【文档说明】新教材高二数学第二学期期末试卷一（原卷版+教师版）.doc，共(23)页，927.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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新教材高二数学第二学期期末试卷本试卷共6页，22题．考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的．1.设i为虚数单

位，复数z满足()12izi−=，则z=A.1B.2C.3D.22.已知3m，2331CCCmmm++−=()A.1B.mC.1m+D.03.已知()72670126712xaaxaxaxax+=+++++L，则01267aaaaa−+−+−=

L()A.1B.1−C.2D.2−4.2020年12月4日是第七个“国家宪法日”．某校开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为45，连续答对两道题的概率为12．用事件A表示“甲同学答对第一道题”，事件B表示“甲

同学答对第二道题”，则()PBA=()A.45B.310C.25D.585.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，90ACB=，12CACCCB==，则直线1BC与1AB直线夹角的余弦值为()A.5

5B.55−C.255−D.356.红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险．某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布()20.2,0.1N，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间()0

,0.1内的概率为()附：若随机变量服从正态分布()2,N，则()68.27%P−+=，()22Pμσξμσ−+=95.45%，()3399.74%P−+=A.31.74

%B.27.18%C.13.59%D.4.56%7.若直线12yxb=+是函数()fx的一条切线，则函数()fx不可能是()A.()xfxe=B.()fxx=C.()sinfxx=D.()3fxxx=+8.

设()()2112xfxxaexax=−−−+，若()fx在0x=处取得极小值，则实数a的取值范围是()A.(,0−B.()0,+?C.(),0-?D.)0,+二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9.随机变量x的取值为0，1，2．若()205Px==，()115Px==，则下列结论正确的是()A.()225Px==B.()1Ex=C.()212E

x+=D.()54Dx=10.直线l的方向向量为ar，两个平面，的法向量分别为nr，mur，则下列命题为真命题的是()A.若an⊥rr，则直线//l平面B.若//anrr，则直线l⊥平面C.若1cos,2an=rr，则直线l与平面

所成角的大小为π6D.若3cos,2mn=urr，则平面，所成锐角的大小为π611.在61xx−的展开式中，下列说法正确的有()A.第3项为215xB.常数项为20C.系数最大的项为第4项D.二项式系数最大的项为第4项12.已知函数()cosfxxx=，x

R，则下列说法正确的有()A.()fx是奇函数B.()fx是周期函数C.在区间0,2上，()fx有且只有一个极值点D.过()0,0作()yfx=的切线，有且仅有2条三、填空题：本大题共4小题，每小题5分

，共20分．把答案填在答题卡的相应位置，其中第15题，第一空2分，第二空3分．13.已知()lnfxxx=，()fe=_________．14.6位同学站成一排，要求甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间，则不同排法有______种．(用数字作答)15.已知一箱产品中有3件一等品，2件二等品，1件三

等品．若从箱中任意取出3件产品检测，则抽出的3件产品中恰好有三等品的概率是_______；若从箱中逐一不放回地抽取产品进行检测，直到第4次才抽出第二件一等品的概率是________．16.正六棱锥的侧面积为36，则此六棱锥的体积最大值为________四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答

应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知复数()2123izmmm=−+−−，其中mR，(1)若z是虚数时，求m的取值范围；(2)若复数表示的点在第四象限，求m的取值范围．18.设函数()()1xfxkxe=−(1)当2k=时，求曲线()y

fx=在点()()0,0f处的切线方程；(2)若函数()fx在区间()2,2−内单调递减，求k的取值范围．19.“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展．下表是近几年我省某地区

新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份x20162017201820192020销量y(万台)1.001.401.701.902.00某机构调查了该地区60位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如

下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主1248女性车主4总计60(1)求新能源乘用车的销量y关于x年份的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关；(2)请将上述22列联表补充完整，并判断是

否有99%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；参考公式：相关系数()()()()112222221111nntiiiiinnnniiiiiiiixxyyxynxyrxxyyxnxyny======−−−=

=−−−−；()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++；参考数据：()5210.66iiyy=−=，()()512.5iiixxyy=−−=，6.62.

6．备注：若0.75r，则可判断y与x线性相关．卡方临界值表：()20PKk0.1000.0500.0250.0100.0010k2.7063.8415.0246.63510.82820.如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，1ABAD==，2CD=，ABAD⊥，PC⊥平面ABCD，

E为PC的中点．(1)求证：直线//BE平面PAD；(2)若三棱锥DBCE−的体积为13，求二面角CAPD−−的正弦值．21.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测

会呈现阳性，否则为阴性．某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为14．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病

毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下三种方案：方案一：逐个化验；方案二：四个样本混合在一起化验；方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，

再分组化验．在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？做出判断并说明理由．2

2.已知函数()()21lnxxxfx=+−．(1)讨论函数()()gxxfx=的单调性，并求()fx的最小值；(2)若不等式11naen−+对任意*nN的恒成立，求实数a的取值范围．新教材高二数学第二学

期期末试卷本试卷共6页，22题．考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的．1.设i为虚数单位，复数z满足()12izi−=，则z=A

.1B.2C.3D.2【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．【详解】由z(1﹣i)＝2i，得z()()2121111)iiiiiii+===−+−−+，∴|z|2=．故选B．【点睛】本题考查复数代数

形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.已知3m，2331CCCmmm++−=()A.1B.mC.1m+D.0【答案】D【解析】【分析】利用组合数公式求解即可.【详解】11213333C0CCCCmmmmm++++−−==.故选：D3.已知()7267012

6712xaaxaxaxax+=+++++L，则01267aaaaa−+−+−=L()A.1B.1−C.2D.2−【答案】B【解析】【分析】利用赋值法求解.【详解】因为()72670126712xaaxaxaxax+=+++++L，令1x=−，得()()70126

71211aaaaa−+−+−=+−=−L，故选：B4.2020年12月4日是第七个“国家宪法日”．某校开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为45，连续答对两道题的概率为12．用事件A

表示“甲同学答对第一道题”，事件B表示“甲同学答对第二道题”，则()PBA=()A.45B.310C.25D.58【答案】D【解析】【分析】利用条件概率公式求解.【详解】事件A表示“甲同学答对第一道题”，事件B表示“甲同学答对第二道题”，则甲同学答对第一道题

的概率为()45PA=，连续答对两道题的概率为()12PAB=，所以()()()152485PABPBAPA===，故选：D5.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，90ACB=，12CACCCB==，则直线1BC与1AB直线夹角的余弦值为()A.55B.55−C.

255−D.35【答案】A【解析】【分析】首先以C为原点，CA，CB，1CC分别为x，y，z轴建系，设122CACCCB===，再利用向量法求解即可.【详解】以C为原点，CA，CB，1CC分别为x，y，z轴建系，如图所示：设

122CACCCB===，则()2,0,0A，()0,1,0B，()10,1,2B，()10,0,2C，所以()12,1,2AB=−uuur，()10,1,2BC=−uuuur.设直线1BC与1AB直线夹角为，则111135cos541414ABBCABBC===+++uuuu

ruuuuruuuuruuuur.故选：A6.红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险．某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布()20.2,0.1N，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量

体温误差在区间()0,0.1内的概率为()附：若随机变量服从正态分布()2,N，则()68.27%P−+=，()22Pμσξμσ−+=95.45%，()3399.74%P−+=A.31.74%B.

27.18%C.13.59%D.4.56%【答案】C【解析】【分析】首先由题意可知0.2,0.1==，结合题意和对称性得出(00.2)P，(0.10.2)P，再由()00.1(00.2)(0.10.2)PPP=−，即可得出答案.【详解】由题意可知0.2,

0.1==结合题意，并且根据对称性得出(00.2)0.954520.47725P==，(0.10.2)0.682720.34135P==，再由()00.1(00.2)(0.10.2)0.477250.341350.1

35913.59%PPP=−=−==.故选：C7.若直线12yxb=+是函数()fx的一条切线，则函数()fx不可能是()A.()xfxe=B.()fxx=C.()sinfxx=D.()3fxxx=+【答案】D【解析】【分析】首先设切点()00,xy，由题知：()012f

x=，再依次判断选项即可.【详解】设切点()00,xy，由题知：()012fx=.对选项A，()xfxe=，所以012xe=，解得01ln2x=，故存在切线12yxb=+；对选项B，()12fxx=，所以01122x=，解得01x=，故存在切线12yxb=+；对选项C，()co

sfxx=，所以01cos2x=，解得023xk=+，kZ，故存在切线12yxb=+；对选项D，()231fxx=+，所以201312x+=无解，故不存在切线12yxb=+；故选：D8.设()()2112xfxxaexax=

−−−+，若()fx在0x=处取得极小值，则实数a的取值范围是()A.(,0−B.()0,+?C.(),0-?D.)0,+【答案】C【解析】【分析】由题可求导函数，再结合极小值的概念可得.【详解】∵()()2112xfxxaexax=−−−+，∴()(1)(1)()xxx

fxexaexaexa=+−−−+=−−由()0fx=得，0x=或xa=，∵()fx在0x=处取得极小值，由极小值的定义可知0a.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，

有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9.随机变量x的取值为0，1，2．若()205Px==，()115Px==，则下列结论正确的是()A.()225Px==B.()1Ex=C.()212Ex+=D.()54Dx=【答案】ABD【解析】【分析】由题意求出

(2)Px=即可判断选项A，根据随机变量均值和方差的计算公式即可判断选项BD，根据均值的性质即可判断选项C.【详解】由题意得，2(2)1(0)(1)5PxPxPx==−=−==，212()0121555Ex=++=，2222124()(01)(11)(12)5555

Dx=−+−+−=，(21)2()13ExEx+=+=.故选：ABD10.直线l的方向向量为ar，两个平面，的法向量分别为nr，mur，则下列命题为真命题的是()A.若an⊥rr，则直线//l平面B.若//anrr，则直线l⊥平面C.若1

cos,2an=rr，则直线l与平面所成角的大小为π6D.若3cos,2mn=urr，则平面，所成锐角的大小为π6【答案】BCD【解析】【分析】根据直线的方向向量与平面法向量之间的关系，逐一判断线面、面面关系即可得结论.【详解】对于A：若an⊥rr，则直

线//l平面或在平面内，故选项A不正确；对于B：若//anrr，则ar也是平面的一个法向量，所以直线l⊥平面；故选项B正确；对于C：直线与平面夹角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以

若1cos,2an=rr，则直线l与平面所成角的大小为π6，故选项C正确；对于D：若3cos,2mn=urr，则平面，所成锐角的大小为π6或5π6，故选项D正确，故选：BCD.11.在61xx−的展开式中，下列说法正确的有()A.

第3项为215xB.常数项为20C.系数最大的项为第4项D.二项式系数最大的项为第4项【答案】AD【解析】【分析】先求得61xx−的展开式的通项公式，再逐项判断.【详解】在61xx−的展开式的通项公式为(

)66216611rrrrrrrTxxxCC−−+=−=−，A.令2r=，得()222236115TxxC=−=，故正确；B.令620r−=，得3r=，所以常数项为()3346120TC=−=−，故错误；C.因为()33461200TC=−=−，故错误；D.因为二项

式的次数6n=，所以展开式共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，故正确，故选：AD12.已知函数()cosfxxx=，xR，则下列说法正确的有()A.()fx是奇函数B.()fx是周期函数C.在区间0,2上，()fx有且只有一个极值点D.过()0,0作()yfx=的切

线，有且仅有2条【答案】ACD【解析】【分析】利用奇偶函数的定义判断A；利用周期函数的定义判断B；利用函数的导数和极值的应用判断C；利用导数的几何意义求出切线方程即可判断D.【详解】A：由函数()cos()fxxxxR=，得()()cos()cos()f

xxxxxfx−=−−=−=−，故()fx为奇函数，故A正确；B：取一个数(0)aa，则()()fxafx+，所以()fx不是周期函数，故B错误；C：由题意得，()cossinfxxxx=−，令1

cossin=0tanxxxxx−=，当(0)2x，时，函数1yx=与tanyx=只有一个交点，即()=0fx在(0)2x，上有且只有一个解，所以()fx有且只有一个极值点，故C正确；D：设切点的横坐标为t，则切线方程为：cos(cossin

)()ytttttxt−=−−，由于直线过(0)0，，所以得到sin0tt=，解得0t=或tk=，所以直线方程为yx=，故D正确.故选：ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置，其中第15题，第一空2分，第二空3分．13.已知()

lnfxxx=，()fe=_________．【答案】2【解析】【分析】先求导数，然后令xe=即可.【详解】()lnfxxx=，则()11lnln1fxxxxx=+=+，则()1ln2fee=+=.故

答案为：2.14.6位同学站成一排，要求甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间，则不同排法有______种．(用数字作答)【答案】48【解析】【分析】利用分步原理计算即可【详解】先根据甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间有222A=种排法，把甲乙丙捆绑在

和剩下3位同学进行排列，有4424A=种排法，所以，总共有22448=种排法故答案为：4815.已知一箱产品中有3件一等品，2件二等品，1件三等品．若从箱中任意取出3件产品检测，则抽出的3件产品中恰好有三等品的概率是_______；若从箱中逐一不放回地抽取产品进行检测，直到第4次才抽出第

二件一等品的概率是________．【答案】①.12②.310【解析】【分析】(1)可求出共有3620C=种情况，恰有1件三等品共有2510C=种情况，即可得概率；(2)直到第4次才抽出第二件一等品的可能有事件为A:第一件一等品和第四件一等品；事件B：第二件一等品和第四件

一等品；事件C：第三件一等品和第四件一等品，可得()()()PPAPBPC=++，进而求解；【详解】(1)从6件产品中抽出3件，共有3620C=种情况，其中3件产品中恰有1件三等品共有2510C=种情况，所以抽出的3件产品中恰有1件三等品的概率是12；(2)设从箱中逐一不放回

地抽取产品进行检测，直到第4次才抽出第二件一等品的可能有事件为A:第一件一等品和第四件一等品；事件B：第二件一等品和第四件一等品；事件C：第三件一等品和第四件一等品，则()33221654310PA=创?，()3322165431

0PB=创?，()32321654310PC=创?从箱中逐一不放回地抽取产品进行检测，直到第4次才抽出第二件一等品的概率是3()()()10PPAPBPC=++=故答案为：①12；②310【点睛】关键点睛：把直到第4次才抽出第二件一等品的可能有事件设为A:第一件一等品和第四件一等品；事件

B：第二件一等品和第四件一等品；事件C：第三件一等品和第四件一等品，进而利用()()()PPAPBPC=++，求解即可，属于中档题.16.正六棱锥的侧面积为36，则此六棱锥的体积最大值为________【答案】24【解析】【分析】画图，设底面边长的一半为a，侧面与底面的夹角为，进而

表达出体积关于a和的关系，再消去得出体积与a的关系，求导分析最大值即可【详解】设此六棱锥顶点为S，其中一个侧面的三角形为SABV，S在底面的投影为O，作SPAB⊥于P，连接,,OAOBOP，设APa=，SPO=由

正六棱锥的性质可得,3APBPaOPa===，3coscosOPaSP==，又3666SABS==V，故13262cosaa=，即223cosa=，所以2cos23a=又正六棱锥的体积311623tan6tan32VaaOPa==2224266sin123sin1

231612612cos23aaaaaaaaa===−=−=−，设2ta=，则3612Vtt=−，设()()3120ftttt=−，则()()()2123322ftttt=−=−+，易得()ft的最大值为当20

−=t，即2t=时取得，此时3cos3=，36122224V=−=故答案为：24【点睛】本题主要考查了导数在解决立体几何最值问题中的运用，需要根据题意设合适的边长，再结合侧面积的值与夹角表达出体积，进而求导分析最值，属于难题四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤．17.已知复数()2123izmmm=−+−−，其中mR，(1)若z是虚数时，求m的取值范围；(2)若复数表示的点在第四象限，求m的取值范围．【答案】(1)1m−且3m；(2)()1,3.【解析】【分析】(1)根据z是虚数得出虚部不为0可求；(2)根据复数表示的点

在第四象限列出不等式即可求出.【详解】解：(1)∵z是虚数，∴2230mm−−，解得：1m−且3m；(2)复数z表示的点在第四象限，∴210230mmm−−−，即113mm−，得：13m

，所以，m的取值范围为()1,3.18.设函数()()1xfxkxe=−(1)当2k=时，求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；(2)若函数()fx在区间()2,2−内单调递减，求k的取值范围．【答案】(1)1

yx=−；(2)103k.【解析】【分析】(1)利用切线方程的公式直接求解即可；(2)根据()'0fx在区间()2,2−上恒成立，得到()10xkxke+−≤，进而得到10kxk+−≤，然后利用不等式的性质求解即可【详解】解：法一：(1)∵2k=，()()21xf

xxe=−，()01f=−，()()'21xfxxe=+，()'01f=∴()yfx=在在点()()0,0f处的切线方程为1yx=−(2)()()'1xfxkxke=+−∵函数()fx在区间()2,2−内单调递减，∴()'0fx在区间()2,2−上恒

成立；即()10xkxke+−≤，∵0xe∴10kxk+−≤即10kxk+−≤在区间()2,2−上恒成立∴210210kkkk−+−+−，解得113kk−≤≤，∴k的取值范围是113kk−≤≤法二：(1)同法一.(2)()()'1

xfxkxke=+−∵函数()fx在区间()2,2−内单调递减，∴()'0fx在区间()2,2−上恒成立()10xkxke+−≤，∵0xe∴10kxk+−≤即10kxk+−≤在区间()2,2−上恒成立设()1gxkxk=+−当0k=时，()10gx=−，符

合题意当0k时，()gx在()2,2−单调递减，()210gk−=−−≤，解得1k−，得10k−当0k时，()gx在()2,2−单调递增，()2310gk=−≤，解得13k，得103k∴k的取值范围是103k

【点睛】关键点睛：根据()'0fx在区间()2,2−上恒成立，得到10kxk+−≤，进而分类讨论或者利用数形结合求解，属于中档题19.“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展．

下表是近几年我省某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份x20162017201820192020销量y(万台)1.001.401.701.902.00某机构调查了该地区60位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部

分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主1248女性车主4总计60(1)求新能源乘用车的销量y关于x年份的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关；(2)请将上述22列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；参考公式：

相关系数()()()()112222221111nntiiiiinnnniiiiiiiixxyyxynxyrxxyyxnxyny======−−−==−−−−；()()()()()22

nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++；参考数据：()5210.66iiyy=−=，()()512.5iiixxyy=−−=，6.62.6．备注：若0.75r，则可判断y与x线性相关．卡方临界值表：()20PKk0.1000.050

0.0250.0100.0010k2.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)0.96，y与x的线性相关；(2)表格见解析，有.【解析】【分析】(1)代入相关系数的公式计算r再判断

即可；(2)补全表格，再求出2K再对比表中数据判断即可【详解】解：(1)由表格知：2018x=，10.6y=，∴()5214101410iixx=−=++++=由上，有()()()()515522112.52.50.960.752.6100.66tiiiiiixxyyrx

xyy===−−===−−，(备注：未算出0.96r，直接判断2.50.752.6r=的不扣分！)则y与x的线性相关．(2)依题意，完善表格如下：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主36

1248女性车主4812总计402060()22603684127.56.63540204812K−==故有99%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关．20.如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，1ABAD==，2CD=，ABAD⊥，PC⊥平面ABCD，E为P

C的中点．(1)求证：直线//BE平面PAD；(2)若三棱锥DBCE−的体积为13，求二面角CAPD−−的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)31010.【解析】【分析】(1)取PD的中点F，进而证明四边形ABEF是平行四边形，

得到BE∥AF，最后根据线面平行的判定定理得到答案；(2)利用等积法求出EC，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求出答案.【详解】(1)取PD的中点F，连接AF，EF，又∵E是PC的中点，∴EF∥CD，112EFCD==.∵

BA∥CD，1BA=，∴BA∥EF，且BAEF=，∴四边形ABEF是平行四边形，∴BE∥AF，∵BE平面PAD，AF平面PAD，∴BE∥平面PAD.(2)∵AB∥DC，AB⊥AD，∴∠ADC=90°，由AB=AD=1，则2DB=，且∠

ADB=45°，∴∠BDC=45°，∵DC=2，则在BDCV中，由余弦定理：22222cos4564222BCDBDCDBDC=+−=−=，∴2BC=，∴222BCBDDC+=，∴BD⊥BC.又

PC⊥底面ABCD，设ECh=，则111112233233DBCEEBCDBCDVVSEChh−−=====，解得1h=，∵E为PC的中点，∴2PC=.∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则

()1,0,0A，()0,2,0C，()0,0,0D，()0,2,2P，()1,2,2AP→=−，()1,0,0AD→=−，()0,0,2CP=uur.设平面ADP的一个法向量为(),,mxyz→=，则220000xyzmAPxmAD−++====uuuvvu

uuvv，令y=1，则()0,1,1m→=−.设平面ACP的一个法向量为(),,nabc→=，则220000abcnAPcnCP−++====uuuvvuuuvv，令b=1，则()2,1,0n→=.∴10|cos,|||10||||mnmnmn→→

→→→→==，∴二面角CAPD−−的平面角的正弦值为31010.21.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．某检测

点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为14．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一

个备份的样本逐一进行化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下三种方案：方案一：逐个化验；方案二：四个样本混合在一起化验；方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越

小，则方案越“优”．(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？做出判断并说明理由．【答案】(1)175256；(2)选择方案二最优，理由见解析.【解析】

【分析】(1)用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则1~4,4B，从而可求出答案；(2)分别研究三个方案的检测次数，对方案二和方案三要列出分布列，求出数学期望，并对数学期望进行比较,从而得出答案.【详解】(1)用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则1~4,4B

，由题意可知，4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率为()4117510114256Pξ−==−−=；(2)方案一：逐个检验，检验次数为4．方案二：混合在一起检测，记检测次数为X，则随机变量X的可能取值为1，5，所以()4181114256PX==−=

，()8117551256256PX==−=，所以随机变量X的分布列为：X15P81256175256所以方案二检测次数X的数学期望为()811752391525625664EX=+=；方案三：每组两个样本检测时，呈阴性的概率为2

191416−=，设方案三的检测次数为随机变量Y，则Y的可能取值为2，4，6，所以()2981216256PY===，()129712641616256PYC===，()2749616256PY===，所以随机变量Y的分布列为：Y2

46P8125612625649256所以方案三检测次数Y的期望为()8112649960152462562562562564EY=++==，因为()()4EXEY，所以选择方案二最优．22.已知函数

()()21lnxxxfx=+−．(1)讨论函数()()gxxfx=的单调性，并求()fx的最小值；(2)若不等式11naen−+对任意*nN的恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)()fx在()0,1上单调递减，()fx在()1,+上单调递增，

最小值为2；(2)11,ln2−+.【解析】【分析】(1)求出导函数，解不等式即可得到函数()()gxxfx=的单调性，进而可得最值；(2)两边取对，参变分离，构造新函数求最值即可.【详解】解：(1)∵()()21lnxxxfx=+−的定

义域为()0,+∴()212ln1xfxxx=−−()()12lngxxfxxxx==−−，则()()2222211221'10xxxgxxxxx−−+=+−==≥，所以()gx在()0,+上单调递增，且()10g=当()0,1x时，()0gx，()0f

x，则()fx在()0,1上单调递减；当(1,)x+时，()0gx，()0fx，则()fx在()1,+上单调递增；所以函数()()min12fxf==；(2)()1111ln111ln1naenaannnn−+−+−

+≤≤≥，令(111,2tn=+，则111lnatt−−，令()()11121lnhxxxx=−−≤，则()()()()2221ln21lnxxxhxxx+−−=−，∵(1,2x，再由(1)知()21ln2xxx+−

，即()0hx，则()hx在(1,2上单调递增所以()()max121ln2ahxh==−≥，∴max11111lnln2tt−=−−所以a的取值范围为11,ln2−+．