【文档说明】新教材高二数学第二学期期末试卷七（原卷版+教师版）.doc，共(20)页，560.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高二数学第二学期期末试卷一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分).1.已知复数z满足()i11iz+=−(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数z为()A.2i−−B.2i−+C.2i−D.2i+2.(x2+2)(x﹣1)10的展开式中的常数项为()A.8B.4C.3D.23.设随机

变量X，Y满足：Y＝3X﹣1，X～B123，，则V(Y)＝()A.4B.5C.6D.74.袋中装有4个红球和2个蓝球，不放回地依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率是()A.13B.15C.

23D.255.6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念.若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有()A.240B.192C.120D.966.函数f(x)＝ln||xx的图象大致为()A.B.C.D.7.如图，

洛书(古称龟书)，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数

之和为偶数的概率为()A.121B.1021C.1121D.5428.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，()()fxfx，则()A.f(4)＞ef(3)B.f(﹣4)＞e2f(﹣2)C.e2f(4)＜f(2)D.ef(﹣4)＞f(﹣3)二、选择题：本题共4小题，每

小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0.9.若直线12yxb=+是函数()fx图像的一条切线，则函数()fx可以是()A.1()fxx=B.4()fxx=C.()sinfxx=D.(

)xfxe=10.设1z、2z为复数，则下列说法正确的是()A.若22120zz+=，则120zz==B.1212zzzz=C.1212zzzz=D.若12=zz，则12=zz11.在一次满分为150分的数学测

试中，某校共有800名学生参加，学生的成绩X服从正态分布N(110，100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是()附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ﹣σ＜ξ＜μ+σ)＝0.6826，P(μ﹣2σ＜ξ

＜μ+2σ)＝0.9544，P(μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ)＝0.9974.A.该校学生数学成绩的期望为110B.该校学生数学成绩的标准差为100C.该校数学成绩140分以上的人数大于5D.该校数学成绩及格率超过0.97

12.中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排六节课，则下列说法正确的是()A.某学生从中选3门学习，共有20种选

法B.“礼”和“射”不相邻，共有400种选法C.“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有504种选法D.“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种选法二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.写出一个使得z﹣z4＝0成立的虚

数z＝__________________.14.甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，08.若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为_______.15.设a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a能被17整除，则a的值为_____.16.在18世纪，法国著名数

学家拉格日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数f(x)区间[a，b]上连续不断，在开区间(a，b)内可导(存在导函数)，在区间(a，b)内至少存在一个点x0∈(a，b)，使得f(b)﹣f(a)＝0()fx(b﹣a)

，则x＝x0称为函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的中值点，则关于x的f(x)＝ex+mx在区间[﹣1，1]上的中值点x0的值为__________________.四、解答题：本题共6小题，共70

分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.在3nxx+的二项展开式中，二项式系数之和为64.(1)求正整数n的值；(2)求23nxx+的二项展开式中二项式系数最大的项.18.在①曲线y＝f(x)在点11,22f处的切线与y轴垂

直，②f(x)的导数()yfx=的最小值为﹣34，③函数f(x)在区间11,22−上是减函数，在区间11,,,22−−+上是增函数.这三个条件中任选一个补充在

横线上，并回答下面问题.已知函数f(x)＝x3+ax+b，且满足____.(1)求a值；(2)若函数y＝f(x)在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值的和为7，求b值.19.为了调查某地区中学生是否喜欢踢足球，用简单随机抽样的方法从该地区调查了50

0名学生，调查结果如下：性别是否喜欢踢足球男女总计喜欢踢足球40y70不喜欢踢足球x270z总计500(1)求x，y，z的值；(2)能否有99%的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关？附：X2＝2()()()()()nadbcabcdacbd−++++.P(X2≥x

0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001x02.0722.0763.8415.0246.6357.87910.82820.欧拉(1707﹣1783)，他是数学史上最多产的数

学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1＝0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个

超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eiθ＝cosθ+isinθ，解决以下问题：(1)将复数ii4ee+写成a+bi(a，b∈R，i为虚数单位)的

形式；(2)求ii||ee−(θ∈R)的最大值.21.甲乙丙三人进行兵兵球练习赛，约定练习赛规则如下：比赛前抽签决定先比赛的两个人，另一个人做裁判，每场比赛结束时，胜的一方在下一局与裁判进行比赛，

负的一方在下一局做裁判，每局比赛的结果都相互独立，每场比赛双方获胜的概率都是12，第一局通过抽签确定甲先当裁判.(1)求丙前4局都不做裁判的概率；(2)求第3局甲当裁判的概率；(3)记前4局乙当裁判的次数为X，求X的概率分布和数学期望.22.函数f(x)＝ex﹣2sinx﹣1，设函

数()()mxfx=.证明：(1)m(x)在区间,02−上存在唯一的极小值点；(2)f(x)在,2−上有且仅有两个零点.新教材高二数学第二学期期末试卷一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分).1.已知复数z满足()i11iz+=−(i为

虚数单位)，则复数z的共轭复数z为()A.2i−−B.2i−+C.2i−D.2i+【答案】B【解析】【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简可得2iz=−−，然后由共轭复数的定义得出答案即可．【详解】因为()i11iz+=−，所以21ii(1i)11iiiz−−+

===−−，所以2iz=−−，所以2iz=−+.故选：B.2.(x2+2)(x﹣1)10的展开式中的常数项为()A.8B.4C.3D.2【答案】D【解析】【分析】(x2+2)(x﹣1)10的展开式中的常数项等于(x﹣1)

10的展开式的常数项的2倍，所以先求出(x﹣1)10的展开式的通项公式，再求其常数项即可得答案【详解】解：因为二项式(x﹣1)10的展开式的通项公式为111010(1)rrrrTCx+−=−，令10﹣r＝0，解得r＝10，故(x2+2)(x﹣1)10的展开式常数项为2×1＝2，故

选：D.3.设随机变量X，Y满足：Y＝3X﹣1，X～B123，，则V(Y)＝()A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】【分析】根据二项分布的性质及方差的运算规则计算得出结果.【详解】解：因为X～

B(2，13)，则V(X)＝2×13×(1)13−＝49，又Y＝3X﹣1，所以V(Y)＝V(3X﹣1)＝24349=，所以选项A正确，选项BCD错误故选：A.4.袋中装有4个红球和2个蓝球，不放回地依次摸出两球，在第一次摸到红

球的条件下，第二次摸到蓝球的概率是()A.13B.15C.23D.25【答案】D【解析】【分析】由条件概率可计算得到答案.【详解】因为第一次摸到红球，所以还剩下3个红球和2个篮球，所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率是25.故选：D.5.6

名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念.若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有()A.240B.192C.120D.96【答案】B【解析】【分析】分步，老师站正中间，甲乙二人相邻在老师的两侧有4种可能站

法，然后其余4人全排列．【详解】解：共有7个人，老师在正中间，则老师左右各3人，所以甲乙相邻在老师左右共有4种情况满足，剩下4人全排即可，所以不同的排法共有4×2424AA＝192种，故选：B.6.函数f(x)＝ln||xx的图象大致为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】

根据函数解析式及奇偶性的定义判断()fx的奇偶性，再由(0,1)上ln||ln0xx=知()fx的大致图象.【详解】根据题意，()ln||xfxx=，其定义域为{|0xx且1}x，∴()()ln||xfxfxx−=

−=−，则()fx为奇函数，排除A、D，在区间(0,1)上，ln||ln0xx=，必有()0fx，排除B，故选：C.7.如图，洛书(古称龟书)，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白

圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为偶数的概率为()A.121B.1021C.1121D.542【答案】C【解析】【分析】利用组合计数原理可求得从九个数中随机选三个数的取法种数，并求出所取的三个数之

和为偶数的取法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意，四个阴数为4个偶数，2，4，6，8，五个阳数为5个奇数，1，3，5，7，9，所以基本事件的个数共有3984C=个，选取的3个数之和为偶数，则有32145444CCC+=个，故所求的概率

为4484＝1121.故选：C.8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，()()fxfx，则()A.f(4)＞ef(3)B.f(﹣4)＞e2f(﹣2)C.e2f(4)＜f(2)D.ef

(﹣4)＞f(﹣3)【答案】B【解析】【分析】引入新函数F(x)＝()xfxe，由导数确定单调性后，利用单调性比较．【详解】解：f(x)是定义在R上的奇函数，令F(x)＝()xfxe，F′(x)＝()()xfxfxe−，因为当x＞0时，f′(x)＜f(

x)，所以F′(x)＜0，函数F(x)是减函数，所以F(4)＜F(3)，可得f(4)＜ef(3)，所以A不正确；F(4)＜F(2)，可得f(4)＜e2f(2)，所以C不正确；则﹣f(4)＞﹣e2f(2)，即f(﹣4)＞e2f(﹣2)，所以B

正确；f(4)＜ef(3)，﹣f(4)＞﹣ef(3)，可得f(﹣4)＞ef(﹣3)，所以D不正确；故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0.

9.若直线12yxb=+是函数()fx图像的一条切线，则函数()fx可以是()A.1()fxx=B.4()fxx=C.()sinfxx=D.()xfxe=【答案】BCD【解析】【分析】求得已知直线的斜率k，对选项中的函数分别求导，可令导数为k，解方程即可

判断结论【详解】解：直线12yxb=+的斜率为12k=，由1()fxx=的导数为'21()fxx=−，即切线的斜率小于0，故A不正确；由4()fxx=的导数为'3()4fxx=，而3142x=，解得12x=，故B正确；由()sinfxx=的导数为'()cosfxx=，而1co

s2x=有解，故C正确；由()xfxe=的导数为'()xfxe=，而12xe=，解得ln2x=−，故D正确，故选：BCD【点睛】此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题10.设1z、2z为复数，则下列说法正确的是()A.若22120zz+=

，则120zz==B.1212zzzz=C.1212zzzz=D.若12=zz，则12=zz【答案】BC【解析】【分析】利用特殊值法可判断AD选项的正误；利用复数的乘法运算以及复数的模长公式可判断B选

项的正误；利用复数的加减运算以及共轭复数的定义可判断C选项的正误.【详解】对于A选项，取11z=，2iz=，则22120zz+=，A错；对于B选项，设1izab=+，()2i,,,zcdabcdR=+，则()

()()()12iiizzabcdacbdadbc=++=−++，所以，()()()()2222222222222212zzacbdadbcacbdadbcabcd=−++=+++=++12zz=，B对；对于C选项，设1izab=+，()2i,,,zcdabcdR=

+，则1izab=−，2izcd=−，()()12izzacbd+=+++，则()()1212izzacbdzz+=+−+=+，()()12izzacbd−=−+−，则()()1212izzacbdzz−=−−−=−，故1212zzzz=，C对；对于

D选项，取11z=，2iz=，则12=zz，但12zz，D错.故选：BC.11.在一次满分为150分的数学测试中，某校共有800名学生参加，学生的成绩X服从正态分布N(110，100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是()附：随机变量ξ服

从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ﹣σ＜ξ＜μ+σ)＝0.6826，P(μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ)＝0.9544，P(μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ)＝0.9974.A.该校学生数学成绩的期望为110B.该校学生数学成绩的标准差为100C.该

校数学成绩140分以上的人数大于5D.该校数学成绩及格率超过0.97【答案】AD【解析】【分析】根据正态分布概念及其特殊区间的概率公式计算概率可得．【详解】解：因为生的成绩X服从正态分布N(110，100)，则该校学生数学成绩的期望为110，故选项A正确；该校学生数学成绩的标准差为10，

故选项B错误；该校数学成绩140分以上的概率为P＝1(80140)10.99740.001322P−−==，所以该校数学成绩140分以上的人数为0.0013×800≈1，故选项C错误；该校数学成绩及格率为(90130)0.5

0.97722P+=，故选项D正确.故选：AD.12.中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指

数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排六节课，则下列说法正确的是()A.某学生从中选3门学习，共有20种选法B.“礼”和“射”不相邻，共有400种选法C.“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最

后，共有504种选法D.“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有108种选法【答案】AC【解析】【分析】对于A，从6个中选3个，则有36C种；对于B，利用插空法求解；对于C，分两类求解，一是若“数”排在第一节，

二是若“数”不排在第一节，也不排在最后一节；对于D，分三类，利用捆绑法，①若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，②若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，③若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，然后利用分类加法原理求解【详解】解：对于A，某学生从中选3门学习，共有3620

C=种选法，故选项A正确；对于B，“礼”和“射”不相邻，则有4245480AA=种，故选项B错误；对于C，①若“数”排在第一节，则排法有55120A=种；②若“数”不排在第一节，也不排在最后一节，则排法有114444384CCA=种，所以

“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有120+384＝504种选法，故选项C正确；对于D，①若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，则有2323448AA=种；②若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，则有2

323336AA=种；③若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，则有2323336AA=种.所以“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有48+36+36＝120种选法，故选项D错误；故选：AC.二、填空题：本题共4小题，每小题

5分，共20分13.写出一个使得z﹣z4＝0成立的虚数z＝__________________.【答案】13i22−+或13i22−−【解析】【分析】直接解方程可得虚数z满足z3＝1(z≠1)，从而可求出答案【详解】解：要使z﹣z4＝0，需z＝z4，∴z＝0(舍去)，或z3＝1(z≠1)，∴z

＝cos23+isin23＝13i22−+，或z＝cos43+isin43＝13i22−−故答案为：13i22−+或13i22−−14.甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，08.若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为_______.【答案】0

.26【解析】【分析】两人同时独立射击，则恰有一人不中靶包括：甲中乙不中和甲不中乙中，利用独立事件的概率公式求解【详解】解：因为甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，08，所以恰有一人不中靶的概率为P＝0

.9×(1﹣0.8)+(1﹣0.9)×0.8＝0.18+0.08＝0.26.故答案为：0.26.15.设a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a能被17整除，则a的值为_____.【答案】13【解析】【分

析】化简得42021+a＝4×(01010C×171010﹣11010C×171009+21010C×171008﹣31010C×171007+…+10091010C×(﹣17)+1)+a，它除以17的余数为4×1+a，即得解.【详解】解：a∈Z，且0≤a≤16，若42021+a＝4×

161010+a＝4×(17﹣1)1010+a＝4×(01010C×171010﹣11010C×171009+21010C×171008﹣31010C×171007+…+10091010C×(﹣17)+1)+a，故它除以17的余数为4×1+a，由于它能被能被17整除，则a＝13

，故答案为：13.16.在18世纪，法国著名数学家拉格日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数f(x)区间[a，b]上连续不断，在开区间(a，b)内可导(存在导函数)，在区

间(a，b)内至少存在一个点x0∈(a，b)，使得f(b)﹣f(a)＝0()fx(b﹣a)，则x＝x0称为函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的中值点，则关于x的f(x)＝ex+mx在区间[﹣1，1]上的中值点x0的值为__________________.【答案】11ln()2ee−−【解析】

【分析】由拉格朗日中值定理可得0(1)(1)()1(1)fffx−−=−−,求导函数，代入计算即可得出结果.【详解】解：当x∈[﹣1，1]时，由拉格朗日中值定理可得10(1)(1)()()1(1)2ffememfx−−−+−−

==−−＝11()2eem−−−，∵f'(x)＝ex+m，∴011()2xemee−+=−+m，即011()2xeee−=−，∴101ln()2xee−=−.故答案为：11ln()2ee−−.四、解答题：

本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.在3nxx+的二项展开式中，二项式系数之和为64.(1)求正整数n的值；(2)求23nxx+的二项展开式中二项式系数最大的项.【答案】(1)6；(2)667123TC=

.【解析】【分析】(1)由二项式系数的性质求得n；(2)根据二项式系数性质得二项式系数最大的项的项数，再由二项式定理得结论．【详解】解：(1)∵在(x+3x)n的二项展开式中，二项式系数之和为2n＝64，∴n＝6.(2)(x+3x)2n

＝(x+3x)12的二项展开式中共13项，第7项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T7＝612C•36.18.在①曲线y＝f(x)在点11,22f处的切线与y轴垂直，②f(x)的导数()yfx=的最小值为﹣34，③函数f(x)在区间11,2

2−上是减函数，在区间11,,,22−−+上是增函数.这三个条件中任选一个补充在横线上，并回答下面问题.已知函数f(x)＝x3+ax+b，且满足____.(1)求a值；(2)若函数y＝f(x)在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值的和为7，求b

值.【答案】答案见解析.【解析】【分析】(1)选条件①，求出函数导数，由已知得102kf==切，即可求出a；选条件②：可得()fx最小值为a，即可求出；选条件③：可得1122,−是230xa+=的根，即可求出；(2)根据函数单调性得出最值，即

可建立关系求出b.【详解】解：选条件①：(1)2()3fxxa=+，所以切线斜率为1324fa=+，因为曲线()yfx=在点11,22f处的切线与y轴垂直，所以切线

斜率为0，即304a+=，解得34a=−，(2)33()4fxxxb=−+，则23()34fxx=−所以在1,22上，()0fx，()fx单调递增，在11,22−上，()0fx，()fx单调递

减，在11,2−−上，()0fx，()fx单调递增，31131122424fbb=−+=−+，31131122424fbb−=−++=+，31(1)1(1)44fbb−=−−−+=−+

，3313(2)2242fbb=−+=+，所以maxmin131(),()24fxbfxb=+=−+，若函数()yfx=在区间[1,2]−上的最大值与最小值的和为7，则1312527244bbb++−+=+=，解得38b=；选条件②：(1)

2()3fxxa=+，所以()fx最小值为a，()fxQ的导数()yfx=的最小值为34−，所以34a=−，(2)同①；选条件③：(1)2()3fxxa=+，因为函数()fx在区间11,22−上是减函数，在区间

11,,,22−−+∞∞上是增函数，所以1122,−是230xa+=的根，所以11223a−=，解得34a=−，(2)同①.19.为了调查某地区中学生是否喜欢踢足球，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500名学生

，调查结果如下：性别是否喜欢踢足球男女总计喜欢踢足球40y70不喜欢踢足球x270z总计500(1)求x，y，z的值；(2)能否有99%的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关？附：X2＝2()()()()()nad

bcabcdacbd−++++.P(X2≥x0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001x02.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)x＝160，y＝30，z＝

430；(2)有.【解析】【分析】(1)根据列联表直接计算x，y，z的值；(2)利用列联表中的数据和公式直接求X2，然后根据临界值表中数据得出结论即可【详解】解：(1)由列联表可得，y＝70﹣40＝30，z＝500﹣70＝430，所以x＝430﹣27

0＝160；(2)由列联表中的数据可得，X2＝2500(4027016030)9.9676.63570430200300−，所以有99%的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关.20.欧拉(1707﹣1783)，他是数学史上

最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1＝0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数

——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eiθ＝cosθ+isinθ，解决以下问题：(1)将复数ii4ee+写成a+bi

(a，b∈R，i为虚数单位)的形式；(2)求ii||ee−(θ∈R)的最大值.【答案】(1)221i22−+；(2)2.【解析】【分析】(1)利用欧拉公式将ii4ee+化为三角形式，进而根据特殊角的函数值写出其代数形式即可；(2)由欧拉公式及复数模的求

法，可得ii||22cosee+−=，进而可求其最大值.【详解】(1)ii4cosisin(cos221i22isin)44ee−++=+++=；(2)ii|||cosisin(cosisin)||(

1cos)isin|ee−=+−+=−−−22(1cos)sin=++＝22cos+，∴当cosθ＝1，即θ＝2kπ，k∈Z时，ii||ee−(θ∈R)的最大值为2.21.甲乙丙三人进行兵兵球练习赛，约定练习赛

规则如下：比赛前抽签决定先比赛的两个人，另一个人做裁判，每场比赛结束时，胜的一方在下一局与裁判进行比赛，负的一方在下一局做裁判，每局比赛的结果都相互独立，每场比赛双方获胜的概率都是12，第一局通过抽签确定甲先当裁判.(1)求丙前4局都不做裁判的概

率；(2)求第3局甲当裁判的概率；(3)记前4局乙当裁判的次数为X，求X的概率分布和数学期望.【答案】(1)18；(2)12；(3)分布列见解析，98.【解析】【分析】(1)计算丙前三局全部取胜，即丙

前4局都不做裁判的概率可得答案；(2)计算出乙当裁判的概率、丙当裁判的概率，由相互独立事件的概率乘法公式可得答案；(3)算出X的可能取值和对应的概率可得答案.【详解】(1)当丙前三局全部取胜，即丙前4局都不做裁判，∵每场比赛双

方获胜的概率都是12，∴丙前4局都不做裁判的概率为11112228=.(2)∵第二局中可能是乙当裁判，其概率为12，也可能是丙当裁判，其概率为12，∴第三局甲当裁判的概率为1111122222+=.(3)由题意X的可能的取值为0，1，2，1111(0)2228PX==

=，11111(1)()22222PX==+111115222228++=，111111(2)()222224PX==+=，∴()15190128848EX=++=.22.函数f

(x)＝ex﹣2sinx﹣1，设函数()()mxfx=.证明：(1)m(x)在区间,02−上存在唯一的极小值点；(2)f(x)在,2−上有且仅有两个零点.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)对函数

求导得到()mx，对()mx求导得到()mx，根据“增+增=增”的原则判断出()mx是增函数，然后对()mx的零点进行讨论，进而得出()mx的单调性，最后确定出极值点；(2)根据(1)的提示，将区间分为(),0,0,2−两部

分分别讨论，进而通过导数对()fx的单调性进行讨论，结合零点存在定理得到答案.【详解】证明：(1)当02x−时，f(x)＝ex﹣2sinx﹣1，()()mxfx=＝ex﹣2cosx，()mx＝ex+2sinx，()mx在(,0)2−上单调递增(增+增)，又2()e0,(0

)102mm−−=−=，所以()mx在(,0)2−上存在唯一零点x0，且当02xx−时，()mx＜0；当x0＜x＜0时，()mx＞0，故m(x)在0(,)2x−上单调递减，在(x0，0)上单调递增，故m(x)

在区间(,0)2−上存在唯一的极小值点x0.(2)当﹣02x时，由(1)可知m(x)在0(,)2x−上单调递减，在(x0，0)上单调递增，又20()0,(0)1,()(0)02memmxm−−==−，所以m(x)在(,0)2−上存在唯一的零点x1，其中10(,)2x

x−，当12xx−时，m(x)＞0；当x1＜x＜0时，m(x)＜0，所以f(x)在1(,)2x−上单调递增，在(x1，0)上单调递减，又2()10,(0)02fef−−=+=，所以f(x)＞0在(

,0)2−上恒成立，即f(x)在(,0)2−上不存在零点.∵f(0)＝0，所以x＝0是f(x)的一个零点.当0＜x＜π时，()mx＝ex+2sinx＞0，所以m(x)在(0，π)上单调递增，又m(0)＝﹣1＜0，m(π)＝eπ+2＞0，所以m(x)在(0，π)上存在唯一零点x2，当0＜

x＜x2时，m(x)＜0，当x2＜x＜π时，m(x)＞0，所以f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2，π)上单调递增，又f(0)＝0，f(π)＝eπ﹣1＞0，f(x2)＜f(0)＝0，所以f(x)在(x2，π)上存在唯一零点.综上所述，f(x)在(,)2−上有且仅

有两个零点.【点睛】本题难度很大，需要注意以下两个方面：①二次求导是为了确定导函数的单调性，再结合零点存在定理，进而得到导函数的符号，最后得到原函数的单调性；②特殊零点的作用有时候很大，因为我们无法求解超越函数的零点，于是需要代值验证，常见的有1，0，e等等.