【文档说明】(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习50《坐标系与参数方程》(含详解).doc，共(40)页，1.717 MB，由MTyang资料小铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

考点50坐标系与参数方程1．坐标系（1）理解坐标系的作用.（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的

区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.（5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法

，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.2．参数方程（1）了解参数方程，了解参数的意义.（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.（3）了解平摆线、渐开线的生成过程，

并能推导出它们的参数方程.（4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.一、坐标系1．极坐标系的概念在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取

逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐

标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ或ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0).3．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径

为r的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ；(3)当圆心位于π(,)2Ma，半径为a：ρ＝2asinθ.4．直

线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；

(3)直线过π(,)2Mb且平行于极轴：ρsinθ＝b.二、参数方程1.直线的参数方程若直线过(x0,y0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t为参数).这是直线的参数方程,其中参数t有明显的几何意义.2.圆的参数方程若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的

参数方程为0≤θ≤2π.3.椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点,而在点M0(x0,y0),相应的椭圆参数方程为0≤t≤2π.【解题必备】一、参数方程与普通方程的互化技巧1.参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代

入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.2.普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y的值

.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.二、直线与圆

锥曲线的参数方程的应用规律解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题,其一般思路为:第一步,先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程;第二步,根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题.另外,当直线经过点P(x0,y0),且直线的倾斜角为α,求直线与圆锥曲线的交点

弦长问题时,可以把直线的参数方程设成(t为参数),交点A,B对应的参数分别为t1,t2,计算时,把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程,求出t1+t2,t1·t2,得到|AB|=|t1-t2|=.考向一平面直角坐标系中的伸缩

变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·x（λ>0）y′＝μ·y（μ>0）的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为坐标系中的伸缩变换．典例1在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换

'3:2'xxyy.（1）求点1,23A经过变换所得的点'A的坐标；（2）点B经过变换得到点13,2'B，求点B的坐标；（3）求直线:6lyx经过变换后所得直线'l的方程；（

4）求双曲线22:164yCx经过变换后所得曲线'C的焦点坐标.【答案】（1）(1,1)；（2）(1,1)；（3）yx；（4）(5,0),(5,0).【解析】（1）设'(',')Axy，由伸缩变换'3:2'xxyy得'31'2xxyy，由于1,2

3A，所以1'313x，1'(2)12y，即点'A的坐标为(1,1).（2）设(,)Bxy，由伸缩变换'3:2'xxyy，得到1'32'xxyy，由于13,2'B，则1(3)13x，1212y，所以点B

的坐标为(1,1).（3）设直线'l上任意一点'(',')Pxy.由（2）可知，将1'32'xxyy，代入6yx得12'6'3yx，所以''yx，所以直线'l的方程为yx.（4）设曲线'

C上任意一点'(',')Pxy，将1'32'xxyy，代入22164yx，化简得22''1916xy，即221916xy为曲线'C的方程，可得'C仍是双曲线，且该双曲线的焦点坐标分别为(5,0),(5,0).【名师点睛】本题

主要考查了图形的伸缩变换公式的应用，其中解答中熟记图形的伸缩变换的公式，代入曲线的方程，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．1．已知曲线C的参数方程为2cos3sinxy（为

参数），在同一直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换1213xxyy得到曲线C.（1）求曲线C的普通方程；（2）若点A在曲线C上，已知点2,0B，求直线AB倾斜角的取值范围.考向二极坐标和直角坐标的互化1．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式

：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)．2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧．典例2

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2cos2sin，它在点π22,4M处的切线为直线l.（1）求直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与2214

yx的交点为P1，P2，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.【答案】（1）220xy；（2）34sin2cos.【解析】（1）∵曲线C的极坐标方程为2cos2sin，∴22cos2sin

，∴曲线C的直角坐标方程为212yx，∴yx，又π22,4M的直角坐标为（2，2），∴2|2xky.∴曲线C在点（2，2）处的切线方程为22(2)yx，即直线l的直角坐标方程为220xy.（2）22101402220yxxxyyxy

由解得或，不妨设P1(1，0)，P2(0，-2)，则线段P1P2的中点坐标1,-1,2为所求直线斜率为k1,2于是所求直线方程为y+111,22x

化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ+4ρsinθ=-3，即ρ3.4sin+2cos【名师点睛】这个题目考查了极坐标和直角坐标的互化，涉及中点坐标的计算，导数的几何意义，即函数在某点处的导数值即为

在该点处的切线的斜率.求解时，（1）先将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，再由导数的几何意义得到切线的斜率，根据点斜式得到切线方程；（2）联立直线和椭圆得到两点坐标，再由中点坐标公式得到中点坐标1,12为，直线斜率为k1,2进而得到直线方程.2．在直角坐标系

xOy中，曲线C的方程为223425xy.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）直线1π:6lR，直线2π:3lR，若1l，2l与曲线C分别交于异于极点的A，B两点，求AOB△

的面积.考向三参数方程与普通方程的互化1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．典例3在平面直角坐标系xOy中，曲线1C：2221

2xtyt（t是参数），曲线2C：2cossinxy（是参数），若曲线1C与2C相交于A，B两个不同点，则|AB|=_______.【答案】423【解析】曲线C1：22212xtyt（t是参数），转化为直角坐标方程为：x﹣y﹣

1=0，曲线C2：2cossinxy（θ是参数），转化为直角坐标方程为：2212xy，建立方程组：221012xyxy，得到：3x2﹣4x=0，解得：x=0或43.所以A（0，﹣

1），B（41,33），所以|AB|=2241133=423．故答案为423.【名师点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，两点间距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．首先把方程转换为直角坐标方程

，进一步利用方程组求出A、B的坐标，再求出|AB|的长．典例4在直角坐标系xOy中，已知曲线1C、2C的参数方程分别为1C：2cos3sinxy(为参数），2C：1cossinxtyt(t为参数）．（

1）求曲线12,CC的普通方程；（2）已知点1,0P，若曲线1C与曲线2C交于,AB两点，求PAPB的取值范围．【答案】（1）22143xy；1x；（2）3,4.【解析】（1）曲线1C的普通方程为

：22143xy，曲线2C的普通方程为：sincossin0xy，或：当ππ2kkZ，时，曲线2C的普通方程为：tan1tantanyxx，当π=π2kkZ，时，曲线2C的

普通方程为：1x.（2）将2C：1cossinxtyt(t为参数）代入1C：22143xy，化简整理得：22sin36cos90tt，设AB、两点对应的参数分别为12tt、，则2236cos

36sin31440恒成立，1212226cos9,sin3sin3tttt，2121212122124sin3PAPBtttttttt，2sin0,1，3,4PAP

B.【名师点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化及直线参数方程参数几何意义的应用，属于基础题.（1）由22sincos1，消参即可得普通方程；（2）由直线的参数方程与椭圆方程联立，利用直线参数的几何意义，可知1212PAPBtttt，从而

得解.3．在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为22cos,2sinxy(为参数)，曲线2C的参数方程为23,12xtyt(t为参数)．（1）求曲线1C的普通方程；（2）若曲线1C与曲线2C

交于P，Q两点，且2,1A，求11APAQ的值.考向四极坐标方程与参数方程的综合应用参数方程与极坐标方程在高考中往往综合考查，各自的特征都较为突出，都是极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程方程转化为普通方程，最后转化为平面几何知识进行解决.典例

5在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos3sinxy(为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为cos()324．（1）求曲线1C的普通方程和曲线2C的直角

坐标方程；（2）已知点P在曲线1C上，点Q在曲线2C上，求||PQ的最小值及此时点P的直角坐标．【答案】（1）2213yx，60xy；（2）最小值为22，点P的直角坐标为13(,)22．【解析】

（1）由cos3sinxy可得22()13yx，即2213yx，故曲线1C的普通方程为2213yx，由cos()324可得22cossin3222，即223222xy，即60x

y，故曲线2C的直角坐标方程为60xy．（2）由题意，可设点P的直角坐标为(cos,3sin)，因为曲线2C是直线，所以||PQ的最小值即点P到直线60xy的距离的最小值，易得点P到直线60xy的距离为|cos3sin6|2|sin(

)3|62d，当且仅当2()3kkZ时，d取得最小值，即||PQ取得最小值，最小值为22，此时点P的直角坐标为13(,)22．4．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为12cos12sinxy（为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极

轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2π()3R．若直线l与曲线C相交于M，N两点．（1）求出曲线C的极坐标方程；（2）记线段MN的中点为P，求OP的值．1．参数方程3cos1cosxy为参数对应的普通方程为A．31

0xyB．310xyC．31024xyxD．31024xyx2．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：221xy＝经过伸缩变换'2'xxyy后得到曲线C2，则曲线C2的方程为A．4x2+y2＝1B．x2+4y2

＝1C．224xy1D．x224y13．已知曲线C的极坐标方程为：2cos4sin，P为曲线C上的动点，O为极点，则PO的最大值为A．2B．4C．5D．254．已知曲线C的极坐标方程为：22cos2sin0

，直线l的极坐标方程为：π4（R），曲线C与直线l相交于AB、两点，则AB为A．2B．22C．3D．235．在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为：2216xy，直线l的参数方程为：1

cos2sinxtyt（t为参数），若直线l与曲线C相交于,MN两点，且线段MN的中点坐标为1,2，则直线的斜率为A．13B．13C．12D．126．极坐标方程cos2sin10化为直角坐

标方程，得__________.7．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：3cossinxy（为参数），P为曲线C上的动点，直线的方程为：4xy，则点P到该直线的距离d的最小值为______

____.8．在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为355435xtyt(t为参数)，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线与圆5交于B、C两点，则线段BC中点的直角坐标为________.9．已知直线l：11232

xtyt(t为参数)，曲线1C：cossinxy（为参数）．（1）设l与1C相交于,AB两点，求AB；（2）若把曲线1C上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来

的32倍，得到曲线2C，设点P是曲线2C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,1sinxy（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为0.（1）求

曲线C的极坐标方程，（2）设直线l与曲线C相交于不同的两点12,PP，求1211OPOP的取值范围.11．已知直线l的参数方程为14232xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极

坐标方程为2cos．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；（2）若直线π6R与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求AB的值．12．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为22212xtyt（t

为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2241sin.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设P（0，−1），直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求OPOQ.13．在平面直角坐标系中，以O为极点，

x轴正半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线1C的极坐标方程为sin1，曲线2C的参数方程为2cos22sinxy（为参数）.（1）求1C与2C交点的极坐标；（2）已知直线:20lxy，点P在

曲线2C上，求点P到l的距离的最大值.14．在直角坐标系xOy中，已知曲线1cos:sinxtCyt（t为参数，且0t），其中0π．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线2:2sinC，323cos:C

.（1）求2C与3C的交点,AB的直角坐标；（2）求证：交点,AB至少有一点在曲线1C上．15．在平面直角坐标系中，将曲线1C向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C，以坐标原点O为极点，x轴的

正半轴为极轴，建立极坐标系，1C的极坐标方程为4cos．（1）求曲线2C的参数方程；（2）已知点M在第一象限，四边形MNPQ是曲线2C的内接矩形，求内接矩形MNPQ周长的最大值，并求周长最大时点M的坐标．1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt，（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．2．【20

19年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O为极点，点000(,)(0)M在曲线:4sinC上，直线l过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为P．（1）当0=3时，求0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】

如图，在极坐标系Ox中，(2,0)A，(2,)4B，(2,)4C，(2,)D，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2，(1,)，曲线1M是弧AB，曲线2M是弧BC，曲线3M是弧CD．（1）分别写出1M，2M，3M的极坐标方程

；（2）曲线M由1M，2M，3M构成，若点P在M上，且||3OP，求P的极坐标．4．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,2,42AB，直线l的方程为sin34

．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2ykx．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30

．（1）求2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程．6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos4sinxθyθ，（θ为参数），直线l的参数方程为

1cos2sinxtαytα，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标

系xOy中，O⊙的参数方程为cossinxy，（为参数），过点02，且倾斜角为的直线l与O⊙交于AB，两点．（1）求的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．8．【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中，直线l的方程

为πsin()26，曲线C的方程为4cos，求直线l被曲线C截得的弦长．9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xy（θ

为参数），直线l的参数方程为4,1,xattyt（为参数）．（1）若1a，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a．10．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cos4

．（1）M为曲线1C上的动点，点P在线段OM上，且满足||||16OMOP，求点P的轨迹2C的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为(2,)3，点B在曲线2C上，求OAB△面积的最大值．11．【2

017年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为2+,,xtykt（t为参数），直线l2的参数方程为2,,xmmmyk（为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出

C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3:cossin20l，M为l3与C的交点，求M的极径．12．【2017年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参考方程为82xtty（t为参数）

，曲线C的参数方程为2222xsys（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．1．【答案】（1）221xy；（2）π5π0,π66，.【解析】（1）12,13xxy

ycossinxy，消去得C的普通方程为221xy.（2）当AB与圆相切时，30ABO∠（O为坐标原点），33k或33—，∴直角AB倾斜角的取值范围为π5π0,π66

，.【名师点睛】本题考查了参数方程，坐标变换，倾斜角范围，意在考查学生的计算能力和应用能力.求解变式拓展时，（1）按照坐标变换先得到曲线的参数方程，再化简为普通方程.（2）先计算AB与圆相切时的斜率，再计算倾斜角的范围.2．【答案】（1）6cos8sin；（

2）253124.【解析】（1）曲线C的普通方程为223425xy，即22680xyxy.曲线C的极坐标方程为6cos8sin.（2）设1π,6A，2π,3B.把π6代入6cos8si

n，得1433OA，π433,6A.把π3代入6cos8sin，得2343OB，π343,3B.121sin2AOBSAOB△

1ππ433343sin236253124.【名师点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的转化：222cossinxyxy，考查极坐标的几何意义，考查三角形面积的求法，属于中档题.求解时，（1）利用普通方程与极坐

标方程的转化公式，即可得曲线C的极坐标方程；（2）把π6，π3分别代入曲线C的极坐标方程中，即可得到OA，OB的长，A，B的坐标以及AOB，最后代入三角形面积公式121sin2AOBSAOB△，

即可得到AOB△的面积.3．【答案】（1）2240xyx；（2）255939.【解析】（1）因为曲线1C的参数方程为22cos,2sinxy（为参数），所以其普通方程为2224xy，即2240xyx.（2）设P，Q两点对应的参数分别为12tt，，曲线2C的

参数方程23,12xtyt（t为参数）可化为32,132113xtyt（t为参数），代入曲线1C的普通方程2240xyx，可得2430,13tt所以121243,,

13tttt所以22122122141724313134tttttt-，所以12255913tt，因为1230tt，所以12tt，异号，则12121212121111255939ttttAPAQtttttt.【名师点睛

】本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互相转化，以及直线的参数方程中参数的几何意义，联立直线方程与曲线方程时，需正确判断参数的符号，避免出错，属于基础题.（1）消去参数可将曲线1C的参数方程先化成普通方程；（2）将曲线2C的参数

方程为23,12xtyt(t为参数)化成标准的参数方程32,132113xtyt，再代入曲线1C的普通方程中，得到P，Q两点对应的参数分别为12tt，，此时12tt，满足其几何意义，求得解.4．【答案】（1）2π22cos24；（2）

312OP.【解析】（1）曲线C的参数方程为12cos12sinxy（为参数），曲线C的普通方程为222(1)(1)2xy，cossinxy，22cos2sin

2，曲线C的极坐标方程为2π22cos24.（2）联立2π3和22cos2sin2，得2(31)20，设12,,,MN，则1231，由122OP，得312OP.【名师点睛】本题考查极

坐标与参数方程的互化，掌握直角坐标方程与极坐标方程的互化公式，是解题的关键，属于基础题.求解时，（1）消参得222(1)(1)2xy，再根据公式222cos,sinxxyy化简即可得出答案；（2）联立2π3和22cos2sin2得2(31)20

，即1231，根据122OP代入即可.1．【答案】D【解析】因为1cos1，所以24x，由cosy可得，cosy，代入方程3cos1x中得310xy，所以普通方程为31024

xyx.故选D.【名师点睛】本题考查了参数方程化为普通方程，考查了余弦函数的取值范围，属于基础题.求解时，根据cos的取值范围，求出x的取值范围，再由代入法消去cos，可以求出普通方程，而后选

出正确答案即可.2．【答案】C考点冲关【解析】因为圆221:1Cxy，经过伸缩变换'2'xxyy，所以可得2xxyy，代入圆221:1Cxy，得到2212xy.整理得2214xy

，即2214xy，故选C项.【名师点睛】本题考查通过坐标伸缩变换求曲线方程，属于简单题.求解时，根据条件所给的伸缩变换'2'xxyy，反解出x和y的表达式，然后代入到1C中，从而得到曲线2C.3．【答案】D【解析】因为2cos4sin，所以22cos4

sin，2224xyxy，即xy22(-1）（2）5.圆心为（1，−2），半径5r，因为点O到圆上的最大距离等于点O到圆心的距离d加上半径r，且22(10)(20)5d，所以PO的最大值为25，故选D.【名师点睛】本题主要考查已知点与圆上一点的最大距离的

求法.求解时，把极坐标方程变成直角坐标方程，通过最大距离dr求得答案.4．【答案】B【解析】因为曲线C的极坐标方程为：22cos2sin0，所以曲线C的直角坐标方程为22220xyxy，即xy22(1)+（-1）

2，这是以（1，1）为圆心，半径2r的一个圆.因为直线l的极坐标方程为：π4（R），所以直线l的直角坐标方程为yx.因为直线yx经过圆心（1，1），所以弦AB为直径，且有222ABr，故选B.【名师点睛

】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，解决题目的关键是判断出弦AB经过圆点，从而AB为直径.求解时，把圆和直线的极坐标方程都转化成直角坐标方程，可得弦AB过圆心，则2ABr.5．【答案】D【解析】把1cos2

sinxtyt代入2216xy，得22(1cos)(2sin)16tt，整理，得2(2cos4sin)110tt，所以2cos4sinMNtt，因为(1,2)为MN中点，所以0MNtt，即2cos4sin0，得1tan2

，所以12k.故选D.【名师点睛】求解时，通过联立得到一个关于t的一元二次方程，利用0MNtt，求斜率k.6．【答案】210xy【解析】cos,sinxy，(cos2sin)1cos2sin1，∴210xy.【名师

点睛】本题主要考查了直线的极坐标方程转化为直角坐标方程.求解时，把cos变成x，sin变成y，可得到直线的直角坐标方程.7．【答案】2【解析】设点(3cos,sin)P，则点P到直线40xy的距离π2sin()43cossi

n4322d，当πsin()13时，d取最小值，2d.【名师点睛】本题主要考查用三角函数解决最值问题，要重点掌握.求解时，点P用参数表示，把问题转化为求三角函数的最值来解决.8．【答案】4433,2525

【解析】直线的参数方程为355435xtyt(t为参数)，转化为普通方程为：11433yx，圆5转化为普通方程为：2225xy，将直线方程代入圆的方程中，整理得225881040xx，设交点

为1122,,,xyxy，中点坐标为00,xy，则1208844252225xxx，1212012114114112333333223325xxyyyxx，则线段BC中点的直角坐标为4433,2525

.【名师点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式的应用，以及一元二次方程根和系数关系的应用.参数方程转化为直角坐标方程，常用方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等，极坐

标方程转化为直角坐标方程，常通过转化公式直接代入，或先将已知式子变形，如两边同时平方或同时乘以，再代入公式.本题将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程转化为普通方程，再求解.9．【答案】（1）1；（2）3624.【解析】（1）l的普通方程为31yx，1C的普通方程为221xy

，联立方程组223(1)1yxxy，解得交点为131,0,,22AB，所以AB=2213(1)(0)122.（2）曲线2C：1cos23sin2xy（为参数）．设所求

的点为13cos,sin22P，则P到直线l的距离33cossin32231d16πcos()3224.当πcos()14时，d取得最大值3624．【名师点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直线和圆相交所得弦长

的求法，考查坐标变换以及点到直线距离公式，还考查了三角函数最值的求法，属于中档题.求解时，（1）消去直线l参数方程的参数t，求得直线l的普通方程.消去曲线1C参数方程的参数，求得曲线1C的普通方程，联立直线l和曲线1C的方程求得交点,AB的坐标，再根据两点间的距离公式求得AB.（2）根据坐标

变换求得曲线2C的参数方程，由此设出P点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求得P到直线l的距离的最大值.10．【答案】（1）223cos2sin30；（2）234,33

.【解析】（1）将曲线C的参数方程3cos,1sinxy消去参数，得22311xy.将cosx及siny代入上式，得223cos2sin30.（2）依题意有0π0,3.将0代人曲线

C的极坐标方程，得20023cos2sin30.设110220,,,PP，则12001223cos2sin,3.所以0012012121223cos2sin11114πsin333OPOP

.因为0π0,3，所以0ππ2π,333，则04π234sin,3333，所以1211OPOP的取值范围为234,33.【名师点睛】本

题主要考查了参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.求解时，（1）利用三角函数的基本关系式消去参数，即可求得曲线C的普通方程，代入极坐标与直角坐标的互化

公式，代入即可求解曲线C的极坐标方程.（2）将0代入曲线C的极坐标方程，根据极径的几何意义，即可求解.11．【答案】（1）2220xyx，3cossin43；（2）33.【解析】（1）∵2cos，∴22cos

，∴曲线C的直角坐标方程为2220xyx．∵直线l的参数方程为14232xtyt（t为参数），∴343xy．∴直线l的极坐标方程为3cossin43．（2）将π6代入曲线C的极坐

标方程2cos得3，∴A点的极坐标为π3,6．将π6代入直线l的极坐标方程得314322，解得43．∴B点的极坐标为π43,6，∴33AB．【名师点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．（1）先根据极坐标与直角

坐标的对应关系得出直角坐标方程C，将直线参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；（2）将π6分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，作差得出|AB|．12．【答案】（1）直线l的普通方程为1yx

，曲线C的直角坐标方程为22142xy；（2）223.【解析】（1）直线l的参数方程为22212xtyt（t为参数），消去参数t可得直线l的普通方程为1yx.由2241sin，得222sin4，则有2224

xyy，即2224xy，则曲线C的直角坐标方程为22142xy.（2）将l的参数方程代入2224xy，得2322202tt，设两根为1t，2t，则1t，2t为M，N对应的参数，且12423t

t，所以线段MN的中点Q对应的参数为122223tt，所以223OPOQPQ.【名师点睛】本题考查了直线的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了直线参数的几何意义的应

用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求解时，（1）将22xt代入212yt消去参数t可得直线l的普通方程．利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程．（2）将2221.2xtyt代入2224xy得：2322202t

t，利用根与系数的关系及参数的意义可得OPOQ．13．【答案】（1）1C与2C交点的极坐标为11π2,6与72,π6；（2）点P到l的距离的最大值为222.【解析】（1）由题意得1C的直角坐标方

程为1y，2C的普通方程为2224xy.由22124yxy，解得31xy或31xy．∴曲线1C与2C的交点为3,1,3,1.∵22312，1311π137tan,tanπ363633

，所以1C与2C的交点极坐标为11π2,6，72,π6．（2）由（1）可得圆2C的圆心0,2到直线:20lxy的距离为22222d，又圆的半径为2，∴点P到l的距离的最大值为222.【思路点拨】（1）将

曲线1C，2C的方程分别化为直角坐标方程和普通方程，用解方程组得到两曲线的交点，再化为极坐标方程．（2）先求出圆心到直线的距离，再根据几何图形求解．14．【答案】（1）0,0A，33,22B

；（2）见解析.【解析】（1）曲线2:2sinC，3:23cosC，可得曲线222:20Cxyy，223:230Cxyx，联立方程组可得3yx，代入解得0x或32，可得0,0

A，33,22B.（2）曲线1cos:sinxtCyt（t为参数，且0t），可得曲线1C为过原点的直线，若倾斜角为π3，则曲线1C为过原点A和B两点．则交点,AB至少有一点在曲线1C上．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方

程及联立方程求交点的问题.求解时，（1）把曲线23,CC的极坐标方程变成直角坐标方程，联立方程可求得交点A，B；（2）把曲线1C转化普通方程，可得1C为过原点的一条直线，可得结论.15．【答案】（1）2cossinxy；（2）45，455,55M

.【解析】（1）由4cos得24cos，将222cosxyx代入，整理得曲线1C的普通方程为2224xy，设曲线1C上的点为','xy，变换后的点为,xy，由题可知坐标变换为='21'2xxyy，即'=2'2xxyy

，代入曲线1C的普通方程，整理得曲线2C的普通方程为2214xy，曲线2C的参数方程为2cossinxy(为参数).（2）设四边形MNPQ的周长为l，设点π2cos,sin02M（），∴8cos4sinl2145cossi

n5545sin，且1cos5，2sin5，π02，π++2，πsinsin12，max45l，且当π2时，l取最大值，此时π2，∴42cos2sin5

，1sincos5，此时455,55M.【名师点睛】本题考查坐标变换及参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法，考查运用动点参数法求解问题，考查运算求解能力和数形结合思想，考查函数与方程思想.（1）先将曲线1C化为普通方程，再根

据坐标变换规律，即可求得曲线2C的普通方程和参数方程；（2）根据题意，设点π2cos,sin02M（），则8cos4sinl，利用辅助角公式化简周长l的解析式，即可求出最大值及其对应的点M的坐标.1．【答案】（1）221(1)4yxx；l的直角坐标方程为23110xy

；（2）7．【解析】（1）因为221111tt，且22222222141211yttxtt，所以C的直角坐标方程为221(1)4yxx．l的直角坐标方程为23110xy．（2）由（1）可设C的参数方程

为cos,2sinxy（为参数，ππ）．C上的点到l的距离为π4cos11|2cos23sin11|377．当2π3时，π4cos113取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7．【名师点睛】本题考查参数

方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．2．【答案】（1）023，l的极坐标方程为cos23

；（2）4cos,,42．【解析】（1）因为00,M在C上，当03时，04sin233．由已知得||||cos23OPOA．设(,)Q为

l上除P的任意一点．在RtOPQ△中，cos||23OP，直通高考经检验，点(2,)3P在曲线cos23上．所以，l的极坐标方程为cos23．（2）设(,)P，在RtOAP△

中，||||cos4cos,OPOA即4cos．因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是,42．所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos,,42．【名师点睛】

本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．3．【答案】（1）1M的极坐标方程为π2cos04，2M的极坐标方程为π3π2sin44，3M的极坐标方程为3π2c

osπ4．（2）π3,6或π3,3或2π3,3或5π3,6．【解析】（1）由题设可得，弧,,ABBCCD所在圆的极坐标方程分别为2co

s，2sin，2cos．所以1M的极坐标方程为π2cos04，2M的极坐标方程为π3π2sin44，3M的极坐标方程为3π2cosπ4．（2）设(,)

P，由题设及（1）知若π04，则2cos3，解得π6；若π3π44，则2sin3，解得π3或2π3；若3ππ4，则2cos3，解得5π6．综上，P的极坐标为π3,6或π3,3或2π3,3或5π

3,6．【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．4．【答案】（1）5；（2）2．【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3，4），B（2，2），由余弦定理，得AB=223(2)232cos()524

．（2）因为直线l的方程为sin()34，则直线l过点(32,)2，倾斜角为34．又(2,)2B，所以点B到直线l的距离为3(322)sin()242．【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基

础知识，考查运算求解能力．5．【答案】（1）2C的直角坐标方程为22(1)4xy．；（2）1C的方程为4||23yx．【解析】（1）由cosx，siny得2C的直角坐标方程为22(1)4xy．（2）由（1）

知2C是圆心为(1,0)A，半径为2的圆．由题设知，1C是过点(0,2)B且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为1l，y轴左边的射线为2l．由于B在圆2C的外面，故1C与2C有且仅有三个公共点等价于1l与2C只有一个公共点且2l与2C有两个公共点，或2l与2C只有一

个公共点且1l与2C有两个公共点．当1l与2C只有一个公共点时，A到1l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故43k或0k．经检验，当0k时，1l与2C没有公共点；当43k时，1l与2C只有一个公共点，2l与2C有两个公共点．当2l与2C只有一个公共点时，A到2

l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故0k或43k．经检验，当0k时，1l与2C没有公共点；当43k时，2l与2C没有公共点．综上，所求1C的方程为4||23yx．6．【答案】（1）曲线C的

直角坐标方程为221416xy，l的直角坐标方程为1x；（2）l的斜率为2．【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为221416xy．当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx，当cos0时，l的

直角坐标方程为1x．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程22(13cos)4(2cossin)80tt．①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为1t，2t，则120tt．又由①得1224

(2cossin)13costt，故2cossin0，于是直线l的斜率tan2k．7．【答案】（1）的取值范围是(,)44．；（2）点P的轨迹的参数方程是2sin2,222cos222xy(为参数，44

)．【解析】（1）O的直角坐标方程为221xy．当2时，l与O交于两点．当2时，记tank，则l的方程为2ykx．l与O交于两点当且仅当22||11k，解得1k或1k，即(,)42或(,)24．综上，的

取值范围是(,)44．（2）l的参数方程为cos,(2sinxttyt为参数，44)．设A，B，P对应的参数分别为At，Bt，Pt，则2ABPttt，且At，Bt满足222sin10tt．于是22sinABtt，2sinPt．

又点P的坐标(,)xy满足cos,2sin.PPxtyt所以点P的轨迹的参数方程是2sin2,222cos222xy(为参数，44)．8．【答案】直线l被曲线C截得的弦长为

23．【解析】因为曲线C的极坐标方程为=4cos，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为πsin()26，则直线l过A（4，0），倾斜角为π6，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，

则∠OAB=π6．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos236AB．因此，直线l被曲线C截得的弦长为23．9．【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525；（2）8a或

16a．【解析】（1）曲线C的普通方程为2219xy．当1a时，直线l的普通方程为430xy．由22430,19xyxy解得3,0xy或21,2524.25x

y从而C与l的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525．（2）直线l的普通方程为440xya，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为|3cos4sin4|17ad．当4a时，d的最大值为917a．由题设得91717a，所

以8a；当4a时，d的最大值为117a．由题设得11717a，所以16a．综上，8a或16a．【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标

，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a的值．10．【答案】（1）22240xyx；（2）23．【解析】（1

）设P的极坐标为(,)(0)，M的极坐标为1(,)1(0)，由题设知cosOPOM=14=,=．由16OMOP得2C的极坐标方程cos4(0)．因此2C的直角坐标方程为222

40xyx．（2）设点B的极坐标为,0BB，由题设知2,4cosBOA，于是OAB△的面积S13sin4cos|sin()|2|sin(2)|23.2332BOAAOB

当12时，S取得最大值23，所以OAB△面积的最大值为23．【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解

的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程．11．【答案】（1）2240xyy；（2）5【解析】（1）消去参数t得1l的普通方

程1:2lykx；消去参数m得l2的普通方程21:2lyxk．设,Pxy，由题设得212ykxyxk，消去k得2240xyy．所以C的普通方程为2240xyy．（2）C的极坐标方程为222cossin

402π,π．联立222cossin4,cossin20得cossin2cossin．故1tan3，从而2291cos,sin1010．代入222cossin4

得25，所以交点M的极径为5．【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或

者直接利用极坐标的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．12．【答案】455【解析】直线l的普通方程为280xy．因为点P在曲线C上，设2(2,22)Pss，从而点P到直线l的的距离2222|2428

|2(2)451(2)sssd，当2s时，min455d．因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值455．【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等

变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．