【文档说明】(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习51《不等式选讲》(含详解).doc，共(36)页，1.372 MB，由MTyang资料小铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

考点51不等式选讲1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）abab.（2）abaccb.（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：;;axbcaxbcxax

bc.2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.（1）柯西不等式的向量形式：||||||.（2）22222()(+)()abcdacbd.（3）222222121223231313()()()()()()xxyyxxyyxxyy

.（此不等式通常称为平面三角不等式.）3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：4．会用向量递归方法讨论排序不等式.5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.6．会用数学归纳

法证明伯努利不等式：了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立.7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析

法、反证法、放缩法.一、不等式的求解1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a=0a<0|x|<a{x|-a<x<a}|x|>a{x|x>a或x<-a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c

(c>0)型不等式的解法|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.(3)|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用―零点分段法‖

求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.2．绝对值三角不等式(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|

,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.(3)推论1:||a|-|b||≤|a+b|.(4)推论2:||a|-|b||≤|a-b|.【技能方法】（一）含绝对值不等式的解法方法解读适合题型1公式法利用公式|x|<a⇔-a<x<a(a>0)和|x|

>a⇔x>a或x<-a(a>0)直接求解不等式|f(x)|>g(x)或|f(x)|<g(x)2平方法利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负|f(x)|≥|g(x)|⇔f(x)2≥g2(x)3零点分段法含有

两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解|f(x)|±|g(x)|≥a，|f(x)|±|g(x)|≤a4几何法利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解|x±

a|±|x±b|≤c，|x±a|±|x±b|≥c5图象法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数如|f(x)|+|g(x)|≥a可构造y=|f(x)|+|g(x)|-a或y=|f

(x)|+|g(x)|与y=a（二）含绝对值不等式的恒成立问题的解题规律1．根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值,转化为分段函数,然后利用数形结合解决.2．巧用―||a|-|b||≤|a±b|≤|a|

+|b|‖求最值.(1)求|a|-|b|的范围:若a±b为常数M,可利用||a|-|b||≤|a±b|⇔-|M|≤|a|-|b|≤|M|确定范围.(2)求|a|+|b|的最小值:若a±b为常数M,可利用|a|+|b|≥|a±b|=|M|,从而确定其最小值.3．f

(x)<a恒成立⇔f(x)max<a,f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.二、不等式的证明1．基本不等式(1)基本不等式:如果a,b>0,那么2abab，当且仅当a=b时,等号成立.用语言可以表述为:

两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.(2)算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1,a2,„,an,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即12123nnnaaaaaaan,当且仅当a1=a2=„=an时,等号成立.2．柯西不等式

(1)二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(2)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k使α=kβ时,等号成立.(3)二维形式的三

角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么22222211221212()()xyxyxxyy.(4)一般形式的柯西不等式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是实数,则(+„+)(+„+)≥(a1b1+a

2b2+„+anbn)2,当且仅当ai=0或bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.3．证明不等式的基本方法(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证法和放缩法.

考向一绝对值不等式的求解解绝对值不等式的常用方法有：（1）基本性质法：对,||,||axaaxaxaxaxaR或.（2）平方法：两边平方去掉绝对值符号.（3）零点分区间法（或叫定义

法）：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解.（4）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解.（5）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用

函数图象求解.典例1解不等式1325xx．【答案】3(,1],2.【解析】令10x，1x，令320x，23x.当1x时，1235xx，1x.当213x时，12

35xx，1x，故解集为；当23x时，1325xx，32x.综上：3(,1],2x.【名师点睛】本题考查绝对值不等式的解法，此类问题常用―零点‖分段讨论法将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式后再求解，属于基础题.求解时，令1

0x和令320x，得1x和23x，分1x，213x，23x三种情况分别讨论，将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式，求解转化后的不等式，再求解这三种情况的解集的并集可得解.典例2已知函数()214fxxx

.（1）解不等式()6fx；（2）若不等式2()48fxxaa有解，求实数a的取值范围.【答案】（1）1,1；（2）,1(9,).【解析】（1）由已知得13321()542334xxfxxxxx，，，，当21x时，3

361xx，112x；当142x时，561xx，112x；当4x时，3363xx，舍去.综上得，()6fx的解集为1,1.（2）()421289fxxxx.2()48fxxaa有解，289aa，

(9)(1)0aa，1a或9a，a的取值范围是,1(9,).【名师点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及的知识点有应用零点分段法解绝对值不等式，根据不等式有解求参数的取值范围，属于简单题目.求解时，（1）对()fx去绝对值符号，然后分别解不等式即可

；（2）不等式2()48fxxaa有解，则只需2min(()4)8fxxaa，求出()4fxx的最小值，然后解不等式即可.1．已知函数()|22||1|fxxx，xR．（1）求()1fx的解集；（2）若()fxxa有两个不同的解

，求a的取值范围．考向二含绝对值不等式的恒成立问题含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：（1）分享参数法运用“maxmin()(),()()fxafxafxafxa”可解决恒成立中的参数范围问题.求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函

数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“||||||||||||ababab”求最值.（2）更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.（3）数

形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题.典例3若不等式log2(|x+1|+|x-2|−m)≥2恒成立，则实数m的取值范围是.【答案】(−∞,-1]【解析

】由题意可知|x+1|+|x−2|−m≥4恒成立，即m≤(|x+1|+|x−2|-4)min.又|x+1|+|x−2|-4≥|(x+1)−(x−2)|−4=−1，故m≤−1.典例4已知函数.（1）解不等式；（2）已知1(,0)mnmn，

若11(0)xafxamn恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）不等式4|1|fxx可化为3214xx①.当23x时，①式为3214xx，解得5243x；当21

3x，①式为3214xx，解得2132x；当x>1时，①式为3214xx，无解．综上所述，不等式4|1|fxx的解集为5142，．（2）111124nmmnmnmnmn，令

222323242322xaxgxxafxxaxxaxaxaxa，，，，∴23x时，max23gxa，要使不等式恒成立，只需max243gxa

，即1003a，∴实数a的取值范围是1003，．2．设函数()|1|||fxxxa.（1）当2a时，解不等式：()5fxx；（2）若存在0xR，使得020fx，试求实数a的取值范围.考向三不等式的证明比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤

是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.典例5已知函数()|1|

fxx.（1）解不等式()(4)8fxfx；（2）若||1,||1,0aba，求证：()||()bfabafa.【答案】（1）|53xxx或；（2）见解析.【解析】（1）22,3+(4)134,3122,1xxfxfxxxxxx

＝＝.当3x时，由228x，解得5x；当31x时，8fx不成立；当1x时，由228x，解得3x．综上所述：不等式4fx的解集为5{}3|xxx或．（2）()||()bfabaf

a，即1||||abab．11ab，，22222222|1|||212110ababababaabbab，所以1||||abab．故所证不等式成立．【名师点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式的证明，将绝对值不等式转化

为分段函数是常用的技巧，需要灵活掌握.求解时，（1）得到分段函数22,3(4)4,3122,1xxfxfxxxx＝，分别计算不等式得到答案.（2）不等式等价于1||||abab，证明

22|1|||0abab得到答案.3．设正数,,abc满足abcabc，求证：4936abbcac，并给出等号成立的条件.1．不等式125xx的解集为A．,22,B．,12,C．,23,D．

,32,2．函数|1||2|yxx的最小值及取得最小值时x的值分别是A．1，[1,2]xB．3，0C．3，[1,2]xD．2，1,2x3．不等式|1||2|xxa无实数解，则a的取值范围是A．(,3)B．(3

,)C．(,3]D．(,3)4．若a，b，c为正数，且a+b+c=1，则1a+1b+1c的最小值为A．9B．8C．3D．135．已知函数1fxxxa，若2fx恒成立，则a的取值范围是A．,22,

B．,31,C．,13,D．,04,6．若函数的最小值3，则实数的值为A．或B．或C．或D．5或7．不等式的解集为___________.8．已知不等式|2x−a|

+a≤6的解集为[−2,3],则实数a的值为___________.9．若关于x的不等式11xxa的解集为R，则实数a的取值范围为___________.10．已知aR，函数4fxxaax在区间14，上的最大值是5，则a

的取值范围是___________.11．若关于x的不等式|2||1|xxa的解集不是，则实数a的最大值是___________.12．设函数()|24|1fxx.（1）画出函数()yfx的图象；（2）若不等式()|2|2fxxa的解集非空，求

实数a的取值范围.13．函数2132fxxx的最小值为t.（1）求t的值；（2）若0,0ab，且abtab，求22ab的最小值．14．已知函数2110afxxxaa，41gxx

.（1）当1a时，求不等式5fx的解集；（2）若关于x的不等式fxgx的解集包含1,2，求a的取值集合.15．已知函数()|22||43|fxxaxa．（1）当1a时，求不等式()9fx的解集；（2）当1a时，若对任意实数x，4fx都成立

，求a的取值范围．16．已知(0,)abc,,，2221abc．（1）求证：1abbcac；（2）求证：4442221abccab．17．已知函数2fxx.（1）求不等式1fxxx的解集；

（2）若函数2log32gxfxfxa的定义域为R，求实数a的取值范围.18．设函数2.fxxxa（1）若不等式2fx的解集为3{|}2xx，求实数a的值；（2）若3,1a，求证：对任意的实数,,22xy

fyfxfy．19．已知函数()231fxxx.（1）解不等式()2fx；（2）若函数()2202022019gxxax，若对于任意的1x∈R都存在2x∈R，使得12()()fxgx成立，求实数a的取值范围.1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知

a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）222111abcabc；（2）333()()()24abbcca．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().fxxaxxxa（1）

当1a时，求不等式()0fx的解集；（2）若(,1)x时，()0fx，求a的取值范围．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设,,xyzR，且1xyz．（1）求222(1)(1)(1)xyz的最小值；（2）若2221(2)(1)()

3xyza成立，证明：3a或1a．4．【2019年高考江苏卷数学】设xR，解不等式||+|21|>2xx．5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知()|1||1|fxxax．（1）当1a时，求不等式()1fx的解集；（2）若(0,1)x时不等式()fx

x成立，求a的取值范围．6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数()5|||2|fxxax．（1）当1a时，求不等式()0fx的解集；（2）若()1fx，求a的取值范围．7．【2018年高考

全国Ⅲ卷文数】设函数211fxxx．（1）画出yfx的图像；（2）当0x∈，，fxaxb≤，求ab的最小值．8．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数4)(2axxxf，|1||1|)(xxxg．（1）当1a时，求不等式)(

)(xgxf的解集；（2）若不等式)()(xgxf的解集包含[–1，1]，求a的取值范围．9．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知330,0,2abab．证明：（1）55()()4abab；（2）2ab．10．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数

f（x）=│x+1│–│x–2│．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式2fxxxm的解集非空，求m的取值范围．1．【答案】（1）{|40}xx;（2）13a.【解析】（1）由绝对值的意义可得：3,1()31,113,1xxfxxxxx

，①当1x时，31x得：无解；②当11x时，311x，解得：10x；③当1x时，31x，解得：41x.综合①②③可得()1fx的解集为：{|40}xx.（2）若()fx

xa有两个不同的解，即()yfx的图象与直线yxa有两个交点，变式拓展当直线yxa过点(1,2)时，1a，当直线yxa与3,1()31,113,1xxfxxxxx

中的第一段重合时，3a.结合图象可得13a．【名师点睛】本题考查了绝对值的意义、数形结合的数学思想方法，难度不大，但对作图要求较高．求解时，（1）由绝对值的意义可得：3,1()31,113,1xxfxxxxx

，再分段求解即可；（2）采用数形结合的数学思想方法解题，分别作()yfx的图象与直线yxa图象，观察交点个数情况，从而得出a的取值范围．2．【答案】（1）3,5；（2）|31aa.【解析】（1）|1||

2|5xxx，1125xxxx或12125xxxx或2125xxxx，所以1x或315x或x，所以不等式的解集为3,5.（2）即若存在0xR，使得02fx，因为|1|||xxa|(

1)()||1|xxaa…，所以|1|2a，所以a的取值范围为|31aa.【名师点睛】求解本题时，（1）由题意将不等式转化为分段函数的形式，然后分别求解相应的不等式组即可确定不等式的解集；（2）首先利用绝对值三角不等式求

得|1|||xxa的最小值，据此得到关于a的不等式即可确定实数a的取值范围.绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用―零点分段法‖求解，体现了分类讨论的思

想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．3．【答案】见解析.【解析】因为abcabc，所以1abcacacbbb，1abcababccc，1abcbcbcaa

a，所以4914191abbcacabbcacccaabb494914acbcbacacbab494922214acbcbacacb

ab46121436，取等号时2323acbcbaabcabc，即231abc，所以4936abbcac成立.【名师点睛】（1）绝对值不等式常用的求解集方法：零点分段法、

几何意义法、图象法；（2）利用基本不等式完成证明或者计算最值得时候一定要说明取等号的条件.对于本题，将,,abbcac分别利用abcabc得到等价变形，然后利用基本不等式证明，并给出取等号的条件.1．【答案】D【解析】原不等式等价于2125xxx或21125xx

x或1125xxx23xx或2135x或12xx3x或x或2x3x或2x．故D正确．【名师点睛】本题考查绝对值不等式，属于基础题.求解时，讨论x与2与1的

大小关系，将绝对值拿掉，再解不等式即可.2．【答案】C【解析】依题意12123yxxxx，当且仅当120xx，即12x时等号成立，故选C．【名师点睛】本小题主要考查绝对值不等式，以及绝对值不等式等号

成立的条件，属于基础题.求解时，利用绝对值不等式，求得函数的最小值，并求得对应x的值.3．【答案】C【解析】由绝对值不等式的性质可得，||1||2|||(1)(2)|3xxxx„，即|1||2|3xx

….因为|1||2|xxa无实数解，所以3a.故选C．【名师点睛】本题考查了绝对值不等式的性质，利用绝对值不等式的性质解出变量的范围是解决问题的关键.求解时，利用绝对值不等式的性质||||||abab，因此得出||||ab的范围，再根据无实数解得出a的范围.4．【

答案】A【解析】222222111111111abcabcabcabcabc21119abcabc，考点冲关当且仅当13abc时等号

成立，故所求的最小值为9，故选A．5．【答案】B【解析】根据绝对值三角不等式，得xxaxxaa1(1)()1，()1fxxxa的最小值为1a，2fx恒成立，等价于()fx的最小值大于等于2，即12a≥，

12a或12a，即1a或3a，故选B．【名师点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用及如何在恒成立条件下确定参数a的取值范围.求解时，利用绝对值三角不等式确定()fx的最小值；把()2fx恒成立的问题，转化为其等价条件去确定a的

范围.6．【答案】A【解析】由，当时，，不合题意；当时，31,11,1231,2xaxafxxaxaxax，min32afxf，得

4a；当2a时，31,21,1231,1axaxafxxaxxax，min32afxf，得8a.故选A．7．【答案】【解析】∵，∴或，解得x＞2，故所求不等式的解集是

（2，+∞）.8．【答案】1【解析】由|2x−a|+a≤6,得a−6≤2x−a≤6−a,所以a−3≤x≤3,所以a=1.9．【答案】2a【解析】由绝对值不等式的性质可得：1111112xxxxxx，又关于x的不等式11

xxa的解集为R，即11xxa恒成立，所以只需2a.故答案为：2a.【名师点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.求解时，先由绝对值不等式性质得到112xx

，再由题意，即可得出结果.10．【答案】9,2【解析】由题可知45xaax，即45xaax，所以5a，又因为45xaax，所以455axaax，故4255axx，又因为14x

，445xx，所以254a，解得92a，故9,2a.11．【答案】3【解析】不等式21xxa变形为21xxa，构造函数21fxxx，当1x时，213fxxx

；当12x时，2121fxxxx；当2x时，213fxxx.即3,21,3,fxx1122xxx，画出函数图象如下图所示:因为21fxxxa

的解集不是空集，即21fxxxa有解，所以从图象可知，3a，即实数a的最大值是3.故答案为3.【名师点睛】本题考查了分类讨论绝对值不等式相关问题，将不等式转化为函数，结合图象来分析参数取值是常用方法，属于基础题

.求解时，将不等式变形，并构造函数21fxxx，对x分类讨论，求得不同x取值范围内解析式.画出函数图象，并根据图象求得a的取值范围.12．【答案】（1）见解析；（2）35a.【解析】（1）函数()|24

|1fxx，当2x时，()|24|124125fxxxx，当2x时，()|24|124123fxxxx，25,2()23,2xxfxxx.则函数()yfx的图象如图

所示：（2）由题得()|2|2fxxa，即|24||2|1xxa有解.所以min(|24||2|)1xxa，又|24||2||(24)(2)||4|xxaxxaa

（当(24)(2)0xxa时取等号），所以min(|24||2|)|4|xxaa，则|4|1a，可得35a.【名师点睛】本题主要考查了不等式选讲的内容，一般地，对含有绝对值的函数，采用零点分段法，即可把绝对值去掉，属于中档题.求解时，（1）

去掉绝对值，再根据解析式画出图象即可.（2）根据题意，将不等式()|2|2fxxa的解集非空，转化为|24||2|1xxa有解，由三角不等式求出|24||2|xxa的最小值，解不等式|4|1a，即可得出实数a得取值范围.13

．【答案】（1）73t；（2）7249.【解析】（1）由题意，函数251,,32121323,,32151,,2xxfxxxxxxx当23x时，函数的最小值为73；当2132x时，函数的最小值min

73fx；当12x时，函数的最小值为72，所以函数的最小值为73，即73t.（2）由（1）知，73abab，则1173ab，则2222222229119224949babaababababab

222297222224949babaabab，当且仅当2222baab且baab，即67ab时取等号，所以22ab的最小值为7249.【名师点睛】本题主要考查了含绝对值函数的应用，以及利用基

本不等式求最值问题，其中解答中合理去掉绝对值得到分段函数，以及准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.求解时，（1）由题意，去掉绝对值，得到分段函数，即可求得函数的最小值，得到答案.（2）由（1）

知，73abab，则1173ab，利用基本不等式，即可求得22ab的最小值，得到答案.14．【答案】（1）,14,U；（2）1.【解析】（1）1a时，32,121=1,1223,2xxfxxxxxx.

5fx即215fxxx，由()=5fx可解得=1x或4x，所以不等式的解为,14,U.（2）由21141axxxa在1,2上恒成立，由于0a，可得

212aa（当且仅当a=1时取等号），不等式fxgx等价于21141axxxa在1,2上恒成立，即214axa在1,2上恒成立，即212aa，可得1a，故a的取值集合为1.【名师点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义

，恒成立问题，分离参数的方法，属于难题.求解时，（1）1a时，215fxxx，根据绝对值的几何意义即可求解（2）不等式fxgx的解集包含1,2，即21141axxxa在1,2上恒成立，去掉绝对值号，分离参数即可求解.15．【

答案】（1）{|24}xxR；（2）17,,33.【解析】（1）当1a时，()3|1|fxx，由()9fx得|1|3x，即313x，解得24x.当1a时，关于x的不等式9fx的解集为

{|24}xxR.（2）①当1a时，43aa，363,43()23,43363,xaxafxxaaxaxaxa，所以fx在,a上是减函数，在[,)a上是增函数，所以min()()33fxfaa，由题设得334a，解得

73a.②当1a时，43aa，363,43()23,43363,xaxafxxaaxaxaxa，所以fx在,a上是减函数，在[,)a上是增函数，所以min()()33fxfaa

，由题设得334a，解得13a.综上所述，a的取值范围为17,,33.【名师点睛】本题考查绝对值函数，绝对值函数其本质就是分段函数，通过讨论绝对值里面的正负号，将绝对值去掉是解本类题的关键，属于中档题.求解时，（1

）当1a时，()3|-1|9fxx，解出即可.（2）讨论a的取值，去掉绝对值，找到min4fx，即可求出a的取值范围.16．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）222222222

22abcbacabbcacabbcac2221abc，33abc时取等号．（2）444444222222222222abcabcabccabcabcab44422222222222222ab

ccababccab，所以4442221abccab，33abc时取等号．【名师点睛】本题主要考查利用均值不等式证明不等式的方法，不等式的灵活变形等知识，属于中等题.求解时

，（1）由2222abbcacabbcac结合均值不等式进行整理变形即可证得题中的结论；（2）由题意利用均值不等式首先证得4442222222abcabccab，然后结合题意即可

证得题中的结论，注意等号成立的条件.17．【答案】（1）1,3；（2）3,2.【解析】（1）由1fxxx得：21xxx，当2x时，21xxx，解得：3x，2x；当12x时，21xxx，解得：13x，123x；

当1x时，21xxx，解得：3x，解集为.综上所述，不等式的解集为1,3.（2）要使函数2log32()gfxxxfa的定义域为R，只要32hx

fxfxa的最小值大于0即可.又12232hxxxaa（当且仅当1,2x时取等号），320a，解得：32a.实数a的取值范围为3,2.【名师点睛】本题考查分类讨论

求解绝对值不等式、绝对值三角不等式的应用；涉及到根据对数型复合函数的定义域求解参数范围的问题；关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题，利用绝对值三角不等式求得最值.求解时，（1）分别在2x、12x和1x三种情况下去掉绝对值符号，解不等式求得结

果；（2）将问题转化为32hxfxfxa最小值大于0；利用绝对值三角不等式可求得min32hxa，根据320a求得结果.18．【答案】（1）1a；（2）见解析.【解析

】（1）因为不等式2fx的解集为3{|}2xx，所以32x是方程2fx的根，所以33322222fa，解得1a或4a，当4a时，2fx的解集为，不合题意，舍去.经验证，当1a时不

等式2fx的解集为32xx，符合题意，所以1a.（2）因为222xxaxxaa，即2fxa，所以对任意的实数,,22,xyafxa①22afya，即

22,afya②①+②得2222afxfya，因为3,1a，所以21,21aa，所以22fxfy，即22fyfxfy，故得证.【名师点睛】本题考查方程的根和所对应的不等式的解集之间的关系和绝对值三角不等

式的应用，属于基础题.求解时，（1）根据方程的根与所对应的不等式的解集之间的关系，建立方程求得a，注意检验所对应的解集是否满足题意；（2）利用绝对值三角不等式：ababab，对函数fx进行放缩得证.19．【答案】（1）2,23；（2）1322a.【解析】（

1）34,13()2,12334,2xxfxxxxx＜＞.由()2fx得，223x，故所求解集为2,23.（2）()2202022019(22020)(22019)1gxxaxxaxa

，由（1）知min31()()22fxf，∴112a，∴1322a.【名师点睛】本题考查了绝对值不等式，绝对值三角不等式和函数最值问题，是中档题．求解时，（1）利用分类讨论法去掉绝对值，从而求得不等式f（x）≤2的解集；（2）利用绝对值不等式化简g（x）≥|a﹣1|，求出函

数f（x）的最小值，问题化为|a﹣1|12，求出不等式的解集即可．1．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2ababbcbccaac，又1abc，故有222111abbccaabcabbccaabcabc

．所以222111abcabc．（2）因为,,abc为正数且1abc，故有3333333()()()3()()()abbccaabbcac=3(+)(+)(+)abbcac3(2)(2)(2)abbcac=24．所以333()()(

)24abbcca．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．2．【答案】（1）(,1)；（2）[1,)【解析】（1）当a=1时，(

)=|1|+|2|(1)fxxxxx．当1x时，2()2(1)0fxx；当1x时，()0fx．所以，不等式()0fx的解集为(,1)．（2）因为()=0fa，所以1a．当1a，(,1)x时，()=()+(2)()=2()(1)<0fxaxxxxaaxx

．所以，a的取值范围是[1,)．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型．3．【答案】（1）43；（2）见详解．【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]xyz直通高考222(1

)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]xyzxyyzzx2223(1)(1)(1)xyz，故由已知得2224(1)(1)(1)3xyz，

当且仅当x=53，y=–13，13z时等号成立．所以222(1)(1)(1)xyz的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]xyza222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x

yzaxyyzazax2223(2)(1)()xyza，故由已知2222(2)(2)(1)()3axyza，当且仅当43ax，13ay，223az时等号成立．因此222(2)(1)()xyza的最

小值为2(2)3a．由题设知2(2)133a，解得3a或1a．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型．4．【答案】1{|1}3xxx或．【解析】当x<0时，原不等式可化为122xx，解得x<13；当0≤x≤12时，

原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；当x>12时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1．综上，原不等式的解集为1{|1}3xxx或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．5．【答案】（1）1{|}2xx；（2）(

0,2]．【解析】（1）当1a时，()|1||1|fxxx，即2,1,()2,11,2,1.xfxxxx故不等式()1fx的解集为1{|}2xx．（2）当(0,1)x时|1||1|xaxx成立等

价于当(0,1)x时|1|1ax成立．若0a，则当(0,1)x时|1|1ax；若0a，|1|1ax的解集为20xa，所以21a，故02a．综上，a的取值范围为(0,2]．6．【答案】（1）{|23}xx；（2）(,6][2,)．【解析】（1

）当1a时，24,1,()2,12,26,2.xxfxxxx可得()0fx的解集为{|23}xx．（2）()1fx等价于|||2|4xax．而|||2||2|xaxa，且当2x时等号成

立．故()1fx等价于|2|4a．由|2|4a可得6a或2a，所以a的取值范围是(,6][2,)．7．【答案】（1）图像见解析；（2）ab的最小值为5．【解析】（1）13,,21()2,1,23,1.xx

fxxxxx()yfx的图像如图所示．（2）由（1）知，()yfx的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a且2b时，()fxaxb在[0,)成立，

因此ab的最小值为5．8．【答案】（1）117{|1}2xx；（2）[1,1]．【解析】（1）当1a时，不等式()()fxgx等价于2|1||1|40xxxx．①当1x时，①

式化为2340xx，无解；当11x时，①式化为220xx，从而11x；当1x时，①式化为240xx，从而11712x．所以()()fxgx的解集为117{|1}2x

x．（2）当[1,1]x时，()2gx．所以()()fxgx的解集包含[1,1]，等价于当[1,1]x时()2fx．又()fx在[1,1]的最小值必为(1)f与(1)f之一，所以(1)2f且(1)2f

，得11a．所以a的取值范围为[1,1]．【名师点睛】形如||||xaxbc（或c）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a，(,]ab，(,)b（此处设ab）三个部分，将每部分去掉

绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图像法：作出函数1||||yxaxb和2yc的图像，结合图像求解．9．【答案】（1）证明略；（2）证明略．【解析】（1）556556ababaababb2333344222

244.abababababab（2）因为3322333abaababb232332432,4ababababab所以38ab，因此2ab．

【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．10．【答案】（1）1xx；（2）54-，.【

解析】（1）31211232,xfxx,x,x，当1x时，1fx无解；当12x时，由1fx得，211x，解得12x；当2x时，由1fx解得2x．所以1fx的解集为1

xx．（2）由2fxxxm得212mxxxx，而2223551212244xxxxxxxxx-，且当32x时，25124xxxx．故m的取值范围为5

4-，．【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用―零点分段法‖求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．