点221,,333H，所以1222121,,,,,333333AHBH=−=−uuuuruuur，设平面1AAH的法向量为()1111,,nxyz=r，由11110,0,nAAnAH==

uuurruuuurr得11110,2220,333zxyz=+−=令11x=，则()11,1,0n=−r．设平面1BAH的法向量为()2222,,nxyzr=，同理可得()21,0,1n=r，故1212121cos,2nnnnnn==rrrrrr，由图形知二面角1AAHB

−−为锐角，所以二面角1AAHB−−的大小为3．20.已知椭圆2222:1(0)xyOabab+=过点13,2−，()()0000,0Axyxy，其上顶点到直线330xy++=的距离为2，过点A的直线l与x，y轴的交点分别为M、N，且2A

NMA=uuuruuur.(1)证明：||MN为定值；(2)如上图所示，若A，C关于原点对称，B，D关于原点对称，且BDNM=uuuruuuur，求四边形ABCD面积的最大值.【答案】(1)证明见解析；(

2)4.【解析】【分析】(1)其上顶点(0,)b到直线330xy++=的距离为2，求出b，点13,2−（）代入椭圆方程，可求出椭圆方程，设经过点A的直线方程为：()00yykxx−=−，可得00,0yMxk−（），()000,Nykx−.利用2ANMA=uuuruuur

，可得002yxk=−，利用两点之间的距离公式可得MN；(2)由(1)得直线BD的方程为002yyxx=−，与椭圆方程联立求出||BD，由点到直线距离公式，求出A到直线BD距离，求出四边形ABCD面积的关于00,

xy的表达式，结合00,xy关系，由基本不等式求出最大值.【详解】(1)其上顶点(0,)b到直线330xy++=的距离为2，322b+=，解得1b=.又椭圆2222:1(0)xyOabab+=过点13,2−，23114a+=，解得24a=.∴

椭圆的标准方程为：2214xy+=.点A在椭圆上，220014xy+=.设经过点A的直线方程为：()00yykxx−=−，可得00,0yMxk−，()000,Nykx−.2ANMA=uuuruuurQ，002yx

k−=即002kxy=−.()22220000009934yMNxykxxyk=−+−=+=为定值.(2)由(1)得直线MN斜率为002kxy=−，,BDNMBD=uuuuuruuuurQ方程为002yyxx=−，即0020yxxy+=，

220044xy+=，联立0022214yyxxxy=−+=解得22002222000042||,||1616xxxxxyxy==++，200222220000042||8||211616yx

BDxxyxy=+=++，点A到直线BD的距离为0000002200|2|3||24yxxyxydyx+==+，002200220012||12||,11616ABCDxySBDdxyyx===+

+Y202222022200002200009416116116()()54xyxyxyyxyx+=++=++当且仅当20202,4xy=，即2083x=时，等号成立，22002200116123,04,4116ABCDSyxyx++Y，四边形ABCD面积的最大值为4.【点睛】

本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、平行四边形的面积，利用基本不等式求最值，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算，属于较难题.21.函数()()1lnfxxx+=.(1)若函数()fx的图象在xt=处的切线过()0,2−，求t的值；(

2)()()1fxax−在()1,+恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)1；(2)2a.【解析】【分析】(1)先对函数求导，得到()1ln1xxfx=++，根据题意，得到()()20ftftt+=−，推出ln10t

t−+=，设()ln1gttt=−+，0t，对其求导，研究其单调性，求出最小值，即可得出结果；(2)先由题意，将()()1fxax−在()1,+恒成立，转化为1ln1xxax−+在()1,+恒成立，设()1

ln1xhxxax−=−+，1x，对其求导，分0,2a，0a，2a三种情况讨论，研究其单调性，得到其大致范围，即可得出结果.【详解】(1)因为()()1lnfxxx+=，所以()()11

ln1ln1xxfxxxx++=++=，由于在xt=处的切线过()0,2−，所以()()20ftftt+=−，即lnln21ln1tttttt++=++，化简得ln21tt+=+，即ln10tt−+=，设

()ln1gttt=−+，0t，则()11gtt=−，由()110gtt=−得01t；由()110gtt=−得1t；从而()gt在()0,1单调递增，再(1,)+单调递减；因此()min(1)0gtg==，所以()0gt=有唯一根1t=；(2)由()()1fxax−得

()1ln(1)xxax+−，因为1x，所以1ln1xxax−+，因此，()()1fxax−在()1,+恒成立，即是1ln1xxax−+在()1,+恒成立；设()1ln1xhxxax−=−+，1x，则()()()()2222211211xa

xhxaxxxx+−+=−=++，当0,2a时，()22240a=−−，此时()()()2222101xaxhxxx+−+=+恒成立，所以()hx单增，因此()()10hxh=，满足题意；当0a时，()()21201hxaxx

=−+显然恒成立，此时()hx单增，所以()()10hxh=，也满足题意；当2a时，由()()()2222101xaxhxxx+−+==+得()22210xax+−+=，()22224484(2)0aaaaa=−−=−=−，所以方程()22210xax+−+=必有两

不等实根，不妨设为21xx，由根与系数关系，211xx=，所以方程()22210xax+−+=在(1,)+有唯一根1x，即()0hx=在(1,)+有唯一根1x，所以易得：()hx在()11,x单减，()1,x+单增，则()()10hxh=，与题意

矛盾，不成立；综上，2a.【点睛】本题主要考查由函数的切线过某点求参数，以及由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.22.一支担负勘探任务的队伍有若干个勘

探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为()00.4aa.每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影

响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为.(1)证明：在各个取值对应的概率中，概率()1P=的值最大；(2)在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发.现在有三个勘探小组(1,2,3)iA

i=可派出，若小组iA能完成特殊任务的概率t；()()1,2,3itPii===，且各个小组能否完成任务相互独立.试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小.【答案】(1)证明见解析；(2)按照完成任务概率从大

到小的123,,AAA的先后顺序派出勘探小组.【解析】【分析】(1)由已知，的所有可能取值为0，1，2，3，再根据独立事件的概率计算出取不同值对应的概率，再做差比较即可判断；(2)先根据(1)中的结论比较(2)P=和(3)P=

的大小，可得123ttt，故而可猜想出结论，再进行证明即可.【详解】(1)由已知，的所有可能取值为0，1，2，3，22(0)(10.6)(1)0.4(1)Paa==−−=−，212(1)0.6(1)(10.6)(1)0.2(1)(3)PaCa

aaa==−+−−=−+，122(2)0.6(1)(10.6)0.4(32)PCaaaaa==−+−=−，2(3)0.6Pa==.∵00.4a，∴(1)(0)0.2(1)(13)0PPaa=−==−+，()2(1

)(2)0.23830PPaa=−==−+，()2(1)(3)0.24230PPaa=−==−+−，∴概率(1)P=)的值最大.(2)由(1)可知，当00.4a时，有1(1)tP==

的值最大，且23(2)(3)0.2(67)0ttPPaa−==−==−，∴123ttt.∴应当以123,,AAA的顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小，即优先派出完成任务概率大的小组可减

少所需派出的小组个数的均值.证明如下：假定123,,ppp为()123123,,tttttt的任意一个排列，即若三个小组(1,2,3)iAi=按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次

为123,,ppp，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为，则1,2,3=，且的分布列为123P1p()121pp−()()1211pp−−∴数学期望()()()112121212()2131132Eppppppp

pp=+−+−−=−−+.下面证明12121212()3232Epppptttt=−−+−−+…成立，∵()()121212123232pppptttt−−+−−−+()()11221212121

22tptpppptpttt=−+−+−+−()()()()11221222112tptpppttpt=−+−+−+−()()()()21112221ttpptp=−−+−−()()()()11112211ptpptp−−+−−…()()()1121210pttpp=−+−+

….∴按照完成任务概率从大到小的123,,AAA的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小.【点睛】本题考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，以及期望的实际应用，考查学生对数据的分析能力和运算能力.