【文档说明】新教材高二数学第二学期期末试卷二（原卷版+教师版）.doc，共(26)页，1.440 MB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-257647.html

以下为本文档部分文字说明：

新教材高二数学第二学期期末试卷一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)．1.已知集合251,4AxxBxx=−=则AB=I()A.()2,3B.)2,3C.)2,1−D.()2,1−2.已知i为虚数单位，若复

数31izi−=+,则||z=A.1B.2C.2D.53.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，p：mn⊥，若p是q的必要条件，则q可能是()A.q：m⊥，//n，⊥B.q：m，n⊥，//

C.q：m⊥，n⊥，//D.q：m，//n，⊥4.下图上半部分为一个油桃园.每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地C处销售.路径1：先集中到A处，再沿公路AC运送；路径2：先集中到B处，再沿公路BC运送.园主在果园中画

定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至C处所走路程一样远.已知3kmAC=，4kmBC=，若这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为()A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线5.设X为随机变量，且1:,3XBn，若随机变量X的方差()43DX=，则()2P

X==A.4729B.16C.20243D.802436.东莞市同沙生态公园水绕山环，峰峦叠嶂，是一个天生丽质，融山水生态与人文景观为一体的新型公园．现有甲乙两位游客慕名来到同沙生态公园旅游，分别准备从映翠湖、十里河塘、计生雕塑园和鹭鸟天堂

4个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩．记事件A：甲和乙至少一人选择映翠湖，事件B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率()PBA=()A.716B.78C.67D.377.已知函数()yfx=为R上的偶

函数，且对于任意的0,2x满足'()cos()sin0fxxfxx+，则下列不等式成立的是()A.336ffB.(0)24ff−C.243ff−D.336ff−−−

8.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”.如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为12，底面矩形的长与宽之比为5:3，则正脊与斜脊长度的比值为()A.35B.89C.91

0D.1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.将曲线1C：sinyx=上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不

变，再把得到的曲线向左平移6个单位长度，得到曲线2C：()yfx=，则下列结论正确的是()A.()sin26fxx=+B.512x=−为一条对称轴C.()fx在0,2上有4个零点D.()fx在,36−上单调递增10.如

图，在棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，P为11AD的中点，Q为11AB上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中是定值的是()A.点P到平面QEF的距离B.直线PQ与平面PEF所成的角C.三棱锥PQEF−的体积D.QEF△的面积1

1.设随机变量的分布列如表：123…20202021P1a2a3a…2020a2021a则下列说法正确的是()A.当na为等差数列时，2202022021aa+=B.数列na的通项公式可能为20222021(1)nann=+C.当数列na满足1(1,2,,2020

)2nnan==L时，2021202112a=D.当数列na满足2()(1,2,,2021)kPkkak==时，1(1)(1)(2)nnnanna−+−=12.2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo．设计师的灵感来源于曲线:1nnCxy

+=．则下列说法正确的是()A.曲线C关于原点成中心对称B.当2n=−时，曲线C上的点到原点的距离的最小值为2C.当0n时，曲线C所围成图形的面积的最小值为D.当0n时，曲线C所围成图形的面积小于4三

、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员至少有一名女生的选法有___种．14.在6212xx−的展开式中含3x的项系数为________

.15.已知双曲线E：22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，点A在双曲线E的左支上，且12120FAF=，213AFAF=，则双曲线E的离心率为__________．16.若存

在()01,2x−，满足001ln23xaxa+−，则实数a的取值范围为________.四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

()3sincos3AAcb=+．(1)求B；(2)若3b=，求ABCV周长的最大值．18.已知首项为2的数列{}na中，前n项和nS满足()2nStnntR=+．(1)求实数t的值及数列{}na的通项公式na；(2)将①11nnnbaa+=，②2nannba=+，③2n

annba=三个条件任选一个补充在题中，求数列{}nb的前n项和nT．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19.如图，三棱柱111ABCABC−中，平面11AACC⊥平面ABC，ABCV和1AACV都是正三角形，D是AB的中点．(1)求

证：1//BC平面1ADC；(2)求二面角11ADCC−−的余弦值．20.2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，决定在2021年体育中考中再增加定的分数，规定：考生须参加游泳、长跑、一分钟跳绳三项测试，

其中一分钟跳绳满分20分，某校在初三上学期开始要掌握全年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如图所示频率分布直方图，且规定计分规则如下表：每分钟跳绳个数[155,165)165,[175)175,[185)[185,)+得分17181920(1)现从样本的100名学生

中任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；(2)根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，整体成绩差异略有变化．假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三

上学期开始时个数增加10个，方差为169，且该校初三年级所有学生正式测试时每分钟的跳绳个数X服从正态分布()2,N，用样本数据的期望和方差估计总体的期望和方差(各组数据用区间的中点值代替)．①若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195

个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望；②判断该校初三年级所有学生正式测试时的满分率是否能达到85%，说明理由．附：若随机变量X服从正态分布()2,N，则()0.6826PX−+=

，(22)0.9544,(33)0.9974PXPX−+=−+=．21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：()222210xyabab+=的长轴长为4，且经过点31,2Q

.A为左顶点，B为下顶点，椭圆上的点P在第一象限，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D.(1)求椭圆的标准方程；(2)若20OBOC+=uuuruuurr，求线段AP的长；(3)试问：四边形ABDC的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.已知函数ln()xfxx=．(1

)判断()fx的单调性，并比较20212020与20202021的大小；(2)若函数2()(2)(2()1)2agxxxfx=−+−，其中122ea，判断()gx的零点的个数，并说明理由．参考数据：ln20.693．新教材高二数学第

二学期期末试卷一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)．1.已知集合251,4AxxBxx=−=则AB=I()A.()2,3B.)2,3C.)2,1−D.()2,1−【答案】C【解析】【分析】解出

集合B的解集，按照交集定义求得交集即可.【详解】24[2,2]Bxx==−，则[2,1)AB=−故选：C2.已知i为虚数单位，若复数31izi−=+,则||z=A.1B.2C.2D.5【答案】D【解析】【分析】运用复数除法的运算法化简复数z，再根据复数模的计算公式，

求出||z，最后选出答案.【详解】因为3(3)(1)121(1)(1)iiiziiii−−−===−++−，所以22||1(2)5z=+−=，故本题选D.【点睛】本题考查了复数的除法运算法则和复数求

模公式，考查了数学运算能力.3.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，p：mn⊥，若p是q的必要条件，则q可能是()A.q：m⊥，//n，⊥B.q：m，n⊥，//C.q：m⊥，n⊥，

//D.q：m，//n，⊥【答案】B【解析】【分析】根据线面平行与垂直的判定与性质判断即可.【详解】由题知q能推出p：mn⊥.对A,当//mn时仍然可以有m⊥,//n,⊥.故A错误.对B,n⊥,/

/则n⊥,又m,则mn⊥.故B正确.对C,m⊥,//则m⊥,又n⊥,故//mn.故C错误.对D,当⊥且相交于m时,若//nm也满足m,//n.故D错误.故选：B【点睛】本题主要考查了空间中线面平行与垂直的判定与性质,属于基础题型.4.下图上半部分为一个油桃园.

每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地C处销售.路径1：先集中到A处，再沿公路AC运送；路径2：先集中到B处，再沿公路BC运送.园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至C处所走路程一样远.已知3kmA

C=，4kmBC=，若这条界线是曲线E的一部分，则曲线E为()A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线【答案】D【解析】【分析】根据题意得到APBPBCAC−=−，进而得到1APBP−=，结合双曲线的定义，即

可求解.【详解】由题意，从界线上的点P出发，经A到C与经B到C，所走的路程是一样的，即APACBPBC+=+，所以APBPBCAC−=−，又由4,3BCAC==，所以431APBP−=−=，又由5AB=，根据双曲线的定义可知曲线E为双曲线的一部分

.故选：D.5.设X为随机变量，且1:,3XBn，若随机变量X的方差()43DX=，则()2PX==A.4729B.16C.20243D.80243【答案】D【解析】【详解】随机变量X满足二项分布，所以1224(),3393Dxnpqnn====n=6,

所以224612(2)()()33PXC===80243，选D.6.东莞市同沙生态公园水绕山环，峰峦叠嶂，是一个天生丽质，融山水生态与人文景观为一体的新型公园．现有甲乙两位游客慕名来到同沙生态公园旅游，分别准备从映翠湖、十里河塘、计生雕塑园和鹭鸟天堂4个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩．记事件A

：甲和乙至少一人选择映翠湖，事件B：甲和乙选择的景点不同，则条件概率()PBA=()A.716B.78C.67D.37【答案】C【解析】【分析】分别求出事件A，事件B对应基本事件的个数，再结合条件概率公式即可解得.【详解】甲和乙至少一人选择映翠湖对应

的基本事件有44337−=个，∵甲和乙选择的景点不同对应的基本事件有11236CC=个，∴()67PBA=．故选：C.7.已知函数()yfx=为R上的偶函数，且对于任意的0,2x满足'()cos()sin0fxxfxx+，则下列不等式成立

的是()A.336ffB.(0)24ff−C.243ff−D.336ff−−−【答案】B【解析】【分析】令()()cosfxgxx=，依题意知()gx为偶

函数，且在区间0,2上是减函数，再由(0)64433gggggg=−=−，结合条件分别判断四个选项即可．【详解】解：偶函数()yfx=对于任意的0,2x满足'()cos

()sin0fxxfxx+，令()()cosfxgxx=，则()()()()cos()cosfxfxgxgxxx−−===−，即()gx为偶函数．又2'()cos()sin'()0cosfxxfxxgxx+=，故()gx在区间0,2上是减函数，所以(0)6443

3gggggg=−=−，即(0)4(0)22cos044cos4fffff===−，故B正确；63336c

oscos63ffff，故A错误；433243coscoscos433fffff−

=−−，故C错误；6633336coscoscoscos6363ffffff−−==−

−−−，故D错误；故选：B．【点睛】关键点睛：根据导函数不等式构成函数，利用函数的单调性进行判断是解题的关键.8.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”.如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等

，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为12，底面矩形的长与宽之比为5:3，则正脊与斜脊长度的比值为()A.35B.89C.910D.1【答案】B【解析】【分析】取幄帐顶部，如图几何体ABCDEF−，作FO⊥平面ABCD，垂足为O，则O到边,ABCD的距离相等，作FMA

B⊥于M，FNBC⊥于N，得FNO是二面角FBCO−−的平面角，FMO是二面角FABO−−的平面角，因此有1tantan2FNOFMO==，设5,3ABaBCa==，用a表示出,EFFB，即可得比值．【详解】取幄帐顶部，如图几何体ABCDEF−，作FO⊥平面A

BCD，垂足为O，则O到边,ABCD的距离相等，由FO⊥平面ABCD，BC平面ABCD，得FOBC⊥，同理FOOB⊥．作FMAB⊥于M，FNBC⊥于N，因为FOFNF=I，,FOFN平面FON，所以BC⊥平面FON，而ON平面FON，所以BCON⊥，所

以FNO是二面角FBCO−−的平面角，同理FMO是二面角FABO−−的平面角，OMAB⊥，由已知1tantan2FNOFMO==，由:5:3ABBC=，设5,3ABaBCa==，则32MOa=，所以313tan224FOMOFMOaa===，由1tan2FOFNOON==得，

32ONa=，则35222EFaaa=−=，由上知OMBN是正方形，3222OBOMa==，22223329424FBFOOBaaa=+=+=，所以28994EFaFBa==．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查由

二面角计算线段长，考查学生的空间想象能力．解题是作出各斜坡面与底面所成二面角的平面角，利用它们的正切值均为12，并设出底面矩形边长后，用底面矩形边长表示出正脊与斜脊的长度，从而得比值．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出

的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.将曲线1C：sinyx=上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移6个单位长度，得到曲线2C：()yfx=，则下列结论正确的是()A.()sin26fxx

=+B.512x=−为一条对称轴C.()fx在0,2上有4个零点D.()fx在,36−上单调递增【答案】BC【解析】【分析】由题意利用函数()sinyAωxφ=+的图象变换规律，得到(

)fx的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【详解】解：将曲线1C：sinyx=上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得sin2yx=的图象，再把得到的曲线向左平移6个单位长度，得到曲线2C：

()sin23yfxx==+，故A错误；令512x=−，求得()1fx=−，为最小值，故512x=−是()fx的图象的一条对称轴，故B正确；在0,2上，132,333x+，()fx有4个零点，故C正确；在,

36−上，22,333x+−，函数()fx没有单调性，故D错误，故选：BC．10.如图，在棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，P为11AD的中点，Q为11AB上任意一点，E

、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中是定值的是()A.点P到平面QEF的距离B.直线PQ与平面PEF所成的角C.三棱锥PQEF−的体积D.QEF△的面积【答案】ACD【解析】【分析】由Q为11AB上任意一点，知平面QEF是确

定，从而判断A，而11//ABCD，因此11AB与平面PCD平行，根据直线与平面所成的角的定义可判断B，由棱锥体积公式和三角形面积公式可判断CD．【详解】平面QEF就是平面11ABCD，是确定的平面，因此点P到平面

QEF的距离为定值，A正确；平面PEF即平面PCD，而Q在直线11AB上，11//ABCD，因此11AB与平面PCD平行，Q到平面PEF的距离为定值，但Q运动时，PQ的长度在变化，因此直线PQ与平面PEF所成的角也在变化，B错误；P点到直线CD的距离是确定，而EF的长度不变，因此PEFS△为定值，

又Q到平面PEF的距离为定值，从而三棱锥PQEF−的体积为定值，C正确；11//ABCD，Q到EF的距离为定值，EF的长度不变，∴QEF△的面积为定值，D正确．故选：ACD．【点睛】关键点点睛：本题考查点到平面的距离，

直线与平面所成的角，棱锥的体积等知识，解题关键是抓住11//ABCD，由此得平面QEF是确定的平面，再结合定点和定长，从而确定各选项中的定值．11.设随机变量的分布列如表：123…20202021P1a2a3a…2020a2021a则下列说法正确的是()

A.当na为等差数列时，2202022021aa+=B.数列na的通项公式可能为20222021(1)nann=+C.当数列na满足1(1,2,,2020)2nnan==L时，2021202112a=

D.当数列na满足2()(1,2,,2021)kPkkak==时，1(1)(1)(2)nnnanna−+−=【答案】ABD【解析】【分析】由等差数列的求和公式判断选项A；由裂项相消法结合概率之

和等于1判断选项B；根据等比数列的求和公式结合概率之和等于1，即可判断选项C；利用前n项和与通项的关系，即可判断选项D．【详解】解：对于A，因为na为等差数列，所以()120212021202112aaS+==，则有220201202122021aaaa+=+

=，故A正确；对于B，若数列na的通项公式为20222022112021(1)20211nannnn==−++，则20212022111112022111120212232021202220212022S

=−+−++−=−=，故B正确；对于C，因为12nna=，所以20202021202120212020111122111212Saa−=+=−+=−，则有2021202

012a=，故C错误；对于D，令()2kkSPkka==，则()221111kkkkaSSkakak+++=−=+−，故12kkakak+=+，所以11(2)1nnannan−−=+，即1(1)(1)(2)nnnanna−+−=

，故D正确．故选：ABD．12.2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo．设计师的灵感来源于曲线:1nnCxy+=．则下列说法正确的是()A.曲线C关于原点成中心对称B.当2n=−时，曲线C上的点到原点的距离的最小值为2C

.当0n时，曲线C所围成图形的面积的最小值为D.当0n时，曲线C所围成图形的面积小于4【答案】ABD【解析】【分析】根据曲线与方程的关系，利用方程研究曲线的性质，逐项分析即可求解.【详解】因为用(,)xy−−代替(,)xy仍有1nnxy+=成立，故曲线关于原点成中心对称，

A正确；当2n=−时，曲线22:1Cxy−−+=，即22111xy+=，设(,)Pxy为曲线上任意一点，2222222222222211()()2224yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=，当且仅当xy=

时等号成立，22min()2xy+=，即曲线C上的点到原点的距离的最小值为2，B正确；当1n=时，:1Cxy+=，曲线关于,xy轴对称，关于原点对称，当0,0xy时，可得1xy+=，与坐标轴围成三角形面积为111122S==，由对称性知曲线C所围成图形的面积为4

2S=，故C错误；当0n时，曲线C关于,xy轴对称，关于原点对称，当0,0xy时，1nnxy+=，所以01,01xy，故在第一象限部分的面积111S=,所以曲线C所围成图形的面积为44S，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据曲线的方程可知曲线

的对称性，利用对称性可研究曲线在第一象限的情形，即可得到曲线所围成图形面积问题，属于中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出

的人员至少有一名女生的选法有___种．【答案】9【解析】【分析】分别按1名女生和2名男生，2名女生和1名男生两种情况讨论，并求和，即可求解．【详解】解：由题意可得，选出的人员至少有一名女生的选法共122123239CCCC+=种．故

答案为：9．14.在6212xx−的展开式中含3x的项系数为________.【答案】160−.【解析】【分析】求得二项展开式的通项612316(1)2rrrrrTCx−−+=−，结合通项确定r的值，代入即可

求解.【详解】由题意，二项式6212xx−展开式的通项为2661231661(2)()(1)2rrrrrrrrTCxCxx−−−+=−=−，令1233r−=，解得3r=，所以展开式中3x的系数为3336

(1)2160C−=−.故答案为：160−.15.已知双曲线E：22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，点A在双曲线E的左支上，且12120FAF=，213AFAF=，则双曲线E的离心率为__________．【答案

】132【解析】【分析】利用双曲线的定义，结合余弦定理求解．【详解】因为点A在双曲线E的左支上，所以212AFAFa−=，因为12120FAF=，213AFAF=，所以2133AFAFa==，由余弦定理得2224923cos120caaaa=+−，即22413c

a=，解得132e=，故答案为：132．16.若存在()01,2x−，满足001ln23xaxa+−，则实数a的取值范围为________.【答案】1,3+【解析】【分析】设1()ln3xfx+=，则()20f=，故函数()fx过定点()2,0，令()()22gxaxaax=−=

−，故函数()gx过定点()2,0，然后利用导数求出()fx在2x=处的切线，再结合图形可得结果【详解】设1()ln3xfx+=，则()20f=，故函数()fx过定点()2,0，令()()22gxaxaax=

−=−，故函数()gx过定点()2,0，函数()fx在()1,2-上单调递增，值域为(),0-?，若()()2gxax=−为()fx在2x=处的切线，则()11fxx=+，则切线的斜率()123af==，因为存在()01,2x−，满足001ln23xaxa+−，所以

()gx的斜率必须大于()fx在2x=处切线的斜率，故13a.故答案为：1,3+.【点睛】关键点点睛：此题考查函数与不等式，考查数形结合的思想，解题的关键是构造函数，画出函数图像，利用函数图像求解，考查数学转化思想，属于

中档题四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，()3

sincos3AAcb=+．(1)求B；(2)若3b=，求ABCV周长的最大值．【答案】(1)3B=；(2)9．【解析】【分析】(1)根据正弦定理可得出3sinsinsin3sincosCBABA=+，然后代入sinsincossincos

CABBA=+得出tan3B=，从而得出3B=；(2)根据余弦定理可得出222122acbac+−=，进而得出222bacac=+−，然后根据基本不等式即可求出ac+的最大值，进而得出ABCV周长的最大值．【详解】(1)∵()3sincos3AAcb=+，∴

3sinsin(sin3cos)CBAA=+，∴3sin()sinsin3sincosABBABA+=+，∴3sincos3cossinsinsin3sincosABABBABA+=+，∴3cossinBB=，∵0B，∴tan3B=，∴3B=.

(2)∵3B=，∴2221cos22acbBac+−==，∴222bacac=+−，∵b=3，∴29()3acac=+−，∴222()9()324acacac+++−=，当且仅当3ac==时，

ac+取得最大值6，此时周长最大值为9．18.已知首项为2的数列{}na中，前n项和nS满足()2nStnntR=+．(1)求实数t的值及数列{}na的通项公式na；(2)将①11nnnbaa+=，②2nannba=+，③2nannba=

三个条件任选一个补充在题中，求数列{}nb的前n项和nT．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)2nan=；(2)答案不唯一，具体见解析．【解析】【分析】(1)由112St=+=可求出t，然后可求出na；(2)若选①用裂项相消法求出答案，若选②用分组求和法求出答案，

若选③用错位相减法求出答案.【详解】(1)令1n=得112St=+=，所以1t=221(2)[(1)(1)]2nnnaSSnnnnnn−=−=+−−+−=当1n=时，经验证符合上式2nan=(2)若选①，()()11111112214141nnnbaannnnnn+

====−+++，所以121111111111422314144nnnTbbbnnnn=+++=−+−++−=−=+++若选②：224nannnban=+=+12(24)(44)(24)nn

Tn=++++++L1(2462)(444)nn=+++++++LL(22)4(14)214nnn+−=+−12444(1)(41)333nnnnnn+=++−=++−若选③，224nannnban==，12324446424nnSn=++++L，则23414

24446424nnSn+=++++L，两式相减得：()12311814324242424242414nnnnnSnn++−−=++++−=−−L()1814243nnn+−=−−，故()18142493nnnnS+−=+．

19.如图，三棱柱111ABCABC−中，平面11AACC⊥平面ABC，ABCV和1AACV都是正三角形，D是AB的中点．(1)求证：1//BC平面1ADC；(2)求二面角11ADCC−−的余弦值．【答案】(

1)证明见解析；(2)1113.【解析】【分析】(1)首先证明1//DEBC，进一步得出结论.(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小，首先正确求出两个平面的法向量，进一步求出二面角．【详解】(1)如图，连接1AC，交1AC于点E，连接DE，由于四边形11AACC是

平行四边形，所以E是1AC的中点．因为D是AB的中点，所以1//DEBC．因为DE平面1ADC，1BC平面1ADC，所以1//BC平面1ADC．(2)如图，取AC的中点O，连接1AO，BO，根据ABCV和

1AACV都是正三角形，得1AOAC⊥，BOAC⊥．又平面11AACC⊥平面ABC，平面11AACC平面ABCAC=，所以1AO⊥平面ABC，于是1AOBO⊥．以O为坐标原点，分别以OBuuur，OCuuur，1OAuuur

的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．设2AC=，则()10,0,3A，()0,1,0C，31,,022D−，()10,2,3C．所以33,,022CD=−uuur，131,,322AD=−−uuuur，13

5,,322DC=−uuuur．设平面1ADC的法向量为(),,mxyz=ur，则100mCDmAD==uruuururuuuur，即33022313022xyxyz−=−−=，令3x=，则3y=，

1z=，所以()3,3,1m=ur．设平面1DCC的法向量(),,nabc=r，则100nCDnDC==ruuurruuuur，即33022353022ababc−=−++=，令3a=，则3b=，1c=−，所以()3,3,1n=−r．设二面角11ADC

C−−的大小为，由图易知为锐角，则11cos13mnmn==urrurr，因此二面角11ADCC−−的余弦值为1113．【点睛】本题是综合性题目，属于课堂学习情境和探索创新情境，具体是数学推理学习情境和数学探究情境，本题考查空间想

象能力、逻辑思维能力和运算求解能力．解题关键(1)证明线面平行的关键是找到线线平行，而线线平行常常借助三角形的中位线定理来证明．(2)利用向量法求二面角的大小，关键是建立合适的空间直角坐标系，然后正确求出两个平面的法向量．20.2020

年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，决定在2021年体育中考中再增加定的分数，规定：考生须参加游泳、长跑、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分，某校在初三上

学期开始要掌握全年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如图所示频率分布直方图，且规定计分规则如下表：每分钟跳绳个数[155,165)165,[175)175,[185)[185,)+得分17181920(1)现从样本的100名学生中任意选取2人，求两人得分之和不

大于35分的概率；(2)根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，整体成绩差异略有变化．假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，方差为169，且该校初三年级所有学生正式测试时每分钟的跳绳个数X服从正态分布

()2,N，用样本数据的期望和方差估计总体的期望和方差(各组数据用区间的中点值代替)．①若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望；②判断该校初三年级所有学生正式测试时的满分率是否能达到8

5%，说明理由．附：若随机变量X服从正态分布()2,N，则()0.6826PX−+=，(22)0.9544,(33)0.9974PXPX−+=−+=．【答案】(1)291650；(2)①分布列见解析；期望为32；②不能；答案见解析．【解析】【分析

】(1)设“选取得2人得分之和不大于35”为事件A，分为2种情况，一种是两人得分均为17分，另一种是两人中1人得17分，1人得18分，从而求得事件A的基本事件个数，除以总数即可求得概率；(2)①由条件可得()2~195,13XN，从而求得(195)()0.5PX

PX==，即每分钟跳绳个数在195个以上的概率为0.5．得到1~3,2B，从而列出分布列；②()2~195,13XN，则可以求得(182)()PXPX=−，与0.85比较即可.【详解】【解】(1)设“选取得2人得分之和不大于35”为事件A，则A的基本事件总数为2

100()4950nC==．由题意，得17分的学生人数为1000.066=人，得18分的人数为1000.1212=人．事件A发生包含两种可能：一种是两人得分均为17分，另一种是两人中1人得17分，1人得18分，所以事件A的基本事件个数2116612()87nA

CCC=+=．所以事件A的概率()29()()1650nAPAn==．(2)①185x=．由题意，正式测试时，10195,16913x=+===，则()2~195,13XN．所以：(195)()0.5PXPX

==．即在全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数在195个以上的概率为0.5．由题意1~3,2B，则333111()(0,1,2,3)222kkkkkPkCCk−====

．则的分布列：0123P18383818所以13322E==．②由()2~195,13XN，所以11(182)()()0.841322PXPXPX=−=+−+=，所以预测正式测试时每分钟跳绳个数在182个

以上的人数比例为0.84130.85，由题意，每分钟跳绳个数不少于185个才能得到满分，因此可以预测该校初三年级所有学生正式测试时的满分率0.84130.85p．【点睛】方法点睛：(1)事件情况较多时，需要分类求得事件发生的频数，从而求得概率；(2)二项分布的期望求法为

Enp=；满足正态分布时，由正态分布求得在不同区间的概率；21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：()222210xyabab+=的长轴长为4，且经过点31,2Q.A为左顶点，B为下顶点，椭圆上的点P在第一象限，PA交y轴于点C，PB交x轴于

点D.(1)求椭圆的标准方程；(2)若20OBOC+=uuuruuurr，求线段AP的长；(3)试问：四边形ABDC的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)22143xy+=；(2)4195；(3)四边形ABDC的面积为定值23.【解析】【分析】(1

)根据长轴长及椭圆上的点计算即可得椭圆的方程；(2)根据20OBOC+=uuuruuurr得到点C的坐标，从而可求直线AP的方程，再联立椭圆得到点P的坐标，再运用两点间的距离公式计算即可；(3)根据条件求出点C、D的坐标，再运用12SADBC=计算化简即

可.【详解】(1)由题意得24a=，解得2a=.把点Q的坐标代入椭圆C的方程22221xyab+=，得221914ab+=.由于2a=，解得3b=，所以所求的椭圆的标准方程为22143xy+=.(2)因为20OBOC+=uuuruuurr，则得130,22OCOB=−=

uuuruuur，即30,2C，又因为()2,0A−，所以直线AP的方程为()324yx=+.由223(2)4143yxxy=++=解得643,55P，所以226434192555AP=+

+=，即线段AP的长为4195.(3)由题意知，直线PB的斜率存在，可设直线PB：3ykx=−.令0y=，得3,0Dk，由223143ykxxy=−+=得()2234830kxkx+−=，解得0x=(舍

去)或28334kxk=+.所以222834333,3434kkPkk−++.于是直线AP的方程为3(23)(2)2(23)kyxk−=++.令0x=得，即3(23)0,23kCk−+.所以四边形ABDC的面

积等于133(23)232322123kCkkADB−=++=+.即四边形ABDC的面积为定值23.22.已知函数ln()xfxx=．(1)判断()fx的单调性，并比较20212020与20202

021的大小；(2)若函数2()(2)(2()1)2agxxxfx=−+−，其中122ea，判断()gx的零点的个数，并说明理由．参考数据：ln20.693．【答案】(1)函数()fx在(0,)e上单调递增；在(,)e+上单调递减；202120202020

2021；(2)有且仅有1个零点；答案见解析．【解析】【分析】(1)求出()fx，由()0fx，()0fx求出其单调区间，由函数()fx在(,)e+上单调递减，可得(2020)(2021)ff，即可得答案.(2)由题意可得(

1)(2)()axxgxx−−=，当12a=时可得出()fx的单调性，根据零点存在原理可判断得出结论；当122ea，先得出()gx的单调性，得出函数的极值，分析其极值的符号，再根据零点存在原理可判断得出结论；【详解】(1)已知()fx的定

义域为21ln(0,),()xfxx−=+，当0xe时，()0fx，所以函数()fx在(0,)e上单调递增；当xe时，()0fx，所以函数()fx在(,)e+上单调递减．因为函数()fx在(,)e+上单调递减，所以：(2020)(2021

)ff，即ln2020ln202120202021，所以2021ln20202020ln2021，即20212020ln2020ln2021，所以2021202020202021．(2)()21()442ln222aegxxxxxa=−++−

，所以：22(21)2(1)(2)()21axaxaxxgxaxaxxx−++−−=+−−==．当12a=时，221(2)()(2)2ln,()042xgxxxxgxx−=−+−=，所以()gx在(0,)+上单调递增，由(2)2ln220,(6)2ln620

gg=−=−，知当12a=时，存在()00(2,6),0xgx=，即函数()gx有且仅有1个零点．当122ea时，(1)(2)()axxgxx−−=，注意到12a，所以：10xa时，()0,()gxgx

在10,a上单调递增；12xa时，()0,()gxgx在1,2a上单调递减：2x时，()0,()gxgx在[2,)+上单调递增．所以()gx在(0,)+上有极小值(2)2ln220

g=−，有极大值1122ln22gaaaa=−−−．一方面，注意到(6)82ln6642ln662ln620ga=+−+−=−，所以存在唯一的()00[2,6),0xgx=．另一方面，

设1()22ln22haaaa=−−−，则：221211()2210,2222ehaaaaa=+−=−，故()ha在1,22e上单调递增，所以：1()22ln022eehahee=−−−，所以()gx在10,a上

恒小于0，在1,2a上恒小于0，即()gx在(0,2)上不存在零点．综上所述：当1,22ea时，()gx有且仅有1个零点．【点睛】关键点睛：本题考查求函数的单调区间和利用单调性比较大小以讨论函数零点的个数问题，解答本题的关键是当122ea，得出()gx的单调

性，从而()gx的极值，(2)g，1122ln22gaaaa=−−−，分析其符号，属于难题.