【文档说明】新教材高二数学第二学期期末试卷三（原卷版+教师版）.doc，共(25)页，1.096 MB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-257646.html

以下为本文档部分文字说明：

新教材高二数学第二学期期末试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分．考试用时120分钟．第一部分选择题(共60分)一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合0,1,2,3,4A

=，2log1Bxx=，则AB=I()A.2,3B.3,4C.2,4D.2,3,42.已知z为复数，则22“”zz=−是“z为纯虚数”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件3.多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个

选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分.若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两项，则其能得分的概率为()A.16B.13C.12D.234.若()()512xax−+的展开式

中3x的系数为20，则a=()A.14−B.14C.12−D.235.已知四边形ABCD满足14ADBC=uuruuur，点M满足DMMC=uuuuruuuur，若BMxAByAD=+uuuruuruur，则x+y=()A.3B.52C.2D.12−

6.已知为第四象限角，且3sin()65+=−，则cos=()A.43310−B.43310−−C.33410−D.43310−7.蹴鞠(如图所示)，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是

指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A、B、C、D，满足5ABCD==，6BDAC==，7ADBC==，则该鞠的表面积为()A.

55B.60C.63πD.688.已知函数()xxxfxxee=−，且3(log),afe=3(log0.5),bf=(ln3)cf=，则a，b，c的大小为()A.cabB.acbC.bcaD.cba二、多项选择题：本题共4小题，

每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.9.函数()()()sin0,0,0fxAxA=+的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是()A.()fx的最小

正周期为2B.()fx的最大值为2C.()fx在区间5,1212−上单调递增D.6fx+为偶函数10.已知由样本数据点集合(),1,2,,20iixyi=∣其中2011320iixx===，求得的回归直线方程1:1.05ˆ5.lyx=

+记此模型对应的相关指数为21R.观察残差图发现：除了数据点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程$2:1.ˆ2lyxa=+，记此模型对应的相关指数为22R，则下列结论中正确的是()A.变量x与y正相关

B.记==201120iiyy，则5y=C.2212RRD.1.4ˆa=11.设F是抛物线2:4Cyx=的焦点，直线:1lxty=+与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是()A.4AB

B.OAOBuuuruuur可能大于0C.若()2,2P，则3PAAF+D.若在抛物线上存在唯一一点Q(异于A、B)，使得QAQB⊥，则3t=12.己知函数2()ln(ln)fxaxxx=+，下列关

于f(x)的说法中正确的是()A.当且仅当a=0时，f(x)有唯一的零点B.f(x)最多有两个极值点C.若0,a则f(x)仅有一个极值点D.若f(x)无极值点，则1,ae−−∞第二部分非选择题(共90分)三、填空

题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知、是两个不同的平面，mn、均为、外的两条不同直线，给出四个论断：①mn⊥;②⊥;③n⊥;④m⊥.请以其中三个为条件，余下的一个为结论，写出一个正确的命

题_______________________(示例：请将答案写成如下形式：“①②③⇒④”)14.若直线:50(0)laxbyab+−=恒过圆22:(3)(2)25Cxy−+−=的圆心，则32ab+的最小值为___________．15.已知公差不为0的等差数列na

满足22225678aaaa+=+，则12S=______.16.在三棱锥P-ABC中，侧面PAB，侧面PAC，侧面PBC与底面所成的角均为3，若AB=2，CA+CB=4，且ABCV是锐角三角形，则三棱锥P-

ABC体积的取值范围为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①122nnSS+=+；②12nnnaa+−=；③12nnSa+=−这三个条件中任选一个补充在下面的问题中

，并解答.已知数列na的前n项和为nS，12a=，且满足(1)求数列na的通项公式;(2)记12nnnb+=，求数列nb的前n项和为nT.18.智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计

测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”;否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如下.用频

率估计概率，解答下列问题:序号12345678910智能体温计测温36.636.636.536.536.536.436.236.336.536.3水银体温计测温36.636.536.736.536.436.436.236.436.536.4序号1112131415161

7181920智能体温计测温36.336.736.235.435.235.637.236.836.636.7水银体温计测温36.236.736.235.435.335.63736.836.636.7(1)从该社区．．．中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计测

温“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望值；(2)医学上通常认为，人的体温不低于037.3C且不高于038C时处于“低热”状态.该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是037.3C，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由.19.在ABCV中，

内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若222acacb++=.D为BC的中点，3AD=，记BAD=(1)若6=，求AB的值;(2)求a+2c的取值范围.20.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ADC,//,DADBC⊥2PAADCD,===3B

C=，E为PD中点，点F在线段PC上，且DF//平面PAB.(1)求证：AE⊥平面PCD;(2)求二面角F-AE-P的正弦值.21.(1)(i)证明：,1xxRex+；(ii)证明：0x时，−+−210xxexee；(2)若关于x的不等

式1lnxaxxe−+恒成立，求实数a的值.22.已知双曲线C:22221(0,0)xyabab−=的左右顶点分别是12AA、且经过点()4,6M，双曲线的右焦点2F到渐近线的距离是2，不与坐标轴平行的直线l与双曲线交于P、Q两点(异于12AA、)，P关于原点O的对称点为S.(1)求

双曲线C的标准方程;(2)若直线1AS与直线2AQ相交于点T，直线OT与直线PQ相交于点R，证明：在双曲线上存在定点E，使得RMEV的面积为定值，并求出该定值.新教材高二数学第二学期期末试卷本试卷分选

择题和非选择题两部分，共5页，满分150分．考试用时120分钟．第一部分选择题(共60分)一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合0,1,2,3,4A=，2log1Bxx=，则AB=I()

A.2,3B.3,4C.2,4D.2,3,4【答案】B【解析】【分析】首先利用对数函数的单调性求解集合B，再利用集合的交运算即可求解．【详解】由2log1x，得2x，因为0,1,2,3,4A=，所以3,4AB=I.故选：B2.已知z为

复数，则22“”zz=−是“z为纯虚数”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】由充分必要条件的判断方法，结合复数为纯虚数的判断条件即可判断.

【详解】充分性：22“”zz=−，z为0或纯虚数，故充分性并不满足；必要性：z为纯虚数，不妨设()0zbibRb=且，则()2222zbibz==−=−，故必要性满足.所以22“”zz=−是“z为纯虚数”的必要非充分条件.故选：B3.多

项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分.若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两项，则其能得分的概率为()A.16B.13C.12D.23【答案】C【解析】【

分析】求出随机选了两项的情况，根据古典概型的概率公式即可求出.【详解】由题可得该考生随机选了两项的情况有,,,,,ABACADBCBDCD共6种，其中能得出的情况有,,ABACBC共3种，则其能得分的概率

为3162=.故选：C.4.若()()512xax−+的展开式中3x的系数为20，则a=()A.14−B.14C.12−D.23【答案】B【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式进行分析，即可计算.【详解】

()()()()555121212xaxxxax−+=+−+()512x+展开式的通项公式为：()152rrrTCx+=，因为()()512xax−+的展开式中3x的系数为20，所以2233552240

8020CaCa−=−=，解得：14a=.故选：B5.已知四边形ABCD满足14ADBC=uuruuur，点M满足DMMC=uuuuruuuur，若BMxAByAD=+uuuruuruur，则x+y=()A.3B.52C.2D.12−【答案】C【解析】【分析

】根据向量线性运算，将BMuuuur表示出来即可得出.【详解】由题可得BMBAADDMBAADMCBAADBCBM=++=++=++−uuuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuu

ur,24BMABADAD=−++uuuuruuuruuuruuur，则1522BMABAD=−+uuuuruuuruuur,所以15,22xy=−=，所以2xy+=.故选：C.6.已知为第四象限角，且3sin()65+=−

，则cos=()A.43310−B.43310−−C.33410−D.43310−【答案】A【解析】【分析】先求出4cos()65+=，利用两角差的余弦公式即可求出cos.【详解】因为为第四象限角，且3sin()65+

=−，所以+=−+=−−=2234cos()1sin()16655，所以4331433coscoscoscossinsin666666525210−=+−=+++=−=故选：A7.蹴鞠(如图

所示)，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院

批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A、B、C、D，满足5ABCD==，6BDAC==，7ADBC==，则该鞠的表面积为()A.55B.60C.63πD.68【答案】A【解析】【分析】将三棱锥ABCD−补成长方体，使得三棱锥ABCD−的各棱为

长方体的面对角线，计算出长方体的体对角线长，可得出该鞠的半径，利用球体的表面积公式计算可得结果.【详解】将三棱锥ABCD−补成长方体AEBHGDHC−，使得三棱锥ABCD−的各棱为长方体AEBHGDHC−的面对角线，设EAx=，

EBy=，EDz=，设该鞠的半径为R，则2222Rxyz=++，由勾股定理可得22225ABxy=+=，22236ACyz=+=，22249ADxz=+=，上述三个等式相加得()2222253649110xyz++=++=，则222255Rxyz=++=，因此，该鞠的表面积为()224255

SRR===.故选：A.【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了三棱锥的外接球问题，考查计算能力，属于中等题.8.已知函数()xxxfxxee=−，且3(log),afe=3(log0.5),bf=(ln3)cf=，则a，b，c的大小为()A.cabB.acbC

.bcaD.cba【答案】A【解析】【分析】可判断()fx为偶函数，再根据()fx的导数可判断()fx在()0,+为增函数，根据对数函数的单调性判断出33ln3loglog2e即可得出大小.【详解】()fx的定义域为R，且()()xxxxxxfxxexefx

ee−−−−=−−=−=，()fx为偶函数，当0x时，()()()211110110xxxxxxexxfxxeeee++−−+−=+−==，所以()fx在()0,+为增函数，又33330log1log2loglog31e=

=，ln3ln1e=，所以33ln3loglog2e，则()()()33ln3loglog2ffef，又()()()333log2log2log0.5fff==−，则cab.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出

的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.9.函数()()()sin0,0,0fxAxA=+的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是()A.(

)fx的最小正周期为2B.()fx的最大值为2C.()fx在区间5,1212−上单调递增D.6fx+为偶函数【答案】BD【解析】【分析】由图象先求得，再求得，然后求得A得解析式，再根据正弦函数

性质判断各选项．【详解】由已知1152()1212T=−=，所以22T==，A错；由五点法得52,12kkZ+=，又0，所以6π=，(0)sin16fA==，2A=，B正确，所以()2sin(2)6fxx=+，5,1212x

−时，22,633x+−，262x+=−时，min()2fx=−，函数()fx在区间5,1212−上不单调，C错；2sin2()2sin(2)2cos26662fxxxx+

=++=+=是偶函数，D正确．故选：BD．【点睛】思路点睛：本题考查由三角函数图象求函数解析式．考查三角函数的性质．求解析式时可以利用“五点法”求解，一般先求，再求，然后求A．判断三角函数性质，可以整体代入法，求出x+的值或范围，然后结合正弦函数

性质判断．10.已知由样本数据点集合(),1,2,,20iixyi=∣其中2011320iixx===，求得的回归直线方程1:1.05ˆ5.lyx=+记此模型对应的相关指数为21R.观察残差图

发现：除了数据点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程$2:1.ˆ2lyxa=+，记此模型对应的相关指数为22R，则下列结论中正确的是()A.变量x与y正相关B.记==20112

0iiyy，则5y=C.2212RRD.1.4ˆa=【答案】ABD【解析】【分析】根据回归方程的斜率为正可判断A；根据样本中心在回归直线上可判断B；根据拟合效果可判断C；可得剔除这两个数据点后，样本的中心还是()3,5，即可求出$a，判断D.【详解】因为回归方程为1:1.

05ˆ5.lyx=+，1.50，所以变量x与y具有正相关关系，故A正确；因为2011320iixx===，所以1.50.51.530.55yx=+=+=，故B正确；由题可得剔除这两个数据点后的拟合效果更好，所以2212RR，故C错误；因为1.24.82.27.83,522++==，所

以剔除这两个数据点后，样本的中心还是()3,5，所以$51.231.4a=−=，故D正确.故选：ABD.11.设F是抛物线2:4Cyx=的焦点，直线:1lxty=+与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是()A.4ABB.OAOBuuuruuur可能大于0C.若()2

,2P，则3PAAF+D.若在抛物线上存在唯一一点Q(异于A、B)，使得QAQB⊥，则3t=【答案】ACD【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求出AB即可判断A；可得3OAOB=−uuuruuur可判断B；由PAAFPF+可判断

C；设点2,4mQm，分析可知关于m的二次方程24120mmt++=有唯一解，由0=可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，设()11,Axy、()22,Bxy.联立直线与抛物线241yxxty==+可得2440yty−−=，则124yyt

+=，124yy=−，则22211616444ABttt=++=+，故A正确；对于B选项，()21212121213016OAOBxxyyyyyy=+=+=−uuuruuur，故B错误；对于C选项，过点A作直线1x=−的垂线AE，垂足为点E，由抛物线的定义可得

AEAF=，则PAAFPAAE+=+，当点P、A、E三点共线时，PAPF+取最小值，且PAPF+的最小值为点P到直线1x=−的距离，故PAPF+的最小值为3，故C正确；若存在唯一一点2,4mQm，使得QAQ

B⊥，2221111,,44ymmQAxymym−=−−=−uuur，同理可得2222,4ymQBym−=−uuur，()()()()()()12121216ymymymymQAQBymym−−++=+−−uuuruuur(

)()()()12121616ymymymym−−=+++()()()122121216016ymymyymyym−−=++++=，由题意可得1ym且2ym，则()21212160yymyym++++=，

整理可得24120mmt++=，由题意可知，关于m的二次方程24120mmt++=只有唯一解，则216480t=−=，解得3t=，D选项正确.故选：ACD.12.己知函数2()ln(ln)fxaxxx=+，下列关于f(x)的说法中正

确的是()A.当且仅当a=0时，f(x)有唯一的零点B.f(x)最多有两个极值点C.若0,a则f(x)仅有一个极值点D.若f(x)无极值点，则1,ae−−∞【答案】BC【解析】【分析】由()0fx=可得1x=或lnxax−=，利用导数由lnxax−=无解或解为1x=可求得a

的范围，即可判断A；令()0fx=可得2ln()(ln1)xagxxx−==+，利用导数判断()gxa=的解的情况即可判断BCD.【详解】因为()2lnln()ln()0lnfxaxxxxaxx=++==，所以ln0x=或ln0axx+=，所以1x=或lnxax−=，设()lnxh

xx=，则()21lnxhxx−=，由()0hx可得0xe，由()0hx可得xe，则()hx在()0,e单调递增，在(),e+单调递减，()()max1hxhee==，要使lnxax−=无解，则1ae−，即1ae

−，又()10h=，此时0a=，即若()fx有唯一的零点，则0a=或1ae−，故A错误；()()()2lnln10xfxaxxx=++，易知10fe，令()0fx=可得2ln()(

ln1)xagxxx−==+(0x且1xe)，则222(ln)ln1()2(ln1)xxgxxx−=++，令()0gx=可得121515ln,ln22xx−−−+==，所以()gx在()10,x递增，在11,xe递减，在21,xe递减，在()2,x+∞，

又()10g=，所以()gxa=最多有2个解，即()fx最多有两个极值点，故B正确；当0a时，()gxa=只有一个解，即()fx仅有一个极值点，故C正确；当a→−时，()gxa=有2个解，此时()fx有2个极值

点，故D错误.故选：BC.第二部分非选择题(共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知、是两个不同的平面，mn、均为、外的两条不同直线，给出四个论断：①mn⊥;②⊥;③n⊥;④m⊥.请以其中三个为条件，余下的一个为结论，写出

一个正确的命题_______________________(示例：请将答案写成如下形式：“①②③⇒④”)【答案】①③④⇒②(或②③④⇒①).【解析】【分析】根据平面垂直关系的相关性质即可判断.【详解】

若①mn⊥;②⊥;③n⊥成立，则m与可能平行也可能相交，即④m⊥不一定成立；若①mn⊥;②⊥;④m⊥成立，则n与可能平行也可能相交，即③n⊥不一定成立；若①mn⊥;③n⊥;④m⊥成立，因为mn⊥，n⊥，所以//m或m，又m⊥

，所以⊥，即①③④⇒②；若②⊥;③n⊥;④m⊥成立，因为⊥，n⊥，所以//n或n，又m⊥，所以mn⊥，即②③④⇒①.故答案为：①③④⇒②(或②③④⇒①).14.若直线:50(0)laxbyab+−=恒过

圆22:(3)(2)25Cxy−+−=的圆心，则32ab+的最小值为___________．【答案】5【解析】【分析】把圆心坐标代入直线方程得,ab的关系，然后由“1”的代换用基本不等式求得最小值．【详解】由题意3250ab+−=，即325ab+=

，因为0ab，所以0,0ab，所以32132166166(32)()131325555abababababbaba+=++=+++=，当且仅当66abba=，即1ab==时等号成立．因此所求最小值为5．故

答案为：5．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(

3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．15.已知公差不为0的等差数列na满足22225678aaaa+=+，则12S=______.【答案

】0【解析】【分析】根据题意可化简得出670aa+=，再根据求和公式即可求出.【详解】设数列公差为d(0d)，由22225678aaaa+=+可得22225786aaaa−=−，则()()()()57578686aaaaaaaa+−=+−，则()672222ada

d−=，则可得670aa+=，所以()()112126712602aaSaa+==+=.故答案为：0.16.在三棱锥P-ABC中，侧面PAB，侧面PAC，侧面PBC与底面所成的角均为3，若AB=2，CA+CB=4，且AB

CV是锐角三角形，则三棱锥P-ABC体积的取值范围为___________.【答案】33,43【解析】【分析】作PO⊥平面ABC于O，可得O为ABCV的内心，设ABCSt=△，可得239PABCVt−=，C在以A，B

为焦点的椭圆上，设(),Cxy，由ABCV是锐角三角形可得3||,32y，即可得出所求.【详解】作PO⊥平面ABC于O，作ODBC^于D，OEAC⊥于E，OFAB⊥于F，连接PD，PE，PF，则POBC⊥，又ODPOO=I，所以BC⊥平面POD，

所以BCPD⊥，所以PDO∠为二面角PBCA−−的平面角，同理，,PEOPFO∠∠分别为二面角PACB−−，二面角PABC--的平面角，所以3PDOPEOPFO===∠∠∠，所以33OEODOFPO===，所以O为ABCV的内心

，连接AO，BO，CO，设ABCSt=△，则3AOBAOCBOCtSSSOD=++=△△△，所以3,333tODPOODt===，所以239PABCVt−=，因为4ACBC+=，所以C在以A，B为焦点的椭圆上，建立平面直角坐标系，(1,0),(1,0)AB−，1,2ca==，所以23b

=，所以椭圆方程为22143xy+=，设(),Cxy，要使,CABCBA∠∠为锐角，则11x−，所以3||2y，又(1,),(1,)ACxyBCxy=+=−uuuruuur，因为90ACBo∠，所以2201ACBCxy=+−u

uuruuur，则3y，又||3y„，则可得3||,32y，所以3,32ABCS△，即3,32t，所以33,43PABCV−.故答案为：33,43.四

、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①122nnSS+=+；②12nnnaa+−=；③12nnSa+=−这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答.已知数列

na的前n项和为nS，12a=，且满足(1)求数列na的通项公式;(2)记12nnnb+=，求数列nb的前n项和为nT.【答案】(1)2nna=；(2)332nnnT+=−【解析】【分析】(1)若选①，可判断na是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出通项公式；若选②，利用累

加法可求出；若选③，可判断na是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出通项公式；(2)利用错误相减法法可求出.【详解】(1)若选①，因为122nnSS+=+，当2n时，122nnSS−=+，两式相减得12nnaa+=，当1n=时，2122SS=+，

即12122aaa+=+，又12a=，所以24a=，故212aa=也满足12nnaa+=，所以na是首项为2，公比为2的等比数列，故2nna=；若选②，因为12nnnaa+−=，所以()()()121321−−=−+−++

−Lnnnaaaaaaaa()1212122222212nnn−−−=+++==−−L，故2nna=；若选③，因为12nnSa+=−，当2n时，12nnSa−=−，两式相减可得1nnnaaa+=−，即12nnaa+=，当1n=时

，1112Saa==−，所以24a=，满足12nnaa+=，所以na是首项为2，公比为2的等比数列，故2nna=；(2)()23111123412222nnTn=+++++L，则()234111111234122222nnTn+

=+++++L，两式相减可得()231111111122222nnnTn+=++++−+L()()1111122113111112222212nnnnnn++−

=+−+=−−+−，则332nnnT+=−.18.智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体

温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”;否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如下.用频率估计概率

，解答下列问题:序号12345678910智能体温计测温36.636.636.536.536.536.436.236.336.536.3水银体温计测温36.636.536.736.536.436.436.236.436.536.4序号1112131415

1617181920智能体温计测温36.336.736.235.435.235.637.236.836.636.7水银体温计测温36.236.736.235.435.335.63736.836.636.7(1)从该社区．．．中任意抽查3人用智能

体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计测温“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望值；(2)医学上通常认为，人的体温不低于037.3C且不高于038C时处于“低热”状态.该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是037.3C，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少

有1人处于“低热”状态？说明理由.【答案】(1)分布列见解析，数学期望为95；(2)答案见解析【解析】【分析】(1)估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出X取不同值的

概率，即可得出分布列，求出期望；(2)估计出这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率即可得出结论.【详解】(1)表中20人的体温数据中，测温结果相同的有12种情况，即可估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为12

3205=，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且33,5X:，则0303338(0)155125PXC==−=，12133336(1)155125PXC==−=，21233354(2)1551

25PXC==−=，30333327(3)155125PXC==−=，所以分布列为：X0123P8125361255412527125()39355EX==；(2)设这3人中至少有1人

处于“低热”状态为事件N，表中20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的序号为02，05，11，17共计4种情况，由此估计从社区任意抽查1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为15，由此估计，

这3人中至少有1人处于“低热”状态的概率为()1111241555125PN=−=.结论1：因为()124125PN=接近1，由此可以认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态；结论2：因为()1241125

PN=，所以有可能这3人都不处于“低热”状态.19.在ABCV中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若222acacb++=.D为BC的中点，3AD=，记BAD=(1)若6=，求AB的值;(2)求a+2c的取值范围.【答案】(1)1；(

2)(23,4]【解析】【分析】(1)由余弦定理可得23B=，在ABD△中利用正弦定理即可求出；(2)利用正弦定理可得4sin,2sin3ac==−，再化简利用三角函数的性质可求.【详解】(1)Q222a

cacb++=，即222acbac+−=−，由余弦定理可得2221cos22acbBac+−==−，所以23B=，又6=，则6ADB=，在ABD△中，由正弦定理可得sinsinADABBADB=，所以13sin21sin32A

DADBABB===；(2)在ABD△中，由23B=可得πθ0,3骣琪Î琪桫，由正弦定理可得22sinsinsin33BDABAD===−，则4sin,2sin3ac==−，24sin4sin2sin23cos4sin33ac

+=+−=+=+，由πθ0,3骣琪Î琪桫，可知2,333+，则3sin,132+，所以2(23,4]ac+.20.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，

ADC,//,DADBC⊥2PAADCD,===3BC=，E为PD中点，点F在线段PC上，且DF//平面PAB.(1)求证：AE⊥平面PCD;(2)求二面角F-AE-P的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)

223【解析】【分析】(1)由题可得PACD⊥，结合ADCD⊥可得CD⊥平面PAD，由此得出CDAE⊥，再结合AEPD⊥即可证明；(2)以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面AEF和平面PAE的法向量，利用向量关系即可求出.【详解】(1)P

A⊥Q平面ABCD，CD平面ABCD，PACD⊥，,ADCDPAADA⊥=Q，CD\^平面PAD，AEQ平面PAD，CDAE⊥，2PAAD==Q，E为PD中点，AEPD⊥，PDCDD=QI，AE⊥平面PCD；(2)过点D作//D

GAB交BC于G，连接FG，DGQ平面PAB，ABÌ平面PAB，DG//平面PAB，DFQ//平面PAB，DFDGD=，平面DFG//平面PAB，Q平面DFG平面PBCFG=，平面PAB平面PBCPB=，FGPB

//，23PFBGPCGC==，如图，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，则()(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,0,1),2,0,2DACEP，由2444,,3333PFPC==−−uuuruuur，得242,,333F，442,,,(1,

0,1)333AFAE=−=−uuuruuur，设(,,)mxyz=r为平面AEF的一个法向量，则04420333mAExzmAFxyz=−+==−++=uuuvruuuvv，则可取(2,1,2)m=r，(0,2,0)DC=Quuur为平面PAE的法向量，设

二面角FAEP−−的大小为，则||21|cos|323||||mDCmDC===uuurruuurr，所以22sin3=，即二面角FAEP−−的正弦值为223.21.(1)(i)证明：,1xxRex+；(ii)证明：0x时，−+

−210xxexee；(2)若关于x的不等式1lnxaxxe−+恒成立，求实数a的值.【答案】(1)(i)证明见解析；(ii)证明见解析；(2)0【解析】【分析】(1)(i)构造函数()1xfxex=−−，求出函数导数，根据导数判

断函数单调性可证明；(ii)构造函数()21xxegxxee−=+−，求出函数导数，利用(i)中恒等式判断函数单调性即可证明；(2)构造函数()1lnxhxaxxe−=+−，讨论0a=，0a和0a，利用导数结合(1)中结论判断函数单调性即可求解.【详解】(1)(i)令()1xfxe

x=−−，则()1xfxe=−，令()0fx可得0x，令()0fx可得0x，()fx在(),0−单调递减，在()0,+单调递增，()()00fxf=，即1xex+；(ii)令()21xxegxxee−=+−，0x

，则()1122xxxexxexgxxeeexee−+−=+−=+−，由(i)可知1xexxeex+−+，故()()20xxgxxeexx−−+=，所以()gx在(),0−上单调递减，故()()00gxg=，即当0x时，−+−210x

xexee；(2)令()1lnxhxaxxe−=+−，当0a=时，()1xhxxe−=−，由(1)知()111xexx−−+=，则()0hx恒成立，符合题意；当0a时，由(1)可知()210aaae

heaee−=+−，与题意不符；当0a时，()11xahxex−=+−，12()0xahxex−−=−，所以()hx在()0,+单调递减，()1(1)0,110aaeaaahaheeaee−==+−+−Q，0(1,)x+

，使得()00hx=，且()01,xx时，()0hx，故()hx在()01,x单调递增，此时()(1)0hxh=，与题意不符.综上，0a=.【点睛】关键点睛：本题考查不等式恒成立问题，解决本题的关键是构造函数，利用导数求函数的单调性，通过求出函数最值解决，且合理利用已知恒等式

转化.22.已知双曲线C:22221(0,0)xyabab−=的左右顶点分别是12AA、且经过点()4,6M，双曲线的右焦点2F到渐近线的距离是2，不与坐标轴平行的直线l与双曲线交于P、Q两点(异于12AA、)，P关于原点O的对称点为S.(1)求双曲线C

的标准方程;(2)若直线1AS与直线2AQ相交于点T，直线OT与直线PQ相交于点R，证明：在双曲线上存在定点E，使得RMEV的面积为定值，并求出该定值.【答案】(1)22142xy−=；(2)存在(4,6)E−，定值为66

.【解析】【分析】(1)根据题意建立关系求出,ab即可得出方程；(2)设出直线方程，与双曲线联立，得出韦达定理，利用韦达定理表示出直线OT的斜率，即可得出点R在定直线2x=−上，即可求解.【详解】(1)设双曲线的右焦点2(,0)Fc，一

条渐近线为0aybx+=，则由题可得2216612abb−==，解得22ab==，所以双曲线的标准方程为22142xy−=；(2)设()()()()11221100,,,,,,,PxyQxySxyTxy−−

，设直线:,(0)lykxmk=+，联立直线与双曲线22142xyykxm−==+可得()()2222124240,2kxkmxmk−−−+=，由0可得2242mk−，所以0m，则()2221212121222

2224424,,,12121212mkmmmkxxxxyyyykkkk−+−+==+==−−−−，12212812kxyxyk−+=−，由题12(2,0),(2,0)AA−，由1,,TSA三点共线可得010122yyxx−=+−+，即010122xxyy+−=，由2,,TQ

A三点共线可得020222yyxx=−−，即020222xxyy−−=，相加可得()12211201201212222242xyxyyyxxxyyyyykm+−+−−=+==−，所以直线00:22ykmyxxOxT−==

，联立直线,OTPQ可得22kmyxykxm−==+可得2x=−，因此点R在定直线2x=−上，则使得RMEV的面积为定值的点E一定为过点M且与直线2x=−平行的直线与双曲线的交点，此时(4,6)E−，则1266662RMES==△.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相

交问题的常用步骤：(1)得出直线方程，设交点为()11Axy，，()22Bxy，；(2)联立直线与曲线方程，得到关于x(或y)的一元二次方程；(3)写出韦达定理；(4)将所求问题或题中关系转化为1212,xxxx+形式；(5)代入韦达定理求解.