【文档说明】新教材高二数学第二学期期末试卷十五（原卷版+教师版）.doc，共(24)页，1.041 MB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高二数学第二学期期末试卷本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.函数

()()22log32fxxx=+−的定义域为()A.1,3−B.()(),13,−−+UC.()1,3−D.())1,3,−++U2.522xx−的展开式中4x的系数为()A.80−B.40−C.40D.80

3.设随机变量服从正态分布()24,N，若()6=0.1P，则()2=P()A.0.1B.0.9C.0.8D.0.54.甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率为1P，乙解决这个问题的概率为2P，那么以121PP−为概率

的事件是()A.甲乙两人至少有一人解决了这个问题B.甲乙两人都解决了这个问题C.甲乙两人至多有一人解决了这个问题D.甲乙两人都未能解决这个问题5.函数()yfx=的导函数()yfx=的图象如图所示，则()A.

3−是函数()yfx=的极大值点B.()yfx=在区间()3,1−上单调递增C.1−是函数()yfx=的最小值点D.()yfx=在0x=处切线的斜率小于零6.2021年春节临近在河北省某地新冠肺炎疫情感染人数激增，为防控需要，南通市某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派

3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，则选派的三人中至少有1名女医生的概率为()A.2328B.514C.1556D.277.设函数()fx是奇函数()()fxxR的导函数，且满足()20f=，当0x时，()()0xfxfx+，则使得()0fx成立的x的取值范围是()A.()

2,+B.()(),22,+−−C.()()2,02,+−UD.()(),20,2−−U8.1999年12月1日，大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》，大足石刻创于晚唐，盛于两宋，是中国晚期石窟艺术的杰出代表作.考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射

性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的含量M(单位：太贝克)随时间t(单位：年)的衰变规律满足函数关系：()573002tMtM−=，其中0M为0t=时碳14的含量，已知5730t=时，碳14的含量的瞬时变化率是ln220−(太贝克/年)，则()2865M=()太贝

克.A.573B.57322C.5732D.1146二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.)9.已知函数()31,0sin,0

xxfxxx+=，则下列说法不正确的是()A.()fx是非奇非偶函数B.()fx是增函数C.()fx是周期函数D.()fx的值域是)1,−+10.下列说法正确的是()A.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量x，y线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为ˆ0.3yxm=−，若样本中心

点为(),2.8m−，则4m=B.已知随机变量X的数学期望()2EX=，若21YX=−，则()3EY=C.用相关指数2R来刻画回归的效果，2R的值越接近0，说明模型的拟合效果越好D.已知袋中装有大小完全相同的2个红球和2个黑球，若有放回地从中摸球，用事件1

A表示“第一次摸到红球”，事件2A表示“第二次摸到黑球”，则事件1A与事件2A是相互独立事件11.欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：cosisinie=+(把()cossiinzr=+称为复数的三角形式，其中从ox轴

的正半轴到向量OZuuur的角叫做复数()i,zababR=+的辐角，把向量OZuuur的长度r叫做复数的模)，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数()111111iciossinzrer==

+，()222222iciossinzrer==+，则我们可以简化复数乘法：()()()()122i121211212icossinzzrrerr+==+++.根据以上信息，下列说法正确的是()A.若cosisinz=+，则有i10e+=B.

若1r=，3=，则31z=C.若()cossiinzr=+，则()icossinnnzrnn=+D.设20211i2z+=，则z在复平面上对应的点在第一象限12.下列命题为真命题的是()A.ln3

3ln2B.lneC.17217D.15215第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知随机变量()10.~,04BX，则()DX=_______________________.14.函数()()l

n2fxxax=+−在()1,3上单调递增，则实数a的取值范围是_______________________.15.学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位老师中的甲不值12日，乙不值14日且甲、乙不在同一天值班，则不

同的安排方法共有__________种.16.设()yfx=是()yfx=的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320axbxdafxcx=+++的图象都有对称中心()()00,xfx，其中0x满足()00fx=

.(1)函数()321313gxxxx=−++的对称中心为______________；(2)现已知当直线()10kxykkR−−+=和()3253hxaxbx=++的图象交于()11,Axy、()22,Bxy、()33,Cxy()123xxx三点时，()hx的图象在点A、点C

处的切线总平行，则过点(),ba可作()hx的___________条切线.四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知复数()10zmnimn=+满足134z=，1z的实部与虚部的积为15.(1)求1

z；(2)设()()()2222343zaaaaiaR=−−+−+，，求a的值.从①12zz=；②2z为纯虚数；③2z在复平面上对应点的坐标为()3,3−.这三个条件中选一个，将问题(2)补充完整，并作答.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

.)18.设201213nnnxaaxaxax−=++++L，且已知13nx−展开式中所有二项式系数之和为1024.(1)求n的值以及二项式系数最大的项；(2)求212333nnaaa+++L的值.19.为了丰富高2022届学生的课余活动，年级决定进行班级之间的

乒乓球比赛.甲、乙两个班进行比赛，每场比赛采取“5局3胜制”(即有一个班先胜3局即获胜，比赛结束).比赛排名采用积分制，规则如下：比赛中，以3:0或3:1获胜方记3分，失败方记0分；以3:2获胜方记2分，失败方记1分.已知甲、乙两个班比赛，假设每局比赛甲获胜的概率都是23.(1)求比赛结束时

恰好打了5局的概率；(2)甲、乙两个班比赛1场后，求乙班的积分的分布列及期望.20.某传染病感染人群大多数是50岁以上的人群，某传染病进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.如果认为超过8天的潜伏期为“

长潜伏期”，现对400个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，其中50岁以上的人群共280人，50岁以上的人群中潜伏期为“长潜伏期”有60人，50岁及50岁以下潜伏期为“非长潜伏期”有80人.按照年龄统计样本，得到下面的22列联表.长潜伏期非长潜伏期合计50岁以上

50岁及50岁以下合计(1)完成上面的22列联表，并判断是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；(2)以题目中的样本频率视为概率，设900个病例中恰有()*kkN个属于“长期潜伏”的概率是()Pk，当k为何值时，()Pk取得最大值.附：()()()()()2

2nadbcKabcdacbd−=++++()20PKk0.10.050.0100k2.7063.8416.63521.已知函数()()()222ln2afxxaxxaR=−++.(1)若0a=，求函数()fx的极值；(2)若1x=是函数()fx的极小值点，求实数a的取值范围.

22.已知函数()lnfxxxx=−.(1)设曲线()yfx=在xe=处的切线为()ygx=，求证：()()fxgx；(2)若关于x的方程()fxa=有两个实数根1x，2x，求证：2112xxaee−++.新

教材高二数学第二学期期末试卷本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.函数()()22log32

fxxx=+−的定义域为()A.1,3−B.()(),13,−−+UC.()1,3−D.())1,3,−++U【答案】C【解析】【分析】根据真数大于0可得、【详解】由题意2320xx+−，2230xx−−，13x−．故选：C．2.522x

x−的展开式中4x的系数为()A.80−B.40−C.40D.80【答案】C【解析】【分析】写出二项展开式的通项，令x的指数为4，求出参数的值，代入通项即可求得结果.【详解】522xx−的展开式通项为()()5210315522kkkkkkkTCx

Cxx−−+=−=−，令1034k−=，解得2k=，因此，522xx−的展开式中4x的系数为()225240C−=.故选：C.3.设随机变量服从正态分布()24,N，若()6=0.1P，则()2=P()A

.0.1B.0.9C.0.8D.0.5【答案】B【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性计算．【详解】由已知(2)(6)0.1PP==，所以(2)1(2)10.10.9PP=−=−=．故选：B．4.甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概

率为1P，乙解决这个问题的概率为2P，那么以121PP−为概率的事件是()A.甲乙两人至少有一人解决了这个问题B.甲乙两人都解决了这个问题C.甲乙两人至多有一人解决了这个问题D.甲乙两人都未能解决这个问题【答案】C【解析】【分析】根据相互独立事件与对立事件的概率公式求解即可【详解】根据

题意，甲解决这个问题的概率为1P，乙解决这个问题的概率为2P，则甲乙同时解决了这个问题为12PP，事件“甲乙同时解决了这个问题”与事件“甲乙两人至多有一人解决了这个问题”为对立事件，则甲乙两人至多有一人解

决了这个问题的概率为121PP−，故选：C5.函数()yfx=的导函数()yfx=的图象如图所示，则()A.3−是函数()yfx=的极大值点B.()yfx=在区间()3,1−上单调递增C.1−是函数()yfx=的最小值点D.()yfx=在0x=

处切线的斜率小于零【答案】B【解析】【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点、最值点、切线斜率的正负．【详解】根据导函数图象可知：当(),3x−−时，()0fx，在

()3,1x−时，()0fx函数()yfx=在(),3−−上单调递减，在()3,1−上单调递增，3−是函数()yfx=的极小值点，故A错误，B正确；∴在()3,1−上单调递增，1−不是函数()yfx=的最小值点，故C不正确；∴函数()yfx=在0x=

处的导数大于0，切线的斜率大于零，故D不正确.故选：B6.2021年春节临近在河北省某地新冠肺炎疫情感染人数激增，为防控需要，南通市某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测

采样工作，则选派的三人中至少有1名女医生的概率为()A.2328B.514C.1556D.27【答案】A【解析】【分析】从8人选3人共有38C种方法，先的3人中至少有1名女医生的有(3385CC−)种方法，然

后利用古典概型的概率公式求解即可【详解】解：由题意得，从5名男医生和3名女医生中选派3人共有38C种方法，而选派的三人中至少有1名女医生的有(3385CC−)种方法，所以所求概率为3385385610235628CCC−

−==，故选：A7.设函数()fx是奇函数()()fxxR的导函数，且满足()20f=，当0x时，()()0xfxfx+，则使得()0fx成立的x的取值范围是()A.()2,+B.()(),

22,+−−C.()()2,02,+−UD.()(),20,2−−U【答案】D【解析】【分析】引入新函数()()gxxfx=，确定奇偶性，由导数确定单调性，然后解不等式()0fx，转换为0()0xgx或0()0xgx，再

求解．【详解】设()()gxxfx=，则()()()gxxfxxfx−=−−=()gx=，()gx是偶函数，()()()0gxfxxfx=+在0x时成立，所以()gx在(0,)+上递减，在(,0)−上递增，(2

)(2)2(2)0ggf−===，(0)0g=，()0fx，当0x时，()()0gxxfx=，02x，0x时，()0fx，2x−，综上，不等式的解为(,2)(0,2)−−．故选：D．8.1999年12月1日，大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》，大足石刻创于晚

唐，盛于两宋，是中国晚期石窟艺术的杰出代表作.考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的含量M(单位：太贝克)随时间t(单位：年)的衰变规律满足函数关系：()573002tMtM−=，其中0M为0t=时碳14的含量，已知5730t=时

，碳14的含量的瞬时变化率是ln220−(太贝克/年)，则()2865M=()太贝克.A.573B.57322C.5732D.1146【答案】B【解析】【分析】根据指数函数模型列式计算，先求得0M，再计算(2865)M．【详解】由题意05730ln2(

)25730tMMt−=−，所以573005730ln2ln2(5730)2573020MM−=−=−．0573M=．所以285657305732(2856)57322M−==．故选：B．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的

四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.)9.已知函数()31,0sin,0xxfxxx+=，则下列说法不正确的是()A.()fx是非奇非偶函数B.()fx是增函数C.()fx

是周期函数D.()fx的值域是)1,−+【答案】BC【解析】【分析】画出分段函数的图象，由图象可分析奇偶性，单调性，周期性和值域，进而作出判定.【详解】画出分段函数的图象，如图所示.由图可知：可知函数为非奇非偶函数，故A正确；函数在0x的部分有增有减，不是单调函数，故

B错误；函数在0x部分最小正周期为2π，但是()()02ff,∴函数在定义域内不是周期函数，故C错误；函数的最小值为1−，函数没有最大值，0x部分值域为1,1,0x−部分值域为()1,+,∴函数的值域是)1,−+，故D正确.∴错误的是BC，故选：BC

.10.下列说法正确的是()A.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量x，y线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为ˆ0.3yxm=−，若样本中心点为(),2.8m−，则4m=B.已知随机变量X的数学期望()2EX=，若21YX=−，则()3EY=C.用相关指数2R来刻画回

归的效果，2R的值越接近0，说明模型的拟合效果越好D.已知袋中装有大小完全相同的2个红球和2个黑球，若有放回地从中摸球，用事件1A表示“第一次摸到红球”，事件2A表示“第二次摸到黑球”，则事件1A与事件2A是相互独立事件【答案】ABD【解析

】【分析】把中心坐标代入回归方程求得参数m判断A，根据数据线性变换后均值的关系计算()EY判断B，由相关指数的定义判断C，由独立事件的定义判断D．【详解】A．由2.80.3mm−=−得4m=，A正确；B．由21YX=−得()2()13EYEX=−=，B

正确；C．用相关指数2R来刻画回归的效果，2R的值越接近1，说明模型的拟合效果越好，C错；D．有放回地摸球，第一次与第二次摸球，摸出什么球，没有任何影响，它们是独立的．D正确．故选：ABD．11.欧拉

在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：cosisinie=+(把()cossiinzr=+称为复数的三角形式，其中从ox轴的正半轴到向量OZuuur的角叫做复数()i,zababR=+的辐角，把向量OZuuur的

长度r叫做复数的模)，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数()111111iciossinzrer==+，()222222iciossinzrer==+，则我们可以简化复数乘法：()()()()122i121211212

icossinzzrrerr+==+++.根据以上信息，下列说法正确的是()A.若cosisinz=+，则有i10e+=B.若1r=，3=，则31z=C.若()cossiinzr=+，则()icossinnnzrnn=+D.

设20211i2z+=，则z在复平面上对应的点在第一象限【答案】AC【解析】【分析】根据题干所给出的新定义判断各个选项即可．【详解】解：对于A，i1(cosisin)1110e+=++=−

+=，故A正确；对于C，由棣莫弗定理可知，两个复数1z，2z相乘，所得到的复数的辐角是复数1z，2z的辐角之和，模是复数1z，2z的模之积，所以nz的辐角是复数z的辐角的n倍，模是||nz，故C正确；对于B，cossin33zi=+，所以331(cosisin)1z

=+=−，故B错误；对于D，设i431icosisin442ze+==+=，故20215ii2021202144355221cosisini4422zzee====+=−−，故复数z在复平面上所对应的点为22,22−−，不在第一象限

，故D错误．故选：AC．12.下列命题为真命题的是()A.ln33ln2B.lneC.17217D.15215【答案】ACD【解析】【分析】设()lnxfxx=，由导数确定函数的单调性，然后对各选项不等式进行变形，结合函数()f

x的形式，在变形中有时只要寻找到充分条件即可得不等式成立．注意函数的单调区间．【详解】设()lnxfxx=，则21ln()xfxx−=，0xe时，()0fx，xe时，()0fx，()fx在()0,e上单调递增，()

,e+单调递减.所以，A选项ln3ln3ln2ln33ln2ln2233，32e成立；B选项lnlnlneeelnlnee，而0ee，故lnlnee，所以不成立；C选项1717ln17ln17ln2ln4217ln2ln17

17ln2ln17ln2241717=，而174e，成立D选项1515ln15ln2ln4215ln21515ln2ln152415=，415e，成立．故选：ACD．【点睛】本题考查考查比较对数式、指数式的大小，解题关键是引入函数()lnxfxx=，由导数

确定函数的单调性，把各不等式与函数联系，再利用单调性判断，解题时注意寻找不等式成立的充分条件，不一定是充要条件．第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知随机变量()10.~,04BX，则()DX=_______________________.【答案

】2.4【解析】【分析】利用二项分布的方差求解即可.【详解】因为随机变量()10.~,04BX，所以()100.40.62.4DX==.故答案为：2.4.14.函数()()ln2fxxax=+−在()1,3上单调递增，则实数a的取值范围是_____

__________________.【答案】15a【解析】【分析】分析可知()0fx对任意的()1,3x恒成立，结合参变量分离法可求得实数a的取值范围.【详解】因为()()ln2fxxax=+−，则()12fxax=−+，由题意可知，(

)0fx对任意的()1,3x恒成立，即不等式12ax+对任意的()1,3x恒成立，当()1,3x时，111,253x+，故15a.故答案为：15a.15.学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班，每天安排2人，每人值班1

天；若6位老师中的甲不值12日，乙不值14日且甲、乙不在同一天值班，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据题意，分两步进行分析：①将6人分为3组，要求甲、乙不在同一组；②分类讨论三组的安排方法，结合分步计数原理可得结果.【详解】

根据题意，分以下两步进行分析：①将6人分为3组，要求甲、乙不在同一组，有222644323212CCCAA−=种分组方法；②若甲所在的组在14日值班，有222A=种安排方法，若甲所在的组在13日值班，则乙所在的组必须在12日值班，只有1种安排方法，此

时，共有3种安排方法.综上所述，不同的安排方法种数为12336=.故答案为：36.16.设()yfx=是()yfx=的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320axbxdafxcx=+++的图象都有对称中心(

)()00,xfx，其中0x满足()00fx=.(1)函数()321313gxxxx=−++的对称中心为______________；(2)现已知当直线()10kxykkR−−+=和()3253hxaxbx=++的图象交于()1

1,Axy、()22,Bxy、()33,Cxy()123xxx三点时，()hx的图象在点A、点C处的切线总平行，则过点(),ba可作()hx的___________条切线.【答案】①.101,3②.2【解析】【分析】(1)解方

程()0gx=求得1x=，求出()1g的值，即可得出函数()gx的对称中心坐标；(2)分析出函数()hx的对称中心为()1,1，可得出关于实数a、b的方程组，解出这两个未知数的值，可得出函数()hx的解析式，设出切点坐标，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出关于0x的方程，解方

程即可得出结论.【详解】(1)()321313gxxxx=−++Q，则()223gxxx=−+，()22gxx=−，由()220gxx=−=，可得1x=，且()1013g=，故函数()321313gx

xxx=−++的对称中心为101,3；(2)()hx的图象在点A、点C处的切线总平行，所以，点A、C关于()hx的对称中心对称，故点B为函数()hx的对称中心，又因为直线()10kxykkR−−+=

恒过定点()1,1，所以，函数()hx的对称中心为()1,1，即点()1,1B，因为()3253hxaxbx=++，则()232hxaxbx=+，()62hxaxb=+，所以，()()51131620habhab=++=

=+=，解得131ab==−，即()321533hxxx=−+，则()22hxxx=−.所以，函数()hx在0xx=处的切线方程为()()3220000015233yxxxxxx−−+=−−，即()()2320000015233yxxxxxx=

−−+−+，将点11,3−代入切线方程得()()2320000015121333xxxxx−−−+−+=，整理得300320xx−−=，即()()200120xx+−=，解得01x=−或02x=.故过点(),ba的函数()hx的图象的切线有2条.故答案为：(1

)101,3；(2)2.四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知复数()10zmnimn=+满足134z=，1z的实部与虚部的积为15.(1)求1z；(2)设()()()2222343zaaaai

aR=−−+−+，，求a的值.从①12zz=；②2z为纯虚数；③2z在复平面上对应点的坐标为()3,3−.这三个条件中选一个，将问题(2)补充完整，并作答.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

)【答案】(1)153zi=+；(2)答案见解析.【解析】【分析】(1)由已知，利用复数的模的计算公式和实部虚部的概念列出方程组，求得m,n的值，进而得解；(2)根据各个条件，选择其中之一，或者根据复数相等的条件，或者根据复数为纯虚数的条件，或者根据复数的几何意义对应的点的坐标的意义，列出方程组

求解即得.【详解】(1)解：由223415mnnm+==，0mnQ，解得5m=，3n=所以153zi=+.(2)153zi=+Q若选①，由12zz=，则22235433aaaa−−=−+=，解得4a=若选②，由题意22230430aaaa−−=−+，解得1a=−

若选③，由题意22233433aaaa−−=−−+=，解得0a=.18.设201213nnnxaaxaxax−=++++L，且已知13nx−展开式中所有二项式系数之和为1024.(1)求n的值以及二项式系数最大的项；(

2)求212333nnaaa+++L的值.【答案】(1)5281027nx=−，；(2)1−.【解析】【分析】(1)利用二项式系数和为21024n=求得n的值，根据二项式系数的性质，中间项系数最大，求得系数最大的项；(2)令0x=，得01a=；再令3x=,即可

求得.【详解】(1)由题意21024n=，10n=，562827Tx=−.10n=，二项式展开式中共有11项，所以二项式系数最大的项为第6项，即555551105551125228C12523324327Txxxx+=−=−=−=−.(2)令0x=，得01a=.令3x=，得

2120333nnaaa=+++L.所以2123331nnaaa+++=−L.19.为了丰富高2022届学生的课余活动，年级决定进行班级之间的乒乓球比赛.甲、乙两个班进行比赛，每场比赛采取“5局3胜制”(即有一个班先胜3局即获胜，比赛结束).

比赛排名采用积分制，规则如下：比赛中，以3:0或3:1获胜方记3分，失败方记0分；以3:2获胜方记2分，失败方记1分.已知甲、乙两个班比赛，假设每局比赛甲获胜的概率都是23.(1)求比赛结束时恰好打了5局的概率；(2)甲、乙两个班比赛1场后，求乙班的积分的分布列及期望.

【答案】(1)827；(2)分布列见解析，5981.【解析】【分析】(1)比赛结束时恰好打了5局，说明前4局各胜2局，第5局随便哪个胜均结束，由此可得概率；(2)可能的取值为：0，1，2，3，分别计算出概率得分布列，由期望公式计算期望．【详解】(1)

()22242183327PCC==(2)随机变量可能的取值为：0，1，2，3()32232212160333327PC==+=()222421216133381PC===()22242118

233381PC===()322311211333339PC==+=所以的分布列为0123P1627168188119()161681590123278181981E

=+++=20.某传染病感染人群大多数是50岁以上的人群，某传染病进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.如果认为超过8天的潜伏期为“长潜伏期”，现对400个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，其中50

岁以上的人群共280人，50岁以上的人群中潜伏期为“长潜伏期”有60人，50岁及50岁以下潜伏期为“非长潜伏期”有80人.按照年龄统计样本，得到下面的22列联表.长潜伏期非长潜伏期合计50岁以上50岁及50岁以下合计(1)完成上面的22列联表，并判断是否有9

5%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；(2)以题目中的样本频率视为概率，设900个病例中恰有()*kkN个属于“长期潜伏”的概率是()Pk，当k为何值时，()Pk取得最大值.附：()()()()()22nadbcKabcd

acbd−=++++()20PKk0.10.050.0100k2.7063.8416.635【答案】(1)列联表见解析，有；(2)225k=.【解析】【分析】(1)根据题意计算有关量，可填写列联表，然后进行

卡方检验即可；(2)判定随机变量k服从二项分布，利用二项分布概率公式，研究相邻项的比值()()1PkPk−与1的大小关系，进而研究单调性，从而求得.【详解】(1)50岁以上的人群共280人，∴50岁及50岁以下有400-280=120人，50岁以上的人群中潜伏期为“长潜伏期”有

60人，∴50岁以上的人群中潜伏期为“非长潜伏期”的有280-60=220人，50岁及50岁以下潜伏期为“非长潜伏期”有80人，∴50岁及以下潜伏期为“非长潜伏期”有120-80=40人，∴长潜伏期共有100人，非常潜伏期有300人，列出列联表如下表所示：长潜伏期

非长潜伏期合计50岁以上6022028050岁及50岁以下4080120合计100300400依题意，()224006080402206.35100300280120K−=由于6.353.841，故有95%的把握认

为“长期潜伏”与年龄有关.(2)由于400个病例中有100个属于长期潜伏，以样本频率估计概率，则一个患者属于“长潜伏期”的概率为14，于是()90090013C44kkkPk−=，则()()90090090019011

900190013CC4413C13C44kkkkkkkkPkPk−−−−−==−()()()900!!900!1190119011900!3331!901!kkkkkkk−−===−−−当90104k时，()

()11PkPk−；当9019004k时，()()11PkPk−.()()()12225PPPL，()()()225226900PPPL故当225k=时，()Pk取得最大值.21.已知函数()()()222ln2afxxa

xxaR=−++.(1)若0a=，求函数()fx的极值；(2)若1x=是函数()fx的极小值点，求实数a的取值范围.【答案】(1)极大值为2−，无极小值；(2)()2,+【解析】【分析】(1)将0a=代入，根据函

数单调性与函数极值的关系即可求解.(2)求出()fx，对a进行分类讨论，再根据1x=是函数()fx的极小值点，即可求解.【详解】解：(1)0a=Q，()22lnfxxx=−+，()()212222xxfxxxx−−−+=−+==，

又0xQ>()0fx，()0,1x；()0fx，()1,x+，即()fx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，()fx在1x=取到极大值为()1212ln12f=-?=-，无极小值；(2)由

()()()()()2221222axaxxaxfxaxaxxx−++−−=−++==，0xQ>当0a时，()0,1x，()0fx，()fx单调递增；()1,x+，()0fx，()fx单调递减，此时1x=是极大值点，不满足题意；当

0a时，令()0fx=，得1x=或2xa=，(ⅰ)当2a时，20,xa，()0fx，()fx单调递增；2,1xa，()0fx，()fx单调递减；()1,x+，()0fx，()fx单调递增；此

时1x=是极小值点，满足题意；(ⅱ)当2a=时，()0fx，无极值点，不满足题意；(ⅲ)当02a时，()0,1x，()0fx，()fx单调递增；21,xa，()0fx，()fx单调递减；2,

xa+，()0fx，()fx单调递增.此时1x=是极大值点，不满足题意；综上所述：a的取值范围为()2,+.22.已知函数()lnfxxxx=−.(1)设曲线()yfx=在xe=处的切线为()ygx=，求证：()()fxgx；(2)若关于x的方程()fxa=有

两个实数根1x，2x，求证：2112xxaee−++.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)由导数求出切线方程()ygx=，然后引入新函数()()()hxfxgx=−，由导

数求得它的最小值是0即证；(2)不妨设12xx，直线yxe=−与ya=相交于点()0,xa，利用11()()fxgx通过0x转换证得10xxae=+，再证21xae−−，它通过证明()2210fxxe++完成，只要引入新函

数1()()xfxxe=++即可证．【详解】(1)因为()lnfxx=，()ln1fee==，()0fe=，()fx在xe=处的切线为0yxe−=−即()gxxe=−.令()()()()lnln2hxfxgxxxxxexxxe=−=−−−=−+，()ln1

hxx=−于是当()0,xe时，()0hx；当(),xe+时，()0hx.所以()hx在()0,e上单调递减，在(),e+上单调递增；故()()0hxhe=，所以()()fxgx(2)不妨

设12xx，直线yxe=−与ya=相交于点()0,xa，由(1)知：()()fxgx，则()()1011fxaxegxxe==−=−，从而10xxae=+.下证：21xae−−.由于()2afx=，所以要

证()22211xaxfxee−−−−，即证：()2210fxxe++.令()1lnxxxe=+，()1lnxx=+，当10,ex时，()0x；当1,xe+时，()0x()x

在10,e上单调递减，在1,e+上单调递增()10xe=，所以21xae−−成立，当且仅当21xe=，2ae=−时取等号.由于等号成立的条件不能同时满足，2112112xxxxaeaaeee−=

−+−−−=++.【点睛】本题考查用导数证明函数不等式，证明方法把不等式变形为()0hx，然后由导数求得函数()hx的最小值0()hx，则0)(0hx可得．对于涉及到方程两个根12,xx的不等式，一般是通过两根关系(

有是与参数a的关系)，进行转化变形为一元不等式，再引入新函数得到证明，本题不等式比较特殊，证明方法是不妨役12xx，然后计算1xae+，21xae−−，两个等号不能同时取得，由此证得不等式成立．