【文档说明】新教材高二数学第二学期期末试卷四（原卷版+教师版）.doc，共(25)页，1.002 MB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高二数学第二学期期末试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集为R，集合02Axx=，1Bxx=，则()RAB=

IðA.01xxB.01xxC.12xxD.02xx2.若复数z满足()13i1iz+=−(i为虚数单位)，则z所对应的复平面内的点位于复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数()21xf+的定

义域为()3,5，则函数()21fx+的定义域为()A.()1,2B.()9,33C.()4,16D.()3,54.中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课

程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课相邻排课，则“六艺”课程讲座排课顺序共有()A.12种B.24种C.36种D.48种5.2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现——6个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要

文物.为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.2021年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的

68%，已知碳14的半衰期(放射性物质质量衰减一半所用的时间)是5730年，且属于指数型衰减.以此推算出该文物大致年代是()(参考数据：57300.5log1019034.7−，57300.5log6834881−)A.公元前

1400年到公元前1300年B.公元前1300年到公元前1200年C.公元前1200年到公元前1100年D.公元前1100年到公元前1000年6.在平行四边形ABCD中，113,2,,D,32ABADAPABAQA====uuuvuuuvuuuvuuuv若CPC

12,Q=uuuvuuuv则ADC=A.56B.34C.23D.27.在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N个学生(100m,Nm=N)，其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不

喜欢；女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N的最小值为()附22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，()2PKk…0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A.400B.300C.2

00D.1008.过抛物线2:2(0)Cypxp=焦点的直线与抛物线C交于,AB两点，其中||8AB=，ADDB=uuuruuur，圆225:02Cxyy+−=，若抛物线C与圆C交于,PQ两点，且||5PQ=，则点D的横坐标为()A.2B.

3C.4D.5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知数列na中，111,2,nnnaaanN

+==，则下列说法正确的是()A.44a=B.2na是等比数列C.12212nnnaa−−−=D.12122nnnaa+−+=10.已知函数()()sin06fxx=−在区间0,上恰能取到2次最大值，且最多有4个零点，则下列说法中正确的有(

)A.()fx在()0,上恰能取到2次最小值B.的取值范围为825,36C.()fx在0,6上一定有极值D.()fx在0,3上不单调11.已知偶函数()fx满足：(2)(

2)fxfx+=−，且当0≤x≤2时，()22xfx=−，则下列说法正确的是()A.－2≤x≤0时，1()22xfx=−B.点(1，0)是f(x)图象的一个对称中心C.f(x)在区间[－10，10]上有10个零点D.对任意12,xx，都有()

()122fxfx−„12.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则()A.该截角四面体一共有12条棱B.该截角四面体一共有8

个面C.该截角四面体的表面积为73D.该截角四面体的体积为23212三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积，则该圆柱底面半径与高的比值为________．14.

若12nxx−的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为______．(用数字作答)15.已知定义域为R的函数()fx恒满足()()()22fxfxfx+=−=，且()fx在()

0,1内单调递减，写出一个满足条件的函数解析式()fx=________．16.在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮，如果砂轮半径太大，则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多

．现有一工件，其截面内表面是一长轴长为4，离心率为12的椭圆，在对其内表面进行抛光时，所选用砂轮的半径最大为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在①3sincosacAaC=−，②(2)sin(2)sin2sinabAbaB

cC−+−=这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABCV的角ABC，，对边分别为,,,3abcc=，而且_____．(I)求C；(Ⅱ)求ABCV面积的最大值．18.已知等差数列na和等比数列nb满足，12a=，11b=，23ab=，342ab=−．(

1)求na和nb的通项公式；(2)若数列nc满足nnncab=，求nc的前n项之和nS．19.为做好精准扶贫工作，农科所经实地考察，发现某贫困村的土地适合种植药材A，村民可以通过种植药材A增加收入，达到脱

贫标准.通过大量考察研究得到如下统计数据：药材A的收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：年份20162017201820192020年份编号x12345单价y(元/公斤)1820232529药材A的亩产量在2020年的频率分布直方图如下：(1)若药材A的单价y(单位：元/公斤)与年份编号x间

具有线性相关关系，请求出y关于x的回归直线方程，并估计2021年药材A的单价；(2)利用上述频率分布直方图估计药材A的平均亩产量(同组数据以该数据所在区间的中点值为代表)；(3)称亩产量不高于390公斤的田地为“待改良田”，将频率视为概率，现农科所研究

员从这个村的地中随机选取3块面积为1亩的田地进行试验，记其中“待改良田”的个数为X，求随机变量X的数学期望.参考公式：回归直线方程ˆˆˆybxa=+，其中1221ˆniiiniixynxybxnx==−=−，ˆˆaybx=−.20.如图，ABCV是边长

为2的等边三角形，平面ACDE⊥平面ABC，且ACDCDEAE===，60ACD=，//DFBC,1DF=．(1)求证：//EF平面ABC；(2)求平面ABC与平面BEF所成锐二面角的余弦值．21.已知函数()()2e142.xfxmxxx=+−−−(1)

若1m=，试求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；(2)讨论()fx的单调性．22.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=上任一点到两个焦点12,FF的距离之和为42，短轴长为4.动点M在双曲线22142xy−=(顶点除外)上运动，直线1MF和2MF与椭圆E的交点

分别为AB、和CD、.(1)求椭圆E的方程；(2)证明：||||ABCD+为定值，并求出此定值.新教材高二数学第二学期期末试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集为R，集合02A

xx=，1Bxx=，则()RAB=IðA.01xxB.01xxC.12xxD.02xx【答案】B【解析】【详解】分析：由题意首先求得RCB，然后进行交集运算即可

求得最终结果.详解：由题意可得：|1RCBxx=，结合交集的定义可得：()01RACBx=I.本题选择B选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若复数z满足()13i1iz+=−(i为虚数单位)，则z所对应的复平面内的点

位于复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法法则计算得到12i55z=−−，得到答案.【详解】()13i1iz+=−，故()()()()1i13i1i24i12i13i13i13i

1055z−−−−−====−−++−，故对应点在第三象限.故选：C.3.已知函数()21xf+的定义域为()3,5，则函数()21fx+的定义域为()A.()1,2B.()9,33C.()4,16D.()3,5【答案】C【解

析】【分析】计算()219,33x+，根据抽象函数定义域得到92133x+，解得答案.【详解】当()3,5x时，()219,33x+，故92133x+，解得416x.故选：C.4.中国古代的“礼、乐、射、御、书、

数”合称“六艺”．某校国学社开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课相邻排课，则“六艺”课程讲座排课顺序共有()A.1

2种B.24种C.36种D.48种【答案】C【解析】【分析】先排“数”，然后排“射”和“御”，再排剩下的三门，由此计算出正确答案.【详解】先排“数”，然后排“射”和“御”，方法有()1226+=种，再排剩下的三门，方法数有336A=种，故总的方法数有6636=种

.故选：C5.2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现——6个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物.为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳

14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.2021年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的68%，已知碳14的半衰期(放射性物质质

量衰减一半所用的时间)是5730年，且属于指数型衰减.以此推算出该文物大致年代是()(参考数据：57300.5log1019034.7−，57300.5log6834881−)A.公元前1400年到公元前1300年B.公元前

1300年到公元前1200年C.公元前1200年到公元前1100年D.公元前1100年到公元前1000年【答案】C【解析】【分析】设样本中碳14初始值为k，衰减率为p，经过x年后，残留量为y，可得函数关系式()1xykp=−，根据半衰期可构造方程求得1p−

，由此得到函数关系式，根据()57300.568%xkk=可求得x，由此可推断出年代.【详解】设样本中碳14初始值为k，衰减率为p，经过x年后，残留量为y，则()1xykp=−，Q碳14的半衰期是5730年，()5730112kpk−

=，573010.5p−=，()57300.5xyk=；由()57300.568%xkk=得：()5730573057300.50.50.5log0.68log68log10034881219034.73

188x==−=−−−，2021年之前的3188年大致是公元前1167年，即大致年代为公元前1200年到公元前1100年之间.故选：C.6.在平行四边形ABCD中，113,2,,D,32ABADAPABAQA====uuuvuuuvuu

uvuuuv若CPC12,Q=uuuvuuuv则ADC=A.56B.34C.23D.2【答案】C【解析】【分析】由23CPCBBPADAB=+=−−uuuruuuruuuruuuruuur，12CQCD

DQABAD=+=−−uuuruuuruuuruuuruuur,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD=利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形ABCD中,3,2ABAD==,11,32APABAQAD==uuuruuu

ruuuruuur，23CPCBBPADAB=+=−−uuuruuuruuuruuuruuur，12CQCDDQABAD=+=−−uuuruuuruuuruuuruuur,因为12CPCQ=uuuruuur,所以2132CPCQADABABAD=−−

−−uuuruuuruuuruuuruuuruuur22214323ABADABAD=++uuuruuuruuuruuur222143232cos12323BAD=++=,1cos2BAD=，,3BAD=所以233ADC=−=，故选C.【点睛】本

题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量的运算有两种方法：(１)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差)；(２)三角形法则(两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和).7.在研究某高

中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N个学生(100m,Nm=N)，其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜

欢该学科有关，则可以推测N的最小值为()附22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，()2PKk…0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A.400B.300C.200D.100【答案】B【解析】【分析】根据

题目列出22列联表，再根据列联表的数据计算2K值，进而得到关于m的关系式，求解即可.【详解】由题可知，男女各50m人，列联表如下：喜欢不喜欢总计男30m20m50m女20m30m50m总计50m50m100m()22224100900400=450505050mmmKmm−=，Q有99

.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，410.828m，解得2.707m，mNQ，3m，min300N=.故选：B8.过抛物线2:2(0)Cypxp=焦点的直线与抛物线C交于,AB两点，其中||8AB=，ADDB=uuuruuur，圆225:02Cxyy

+−=，若抛物线C与圆C交于,PQ两点，且||5PQ=，则点D的横坐标为()A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】设(0,0),(,),0PQmnm，先求得(1,2)Q，因此可得抛物线C的方程为24yx=，设1122(,),(,)AxyBxy，由焦点弦长公

式得到126xx+=，进而得到点D的横坐标.【详解】易知圆C过原点，设(0,0),(,),0PQmnm，由||5PQ=，可得225mn+=，又2252mnn+=，联立可解得1,2mn==.将(1,2)Q代入22ypx=中，解得2

p=，抛物线C的方程为24yx=，设1122(,),(,)AxyBxy，则121212222ppABAFBFxxxxpxx=+=+++=++=++由8AB=可得126xx+=

.由ADDB=uuuruuur可知，点D是AB的中点，因此，点D的横坐标为1232xx+=.故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦长公式：若AB是过抛物线22(0)ypxp=焦点的弦，设1122(,),(

,)AxyBxy，则12ABxxp=++.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知数列na中，111,2,nnnaaanN

+==，则下列说法正确的是()A.44a=B.2na是等比数列C.12212nnnaa−−−=D.12122nnnaa+−+=【答案】ABC【解析】【分析】根据已知条件判断出数列na的奇数项和偶数项，分别是以2为公比的等比数列，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】依题意1*1

N1,2,nnnaaan+==，所以122aa=，则22a=，1122nnnaa+++=，11221222nnnnnnnnaaaaaa+++++==，所以数列na的奇数项和偶数项，分别是以2为公比的等比数列.111221222,122nnnnnnaa−−−−

====.所以2424a==，A、B正确.11221222nnnnnaa−−−−=−=，C正确.112212232nnnnnaa−−−+=+=，D错误.故选：ABC10.已知函数()()sin06fxx=−在区间0,上恰能

取到2次最大值，且最多有4个零点，则下列说法中正确的有()A.()fx在()0,上恰能取到2次最小值B.的取值范围为825,36C.()fx在0,6上一定有极值D.()fx在0,3上不单调【答案

】BD【解析】【分析】当0,x时，,666x−−−，然后由条件可得62−，46−，解出的范围，然后注意判断即可.【详解】当0,x时，,666x

−−−由函数()fx在区间0,上恰能取到2次最大值可得562−由()fx最多有4个零点可得46−，所以可得82536，故B正确，当83=时，()fx在()0,上只能取到1次最小值，故A

错误当0,6x时，,6666x−−−，当83=时，662−，()fx无极值，故C错误当0,3x时，,6636x−−−因为8363362−−，所以()fx在0,3

上不单调，故D正确故选：BD【点睛】方法点睛：在处理正弦型函数的有关问题时，常把x+当成整体处理.11.已知偶函数()fx满足：(2)(2)fxfx+=−，且当0≤x≤2时，()22xfx=−，则下列说

法正确的是()A.－2≤x≤0时，1()22xfx=−B.点(1，0)是f(x)图象的一个对称中心C.f(x)在区间[－10，10]上有10个零点D.对任意12,xx，都有()()122fxfx−„【答案】A

C【解析】【分析】由偶函数的定义得解析式，判断A，由[0,2]上的解析式判断B，已知条件得2x=是一条对称轴，这样函数()fx是周期函数，周期为4，利用周期性可判断零点个数，判断C，由最值判断D．【详解】因为()fx是偶函数，所以20x−

时，1()()2222xxfxfx−=−=−=−，A正确；在[0,2]上，()22xfx=−不关于(1,0)对称，因此(1,0)不是()fx的一个对称中心，B错；由220x−=得1x=，因此在[2,2]−上，()fx有两个零点，又(2)(2)fxfx+=−，所以2x=是

函数图象的一条对称轴，(4)(2(2))()()fxfxfxfx+=−+=−=，所以()fx是周期函数，周期为4，因此()fx在[10,6],[6,2],[2,6],[6,10]−−−−上各有2个零点，在[10,10]−上共有10个零点，C正确；由周期

性知2max()222fx=−=，0min()221fx=−=−，maxmin()()32fxfx−=，D错．故选：AC．【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性、对称性与周期性，解题关键是由两个对称性得出函数具有

周期性，因此只要在一个周期内确定函数的零点，从而可得函数的性质可得整个定义域上函数的性质．12.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三

等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则()A.该截角四面体一共有12条棱B.该截角四面体一共有8个面C.该截角四面体的表面积为73D.该截角四面体的体积为23212【答案】BCD【解析】【分析】确定截角四面体是由4个边长为1的正三角形

，4个边长为1的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积，体积即可判断选项.【详解】对于AB，可知截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，故该截角四面体一共有8个面，18条棱，故A错误，

B正确；对于C，边长为1的正三角形的面积13311224S==，边长为1的正六边形的面积1333611222S==，故该截角四面体的表面积为33344=7342S=+，故C正确；对于D，棱长为1的正四面体的高22361323h=−=

，利用等体积法可得该截角四面体的体积为13613633311232=4331122322312V−=，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的表面积及体积求法，解题的

关键是审清题意，清楚截角四面体的定义及构成，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于较难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积，则该圆柱底面半径与高的比值为________．【答案】1【解析】【分析】设圆柱底面半径为r，高为h，求出底面

积的侧面积，即可得结论．【详解】设圆柱底面半径为r，高为h，由题意222rrh=，所以rh=，即1rh=．故答案为：1．14.若12nxx−的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为______．(用数字

作答)【答案】358【解析】【分析】由二项式系数的性质，求出n，再写出二项展开式的通项，由通项中x的指数为0即可得解.【详解】12nxx−的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则由二项式系数性质知：展开式共有9项，则n=8，81()2xx−展开式的通项为8821881

1()()(,8)22rrrrrrrTCxCxrNrx−−+=−=−，展开式中常数项，必有820r−=，即4r=，所以展开式中常数项为44581135()702168TC=−==.故答案为：35815.已知定义域为R的函数()fx恒满足

()()()22fxfxfx+=−=，且()fx在()0,1内单调递减，写出一个满足条件的函数解析式()fx=________．【答案】cosx(答案不唯一)【解析】【分析】根据函数的对称性、周期性、单调性写出符

合题意的()fx.【详解】定义域为R的函数()fx恒满足()()()22fxfxfx+=−=，所以()fx的对称轴为1x=和2x=，且()fx是以2为周期的周期函数，结合()fx在()0,1内单调递减，可得()fx=cosx符合题意.故答案为：cosx(答案不唯一)16.在对表面为曲面的工件

进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮，如果砂轮半径太大，则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多．现有一工件，其截面内表面是一长轴长为4，离心率为12的椭圆，在对其内表面进行抛光时，所选用砂轮的半径最大为________．【答案】32##1.5【解析】【分析】根据实轴长和离心率得到椭圆方程为

22143xy+=，设圆方程为()2222xryr−++=，根据椭圆的圆相切得到0=，计算得到答案.【详解】24a=，2a=，离心率12cea==，故1c=，3b=，不妨设椭圆方程为：22143xy+=，设圆半径为r，椭圆与圆相切于左顶点或者右顶

点时r有最大值，圆方程为：()2222xryr−++=，联立方程：()222221432xyxryr+=−++=，消去y得到()21227404xrxr+−+−=，()()224274230rrr

=−−+=−=，解得32r=.故答案为：32.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在①3sincosacAaC=−，②(2)sin(2)sin2sinabAbaBcC−+−=这两个条件中任选一个，补充在下

列问题中，并解答．已知ABCV的角ABC，，对边分别为,,,3abcc=，而且_____．(I)求C；(Ⅱ)求ABCV面积的最大值．【答案】(I)3；(Ⅱ)334【解析】【分析】(I)选①，先利用正

弦定理化简可得3sinAsinCsinAsinAcosC=−，进而得到31sinCcosC−=，结合C的范围即可求得3C=；选②，先利用正弦定理可得(2a﹣b)a+(2b﹣a)b＝2c2，再利用余弦定理可得12cosC=，

结合C的范围即可求得3C=；(Ⅱ)由余弦定理可得223abab+−=，再利用基本不等式可得3ab，进而求得△ABC面积的最大值．【详解】解：(I)选①，∵a3csinAacosc=−，∴3sinAsinCs

inAsinAcosC=−，∵sinA≠0，∴31sinCcosC−=，即162sinC−=，又0＜C＜π，∴5666C−−＜＜，故66C−=，即3C=；选②，∵(2a﹣b)sinA+(2b﹣a)sinB＝2csinC，∴(2a﹣b)a+(2b﹣a)b＝2

c2，即a2+b2﹣c2＝ab，∴222122abccosCab+−==，∵0＜C＜π，∴3C=；(Ⅱ)由(I)可知，3C=，在△ABC中，由余弦定理得222cos3ababC+−=，即223abab+−=，∴2232ababab+

=+∴3ab，当且仅当那个a＝b时取等号，∴11333sin32224ABCSabC==△，即△ABC面积的最大值为334．18.已知等差数列na和等比数列nb满足，12a=，11b=，23ab=，342ab=−．(1)求na和nb的通项公式；(2)若数列

nc满足nnncab=，求nc的前n项之和nS．【答案】(1)2nan=，12nnb−=(2)()1122nnSn+=−+【解析】【分析】(1)根据等差数列和等比数列公式得到方程组，解得答案.(2)计算2nncn=，利用错位相

减法计算得到答案.【小问1详解】23ab=，即22dq+=，342ab=−，即3222dq+=−，解得2q=，2d=，故()2122nann=+−=，11122nnnb−−==.【小问2详解】12

22nnnnncabnn−===，212222nnSn=+++，则231212222nnSn+=+++，两式相减得到：2111112122222222212nnnnnnnSnnn++++−−=+++−=−=−−−，

故()1122nnSn+=−+.19.为做好精准扶贫工作，农科所经实地考察，发现某贫困村的土地适合种植药材A，村民可以通过种植药材A增加收入，达到脱贫标准.通过大量考察研究得到如下统计数据：药材A的收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：年份

20162017201820192020年份编号x12345单价y(元/公斤)1820232529药材A的亩产量在2020年的频率分布直方图如下：(1)若药材A的单价y(单位：元/公斤)与年份编号x间具有线性相关关系，请求出y关于x的回归直线方程，并估计2021年药材A的单价；(2)利用上述频

率分布直方图估计药材A的平均亩产量(同组数据以该数据所在区间的中点值为代表)；(3)称亩产量不高于390公斤的田地为“待改良田”，将频率视为概率，现农科所研究员从这个村的地中随机选取3块面积为1亩的田地进行试验，记其中

“待改良田”的个数为X，求随机变量X的数学期望.参考公式：回归直线方程ˆˆˆybxa=+，其中1221ˆniiiniixynxybxnx==−=−，ˆˆaybx=−.【答案】(1)2.7149ˆ.y

x=+，单价为31.1元/公斤；(2)401公斤；(3)0.9.【解析】【分析】(1)先求出年号x，单价y的平均数，利用最小二乘法得回归直线方程，再由此预测得解；(2)求出频率分布直方图中各组的频率，再求出它与所对各组区间中点值的积而得解；(3)随机变量X服从二项分布，

由二项分布的期望公式求解即得.【详解】(1)3x=，23y=，51522222222151182203234255295323ˆ2.712345535iiiiixyxybxx==−++++−===++++−−

，ˆˆ232.7314.9aybx=−=−=，故回归直线方程为2.7149ˆ.yx=+，当6x=时，ˆ31.1y=，从而2021年药材A的单价估计为31.1元/公斤；(2)组距为20，自左向右各组的频率依次为0.1，0.2，0.3

5，0.25，0.1，则A药材的平均亩产量为3600.13800.24000.354200.254400.1401++++=公斤；(3)称亩产量不高于390公斤的频率为0.3，由此估计称亩产量不高于390公斤的概率为

0.3，因3块地中，任取一块地有“待改良田”和非“待改良田”两个不同结果，则随机变量()3,0.3XB:，故数学期望()30.30.9EX==.20.如图，ABCV是边长为2的等边三角形，平面ACDE⊥

平面ABC，且ACDCDEAE===，60ACD=，//DFBC,1DF=．(1)求证：//EF平面ABC；(2)求平面ABC与平面BEF所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)1313．【解析】【分

析】(1)根据四边形ACDE是菱形，得到//ACDE，证得//DE平面ABC，再由//DFBC，证得//DF平面ABC，进而得到平面//DEF平面ABC，即可证得//EF平面ABC；(2)取AC中点O，连接OB，OD，分别以OB，OC，CD所在直线为x轴、y轴、z轴

建立空间坐标系，求得平面BEF和ABC的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】(1)因为ACDCDEAE===，所以四边形ACDE是菱形，所以//ACDE，且DE平面ABC，所以//DE平面ABC．又因为//DFBC

，DF平面ABC，所以//DF平面ABC，因为DFDED=I，且,DFDE平面DEF，所以平面//DEF平面ABC，又因为EF平面DEF，所以//EF平面ABC．(2)取AC中点O，连接OB，OD，分别以OB，OC，CD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，如图所

示，则(3,0,0),(0,0,3),(0,1,0)BDC，可得(3,1,0)CB=−uuur，由131,,0222DFCB==−uuuruuur，可得31,,322F−，又由(0,2,0)DECA==−uuuruuur，可得(0,2,3)E

−，所以33(3,2,3),,,022BEEF=−−=uuuruuur，设平面BEF的法向量为(,,)nxyz=r，则00EFnBEn==uuuvvuuuvv，可得323033022xyzxy−−+=+=，取3x=，则1

y=−，所以33,1,3n=−r，又由平面ABC的一个法向量为(0,0,1)m=ur，所以3133cos,131313mn==rr，所以平面ABC与平面BEF所成锐二面角的余弦值为1313

．【点睛】利用空间向量计算二面角的常用方法：1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；2、方向向量法：分别在

二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.21.已知函数()()2e142.xfxmxxx=+−−−(1)若1m=，试求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；(2)讨论()fx的单调性．【答案】(1)21

yx=−−(2)答案见解析【解析】【分析】(1)求导得到导函数，计算()02f=−，()01f=−，得到切线方程.(2)求导得到()()()2e2xfxxm+−=，考虑0m，202em，22em=，22em四种

情况，根据导数的正负得到函数的单调性.【小问1详解】()()2e142xfxxxx=+−−−，()()e224xfxxx=+−−，()2204f=−=−，()01f=−，故切线方程为：21yx=−−.【小问2详解】()()2e142xfxmxxx=+−−−，故()()()()e

2242e2xxfxmxxxm=+=+−−−，当0m时，2e0xm−，当2x−时，()0fx，当2x−时，()0fx，故函数在(),2−−上单调递增，在()2,−+上单调递减；当0m时，2e0xm−=得到2lnxm=，当22

em时，2ln2m−，当2,lnxm−和()2,x−+时，()0fx，函数单调递增，当x2ln,2m−，时，()0fx，函数单调递减；当22em=时，2ln2m=−，()0fx恒成立，函数在R单调递增；当

22em时，2ln2m−，当(),2x−−和2ln,xm+时，()0fx，函数单调递增，当x22,lnm−时，()0fx，函数单调递减；综上所述：当0m时，函数在(),2−−上

单调递增，在()2,−+上单调递减；当202em时，函数在(),2−−和2ln,m+上单调递增，在22,lnm−上单调递减；当22em=时，函数在R上单调递增；当22em时，函数在2,lnm−和()2,−+上单调递增，在2l

n,2m−上单调递减.22.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=上任一点到两个焦点12,FF的距离之和为42，短轴长为4.动点M在双曲线22142xy−=(顶点除外)上运动，直线1MF和2MF与椭圆E的交点分别为AB、和CD、.(1)求椭圆E

的方程；(2)证明：||||ABCD+为定值，并求出此定值.【答案】(1)22184xy+=；(2)证明见解析，62【解析】【分析】(1)根据题意得242a=，24b=，进而得答案；(2)由题设()()000,2Mxyx，故1212MFMFkk=，进而设直线1MF的方程为2xmy=−，直线2

MF的方程为2xny=+，且2mn=，再联立方程，结合弦长公式得()224212mABm+=+，()224212nCDn+=+，再化简整理即可得答案.【详解】解：(1)由题意可知242a=，24b=，

则22a=，2b=，椭圆E的方程为22184xy+=(2)设()()000,2Mxyx，则2200142xy−=，由题意椭圆E的两个焦点1F，2F刚好是双曲线的两个顶点，不妨取()12,0F−，()22,

0F，则()12220000220000141222442MFMFxyyykkxxxx−====+−−−.故设直线1MF的方程为2xmy=−，直线2MF的方程为2xny=+，则12112MFMFkkmn==，2mn=，联立()222222440

28xmymymyxy=−+−−=+=设()11,Axy，()22,Bxy，12242myym+=+，12242yym=−+()()2222122222421161611222mmABmyymmmm+=+−=++=+++，同理()

224212nCDn+=+，()()22222222222242142123344222224mnmnmnABCDmnmnmn++++++=+=+++++2222331234242622282mnmn

++===++ABCD+为定值，且定值为62.【点睛】本题考查椭圆的方程求解，椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于发现12112MFMFkkmn==，进而设出直线1MF的方程为2xmy=−，直线2MF的方程为2xny=+，与椭圆联立，

并结合弦长公式计算得()224212mABm+=+，()224212nCDn+=+，再化简整理即可求解.