【文档说明】(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习28《空间几何体的表面积与体积》(含详解).doc，共(46)页，1.792 MB，由MTyang资料小铺上传

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考点28空间几何体的表面积与体积了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.一、柱体、锥体、台体的表面积1．旋转体的表面积圆柱（底面半径为r，母线长为l）圆锥（底面半径为r，母线长为l）圆台（上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l）侧面展开图底面面积2π底Sr2π底Sr22

,ππ上底下底SrSr侧面面积2π侧Srlπ侧Srlπ侧Slrr表面积2π表Srrlπ表Srrl22π表Srrrlrl2．多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面

积之和，也就是展开图的面积.棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：二、柱体、锥体、台体的体积1．柱体、锥体、台体的体积公式几何体体积柱体柱体VSh(S为底面面积，h为高),2π圆柱Vrh(r为底面半径，h为高)锥体13锥体VSh(S为底面面积，h为高)，213π圆锥Vrh(r为底

面半径，h为高)台体(13)台体VSSSSh(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，223π1圆台Vhrrrr(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)2．柱体、锥体、台体体积公

式间的关系3．必记结论（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.三、球的表面积和体积1．球的表面积和体积公式设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为24πR，即球的表面积

等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为34π3R.2．球的切、接问题（常见结论）（1）若正方体的棱长为a，则正方体的内切球半径是12a；正方体的外接球半径是32a；与正方体所有棱相切的球的半径是22a．

（2）若长方体的长、宽、高分别为a，b，h，则长方体的外接球半径是22212abh．（3）若正四面体的棱长为a，则正四面体的内切球半径是612a；正四面体的外接球半径是64a；与正四面体所有棱相切的球的半径是

24a．（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．考向一柱体、锥体、台体的表面积1．已知几何体的三视图求其

表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.3．求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积

时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.典例1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．5πB．6πC．6π2D．5π2【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，其表面积为22π1π12π11215π2，故选D．【

名师点睛】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积时常会设计此种陷阱．典例2若正四棱柱1111ABCDABCD的底边长为2，1AC与底面ABCD成45°角，则三棱锥1BAC

C的表面积为A．62223B．43233C．8223D．1023【答案】A【解析】由1AC与底面ABCD成45°角，且正四棱柱1111ABCDABCD的底边长为2，可知棱柱的高为22，故三棱锥1BA

CC的表面积为111122222222322262223.2222故答案为A.1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．46B．48C．50D．522．榫卯是在两

个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为A．192B．186C．180

D．198考向二柱体、锥体、台体的体积空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题.求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、

锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等

积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄

清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体

的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的―加、减‖法．（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.典例3如图所示的网格是由边长

为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A．40B．103C．163D．803【答案】D【解析】根据三视图可得，该几何体是三棱柱BCEAGF割去一个三棱锥ABCD所得的几何体，如图所示：所以其体积为11118044444423223V

.故选D.典例4如图，几何体中，平面，是正方形，为直角梯形，，，△ACB是腰长为的等腰直角三角形．（1）求证：；（2）求几何体的体积.【解析】（1）因为△ACB是腰长为的等腰直角三角形，所以.因为平面，所以.又，所以，又，所以平面.所以.（2）因为△ABC是腰长为的等腰直角三角形，所以，所

以.所以，由勾股定理得，因为平面，所以.又，所以平面.所以111333△几何体几何体几何体四边形=ABCEFABCDACDEFFACBCDEFVVVSADSCFCDDEAD1111116222

22222323323ACBCCF.3．已知一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为433，则a的值为A．3B．233C．23D．324．如图，在斜三棱柱111ABCABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，

M为棱BC的中点，13BB，110AB，160CBB.（1）求证：AM平面11BCCB；（2）求斜三棱柱111ABCABC的体积.考向三球的表面积和体积1．确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求

球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.2．球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆

柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．3．与球有关的实际应用

题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.4．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：

22dRr.典例5《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，2PAAB，4AC，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为A．8πB．12πC．20πD．24π【答案】C【解析】如图

，由题可知，底面△ABC为直角三角形，且π2ABC，则2223BCACAB，则球O的直径22222025,5RPAABBCR，则球O的表面积24π20πSR.故选C.典例6四棱锥PABCD的底

面为正方形ABCD，PA底面ABCD，2AB，若该四棱锥的所有顶点都在体积为9π2的同一球面上，则PA的长为A．3B．2C．1D．12【答案】C【解析】连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE∥PA，∵PA底面

ABCD，∴OE⊥底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球的半径为R，可得211822RPCPA，则32419ππ8322PA，解得PA=1.故选C．5

．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是A．16πB．14πC．12πD．8π6．已知,,,ABCD是某球面上不共面的四点，且1ABBCAD，2BDAC，BCAD，则此球的体积为A．3π2B．3πC．23πD．43π考向四空间几何体表

面积和体积的最值求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决

.典例7如图,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点,A1A=AB=2.（1）求证：BC⊥平面A1AC;（2）求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.【解析】（1）因为C是底面圆周上异于A,B的任意一点,且AB是圆柱底面圆

的直径,所以BC⊥AC.因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC.又AA1∩AC=A,所以BC⊥平面AA1C.（2）方法一：设AC=x(0<x<2),在Rt△ABC中,BC=,故S△ABC×AA1=×AC×BC×AA1=13x.因为0<x<2,0<x2

<4,所以当x2=2,即x=时,三棱锥A1-ABC的体积取得最大值23.方法二：在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2=4,从而S△ABC×AA1=×AC×BC×AA1=13AC×BC≤,当且仅当AC=BC=时等号成立.

所以三棱锥A1-ABC的体积的最大值为23.7．表面积为16π的球内接一个正三棱柱,则此三棱柱体积的最大值为A．4B．C．8D．1．一个长方体共一顶点的三条棱长分别是3,3,6，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表

面积是A．12πB．18πC．36πD．6π2．△ABC的斜二侧直观图如图所示，则△ABC的面积为A．22B．1C．2D．23．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．1B．2C．3D．64．一个四棱锥的三视图如图所

示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为A．23B．4C．223D．4435．一个与球心距离为2的平面截球所得圆面面积为，则球的表面积为A．B．C．D．6．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：―今有筑城，上

广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？‖意思是：―现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为3.8丈，直棱柱的侧棱长为5550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出

300立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？‖（注：一丈等于十尺）A．24642B．26011C．52022D．780337．如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为A．2

4πB．28πC．32πD．36π8．已知圆锥的高h和底面半径r之比:2:1hr，且圆锥的体积18πV，则圆锥的表面积为A．185πB．9(125)πC．95πD．9(15)π9．如图，网格纸上小

正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A．31π6B．16π3C．17π3D．35π610．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角

形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA平面ABCE，四边形ABCD为正方形，2AD，1ED，若鳖臑PADE的体积为l，则阳马PABCD的外接球的表面积等于A．17πB．18πC．19πD．20π11．如图，网格纸上小正方形的边长为a，粗实线画出的是某

几何体的三视图，若该几何体的表面积为32，则a的值为A．14B．13C．12D．112．已知三棱锥PABC的各顶点都在同一球面上，PC底面ABC，若1PCAC，2AB，且60BAC，则此球的表面积等于A．28πB．20πC

．7πD．5π13．已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为__________.14．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，

则该圆锥的体积为__________.15．将若干毫升水倒入底面半径为4cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为8cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是__________cm.16．正三棱锥的高为

1，底面边长为26，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球的表面积是．17．已知三棱锥PABC的外接球半径为2，PA平面ABC，ABBC，PAAC，则该三棱锥体积的最大值为__________．18．已知四面体ABCD中，5,8ABADBCDCBDAC，则四面

体ABCD的体积为__________.19．如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，60DAB，ADDC，ABBC，平面QDABCD，∥PAQD，1PA，2ADABQD.（1）求证：平面平面PAB

QBC；（2）求该组合体QPABCD的体积.1．（2019年高考浙江卷）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的―幂势既同，则积不容异‖称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图

所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A．158B．162C．182D．3242．（新课标I文科）在长方体1111ABCDABCD中，2ABBC，1AC与平面11BBCC所成的角为30，则

该长方体的体积为A．8B．62C．82D．833．（年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是侧视图俯视图正视图2211A．2B．4C．6D．84．（新课标I文科）已知圆柱的上、

下底面的中心分别为1O，2O，过直线12OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A．122πB．12πC．82πD．10π5．（年高考新课标Ⅲ文科）设ABCD，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC△为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值

为A．123B．183C．243D．5436．（新课标全国Ⅱ文科）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A．90B．63C．42D．367．（新课标全国Ⅲ文科）已知圆柱的高为1，

它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．πB．3π4C．π2D．π48．（浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A．12B．32C．312D．3329．（2019年高考全国Ⅲ卷文科）学生到工厂劳动实践，利

用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCDABCD挖去四棱锥O—EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，16cm4cmAB=BC=,AA=，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗

，制作该模型所需原料的质量为___________g.10．（2019年高考北京卷文科）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．11．（2019年高考天津卷文科）已知四棱锥的底面

是边长为2的正方形，侧棱长均为5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．12．（2019年高考江苏卷）如图，长方体1111ABCDA

BCD的体积是120，E为1CC的中点，则三棱锥E−BCD的体积是▲.13．（山东文科）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为.14．（天津文科）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，

若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．15．（江苏）如图，在圆柱12OO内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12OO的体积为1V，球O的体积为2V，则12VV的值是.1

6．（江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．17．（天津卷文）如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．18．（新课标II文科）已知圆锥的顶点为S，母线

SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若SAB△的面积为8，则该圆锥的体积为__________．19．（新课标全国Ⅰ文科）已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的

表面积为________．20．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥11EBBCC的体积．21．（新课标全国Ⅰ文科）如图

，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD，且四棱锥P−ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．22．（新课标I文科）如图，在平行四边形ABCM中，3ABAC

，90ACM，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA．（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且23BPDQDA，求三棱锥QABP的体积．

1．【答案】B【解析】该几何体是如图所示的一个四棱锥PABCD，棱锥的底面是边长为4的正方形，一条长为3的侧棱与底面垂直，4个侧面都是直角三角形，变式拓展由所给数据可得该几何体的表面积为34542444822S，故选B．2．【答案】A【解析】由三视图

还原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为263，，，下部分为长方体，棱长分别为663，，，其表面积为4632662623192S.故选A.【名师点睛】本题考查了求组合体

的表面积问题，关键是由三视图还原几何体图形，注意题目中的计算.3．【答案】A【解析】由三视图可知，几何体的直观图如图：是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体，底面都是腰长为2的等腰直角三角形，高为a，所以体积为21112232a24323a，解得3a．故选A．【名师点

睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.三视图问题是考查学生空间想象能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其―翻译‖成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素―高平齐，长对

正，宽相等‖，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体的三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4．【解析】（1）如图，连接1BM，

因为底面ABC是边长为2的正三角形，所以AMBC，且3AM，因为13BB，160CBB，1BM，所以222113213cos607BM，所以17BM，又因为110AB，所以2221110AMBM

AB，所以1AMBM，又因为1BMBCM，所以AM平面11BCCB.（2）设斜三棱柱111ABCABC的体积为V，则111193323sin603.322ABBCBBCVVSAM△所以斜三棱柱111ABCABC的体积为9.2【名师点睛】本题考查了立体几何中线

面垂直的证明，几何体体积的求法，熟练掌握线面关系的证明原理非常重要，属于基础题.（1）根据底面为正三角形，易得AMBC；由各边长度，结合余弦定理，可求得1BM的值，再根据勾股定理逆定理可得1AMBM，从而可证AM平面11BCCB；（2）将斜棱柱的体积，转化为棱锥的体积，结合三角形面积

公式可求解.5．【答案】A【解析】由三视图知：几何体是球体切去14后余下的部分，球的半径为2，∴几何体的表面积S=（1﹣14）×4π×22+π×22=16π．故答案为A.【名师点睛】(1)本题主要考查由三视图找到几何体原图，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和

空间想象推理能力.(2)通过三视图找几何体原图的方法有两种：直接法和模型法.6．【答案】A【解析】由222ABADBD，得ABAD，又BCAD，所以AD平面ABC，则ADAC，又222ABBCAC,所以,ABCACD△△都是直角三角形，由三棱锥的外接球的性质知，球心O为CD

的中点，且223CDADAC，球的半径1322RCD，所以球的体积334433=π=ππ3322VR，选A．【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点

)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.先确定三角形BCD外接圆的半径，再解方程得外接球半径，最后根据球的体积公式得结果.7．【答案】C【解析

】由题意,得该球的半径为2,设正三棱柱的侧棱长为,底面边长为,如图，则33aOA,=，即，则该正三棱柱的体积为22133324222Vahhh，则233432Vh，当2303h时，；当2323h时，，即当233h时，23342Vhh

取到极大值,也是最大值，为8,故所求三棱柱的体积的最大值为8.故选C．1．【答案】A【解析】长方体的体对角线的长是22233623，所以球的半径是3，所以该球的表面积是24π312πS，故选A.【名师点睛】该

题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果.2．【答案】D【解析】∵1OA，2OB，45ACB，∴原图形中两直角边长分别为2，2，因此，Rt△ABC的面积为12

222S．故选D．3．【答案】B【解析】由题意可知该几何体的形状如图：考点冲关1AC，2CD，3BC，ACCD，四边形BCDE是矩形，ACBC，所以该几何体的体积为：123123．故选B．【名师点睛】本题考查几何体的体积的求法，画出几何体的图形，利用三

视图的数据求解几何体的体积即可．三视图与几何体的对应关系的判断是解题的关键．4．【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为如图所示的正四棱锥：底面为边长为2的正方形，四个侧面为边长为2的等边三角形．故该几何体的表面积为132

242244322S．故选D．5．【答案】A【解析】用一平面去截球所得截面的面积为π，所以小圆的半径为1.已知球心到该截面的距离为2,所以球的半径为，所以表面积为4π⋅5=20π.故选A.6．【答案】B【解析】根

据棱柱的体积公式，可得城墙所需土方为205438555078033002（立方尺），一个秋天工期所需人数为780330026011300，故选B.7．【答案】C【解析】由题意知，球的半径4R，所以球的表面积为24π64π

R.设圆柱的底面半径为r、高为h，则22242hr，得22464rh，即22644hr，所以圆柱的侧面积2222222π2π2π6444π16Srhrhrrrr224

π864(0<4)rr，所以当28r，即22r时，圆柱的侧面积最大，最大值为32π.此时球的表面积与圆柱的侧面积之差是64π32π32π.故选C.8．【答案】D【解析】圆锥的高h和底面半径r之比:2:1hr，∴2hr，又圆锥的体

积18πV，即3212ππ18π33rrh，解得3r，∴6h，母线长为22226335lhr，则圆锥的表面积为22πππ335π39(15)πSrlr．故选D．9．

【答案】A【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可得，该几何体是在一个半球中挖出四分之一圆锥，其中球的半径为2R，圆锥的底面半径为1r，高为2h，故所求体积为32141131π2π12π23436V，故选A．10．【答案】A【解析】由题意，因为PA平

面ABCE，四边形ABCD为正方形，2AD，1ED，又鳖臑PADE的体积为1，所以111211332△PAEDAEDVPASPA，解得3PA，而阳马PABCD的外接球的直径是以,,ADAB

AP为宽，长，高的长方体的体对角线，所以2222244917RADABAP（），即2417R，则外接球的表面积为24π17πR．故选A．【名师点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体

的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究棱锥的外接球的问题．11．【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的直三棱柱AB

EDCF，其中3ABBCBEa，2232AEABBEa，则292△△ABECDFSSa，292ADFESa长方形，所以该几何体的表面积为22227929(32)32aaa，得13a.故选B．

12．【答案】D【解析】在底面三角形ABC中，由1AC，2AB，60BAC，利用余弦定理可得：2211221232BC，∴222ACBCAB，即ACBC，取D为AB中点，则D为△BAC的外心，可得三

角形ABC外接圆的半径为1，设三棱锥PABC的外接球的球心为O，连接OP，则2215122OP．即三棱锥PABC的外接球的半径为52R．∴三棱锥的外接球的表面积等于254π5π2．故选D．13．【答案】2π【解析】将边长为2的正三角形绕其任一边所

在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个组合体，该组合体由两个同底的圆锥组成，两个圆锥的底面半径均为3，高均为1，则体积为212π312π3.故答案为2π.14．【答案】22π3【解析】因为展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，所以圆锥的母线3l，圆

锥的底面的周长为2π32π3，因此底面的半径1r，根据勾股定理，可知圆锥的高2222hlr，所以圆锥的体积为2122π122π33.15．【答案】4【解析】设倒圆锥形器皿中水面的高为hcm,则水面圆的半径为htan30°=33h,则由π×42×8=×(33h)2×πh,解得

h=4.16．【答案】8526π【解析】如图，球O是正三棱锥PABC的内切球，O到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R．PH是正三棱锥的高，即1PH．E是BC边中点，H在AE上，ABC△的边长为62，所以32626HE，所以3PE，可以得到12PABP

ACPBCSSSBCPE△△△32，2326634ABCS△，由等体积法得：PABCOPABOPACOPBCVVVVOABCV，所以11163132363333RR，解得：2

3622332R，所以此球的表面积是24π628526πS．【名师点睛】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R来求出R，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．17．【答案】423【解析】由题意，在长方体中

作出满足题意的三棱锥如图所示：则该三棱锥的外接球即是其所在长方体的外接球，故24PCR，又PAAC，所以22PAAC，设BCx，ABy，由ABBC可得2228xyAC，所以该三棱锥的体积为

2221142223663△PABCABCxyVSAPxy.当且仅当2xy时，取最大值.故答案为423.18．【答案】10113【解析】如图，取BD中点O，AC中点E，连结,,AOCOOE，∵四面体ABCD中，5

,8ABADBCDCBDAC，∴AOBD，COBD，25532542AOCO，∵AOCOO，∴BD平面AOC，又OEAC，∴17581621124△AOCS，则15101122211323ABCDBAOCVV.故答案为10113．19

．【解析】（1）∵平面QDABCD，∥PAQD，∴平面PAABCD，又∵平面BCABCD，∴PABC，又BCAB，平面PAPAB，平面ABPAB，PAABA，∴平面BCPAB，又∵平面BCQBC，∴平面平面PABQBC.（2）连接BD，过B作BO

AD于O，∵PA平面ABCD，平面BOABCD，∴PABO，又BOAD，平面ADPADQ，平面PAPADQ，PAADA，∴平面BOPADQ，∵2ADAB，60DAB，∴△ABD是等边

三角形，∴3BO.∴11112233332梯形BPADQPADQVSBO.∵90ADCABC，∴30CBDCDB，又2BDAB，∴233BCCD，∴12332sin30233△BCDS.∵平面QDABCD，∴113232

3339△QBCDBCDVSQD.∴该组合体的体积1139BPADQQBCDVVV.1．【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，

另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222.故选B.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计

算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.2．【答案】C【解析】在长方体1111ABCDABCD中，连接1BC，直通高考根据线面角的定义可知130ACB，因为2AB，所以123BC，从而求得122CC，所以该长方体

的体积为222282V，故选C.【名师点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长、宽、高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要

明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，最终求得结果.3．【答案】C【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上、下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为112226,2选C.【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在

具体几何体中求体积或表面积等.4．【答案】B【解析】根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为22π22π22212πS，故选B.【名师点睛】该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中

，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.5．【答案】B【解析】如图所示，设点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，当点D在

平面ABC上的射影为M时，三棱锥DABC的体积最大，此时，4ODOBR，23934ABCSAB△，6AB,点M为三角形ABC的重心，2233BMBE，RtOBM△中，有222OMOBBM，426DMODOM，max19361833DABCV

，故选B.【名师点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当点D在平面ABC上的射影为三角形ABC的重心时，三棱锥DABC体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到2233

BMBE，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型.6．【答案】B【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V，上半部分是一个底面半径

为3，高为6的圆柱的一半，其体积221(36)272V，故该组合体的体积12362763VVV．故选B．【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑

，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观

图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．7．【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示：由题意可得：11,2ACAB，结合勾股定理，底面半径2213122r，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是2233ππ1π24Vrh，故选B.【名

师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.8．【答案】A【解析

】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为21113(21)13222V，选A．【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循―长对正，

高平齐，宽相等‖的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看

俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整．9．【答案】118.8【解析】由题意得，214642312cm2EFGHS四边形，∵四棱锥O−EFGH的高为

3cm，∴3112312cm3OEFGHV．又长方体1111ABCDABCD的体积为32466144cmV，所以该模型体积为3214412132cmOEFGHVVV，其质量为0.9132118.8g．【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息

联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.10．【答案】40【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPDANQCB之后余下的几

何体，则几何体的体积3142424402V.故答案为40.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体，再根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中

线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．11．【答案】π4【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5，借助勾股定

理，可知四棱锥的高为512.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为12，故圆柱的体积为21ππ124.【名师点睛】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.注

意本题中圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.12．【答案】10【解析】因为长方体1111ABCDABCD的体积为120，所以1120ABBCCC，因为E为1CC的中点，所以112CECC，由长方体的性质知1CC底面ABCD，所以

CE是三棱锥EBCD的底面BCD上的高，所以三棱锥EBCD的体积1132VABBCCE111111201032212ABBCCC.【名师点睛】本题蕴含―整体和局部‖的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用

―割‖与―补‖的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.13．【答案】π22【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆的半径为1,所以2π1π21121242V.【

名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．（2）三视图中―正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽‖，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．14．【答案

】92【解析】设正方体的边长为a，则26183aa，其外接球直径为233Ra，故这个球的体积34π3VR4279ππ382．【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：①三条棱两两

互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；②直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；③如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两

个面的垂线，垂线的交点即球心．15．【答案】32【解析】设球半径为r，则213223423VrrVr．故答案为32．【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥

体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．16．【答案】43【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为21421233.

【名师点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．17．【答案】13【解析】如图所示，连接11AC，交11BD于点

O，很明显1A在平面11BDDB上的射影是点O，则1AO是四棱锥A1–BB1D1D的高，且2211111211222AOAC，111212BDDBSBDDD四边形，结合四棱锥体积公式可得其体积为：112123323VSh

.【名师点睛】本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【答案】8π【解析】如下图所示，30,90SAOASB，又211822SABSSASBSA△，解得4SA，所以2212,232SO

SAAOSASO，所以该圆锥的体积为21π8π3VOASO.【名师点睛】此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.19．【答案】36π【解析

】取SC的中点O，连接,OAOB，因为,SAACSBBC，所以,OASCOBSC，因为平面SAC平面SBC，所以OA平面SBC，设OAr，则3111123323△ASBCSBCVSOArrrr，所以31933rr，所以球的表面积为24π36πr.【名

师点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形

的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的各顶点的距离相等，然后用同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据

半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．20．【解析】（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故1

1BCBE．又1BEEC，所以BE⊥平面11EBC．（2）由（1）知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以1145AEBAEB，故AE=AB=3，126AAAE

.作1EFBB，垂足为F，则EF⊥平面11BBCC，且3EFAB．所以，四棱锥11EBBCC的体积1363183V．【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.21．【解析】（1）由

已知90BAPCDP∠∠，得ABAP，CDPD．由于ABCD∥，故ABPD，从而AB平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD．（2）在平面PAD内作PEAD，垂足为E．由（1）知，AB平面PAD，故ABPE

，可得PE平面ABCD．设ABx，则由已知可得2ADx，22PEx．故四棱锥PABCD的体积31133PABCDVABADPEx．由题设得31833x，故2x．从而2PAPD

，22ADBC，22PBPC．可得四棱锥PABCD的侧面积为21111sin606232222PAPDPAABPDDCBC．【名师点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；计算点面距离时

，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点面距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出．22．【解析】（1）由已知可得，BAC=90°，BAAC．又BA⊥AD，且A

CADA，所以AB⊥平面ACD．又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=32．又23BPDQDA，所以22BP．作QE⊥AC，垂足为E，则QE=∥13DC．由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．

因此，三棱锥QABP的体积为1111322sin451332QABPABPVQES△．【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解

题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式

求解即可.