【文档说明】(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习31《直线、平面垂直的判定及其性质》(含详解).doc，共(61)页，3.516 MB，由MTyang资料小铺上传

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考点31直线、平面垂直的判定及其性质（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理：·如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.·

如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明：·如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.一、直线与平面垂直1．定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都

垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作：l⊥α.图形表示如下：【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．2．直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面

垂直.简记为：线线垂直⇒线面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，abP⇒l⊥α作用判断直线与平面垂直【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交．．直线垂直，而不是任意的两条直线.3．直线与平面垂

直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为：线面垂直⇒线线平行图形语言符号语言ab⇒ab∥作用①证明两直线平行；②构造平行线.4．直线与平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线

上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．．，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成

的角等于90；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0.因此，直线与平面所成的角．．．．．．．．．α．的范围是．．．．π[0,]2.5．常用结论（熟记）（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条

也垂直于这个平面．（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．二、平面与平面垂直1．定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作⊥.图形表示如下：2．平面与平面垂直的判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.简记为：线面垂直⇒面面垂直图

形语言符号语言l⊥α，l⇒α⊥β作用判断两平面垂直3．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.简记为：面面垂直⇒线面垂直图形语言符号语言=laaal⊥⊥作用证明直线与平面

垂直4．二面角（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．．．．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上

任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.（3）二面角的范围：[0,π].5．常用结论（熟记）（1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交

线也垂直于第三个平面．（3）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．三、垂直问题的转化关系考向一线面垂直的判定与性质线面垂直问题的常见类型及解题策略：(1)与命题真假判断有关的问题．解决此类问

题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定．(2)证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(abab∥,)；④面面平行的性质(aa,∥)；⑤面面垂直的性质．(3)线面垂

直的证明．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(4)线面垂直的探索性问题．①对命题条件的探索常采用以下三种方法：a．先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；b．先通过命题成立的必

要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；c．把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．②对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.典例1如图所示，和都是以为

直角顶点的等腰直角三角形，且，下列说法中错误的是A．平面B．平面C．平面D．平面【答案】D【解析】易知,所以平面,又ABD△与ADC△均为以为直角顶点的等腰直角三角形,所以2,2ABACBDDCAB.又,所以ABC△为等边三角形,故,所以,即.所以平面,同理平面.

故选D.1．在正方体1111ABCDABCD中，点P在侧面11BCCB及其边界上运动，并且保持1APBD，则动点P的轨迹为A．线段1BCB．线段1BCC．1BB的中点与1CC的中点连成的线段D．BC的中点与11BC的中点连成的线段典例2如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，

为线段的中点．（）求证：平面；（）求证：直线平面；（）设为线段上任意一点，在1BCD△内的平面区域（包括边界）是否存在点，使?请说明理由．【解析】（）∵三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，∴，，∴平面，又∵平面，∴，又底面为等边三角形，为线段的中点，∴，

又，∴平面．（）如图，连接交于点，连接，则为的中点，∵是的中点，∴，又平面，平面，∴直线平面．（）在1BCD△内的平面区域（包括边界）存在点，使，此时在线段上，证明如下：如图，过作，交线段于点，由（）可知，平面，又平面，∴，由，，得

平面，∵平面，∴．2．如图，在正方体1111ABCDABCD中，E为棱11CD的中点，F为棱BC的中点．（1）求证：AE⊥DA1；（2）在线段AA1上求一点G，使得AE⊥平面DFG？并说明理由．考向二面面垂直的判定与性质

判定面面垂直的常见策略：(1)利用定义(直二面角)．(2)判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．(3)在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中

一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．典例3已知在梯形中，，分别为底上的点，且，，，沿将平面折起至平面，如图.（1）求证：平面平面；（2）若，求多面体的体积．【解析】（1）由平面平面，且知平面

．而DF平面，所以平面平面.由22,22,4BFBCFC，可知222BFBCFC，即，又BC平面,所以平面．又BC平面，所以平面平面．（2）依题意知，多面体是三棱台，易得高为，两个底面面积分别是和，故体积为．典例4如图,直三棱柱中,分别是的中点,.（1）证明:平面;（2）证明

:平面平面.【解析】（1）连接,交于点,连接,则是的中点,因为是的中点,所以//．因为平面平面，所以//平面．（2）取的中点,连接,因为是的中点,所以//且．显然//,且,所以//且，则四边形是平行四边形.所以//,因

为,所以.又,所以直线平面．因为//,所以直线平面.因为平面,所以平面平面3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中点．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平

面PBD⊥平面PAC；（3）当三棱锥C﹣PBD的体积等于32时，求PA的长．4．如图，在三棱柱111ABCABC中，底面为正三角形，1AA底面ABC，13AAAB，点E在线段1CC上，平面1AEB平面11AABB.（1）请指出点E的位置，并给出证明；（2）若1AB，求点1B到平面ABE

的距离.考向三线面角与二面角求直线与平面所成的角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角

．(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求

”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．典例5正三棱柱111ABCABC的所有棱长都相等，D是11AC的中点，则直线AD与平面1BDC所成角的正弦值为A．35B．45C．34D．55【答案】B【解析】解法一：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知1BD平面ACD，∴1B

DDC，故1BDC△为直角三角形．设棱长为1，则有1535,,222ADBDDC，∴1135152228BDCS△.设A到平面1BDC的距离为h，则有11ABDCBADCVV，∴111133BDCADChSBDS△△，∴1151313832

2h，∴25h.设直线AD与平面1BDC所成的角为θ，则4sin5hAD.解法二：在正三棱柱中，由D为11AC中点可证1BD⊥平面11AACC，如图，作AHCD，∴1BDAH.又1BDCDD，∴AH⊥平面1BCD，∴∠ADH为所求的线面角．设棱长为2，

在ACD△中由等面积法得455AH，∴4545sin55ADH.故选B.典例6如图，直三棱柱111ABCABC的底面是边长为2的正三角形，,EF分别是1,BCCC的中点.（1）证明：平面AEF⊥平面11BBCC

；（2）若直线1AC与平面11AABB所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积.【解析】（1）因为三棱柱111ABCABC是直三棱柱，所以1AEBB，又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AEBC，

因此AE平面11BBCC，而AE平面AEF，所以平面AEF平面11BBCC.（2）如图，设AB的中点为D，连接1,ADCD，因为ABC△是正三角形，所以CDAB，又三棱柱111ABCABC是直三棱柱，所以1

CDAA，因此CD平面11AABB，于是1CAD是直线1AC与平面11AABB所成的角.由题设知145CAD，所以1ADCD332AB，在1RtAAD△中，2211312AAADAD，所以11222FCAA，故三棱锥FAEC的体积11326332212AECVSF

C△.5．已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，底面是边长为3的正三角形，且该三棱柱外接球的表面积为7π，若P为底面111ABC的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为A．π3B．4C．6D．5π126．已知

四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，∥ADBC，3AB，4BC，5AC.（1）当PA变化时，点C到平面PAB的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（2）若3PA，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.典例7已知AB

CD是正方形，E是AB的中点，将DAE△和CBE△分别沿DE、CE折起，使AE与BE重合，A、B两点重合后记为点P，那么二面角PCDE的大小为________．【答案】30【解析】如图，取CD中点F，连接PF、EF.∵EP⊥PD，EP⊥PC

，∴EP⊥平面PCD，∴EP⊥CD.∵PC=PD，∴PF⊥CD，又PF∩PE=P，∴CD⊥平面PEF，又EF⊂平面PEF，∴CD⊥EF，∴∠PFE为二面角PCDE的平面角．设正方形ABCD的边长为2

，在RtEFP△中，PE=1，EF=2，∴∠PFE=30°.【名师点睛】（1）二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点.为了解题方便，可以把其放在某一特殊位置，这要具体问题具体分析.（2）求二面角的关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角

，即过二面角的一个半平面内且不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.典例8在中，，以的中线为折痕，将沿折起，如图所示，构成二面角,在平面内作，且．（1）求

证：∥平面；（2）如果二面角的大小为，求二面角的余弦值．【解析】（1）由得，所以为等腰直角三角形，由为的中点得，以的中线为折痕翻折后仍有.因为，所以∥，又平面，平面，所以∥平面．（2）因为二面角的大小为，所以平面平面，又平面平面,，所以平面，因此，又，，所以平面，从而．由题意，所以在

中，．如图，设中点为，连接BF，因为，所以，且，如图，设的中点为，连接FG，BG，则∥，由得，所以为二面角的平面角，如图，连接，在中，因为，所以．在中，，于是在中，．在中，2222111332242BGA

BBEAE，所以在中，13312622cos322232BFG．因此二面角的余弦值为63.7．已知菱形ABCD的边长为1，60DAB，将这个菱形沿AC折成60的二面角，则,BD两点间的距离为A．32B．12C．32D．348

．如图，多面体PABCD，平面ABCD平面PBC，DCBC，∥DABC，90BCP，M是AP的中点，N是DP上的点.（1）若∥MN平面PBC，证明：N是DP的中点；（2）若3CBCDCP，1AD，求二面角ABPC的平面角的余弦值.1．下列说法错误的是A．垂直于同一

个平面的两条直线平行B．若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C．一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直2．设a，b，c

表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中不正确的是A．cc∥B．abbbcca是在内的射影C．bcbcc∥∥D．abba∥3．如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面AB

C于H，则垂足H是△ABC的A．外心B．内心C．垂心D．重心4．若,ab是不同的直线，,是不同的平面，则下列命题正确的是A．若,,∥∥abab，则B．若,,∥∥∥abab，则∥C．若,,∥abab，则∥D．若,,∥ab

ab，则∥5．如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=A．B．2C．D．16．如图,在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中,点E

、F分别是棱BC、1CC的中点，P是底面ABCD上（含边界）一动点，且满足1APEF，则线段1AP长度的取值范围是A．51,2B．53,22C．1,3D．2,37．《九章算术》卷五《商功》中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤

四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？问题中“刍甍”指的是底面为矩形的屋脊状的几何体，如图1，该几何体可由图2中的八边形沿，向上折起，使得与重合而成，设网格纸上每个小正方形的边长为1，则此“刍甍”中与平面所成角的正弦值为A．155B．255C．105D

．558．如图所示，在直角梯形BCEF中，90CBFBCE，AD，分别是BFCE，上的点，ADBC∥，且22ABDEBCAF（如图①）.将四边形ADEF沿AD折起，连接BEBFCE，，（如图②）.在折起的过程中，下列说法中错误的个数是①∥

AC平面BEF；②BCEF，，，四点不可能共面；③若EFCF，则平面ADEF平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直.A．0B．1C．2D．39．如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E为AD的中点,现分

别沿BE,CE将△ABE,△DCE翻折,使得点A,D重合于点F,此时二面角E-BC-F的余弦值为（1）（2）A．34B．74C．23D．5310．如图，在正方体1111ABCDABCD中，F是棱11AD上的动点，下列说法正确的是A．对任意动点,F在平面11ADDA内不存在．．．与平面CBF平行的

直线B．对任意动点,F在平面ABCD内存在．．与平面CBF垂直的直线C．当点F从1A运动到1D的过程中，二面角FBCA的大小不变．．D．当点F从1A运动到1D的过程中，点D到平面CBF的距离逐渐变大．．11．如

图,三棱锥,平面平面,若,则△的形状为__________.12．在四面体中，平面，，，，，为棱上一点，且平面平面，则__________.13．如图，在直三棱柱111ABCABC中，D是BC的中点，12ABAA，若△ABC是正三角形，则直线1AD和平面ABC所成的

角的大小是__________.14．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则PEEC________.15．如图所示，在四棱锥PABCD中，PA

⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当DM⊥________时，平面MBD⊥平面PCD.16．如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且60BCD，平面FBC平面ABCD，∥EFAB，FBFC，H为BC的中点.（1）求证：FH平面ABCD；

（2）若△FBC为等边三角形，Q为线段EF上的一点，求三棱锥ACDQ的体积.17．如图，已知四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.18．如图，在四棱锥P-ABCD中，∥ADBC，ADCD，Q是AD的中点，2PAPD

，112BCAD，3CD，6PB.（1）求证：平面PAD平面ABCD；（2）求直线PC与平面PAD所成角的正切值.19．如图所示，M，N，P分别是正方体1111ABCDABCD的棱AB，BC，DD1上的点.（1）若BMBNMANC，求证:无

论点P在DD1上如何移动，总有BP⊥MN;（2）棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面1APC⊥平面11AACC?证明你的结论.20．在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，CD＝2，AB＝4，AD＝BC＝.沿EF将梯形

AFED折起，使得∠AFB＝60°，如图．（1）若G为FB的中点，求证：AG⊥平面BCEF；（2）求二面角C－AB－F的正切值．21．如图，四边形为矩形，四边形为直角梯形，.（1）求证:;（2）求证:平面;（3）若二面角的大小为,求直线与平面所成的角.1．（2019年高考浙江卷）设三棱

锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则A．β<γ，α<γB．β<α，β<γC．β<α，γ<αD．α<β，γ<β2．（新课标全国Ⅲ文科）在正方体1111ABCDA

BCD中，E为棱CD的中点，则A．11AEDC⊥B．1AEBD⊥C．11AEBC⊥D．1AEAC⊥3．（浙江）如图，已知正四面体–DABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，2BQCRQCRA

，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为,,，则A．B．C．D．4．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离

均为3，那么P到平面ABC的距离为___________．5．（2019年高考江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．6．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC

和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的

四边形ACGD的面积.7．（2019年高考北京卷文数）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（3）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．8

．（2019年高考天津卷文数）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD△为等边三角形，平面PAC平面PCD，,2,3PACDCDAD.（1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；（

2）求证：PA平面PCD；（3）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.9．（2019年高考浙江卷）如图，已知三棱柱111ABCABC，平面11AACC平面ABC,90ABC，1130,,,BACAAACACEF分别是AC，A1B1的中点.（1）证明：EFBC；（2

）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.10．（江苏）在平行六面体1111ABCDABCD中，1111,AAABABBC．求证：（1）AB∥平面11ABC；（2）平面11ABBA平面1ABC．

11．（浙江）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值

．12．（北京文科）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.13．（天津文科）如图，在四面

体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=23，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面

ABD所成角的正弦值．14．（江苏）如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．15．（新课标全国Ⅲ文科）如图，四面体ABCD中，△A

BC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．1．【答案】A【解析】如图，连接AC，1AB，1BC，在正方体1111ABCDABC

D中，有1BD平面1ACB，因为1APBD，所以AP平面1ACB，又点P在侧面11BCCB及其边界上运动，故点P的轨迹为平面1ACB与平面11BCCB的交线段1CB．故选A．2．【解析】（1）如图，连接11ADBC,，由正方体的性质

可知，111DAADDAAB,，又1ABADA，∴1DA⊥平面11ABCD，又AE平面11ABCD，∴1DAAE.变式拓展（2）所求G点即为A1点，证明如下：由（1）可知1AEDA，取CD的中点H，连接AH，EH，如图，由DFAHDFEHAHEHH

,,，可证DF⊥平面AHE，∵AE⊂平面AHE，∴DF⊥AE.又1DFADD，∴AE⊥平面1DFA，即AE⊥平面DFG.3．【解析】（1）在△PBD中，因为O，M分别是BD，PD的中点，所以OM∥PB．又OM⊄平面P

AB,PB⊂平面PAB，所以OM∥平面PAB．（2）因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．又AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC．又BD⊂平面PBD，所以平面P

BD⊥平面PAC．（3）因为底面ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，所以2132322△BCDS，又CPBDPBCDVV，三棱锥PBCD的高为PA，所以13332PA，解得32

PA．4．【解析】（1）点E为线段1CC的中点.证明如下：取AB中点为F，1AB的中点为G，连接CF，FG，EG，所以∥FGCE，FGCE，所以四边形FGEC为平行四边形，所以∥CFEG.因为CACB，AFBF，所以CFAB.又因为1AA平面ABC，CF平

面ABC，所以1AACF.又1AAABA，所以CF平面11AABB，所以EG平面11AABB，而EG平面1AEB，所以平面1AEB平面11AABB.（2）由1AB，得13AA.由（1）可知，点E到平面1ABB的距离为32EGCF.1△

ABB的面积1131322△ABBS，132AEBE，则等腰三角形ABE底边AB上的高为131344.记点1B到平面ABE的距离为h，由11BABEEABBVV，得111332h133322，解得32h，故点1B到平面ABE的距离为32.5．【答案】

A【解析】如图所示，P为正三角形111ABC的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO平面ABC，连结OA，则PAO即为PA与平面ABC所成的角.由题易知线段OP的中点为外接球的球心，设外接球的半径为r，则27π4πr，∴274r，∴22724OPAO.在正

三角形ABC中，3ABBCAC，∴3313AO，∴3PO.∴tan3POPAOAO，∴π3PAO.故选A.6．【解析】（1）由3AB，4BC，5AC知222ABBCAC，则ABBC，由PA平面ABC

D，BC平面ABCD，得PABC，由PAABA，PA，AB平面PAB，得BC平面PAB，则点C到平面PAB的距离为一个定值BC，且4BC.（2）设直线PC与平面PAD所成的角为，由∥ADBC，ABBC可知ABAD，又PA平面ABCD，AB

平面ABCD，故PAAB，又PAADA，则AB平面PAD，则B点到平面PAD的距离为3AB，由∥BCAD知点C与点B到平面PAD的距离相等，则点C到平面PAD的距离为3dAB，由35PAAC，知223

4PCPAAC，故3334sin3434dAC.7．【答案】B【解析】菱形ABCD的边长为1，60DAB，将这个菱形沿AC折成60的二面角，取AC中点O，连结DO，BO，BD，则1122DOBOAB，DOAC，BOAC，DOB是将这个菱形沿AC折成60的二面角

的平面角，60DOB，则12BD，即B，D两点间的距离为12．故选B．8．【解析】（1）设平面ADP平面=PBCl，因为∥MN平面PBC，MN平面ADP，所以MNl∥，又因为DABC，所以DA∥平面P

BC，所以DAl∥，所以MNDA∥，又因为M是AP的中点，所以N是DP的中点.（2）在平面ABCD内作AGBC⊥，垂足为G，过G作GHPB于H，连接AH（如图），因为平面ABCD平面PBC，DCBC，所以DC平面PBC，则DCPC，DCPB，又AGDC∥，所以AG平面PBC，则

AGPB，所以PB平面AGH，则PBAH，所以AHG∠为二面角ABPC的平面角，易知2GBBCGC，45GBH，又GHPB，则2GH，在Rt△AGH中，易知3AG，则11AH，所以222cos1111GHAHGAH.即二面角AB

PC的平面角的余弦值为2211.1．【答案】D【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行，A正确；由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直，B正确；由面面平行的判定定理知，一个平面内的两条相交直线均与另

一个平面平行，则这两个平面平行，C正确；当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，D错误，故选D．2．【答案】D考点冲关【解析】对于选项D，可能还有b∥α，或者b在α内，所以D不正确．3．【答案】C【解析】连接并延长交于D，连接，，∴平面，则，又

平面，则，又，∴平面，则，同理，故垂足H是△ABC的垂心,选C．4．【答案】C【解析】A中，若,,∥∥abab，平面,可能垂直也可能平行或斜交，不正确；B中，若,,∥∥∥abab，平面,可能

平行也可能相交，不正确；C中，若,ab，则,ab分别是平面,的法线，又∥ab，必有∥，正确；D中，若,,∥abab，平面,可能平行也可能相交，不正确.故选C．5．【答案】B【解析】取A

B的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB．当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE=,EC=1，在Rt△DEC中,CD==2.6

．【答案】D【解析】因为CD平面11BBCC，EF平面11BBCC，所以CDEF，又因为1111,,,EFBCBCBCEFBC∥所以可得EF平面11ABCD，当点P在线段CD上时，总有1APEF，所以1AP的最大值为1=3AC，最小值为12AD，则线段1AP长度的取

值范围是2,3，故选D．7．【答案】A【解析】如图，取中点，连接，过点作平面，连接，，则为直线与平面所成的角，易知，，，所以，，则.8．【答案】B【解析】①连接AC，取AC的中点O，BE的中点M，连接,MOMF，易证明四边形AOMF是平行四边形，即ACFM∥，所以A

C平面BEF，所以①正确；②若BCEF，，，四点共面，因为BCAD∥，所以BC∥平面ADEF，可推出BCEF∥，所以ADEF，这与已知相矛盾，故BCEF，，，四点不可能共面，所以②正确；③连接CFDF，，在梯形ADEF中，易得

EFFD，又EFCF，所以EF平面CDF，即CDEF，所以CD平面ADEF，则平面ADEF平面ABCD，所以③正确；④延长AF至G，使得AFFG，连接BGEG，，易得平面BCE平面ABF，过F作FNBG于N，则FN平面BCE，若平面

BCE平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，前后矛盾，故④错误.综上所述，错误的个数是1.故选B．9．【答案】B【解析】如图所示,取BC的中点P,连接EP,FP,由题意得BF=CF=2,

所以PF⊥BC．又2235()222EBEC，所以EP⊥BC,所以∠EPF为二面角E-BC-F的平面角,而2222137()2()222FPFBBC，在△EPF中，222794744cos247222EPFPEFEPFEPFP

,所以二面角E-BC-F的余弦值为.10．【答案】C【解析】因为AD在平面11ADDA内，且平行于平面CBF，故A错误；平面CBF即平面11ADCB，又平面11ADCB与平面ABCD斜相交，所以在平面ABCD

内不存在与平面CBF垂直的直线，故B错误；平面CBF即平面11ADCB，平面11ADCB与平面ABCD是确定的平面，所以二面角的大小不改变，故C正确；平面CBF即平面11ADCB，点D到平面11ADCB的距离为定值，故D错误.故选C．11

．【答案】直角三角形【解析】平面平面，平面平面平面，平面，，∴△为直角三角形，故答案为直角三角形.12．【答案】【解析】过A作,因为平面平面，且平面平面,平面，,又,平面,.13．【答案】30°.【解析】如图所示，

连接AD，由题意可知1ADA即为直线1AD和平面ABC所成的角.不妨设1AAm，则2,3ABmADm，则1113tan,303AAADAADAAD，即直线1AD和平面ABC所成的角的大小是

30.14．【答案】1【解析】在三棱锥P－ABC中，因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC.因为EF⊂平面PAC，所以EF⊥AB，因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF，因为F是AC的中点，E是PC

上的点，所以E是PC的中点，所以1PEEC.15．【答案】PC【解析】由相关定理可知，BD⊥PC.当DM⊥PC时，则有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.所以应填PC.

16．【解析】（1）因为FBFC，H为BC的中点，所以FHBC，因为平面FBC平面ABCD，平面FBC平面ABCDBC，所以FH平面ABCD.（2）因为△FBC为等边三角形，2BC，所以3FH，因为∥E

FAB，EF平面ABCD，ABÌ平面ABCD，所以∥EF平面ABCD.因为点Q在线段EF上，所以点Q到平面ABCD的距离等于点F到平面ABCD的距离，因为四边形ABCD为菱形，2ADCD，120ADC，所以1sin2△A

CDSADCDADC1322322，所以13△ACDQQACDFACDACDVVVSFH13313.17．【解析】（1）如图，分别取的中点，的中点.连接，，，因为，分别为，的中点，所以12MHCD∥

，12NGAB∥，因为与平行且相等，所以平行且等于，故四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以.因为，，所以平面.因为，分别为、的中点，所以.所以平面.因为平

面，所以平面平面.18．【解析】（1）如图，连接BQ，BCAD∥，12BCAD，Q是AD的中点，∥BCDQ，则四边形BCDQ是平行四边形，3BQ.又2PAPDAD，3PQ，6PB，222PBPQBQ

，PQBQ，PQAD，DABQQ，又BQ平面ABCD，AD平面ABCD，PQ平面ABCD，PQ平面PAD，平面PAD平面ABCD.（2）由（1）知平面PAD平面ABCD，又平面PAD平面ABCDAD，ADDC，DC平面ABCD，DC平面PAD，则C

PD为直线PC与平面PAD所成的角，在Rt△PDC中，3tan2DCCPDPD.故直线PC与平面PAD所成角的正切值为32.19．【解析】（1）连接BD，则BD⊥AC.∵，∴MN∥AC，∴BD⊥MN，∵DD1⊥平面

ABCD，MN⊂平面ABCD，∴DD1⊥MN，∴MN⊥平面BDD1B1.∵无论P在DD1上如何移动，总有BP⊂平面BDD1B1，∴总有MN⊥BP.（2）存在点P，且P为DD1的中点，使得平面APC1⊥平面A1ACC1.证明如下：由题意可得BD⊥CC1，又

BD⊥AC，AC∩CC1=C，∴BD⊥平面A1ACC1.连接1BD，与1AC的交点为E，连接PE，则PE∥BD，∴PE⊥平面A1ACC1.又PE⊂平面APC1，∴平面APC1⊥平面A1ACC1.20．【解析】（1）因为AF＝BF，∠AFB＝60°，所以△AFB为等边三角形

．又G为FB的中点，所以AG⊥FB．在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，所以EF⊥AB．于是EF⊥AF，EF⊥BF，又，所以EF⊥平面ABF，因为平面ABF，所以AG⊥EF.又，所以AG⊥平面BCEF.（2）如图，连接CG，因为

在等腰梯形ABCD中，CD＝2，AB＝4，E、F分别是CD、AB中点，G为FB的中点，所以EC＝FG＝BG＝1，则四边形CGFE是平行四边形，从而CG∥EF.因为EF⊥平面ABF，所以CG⊥平面ABF.过点G作GH⊥AB于H，连接CH，则CH⊥AB，所以∠CHG为二面角C

－AB－F的平面角.在Rt△BHG中，BG＝1，∠GBH＝60°，所以GH＝.在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG＝1，BC＝，所以CG＝1.在Rt△CGH中，可得123tan332CGCHGGH，所以二面角C－AB－F

的正切值为233.21．【解析】（1）∵四边形为矩形,∴,又∵是平面内的两条相交直线,∴平面,∵平面,∴.（2）在上取一点,使,连接,∵,∴,∴四边形为平行四边形,∴,∴,∴四边形为平行四边形,∴,∵

平面平面,∴平面.（3）∵,∴就是二面角的平面角,∴,∵,∴,∴在直角中,,过作与的延长线垂直,是垂足,连接ND，∴在中,,∵平面平面,∴平面平面,∴平面,∴是直线与平面所成的角,在中,31sin223FNFD

NDF,∴.则直线与平面所成的角为.1．【答案】B【解析】如图，G为AC中点，连接VG，V在底面ABC的投影为O，则P在底面的投影D在线段AO上，过D作DE垂直于AC于E，连接PE，BD，易得P

EVG∥，过P作PFAC∥交VG于F，连接BF，过D作DHAC∥，交BG于H，则,,BPFPBDPED，结合△PFB，△BDH，△PDB均为直角三角形，可得coscosPFEGDHBDPBPBPBPB，即；在Rt△PE

D中，tantanPDPDEDBD，即，综上所述，答案为B.【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利

直通高考用图形特征，则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.2．【答案】C【解析】根据三垂线定理的逆定理，可知平面内的线垂直于平面的斜线，则也垂直于斜线在平面内的

射影，A.若11AEDC，那么11DEDC，很显然不成立；B.若1AEBD，那么BDAE，显然不成立；C.若11AEBC，那么11BCBC，成立，反过来11BCBC时，也能推出11BCA

E，所以C成立；D.若1AEAC，则AEAC，显然不成立，故选C.【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.3．【答案

】B【解析】设O为三角形ABC中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而三棱锥的高相等，因此，所以选B．4．【答案】2【解析】作,PDPE分别垂直于,ACBC，PO平面ABC，连接CO，由题意可知,CDPDCDPO，=PDPOP，CD\^平

面PDO，又OD平面PDO，CDOD，3PDPE，2PC，3sinsin2PCEPCD，60PCBPCA，又易知POCO，CO为ACB的平分线，4512,,OCDODCDOC，又2PC，422PO．【名

师点睛】本题主要考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，利用勾股定理解决．注意画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题则很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，

解题事半功倍．5．【解析】（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为

AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC−A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1

E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.【名师点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.6．【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得ABBE，A

BBC，故AB平面BCGE．又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．（2）取CG的中点M，连结EM，DM.因为AB∥DE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EMCG

，故CG平面DEM．因此DMCG．在Rt△DEM中，DE=1，EM=3，故DM=2．所以四边形ACGD的面积为4．【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量是不变的，再者折叠后的多面体不是直棱柱，突出考查

考生的空间想象能力.7．【解析】（1）因为PA平面ABCD，所以PABD．又因为底面ABCD为菱形，所以BDAC．所以BD平面PAC．（2）因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE．因为底

面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD．所以AB⊥AE．所以AE⊥平面PAB．所以平面PAB⊥平面PAE．（3）棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE．取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．则

FG∥AB，且FG=12AB．因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE=12AB．所以FG∥CE，且FG=CE．所以四边形CEGF为平行四边形．所以CF∥EG．因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF∥平面PAE．

【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【解析】（1）连接BD，易知ACBDH，BHDH.又由BG=PG，故GHPD∥.又因为GH平面PAD，PD平面PA

D，所以GH∥平面PAD.（2）取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DN⊥PC，又因为平面PAC平面PCD，平面PAC平面PCDPC，所以DN平面PAC，又PA平面PAC，故DNPA.又已知PACD，CDDND，所以PA平面PCD.（3）连接AN，由（2）中

DN平面PAC，可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角，因为PCD△为等边三角形，CD=2且N为PC的中点，所以3DN.又DNAN，在RtAND△中，3sin3DNDANAD.所以，直线AD与平面PAC

所成角的正弦值为33.【名师点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力.9．【解析】（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥

AC．又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．所以BC⊥平面A1EF．因此EF⊥BC．（2）取BC中

点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．由（1）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角

（或其补角）．不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=23，EG=3.由于O为A1G的中点，故11522AGEOOG，所以2223cos25EOOGEGEOGEOOG．因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是35．10．【解析】（1）在平行六面体ABCD-A1B

1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，

因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．11．【解析】（Ⅰ）由11112,4,2,,ABAA

BBAAABBBAB得11122ABAB，所以2221111ABABAA.故111ABAB.由2BC，112,1,BBCC11,BBBCCCBC得115BC，由2,120AB

BCABC得23AC，由1CCAC，得113AC，所以2221111ABBCAC，故111ABBC.因此1AB平面111ABC.（Ⅱ）如图，过点1C作111CDAB，交直线11AB

于点D，连结AD.由1AB平面111ABC得平面111ABC平面1ABB，由111CDAB得1CD平面1ABB，所以1CAD是1AC与平面1ABB所成的角.由1111115,22,21BCABAC得

11111161cos,sin77CABCAB，所以13CD，故11139sin13CDCADAC.因此，直线1AC与平面1ABB所成的角的正弦值是3913.12．【解析】（Ⅰ）∵PAPD，且E为AD的中点，∴PEAD.∵底面ABCD为矩形，∴BCAD∥，∴PEBC.（Ⅱ

）∵底面ABCD为矩形，∴ABAD.∵平面PAD平面ABCD，∴AB平面PAD.∴ABPD.又PAPD，∴PD平面PAB，∴平面PAB平面PCD.（Ⅲ）如图，取PC中点G，连接,FGGD.

∵,FG分别为PB和PC的中点，∴FGBC∥，且12FGBC.∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，∴1,2EDBCDEBC∥，∴EDFG∥，且EDFG，∴四边形EFGD为平行四边形，∴EFGD∥.又EF平面PCD，GD平面P

CD，∴EF∥平面PCD.13．【解析】（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直

线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM=22=13ADAM．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN=22=13ADAN．在等腰三角形DMN中，MN=1，可得1132cos26MNDMNDM．

所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326．（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=3．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD=22ACAD=4．在R

t△CMD中，3sin4CMCDMCD．所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为34．14．【解析】（1）在平面ABD内，因为AB⊥AD，EFAD，所以EFAB∥．又因为EF平面ABC，AB

平面ABC，所以EF∥平面ABC．（2）因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD．因为AD平面ABD，所以BCAD．又AB⊥AD，

BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC．【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转

化为证明线面垂直．15．【解析】（1）取AC的中点O，连接DO，BO.因为AD=CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.（2）连接EO.由（1）及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO.在Rt△AOB中，.又AB=BD，所以2222

22BODOBOAOABBD，故∠DOB=90°.由题设知△AEC为直角三角形，所以12EOAC.又△ABC是正三角形，且AB=BD，所以12EOBD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12，即四面体

ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.