【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案9．8《抛物线》(含详解).doc，共(10)页，318.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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19．8抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉______)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程及几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝

－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点①②()－p2，0③④()0，－p2准线⑤x＝－p2⑥⑦y＝－p2⑧范围⑨x≥0，y∈R⑩○11○12y≤0，x∈R对称轴○13○14y轴顶点○15原点O(0，0)离心

率○16开口○17○18向左○19向上○20自查自纠：1．l焦点准线2．①p2，0③0，p2⑥x＝p2⑧y＝p2⑩x≤0，y∈R⑪y≥0，x∈R⑬x轴⑯e＝1⑰向右⑳向下抛物线y＝2x2的焦点坐标是()A．18，0B．12，0C．0

，18D．0，12解：由抛物线的标准方程为x2＝12y，可知p2＝18，所以焦点坐标是0，18．故选C．A(2，1)为抛物线x2＝2py(p>0)上一点，则A到该抛物线的焦点F的距离为()A．32B．2＋12C．2D．2＋

1解：把A(2，1)代入抛物线方程得2＝2p，得p＝1，所以A到焦点的距离为1＋12＝32，则|AF|＝32，故选A．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离

为()A．2B．4C．6D．8解：不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，点A在第一象限，点D在第二象限．根据抛物线的对称性可得点A的纵坐标为22，代入抛物线方程得x＝4p，即A4p，22．易知

点D－p2，5，由于点A，D都在以坐标原点为圆心的圆上，所以16p2＋8＝p24＋5，解得p＝4，此即为抛物线的焦点到准线的距离．故选B．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为____

____．解：如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|．2则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4．即|PB|＋|PF|的最小值为4．故填4．(2016·商丘二模)已知双曲线x2a2－y

2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝47x的准线上，则双曲线的标准方程为________．解：由题意，得ba＝32．因为抛物线y2＝47x的准线方程为x＝－7

，所以c＝7，则a2＋b2＝c2＝7，得a＝2，b＝3，所以双曲线的标准方程为x24－y23＝1．故填x24－y23＝1．类型一抛物线的定义和性质(1)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点

A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时点P的坐标为________．解：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6．因为6＞2，所以点A在抛物线内部，如图．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝

|PA|＋d．当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，所以点P的坐标为(2，2)．故填(2，2)．(2)(2018·江西南昌二模)已知抛物线C1：y＝12px2(p＞0)的焦点与双曲线C2：x23

－y2＝1的右焦点的连线交C1于点M(M在第一象限)，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()A．316B．38C．233D．433解：由抛物线C1：y＝12px2(p＞0)得x2＝2py(p＞0)，所以抛物线的焦点坐标为(0，p2)．由x23－y2＝1得a＝3，b＝1，

c＝2．所以双曲线的右焦点为(2，0)．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为y－0p2－0＝x－20－2，即px＋4y－2p＝0．①则C1在点M处的切线的斜率为x0p．由题意可知x0p＝33，解得x0＝33p，所以M(33p，p6)，把M点的坐标代入①得3p23

＋23p－2p＝0，解得p＝433，或p＝0(舍去)．故选D．点拨：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．另外，

抛物线切线相关问题，注意应用导数工具，可避免联立，使问题简单化．(1)过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|＝6，BC→＝λFB→(λ＞0)，则λ的值为()A

．34B．32C．3D．3解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝±42，不妨取点A(4，42)，则直线AB的方程为y＝22(x－2)，令x＝－2，得C(－2，－82)，3联立

方程组y2＝8x，y＝22（x－2），解得B(1，－22)，所以|BF|＝3，|BC|＝9，所以λ＝3．故选D．(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．解：如图

，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即

为满足题意的点，此时最小值为[1－（－1）]2＋（0－1）2＝5．故填5．类型二抛物线的标准方程及其性质(1)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2．若抛物线C2：x2＝2py(p>0)

的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝833yB．x2＝1633yC．x2＝8yD．x2＝16y解：因为x2a2－y2b2＝1的离心率为2，所以ca＝2，即c2a2＝a2＋b2a2＝4，所以b2a2＝3，ba＝3．x2＝2py(p>0)的

焦点坐标为0，p2，x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，即y＝±3x．由题意得p21＋（3）2＝2，所以p＝8．故C2的方程为x2＝16y．故选D．(2)(2018·河北石家庄一模)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，C1与C2相交于A，

B两点，且|AB|＝855，则抛物线C2的方程为()A．y2＝85xB．y2＝165xC．y2＝325xD．y2＝645x解：由题意，知直线AB必过原点，则设AB的方程为y＝kx(易知k＞0)，圆心C1(0，2)到直线AB的距离d＝|－2|k2＋1＝22－（455）2＝255，解得k＝2

．由y＝2x，x2＋（y－2）2＝4得x＝0，y＝0或x＝85，y＝165，把(85，165)代入抛物线方程，得(165)2＝2p×85，解得p＝165，所以抛物线C2的方程为y2＝325x．故选C．点拨：①求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判

断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．②在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此

．(1)(2016·浙江模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为()4A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x解：如图，分别过A，B两点作AE，BD⊥准线于点E，D．因为

|BC|＝2|BF|，所以由抛物线的定义可知∠BCD＝30°，且|AE|＝|AF|＝3，所以|AC|＝6．即F为AC的中点，所以p＝12|AE|＝32，故抛物线方程为y2＝3x．故选C．(2)(2016·西安模拟)过

抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．解：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A的横坐标为2，将x＝2代入y2＝4x得

y2＝8，不妨令A在第一象限，则A的纵坐标为y＝22，所以A(2，22)，所以直线AF的方程为y＝22(x－1)，联立直线与抛物线的方程y＝22（x－1），y2＝4x，解得x＝12，y＝－2或x＝2，y＝22，故B(12，－2)，

所以S△AOB＝12×1×|yA－yB|＝322．故填322．类型三直线与抛物线(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝x24上两点，A与B的横坐标之和为4．(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，

C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，、于是直线AB的斜率k＝y1－y2x1－x2＝x1＋x24＝1．(2)由y＝x24，得y′＝x2．设M(x3，y3)，由题设知x32＝kAB＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．

设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为Nx1＋x22，y1＋y22，由x1＋x2＝4，即可得N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|．将y＝x＋m代入y＝x24得x2－4x－4m＝0．当Δ＝16(m＋

1)＞0，即m＞－1时，x1，2＝2±2m＋1．从而|AB|＝2|x1－x2|＝42（m＋1）．由题设知|AB|＝2|MN|，即42（m＋1）＝2(m＋1)，解得m＝7．所以直线AB的方程为y＝x＋7．

点拨：解决直线与抛物线公共点(交点)问题，与直线与椭圆、双曲线位置关系问题类似，要注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．另外，抛物线的几何性质及导数工具等的应用往往能简化运算．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线

的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．已知AB是抛物线x2＝4y的一条焦点弦，若该弦中点的纵坐标是3，则弦AB所在的直线方程是________．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线

AB的方程为x＝m(y－1)，由抛物线的定义及题设可得y1＋y2＝6，联立x＝m（y－1），x2＝4y，消去x可得m2y2－(2m2＋4)y＋m2＝0．所以y1＋y2＝2m2＋4m2，即6＝2m2＋4m2，可得5m＝1或m

＝－1．故直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0．故填x－y＋1＝0或x＋y－1＝0．1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握．2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类

求解的麻烦，可以设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)．若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左．m有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n＞0与n＜0，有类似的讨论．3．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦

问题时，要看到焦点想准线(看到准线想焦点)，优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．4．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1

＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．5．抛物线的几个常用结论(1)抛物线上的点P(x0，y0)与焦点F之间的线段长度(一般叫做抛物线的焦半径)记作r＝||PF．①y2＝2px(p＞0)，r＝x0＋p2；②y2＝－2px(p＞0)，r＝－x

0＋p2；③x2＝2py(p＞0)，r＝y0＋p2；④x2＝－2py(p＞0)，r＝－y0＋p2．(2)若AB为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，||AB＝l．则：①x1x2＝

p24；②y1y2＝－p2；③弦长l＝x1＋x2＋p，因x1＋x2≥2x1x2＝p，故当x1＝x2时，l取得最小值，最小值为2p，此时弦AB垂直于x轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)

．1．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是()A．(0，a)B．(a，0)C．(0，116a)D．(116a，0)解：抛物线y＝4ax2(a≠0)化为标准方程为x2＝14ay，因此其焦点坐标为(0，116a)．故选C．2．若直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B

两点，且AB⊥x轴，|AB|＝42，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A．1B．2C．3D．5解：由|AB|＝42及AB⊥x轴，不妨设点A的纵坐标为22，代入y2＝4x得点A的横坐标为2，从而直线AB的方程为x＝2．又y2＝4x的焦点为(1，0)，所以

抛物线的焦点到直线AB的距离为2－1＝1．故选A．3．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝()A．303B．6C．12D．73解：焦点F的坐标为34，0，方法一：直线AB的斜率为33，所以直线AB的方程为y＝33x－3

4，即y＝33x－34，代入y2＝3x，得13x2－72x＋316＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝212，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝212＋32＝12．方法二：由抛物线焦点弦的性质可得|AB|＝2psin2θ＝3sin230°＝12．故选C．4．已知抛物

线C：x2＝4y的焦点为F，直线x－2y＋4＝0与C交于A、B两点，则sin∠AFB＝()A．55B．35C．34D．45解：由抛物线方程可知焦点F的坐标为(0，1)，6联立x－2y＋4＝0，x2＝4y，解得x＝－2，y＝1，或x＝4，y

＝4．令A(－2，1)，则B(4，4)，所以|AB|＝36＋9＝35，|AF|＝4＋0＝2，|BF|＝16＋9＝5，所以在△ABF中，cos∠AFB＝|AF|2＋|BF|2－|AB|22|AF||BF|＝4＋25－45

2×2×5＝－45，所以sin∠AFB＝1－1625＝35．故选B．5．如图，抛物线C1：y2＝2px和圆C2：(x－p2)2＋y2＝p24，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则AB→·CD→的值为()A．p24

B．p23C．p22D．p2解：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|＝|AF|－|BF|＝x1＋p2－p2＝x1，同理|CD|＝x2．故AB→·CD→＝|AB||CD|＝x1

x2＝p24．故选A．6．(2018·资阳二模)如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x和圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB周长的取值范围为()A．(6，10)B．(8，12)C．[6，8]D．[

8，12]解：抛物线的准线为l：x＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线的定义可得|AF|＝xA＋2，圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，所以△FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB．由抛物线y2＝8x和圆(x－2)2＋

y2＝16可得交点的横坐标为2，所以xB∈(2，6)，所以6＋xB∈(8，12)，即△FAB周长的取值范围为(8，12)．故选B．7．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．解：易知F(1，0)，设A(x0，y0)，由抛物线

定义知x0＋1＝2，所以x0＝1，则直线AB⊥x轴，所以|BF|＝|AF|＝2．故填2．8．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0

)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立x2＝2py，x2a2－y2b2＝1，消去x得a2

y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以y1＋y2＝2pb2a2．由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋p2，|BF|＝y2＋p2，又|OF|＝p2，|AF|＋|BF|＝4|OF|，所以y1＋p2＋y2＋p2＝4·p2，所以y

1＋y2＝p．从而2pb2a2＝p，所以b2a2＝12，所以ba＝22．所以该双曲线的渐近线方程为y＝±22x．故填y＝±22x．9．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9．(

1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB的方程为y＝722x－p2，与y2＝2px联立，消去y有4x2－5px

＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4．由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝5p4＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x．(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝

－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4，42)．设C(x3，y3)，则OC→＝(x3，y3)＝OA→＋λOB→＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1，42λ－22)．又y23＝8x3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2．

10．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2，0)的直线l交抛物线于A、B两点，坐标原点为O，OA→·OB→＝12．(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．解：(1)设直线l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0．(

*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2因为OA→·OB→＝12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．(2)(*)化为y2－

4my＋8＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝8．设AB的中点为M(xM，yM)，则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①又|AB|＝1＋m2|y1－y2|＝（1＋m2）（16m2－32

），②由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，解得m2＝3，m＝±3．所以直线l的方程为x＋3y＋2＝0或x－3y＋2＝0．11．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是

8，AB的中点到x轴的距离是3．(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点．连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．解：(1)设抛物线的方程是x2＝2py(p＞0)，A(x1，y1)，B

(x2，y2)，由抛物线定义可知y1＋y2＋p＝8，又AB的中点到x轴的距离为3，所以y1＋y2＝6，所以p＝2，所以抛物线的标准方程是x2＝4y．(2)由题意知，直线m的斜率存在，设直线m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由y＝kx＋6，x2＝4y消去y得x

2－4kx－24＝0，所以x3＋x4＝4k，x3x4＝－24．已知抛物线C的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．解：(1)由题意，

可设抛物线C的方程为x2＝2py(p＞0)，则p2＝1，即p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y．(2)由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB8的方程为y＝kx＋1．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx＋1，x2＝4y消去y，整理得x2－4kx－4＝0

，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4．从而|x1－x2|＝4k2＋1．由y＝y1x1x，y＝x－2，解得点M的横坐标xM＝2x1x1－y1＝84－x1．同理，点N的横坐标xN＝84－x2．所

以|MN|＝2|xM－xN|＝2|84－x1－84－x2|＝82|x1－x2x1x2－4（x1＋x2）＋16|＝82k2＋1|4k－3|，令4k－3＝t，t≠0，则k＝t＋34．当t＞0时，|MN|＝22·25t2＋6t＋1＞2

2．当t＜0时，|MN|＝22·（5t＋35）2＋1625≥825，当且仅当t＝－253时取等号．综上所述，当t＝－253，即k＝－43时，|MN|的最小值是825．910