【文档说明】2023年人教版数学九年级上册《二次函数与图形面积问题》专项练习(含答案).doc，共(17)页，436.229 KB，由MTyang资料小铺上传

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2023年人教版九年级上册《二次函数与图形面积问题》专项练习1.如图，在平面角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(﹣1，8)并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为(3，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△BCP的面积．2.如图，经过原点O的抛物线y＝a

x2＋bx(a≠0)与x轴交于另一点(32，0)，在第一象限内与直线y＝x交于点B(2，t).(1)求抛物线的解析式;(2)在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标.3.如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋

c与两坐标轴分别交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；(2)F(x，y)是抛物线上的动点，当x>1，y>0时，求△BDF面积的最大值．4.如图，抛物线y=12x2﹣32x﹣2与x轴交于A，B

两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称.(1)求点A，B，C的坐标;(2)求直线BD的解析式;(3)在直线BD下方的抛物线上是否存在一点P，使△PBD的面积最大?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.5.如图，抛物线经过A(

4，0)，B(1，0)，C(0，﹣2)三点．(1)求此抛物线的解析式(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．6.如图，抛物线过错误!未找到引用源。轴上两点A(9,0)，C(﹣3,0)，且与y轴交于点B(0,﹣12)．(1)求抛物线的解析式；(

2)若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值．7.如图，已知抛物线的

顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.(1)求此抛物线的解析式；(2)求C、D两点坐标及△BCD的面积；(3)若点P在x轴上方的抛物线上，满足2S△PCD=S△BCD，求点P的坐标.8.如图，抛物线y＝a

x2＋bx(a＜0)过点E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边)，点C，D在抛物线上．设A(t，0)，当t＝2时，AD＝4.(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

(3)保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．9.如图，已知抛物线经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是线段BC上的点(

不与B，C重合)，过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；(3)在(2)的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数cbxxy++=

2的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求b,c的值．（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形CPPO，那么是否存在点P，

使四边形CPPO为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.11.如图，抛物线

y=ax2＋bx(a≠0)交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B.(1)求a，b的值.(2)P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP.设点P的横坐标为

m，△OBP的面积为S，记K=.求K关于m的函数表达式及K的范围.12.如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x＋a(a≠0)与y轴相交于A点，顶点为M，直线y＝12x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值

范围，并用a表示点M，A的坐标．(2)将△NAC沿着y轴翻折，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．(3)在抛物线y＝﹣x2﹣2x＋a(a＞0)上是否存在点Q，使得以Q，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案1.解：(1)错误!未找到引用源。抛物线错误!未找到引用源。经过点错误!未找到引用源。与点错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。解得：错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。抛物线的解析式为：错误!未找

到引用源。(2)错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。过点错误!未找到引用源。作错误!未找到引用源。轴于点错误!未找到引用源。，过点错误!未找到引用源。作错误!未找到引用源。轴交直线错误!未找到引用源。于点错误!未找到引用源。，过点错误!未找到引用源。作错误!未找到引用源。轴叫

直线错误!未找到引用源。于点错误!未找到引用源。，如图所示：错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。2.解：(1)因为B(2，t)在直线y＝x上，所以t＝2.所以点B的坐标为(2，

2).因为抛物线经过A(32，0)，B(2，2)两点，所以解得所以抛物线的解析式是y＝2x2﹣3x.(2)如图，过点C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过点B作BF⊥CD于点F，因为点C是抛物线上第四象限的点，所以设C(m，2m2﹣3m)，则E(m，0)，D(m，m)，所以OE

＝m，BF＝2﹣m，CD＝m﹣(2m2﹣3m)＝﹣2m2＋4m.所以S△OBC＝S△CDO＋S△CDB＝12CD·OE＋12CD·BF＝12CD·(OE＋BF)＝12(﹣2m2＋4m)(m＋2﹣m)＝﹣2m2＋4m.因为△OBC的面积为2，所以﹣2m2＋4m＝2，解得m1＝m2＝1.所以点C

的坐标为(1，﹣1).3.解：(1)将A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得a－b＋c＝0，9a＋3b＋c＝0，c＝3，解得a＝－1，b＝2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3.∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，∴

顶点D的坐标为(1，4)．(2)过点F作FF1∥y轴，交BD于点F1，如图所示．设直线BD的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，将(3，0)，(1，4)分别代入y＝mx＋n，得3m＋n＝0，m＋n＝4，解得m＝－2，n＝6，∴直线BD的解析式为y＝﹣2x＋6.∵点F的坐标为(x，﹣x2

＋2x＋3)，∴点F1的坐标为(x，﹣2x＋6)，∴FF1＝﹣x2＋2x＋3﹣(﹣2x＋6)＝﹣x2＋4x﹣3，∴S△BDF＝12FF1·(xB﹣xD)＝﹣x2＋4x﹣3＝﹣(x﹣2)2＋1.∵﹣1＜0，∴当x＝2时，S△BDF取得最大值，最大值为1.4.解：

(1)解方程12x2﹣32x﹣2＝0，得x1＝﹣1，x2＝4.所以点A的坐标为(﹣1，0)，点B的坐标为(4，0).当x＝0时，y＝﹣2，所以点C的坐标为(0，﹣2).(2)因为点D与点C关于x轴对称，所以点D的坐标为(0，2).设直线BD的

解析式为y＝kx＋b，则解得所以直线BD的解析式为y＝﹣12x＋2.(3)存在.理由如下：如图，作PE∥y轴交BD于E，设P(m，12m2﹣32m﹣2)，则E(m，﹣12m＋2)，所以PE＝﹣12m＋2﹣(12m2﹣32m﹣2)＝﹣12m2＋m＋4.所以S△PBD＝12PE·(xB﹣xD)＝12×

(﹣12m2＋m＋4)×4＝﹣m2＋2m＋8＝﹣(m﹣1)2＋9.因为﹣1<0，所以m＝1时，△PBD的面积最大，面积的最大值为9.所以点P的坐标为(1，﹣3).5.解.(1)∵该抛物线过点C(0，﹣2)，设该抛物

线的解析式为y＝ax2＋bx﹣2.将A(4，0)，B(1，0)代入，得16a＋4b－2＝0，a＋b－2＝0.解得a＝－12，b＝52.∴此抛物线的解析式为y＝﹣12x2＋52x﹣2.(2

)设D点的横坐标为t(0<t<4)，则D点的纵坐标为﹣12t2＋52t﹣2.过D作y轴的平行线交AC于E.由题意可求得直线AC的解析式为y＝12x﹣2.∴E点的坐标为(t，12t﹣2)．∴DE＝﹣12t2＋52t﹣2﹣(12t﹣2)＝﹣12t2＋2

t.∴S△DCA＝12×(﹣12t2＋2t)×4＝﹣t2＋4t＝﹣(t﹣2)2＋4.∴当t＝2时，△DCA面积最大．∴D(2，1)．6.解：(1)因抛物线过错误!未找到引用源。轴上两点错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。故设

抛物线解析式为：错误!未找到引用源。．又错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。；(2)如图2，设直线错误!未找到引用源。的解析式为错误!未找到引用源。．错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。错误!未找到引用源

。，解得，错误!未找到引用源。，则直线错误!未找到引用源。的函数关系式为错误!未找到引用源。．设点错误!未找到引用源。的横坐标为错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。．①若四边形错误!未找到引用源。为平行四边形，则错误!未找

到引用源。错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。△错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。此方程无实数根，错误!未找到引用源。不存在这样的点错误!未找到引用源。，使得四边形错误!未找

到引用源。恰为平行四边形．②错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。最大值错误!未找到引用源。此时错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错

误!未找到引用源。．7.解：(1)∵抛物线的顶点为A(1，4)，∴设抛物线的解析式y=a(x﹣1)2＋4，把点B(0，3)代入得，a＋4=3，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2＋4；(2)由(1)知，抛物线的解析式为y=﹣(x﹣

1)2＋4；令y=0，则0=﹣(x﹣1)2＋4，∴x=﹣1或x=3，∴C(﹣1，0)，D(3，0)；∴CD=4，∴S△BCD=12CD×|yB|=12×4×3=6；(3)由(2)知，S△BCD=12CD×|yB|=12×4×3=6；CD=4，∵

S△PCD=12S△BCD，∴S△PCD=12CD×|yP|=12×4×|yP|=3，∴|yP|=32，∵点P在x轴上方的抛物线上，∴yP＞0，∴yP=32，∵抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2＋4；∴32=﹣(x﹣1)

2＋4，∴x=1±102，∴P(1＋102，32)，或P(1﹣102，32).8.解：(1)抛物线的函数表达式为y＝－14x2＋52x；(2)由抛物线的对称性得BE＝OA＝t，∴AB＝10－2t，当x＝t时，AD＝－14t2＋52t，∴矩形A

BCD的周长＝2(AB＋AD)＝2[(10－2t)＋(－14t2＋52t)]＝－12t2＋t＋20＝－12(t－1)2＋412，∵－12＜0，∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为412；(3)如图，当t＝2时，点A，B，C，D的坐标分别为(2，0)，(8，0)，(

8，4)，(2，4)，∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为(5，2)，∵直线GH平分矩形的面积，∴点P是GH和BD的中点，∴DP＝PB，由平移知，PQ∥OB，∴PQ是△ODB的中位线，∴PQ＝12OB＝4，所

以抛物线向右平移的距离是4个单位．9.解：(1)y=﹣x2＋2x＋3(2)易求直线BC的解析式为y=﹣x＋3，∴M(m，﹣m＋3)，又∵MN⊥x轴，∴N(m，﹣m2＋2m＋3)，∴MN=(﹣m2＋2m＋3)﹣(﹣m＋3)＝﹣m2＋3m(0＜m＜

3)(3)S△BNC=S△CMN＋S△MNB=12|MN|·|OB|，∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大，MN=﹣m2＋3m=﹣(m﹣32)2＋94，所以当m＝32时，△BNC的面积最大为154.10.解：（1）将B、C两点的坐标代入得

−==++3039ccb解得：−=−=32cb所以二次函数的表达式为：322−−=xxy（2）存在点P,使四边形CPPO为菱形.设P点坐标为（x,322−−xx）,PP交CO于E若四边形C

PPO是菱形，则有PC＝PO．连结PP，则PE⊥CO于E，∴OE=EC=23∴y=23−．∴322−−xx=23−解得1x=2102+，2x=2102−（不合题意，舍去）∴P点的坐标为（2102+，23−）（3）过点

P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，322−−xx），易得，直线BC的解析式为3−=xy则Q点的坐标为（x，x－3）.FBQPOFQPOCABSSSSCPQBPQABCABPC++=++=212121四边形3)3(2134212+−+=x

x=87523232+−−x当23=x时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为−415,23，四边形ABPC的面积875的最大值为．11.解：(1)将x=2代入y=2x，得：y=4，∴点M(2，4)，由题意，

得：，∴；(2)如图，过点P作PH⊥x轴于点H，∵点P的横坐标为m，抛物线的解析式为y=﹣x2＋4x，∴PH=﹣m2＋4m，∵B(2，0)，∴OB=2，∴S=12OB•PH=12×2×(﹣m2＋4m)=﹣m2＋4m，∴K==﹣m＋4，由题意得A(4，0)，∵M(2，4)，∴2＜m＜4，∵K随着m

的增大而减小，∴0＜K＜2.12.解：(1)由题意联立y＝－x2－2x＋a，y＝12x－a，整理得2x2＋5x﹣4a＝0，由Δ＝25＋32a＞0，解得a＞﹣2532.∵a≠0，∴a＞﹣2532且a≠0.令x＝0，得y＝a，∴A

(0，a)．由y＝﹣(x＋1)2＋1＋a，得M(﹣1，1＋a)．(2)设直线MA为y＝kx＋b，代入A(0，a)、M(﹣1，1＋a)，得a＝b，1＋a＝－k＋b，解得k＝－1，b＝a，故直线MA为y＝﹣x＋a.联立y＝－x＋a，y＝12x－a，解得

x＝4a3，y＝－a3.∴N(43a,﹣a3).由于P点是N点关于y轴的对称点，因此P(﹣43a,﹣a3)，代入y＝﹣x2﹣2x＋a，得﹣a3＝﹣169a2＋83a＋a，解得a＝94或a＝0(舍去)．∴A(0,94)，C(

0,﹣94)，M(﹣1,134)，∴AC＝92.∴S△PCD＝S△PAC﹣S△DAC＝12AC.|xP|﹣12AC.|xD|＝12×92×(3﹣1)＝92.(3)①当点Q1在y轴左侧时，由四边形AQ1CN为平行四边形，得AC与Q1N相

互平分，则点Q1与N关于原点(0，0)中心对称，而N(43a,﹣a3)，故Q1(﹣43a,﹣a3)代入y＝﹣x2﹣2x＋a，得a3＝﹣169a2＋83a＋a，解得a＝158或a＝0(舍去)，∴Q1(﹣52,58).

②当点Q2在y轴右侧时，由四边形ACQ2N为平行四边形，得NQ2∥AC且NQ2＝AC，而N(43a,﹣a3)，A(0，a)，C(0，﹣a)，故Q2(43a,﹣7a3).代入y＝﹣x2﹣2x＋a，得﹣7a3＝﹣16

9a2﹣83a＋a，解得a＝38或a＝0(舍去)，∴Q2(12,﹣78).∴当点Q的坐标为(﹣52,58)或(12,﹣78)时，Q，A，C，N四点能构成平行四边形．