【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案9．6《椭 圆》(含详解).doc，共(11)页，279.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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19．6椭圆1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．※(2)另一种定义

方式(见人教A版教材选修2－1P47例6、P50)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(0＜e＜1)的轨迹叫做椭圆．定点F叫做椭圆的一个焦点，定直线l叫做椭圆的一条准线，常数e叫做椭圆的__________．2．椭圆的标准方程及几何

性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)图形(2)标准方程y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)(3)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－a≤y≤a，－b≤x≤b(4)中心原点O(0，0)(5)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)(6)对称轴x轴，y轴(7)焦点F1(0

，－c)，F2(0，c)(8)焦距2c＝2a2－b2(9)离心率自查自纠：1．(1)＞焦点焦距(2)离心率2．(2)x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)(5)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)(7)F1(－c，0)，

F2(c，0)(9)e＝ca(0＜e＜1)已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m等于()A．2B．3C．4D．9解：由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3．故选B．已知△ABC的顶点B，C

在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．23B．6C．43D．12解：由椭圆的方程得a＝3．设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为

4a＝43．故选C．(2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A．13B．12C．23D

．34解：由三角形的相似可得AFOA＝FMOE，BOBF＝OE2FM，两式相乘得a－ca·aa＋c＝12，解得a＝3c，故离心率e＝ca＝13．故选A．已知椭圆x2m＋y24＝1的焦距是2，则该椭圆的长轴长为____________．2解：当焦点在x轴上时，有m－

4＝1，得m＝5，此时长轴长为25；当焦点在y轴上时，长轴长为4．故填25或4．已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sinA＋sinCsinB＝________．解：由题意知，A，C为椭圆的两焦点，由正弦定理，得sinA

＋sinCsinB＝|BC|＋|AB||AC|＝2a2c＝ac＝54．故填54．类型一椭圆的定义及其标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点(－32，52)，(3，5)，则椭圆的方程为__________．解：依题

意，设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．由（－32）2·m＋（52）2·n＝1，3m＋5n＝1，解得m＝16，n＝110．所以椭圆的方程为y210＋x26＝1．故填y210＋x26＝1．(2)过点

(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为__________．解法一：依题意，设所求椭圆方程为y225－k＋x29－k＝1(k＜9)，将点(3，－5)代入可得（－5）225－k＋（3）29－k＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方

程为y220＋x24＝1．解法二：椭圆y225＋x29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4．由椭圆的定义知，2a＝（3－0）2＋（－5＋4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2，解得a＝25．由c2＝a2－b2可得b2＝4．所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24

＝1．故填y220＋x24＝1．点拨：求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可．(1)(2017·湖南省东部六

校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝12，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为()A．x24＋y23＝1B．x28＋y26＝1C．x22＋y2＝1D．x24＋y2＝1解：依题意，可设

椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c＝1，又离心率e＝ca＝12，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为x24＋y23＝1．故选A．(2)已知F1(－1，0)，F

2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为____________．解：依题意，设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．因为过点

F2(1，0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|＝3，所以点A(1，32)必在椭圆上，所以1a2＋94b2＝1．①又由c＝1，得1＋b2＝a2．②由①②联立，得b2＝3，a2＝4．故所求椭圆C的方程为x24＋y23＝1．故填x24＋y23＝31．类型二椭圆的离心率(1)从椭圆x2

a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A．24B．12C．22D．32解：左焦点为

F1(－c，0)，PF1⊥x轴，当x＝－c时，c2a2＋y2Pb2＝1⇒y2P＝b21－c2a2＝b4a2⇒yP＝b2a(负值不合题意，舍去)，所以点P－c，b2a，由斜率公式得kAB＝－ba，kO

P＝－b2ac．因为AB∥OP，所以kAB＝kOP⇒－ba＝－b2ac⇒b＝c．因为a2＝b2＋c2＝2c2，所以c2a2＝12⇒e＝ca＝22．故选C．(2)(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(

a>b>0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是__________．解：由题意可得B－32a，b2，C32a，b2，F(c，0)，则由∠BFC＝90°得BF→·CF→＝c＋32a，－b2·(c－32a，－b

2)＝c2－34a2＋14b2＝0，化简得3c＝2a，则离心率e＝ca＝23＝63．故填63．点拨：求椭圆的离心率通常要构造关于a，c的齐次式，再转化为关于e的方程；求椭圆离心率的取值范围，则往往要借助椭圆的几何性质及平面几何的知识构造不等式．(1)设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b

2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为()A．33B．36C．13D．16解：如图，设PF1的中点为M，连接PF2．因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2，所以∠

PF2F1＝∠MOF1＝90°．因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝3|PF2|，由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝3|PF2|2，2c＝|F1F2|＝3|PF2|，即c＝3|PF2|2，则e＝ca＝3|PF2|2·23

|PF2|＝33．故选A．(2)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于32(a－c)，则椭圆的

离心率e的取值范围是__________．解：因为|PT|＝|PF2|2－（b－c）2(b＞c)，而|PF2|的最小值为a－c，所以|PT|的最小值为（a－c）2－（b－c）2．依题意，有（a－c）2－（b－c）2≥32(a－c)，所

以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所4以(a＋c)2≥4(a2－c2)，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0．①又b＞c，所以b2＞c2，所以a2－c2＞c2，所以2e2＜1．②联立①②，得35≤e＜22．故

填[35，22)．类型三椭圆的焦点三角形椭圆C：x2a2＋y2＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N．O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2

3，则△PF1F2的周长是()A．2(2＋3)B．2＋23C．2＋3D．4＋23解：：因为O，M分别为F1F2和PF1的中点，所以OM∥PF2，且|OM|＝12|PF2|，同理，ON∥PF1，且|ON|＝12|PF1|，所以四边形OMPN为平行四边形，由题意知

，|OM|＋|ON|＝3，故|PF1|＋|PF2|＝23，即2a＝23，a＝3，由a2＝b2＋c2知c2＝a2－b2＝2，c＝2，所以|F1F2|＝2c＝22，故△PF1F2的周长为2a＋2c＝23＋22．故选A．点拨：

椭圆的焦点三角形是描述椭圆上的点到焦点的距离、焦距之间的相互制约关系的一个载体．由于其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩．(2017·德阳模拟)已知椭圆：x24＋y2b2＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的

直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是__________．解：由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质可

知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则通径长2b2a＝3．所以b2＝3，即b＝3．故填3．类型四椭圆中的最值问题(1)已知F是椭圆x29＋y25＝1的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为，最小值为__________．解：由题意知a＝3，b＝5

，c＝2，F(－2，0)．设椭圆右焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF′|＋6．当P，A，F′三点共线时，|PA|－|PF′|取到最大值|AF′|＝2，或者最小值－|AF′|＝－2．所以|PA|

＋|PF|的最大值为6＋2，最小值为6－2．故填6＋2；6－2．(2)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|PF1→＋PF2→|的最小值是()A．0B．1C．2D

．22解：设P(x0，y0)，则PF1→＝(－1－x0，－y0)，PF2→＝(1－x0，－y0)，所以PF1→＋PF2→＝(－2x0，－2y0)，因为点P在椭圆上，所以0≤y20≤1，所以当y20＝1时，|PF1→＋PF

2→|取最小值2．另解：由PF1→＋PF2→＝PO→＋OF1→＋PO→＋OF2→＝2PO→求解．故选C．(3)在椭圆x218＋y28＝1上到直线2x－3y＋15＝0的距离最短的点的坐标为．解：设所求点坐

标为A(32cosθ，22sinθ)，θ∈R，由点到直线的距离公式得d＝|62cosθ－62sinθ＋15|22＋（－3）2＝5－12sinθ－π4＋1513，当θ＝2kπ＋3π4，k∈Z时，d取到最小值31313，此时A点坐

标为(－3，2)．故填(－3，2)．点拨：椭圆中距离的最值问题一般有3种解法：①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e)；②根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适

用于定点在椭圆的对称轴上)；③用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．(1)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A．52B．46＋2C．7＋2D．62解法一：设椭圆上任意一点

为Q(x，y)，则圆心(0，6)到点Q的距离d＝x2＋（y－6）2＝－9y2－12y＋46＝－9y＋232＋50≤52，P，Q两点间的最大距离d′＝dmax＋2＝62．解法二：易知圆心坐标为M(0，6)，|PQ|的最大值为|MQ|max＋2，设

Q(10cosθ，sinθ)，则|MQ|＝10cos2θ＋（sinθ－6）2＝－9sin2θ－12sinθ＋46＝－9sinθ＋232＋50，当sinθ＝－23时，|MQ|max＝52，所以|PQ|max＝52＋2＝62．故选D．(2)如图，焦点在x轴

上的椭圆x24＋y2b2＝1的离心率e＝12，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF→·PA→的最大值为____________．解：设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，因为e＝ca＝12，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3．所以椭圆方程为x

24＋y23＝1．所以－2≤x0≤2，－3≤y0≤3．因为F(－1，0)，A(2，0)，PF→＝(－1－x0，－y0)，PA→＝(2－x0，－y0)，所以PF→·PA→＝x20－x0－2＋y20＝14x20－x0＋1＝14(x0－2)2．即当x0＝－2时，PF→·PA→取得

最大值4．故填4．类型五椭圆的弦长已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22．直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N．(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．

解：(1)由题意得a＝2，ca＝22，又a2＝b2＋c2，解得b＝2，所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1．(2)由y＝k（x－1），x24＋y22＝1得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0．设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝4k21

＋2k2，x1x2＝2k2－41＋2k2，所以|MN|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝2（1＋k2）（4＋6k2）1＋2k2，又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝6|k|1＋k2，所以△AMN的面积为S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，

由|k|4＋6k21＋2k2＝103，解得k＝±1．点拨：弦长公式|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋k2·Δ|a|．(2016·石家庄二模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，过点M(1，0)

的直线l交椭圆C于A，B两点，|MA|＝λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|＝2．(1)求椭圆C的方程；(2)若λ∈[12，2]，求弦长|AB|的取值范围．解：(1)由题意可得e＝ca＝22，即c2a2＝12，

又c2＝a2－b2，则a2＝2b2，①把x＝1代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1，得y＝±baa2－1，则2baa2－1＝2，②联立①②得a2＝2，b2＝1．所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1．(2)当直线l的斜率存在

时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，联立方程组x22＋y2＝1，y＝k（x－1），得(1＋2k2)y2＋2ky－k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－2k1＋2k2，y1y2＝－k21＋2k2，③由|

MA|＝λ|MB|，得AM→＝λMB→，所以(1－x1，－y1)＝λ(x2－1，y2)，则－y1＝λy2，④把④代入③消去y2，得41＋2k2＝λ＋1λ－2，当λ∈[12，2]时，41＋2k2＝λ＋1λ－2∈[0，12]，解得k2≥72．又|AB|＝1＋1k2·（

y1－y2）2＝1＋1k2·（y1＋y2）2－4y1y2＝k2＋1k2·（－2k1＋2k2）2－4·－k21＋2k2＝22·1＋k21＋2k2＝22(1－k21＋2k2)＝221－11k2＋2，由

k2≥72，得221－11k2＋2∈(2，928]．当直线l的斜率不存在时，λ＝1，|AB|＝2．故弦长|AB|的取值范围为[2，928]．1．在运用椭圆的定义时，要注意“|F1F2|＜2a”这个条件，若|F1F2|＝2a，则

动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|＞2a，则轨迹不存在．2．椭圆的标准方程有两种形式，两种形式可以统一为x2m＋y2n＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，具体是哪种形式，由m与n的大小而定．3．求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，

即①先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出关于a，b的两个方程，求参数a，b的值；②由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a，b的值．4．充分利用图形的几何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要

体现在椭圆的定义中．75．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定．6．直线和椭圆相交

时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决．设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一．7．椭圆中几个常用的结论(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r

2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；②S＝b2tanθ2＝c||y0，当||y0＝b时，即点P的位置为短轴端点

时，S取最大值，最大值为bc．(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝2b2a．(3)AB为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的弦(斜率为k)，A(x1，y1)，B(x2，

y2)，弦中点M(x0，y0)，则①弦长l＝1＋k2||x1－x2＝1＋1k2|y1－y2|；②直线AB的斜率k＝－b2x0a2y0；③k·kOM＝－b2a2．以上常用结论在教材的例题与习题中都有体现．1．椭圆x2m＋y24＝1的焦距为2，则m的

值等于()A．5B．3C．5或3D．8解：当m＞4时，m－4＝1，所以m＝5；当0＜m＜4时，4－m＝1，所以m＝3．故选C．2．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A．13B．12C．22D．223解：易知c＝2，所以a2＝

b2＋c2＝8，a＝22，所以离心率e＝ca＝22．故选C．3．(2018·深圳一模)过点(3，2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为()A．x25＋y210＝1B．x210＋y215＝1C．x215＋y210＝1

D．x210＋y25＝1解：椭圆3x2＋8y2＝24的焦点为(±5，0)，可得c＝5，设所求椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1，可得9a2＋4b2＝1，又a2－b2＝5，得b2＝10，a2＝15，所以所求的椭圆方程为

x215＋y210＝1．故选C．4．已知点P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF2F1＝2，则椭圆的离心率e＝()A．53B．13C．23D．12解：依题意，设|P

F2|＝m，则有|PF1|＝2m，|F1F2|＝5m，该椭圆的离心率是e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝5m3m＝53．故选A．5．如图，椭圆x2a2＋y22＝1(a>0)的左、

右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为()A．2B．3C．4D．5解：由题可知b2＝2，则c＝a2－2，故|F1F2|＝2a2－2，又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，则|PF2|＝2a

－4，由余弦定理得cos120°＝42＋（2a－4）2－（2a2－2）22×4×（2a－4）＝－12，化简得8a＝24，即a＝3．故选B．6．(2016·海沧实验中学模拟)已知直线l：y＝8kx＋2过椭

圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥455，则椭圆离心率e的取值范围是()A．(0，55]B．(0，255]C．(0，355]D．(0，455]解：依题意，知b＝2，kc＝2．设圆心到直线l的距离为d，则L＝24－

d2≥455，解得d2≤165．又因为d＝21＋k2，所以11＋k2≤45，又e2＝c2a2＝c2b2＋c2＝11＋k2，所以0＜e2≤45，解得0＜e≤255．故选B．7．焦距为8，离心率为45的椭圆的标准方程为____________．解：由题意知

2c＝8，ca＝45，解得a＝5，c＝4，又b2＝a2－c2，所以b＝3．当焦点在x轴上时，椭圆方程为x225＋y29＝1，当焦点在y轴上时，椭圆方程为y225＋x29＝1．故填x225＋y29＝1或y225＋x29＝1．8．(2017·昆明质检)椭圆x29＋y225＝

1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是____________．解：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10．则m＝|PF1|·|PF2|≤(|PF1|＋|PF2|2)2＝25，当且仅当|PF1|＝

|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25，所以点P的坐标为(－3，0)或(3，0)．故填(－3，0)或(3，0)．9．设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交

点为N．(1)若直线MN的斜率为34，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，点N的纵坐标为－1，求椭圆的方程．解：(1)根据c＝a2－b2及题设知M(c，b2a)，则由kMN＝34有2b2＝3ac．将b2＝a

2－c2代入2b2＝3ac，解得ca＝12或ca＝－2(舍去)．故C的离心率为12．(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故b2a＝4，即b2＝4a．①易知M在第一象限，由三

角形的相似得21＝c－c－xN，得xN＝－32c，故而N(－32c，－1)，代入C的方程，得9c24a2＋1b2＝1．②将①及c＝a2－b2代入②得9（a2－4a）4a2＋14a＝1．解得a＝7，又b2＝4a＝28，故b＝27．所

以椭圆方程为x249＋y228＝1．10．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，其中左焦点F(－2，0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且

线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．解：(1)由题意，得ca＝22，c＝2，a2＝b2＋c2．解得a＝22，b＝2．所以椭圆C的方程为x28＋y24＝1．9(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由

x28＋y24＝1，y＝x＋m消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，Δ＝96－8m2＞0，所以－23＜m＜23，因为x0＝x1＋x22＝－2m3，所以y0＝x0＋m＝m3，因为点M(x0，y0)在

圆x2＋y2＝1上，所以(－2m3)2＋(m3)2＝1，所以m＝±355．11．(2017·兴义月考)已知点M(6，2)在椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为63．(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三

角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积．解：(1)由已知得6a2＋2b2＝1，ca＝63，a2＝b2＋c2，解得a2＝12，b2＝4．故椭圆C的方程为x212＋y24＝1．(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A

(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0)．由y＝x＋m，x212＋y24＝1，消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，则x1＋x2＝－32m，x1x2＝3m2－124．所以x0＝x1＋x22＝－3m4，y0＝x0＋m＝m4，即D(－3m4，m

4)．因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB，即PD的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1，解得m＝2．此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，则|AB|＝2|x1－x2|＝2·（x1＋x2）2－4x1x2＝32，又点P到直线l：x－y

＋2＝0的距离d＝322，所以△PAB的面积S＝12|AB|·d＝92．(2017·沈阳质监)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2

)若k＝24，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围．解：(1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5．结合a2＝b2＋c2，解得b＝4

．所以椭圆的标准方程为x225＋y216＝1．(2)方法一：由x2a2＋y2b2＝1，y＝24x，得(b2＋18a2)x2－a2b2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝－a2b2b2＋18a2，由AB

，F1F2互相平分且A，B，F1，F2四点共圆，易知AF2⊥BF2，因为F2A→＝(x1－3，y1)，F2B→＝(x2－3，y2)，所以F2A→·F2B→＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋18)x1x2＋9＝0，即x1x2＝－8，所以有－a2b2b2＋18a2＝－8

，结合b2＋9＝a2，解得a2＝12或a2＝6(舍)，所以a＝23，又c＝3，所以e＝32．方法二：设A(x1，y1)，又AB，F1F2互相平分且A，B，F1，F2四点共圆，所以AB，F1F2是圆的直10径，所以x21＋y

21＝9，由①②解得x21＝8，y21＝1，将其代入③并结合b2＝a2－c2＝a2－9，解得a2＝12，则a＝23．故e＝32．(3)由(2)的结论知，椭圆方程为x212＋y23＝1，由题可设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝y0－y1x0－x

1，k2＝y0＋y1x0＋x1，所以k1k2＝所以k2＝－14k1，由－2＜k1＜－1可知，18＜k2＜14．故直线PB的斜率k2的取值范围是(18，14)．11