【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案9．1《直线与方程》(含详解).doc，共(8)页，219.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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19．1直线与方程1．平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A，B两点的距离数轴上点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A，B两点间的距离|AB|＝____________．(2)平面直角坐标系中的基本公式①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，

两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式为d(A，B)＝|AB|＝_________________________．②线段的中点坐标公式：若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则

x＝，y＝．2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴________与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°．

因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．(2)斜率一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即k＝______(α≠______)．当直线平行于x轴或者与x轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，

k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．(3)经过两点P1(x1，y1)，P

2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．3．直线方程的几种形式(1)截距直线l与x轴交点(a，0)的____________叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的____________叫做直线l在y轴上的截距．注：截距

____________距离(填“是”或“不是”)．(2)直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式①k存在斜截式②k存在两点式③④截距式⑤a≠0且b≠0一般式⑥平面直角坐标系内的所有直线注：斜截式是________的特例；截距式是________的特例．(3)过点P1(x1，y1)，P2(

x2，y2)的直线方程①若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为____________；②若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为____________；③若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为____________；④若x1≠x2，且y1＝

y2＝0时，直线即为x轴，方程为____________．自查自纠：1．(1)|x2－x1|(2)①()x2－x12＋()y2－y12②x1＋x22y1＋y222．(1)正向平行重合0°≤α<180°(2)正切值tanα90°＝><90°(3)y2－y1x2－x13．(1

)横坐标a纵坐标b不是(2)①y－y0＝k(x－x0)②y＝kx＋b③y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1④x1≠x2且y1≠y2⑤xa＋yb＝1⑥Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)点斜式两点式(3)①x＝x1②

y＝y1③x＝0④y＝02直线x－y＋1＝0的倾斜角为()A．30°B．45°C．120°D．150°解：由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tanα＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°．故选B．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝

0不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA＞0，在y轴上的截距－CB＞0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选C．已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的

方程为()A．4x－3y－3＝0B．3x－4y－3＝0C．3x－4y－4＝0D．4x－3y－4＝0解：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为12，则tanα＝12，所以直线l的斜

率k＝tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×121－122＝43，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝43(x－1)，即4x－3y－4＝0．故选D．(2016·浙江)过A(1，2)，B(2，1)的直线的斜率为________．解：kAB＝2－11－2＝－1．故填－1

．直线x＋a2y－a＝0(a>0)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值为________．解：方程可化为xa＋y1a＝1，因为a>0，所以截距之和t＝a＋1a≥2，当且仅当a＝1a，即a＝1时取等号，故a的值为1．故填1．类型一直线的倾斜角和

斜率(1)直线2xcosα－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值范围是()A．π6，π3B．π4，π3C．π4，π2D．π4，2π3解：直线2xcosα－y－

3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的取

值范围是π4，π3．故选B．(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．解：如图，因为kAP＝1－02－1＝1，kBP＝3－00－1＝－3，所以直线l的斜率k∈(－∞，－3]

∪[1，＋∞)．故填(－∞，－3]∪[1，＋∞)．点拨：任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R．正切函数在[0，π)不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．解题(2)要注意两点：一是斜率公式的正确计算；二是数形结合写出斜率的范

围，切莫想当然认为－3≤k≤1．3(1)(2017·惠州质检)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k的取值范围是()A．(－1，15)B．(－1，12)C．(－∞，－1)∪(15，＋∞)D．(－∞，－1)∪(12，＋∞)解：取B(－3，0)，C(3，0)，则k

BA＝12，kCA＝－1．故选D．(2)直线l经过点A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．解：直线l的斜率k＝1＋m23－2＝1＋m2≥1，所以k＝tanα≥1．又y＝tanα在(0，π2)上是增函数，因

此π4≤α＜π2．故填[π4，π2)．类型二求直线方程根据所给条件求直线的方程．(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5，10)，且到原点的

距离为5．解：(1)由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sinα＝1010(α∈[0，π))，从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13．故所求直线的方程为y＝±13(x＋4)，即x±3y＋4＝0．(2)若截

距不为0，设直线的方程为xa＋ya＝1，因为直线过点(－3，4)，所以－3a＋4a＝1，解得a＝1．此时直线方程为x＋y－1＝0．若截距为0，设直线方程为y＝kx，代入点(－3，4)，有4＝－3k，解得k＝－43，此时直线方程为4x＋3

y＝0．综上，所求直线方程为x＋y－1＝0或4x＋3y＝0．(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x－5＝0．当直线斜率存在时，设其方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0．由点到直线的距离公式，得||10－5k1＋k2＝5，解得k＝

34．此时直线方程为3x－4y＋25＝0．综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0．点拨：本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱．题(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范

围；题(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；题(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线．(1)过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的13的直线方程为________．解：设直线的斜率为k，则k＝－4×13＝－43，又直线经过点

A(1，3)，故所求直线方程为y－3＝－43(x－1)，即4x＋3y－13＝0．故填4x＋3y－13＝0．(2)一次函数y＝－mnx＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()A．m＞1且n＜1B．mn＜0C．m＞0且n＜0D．m＜0且n＜0解：因为y＝－mnx＋1n的

图象经过第一、三、四4象限，故－mn＞0，1n＜0，即m＞0，n＜0为充要条件，因此mn＜0是它的一个必要不充分条件．故选B．类型三直线方程的应用(1)已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|＋|PB|的最小值为________．

解：设点A1(x1，y1)与A(4，－1)关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，所以|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝|PA|．所以|PA|＋|PB|＝|PA1|＋|PB|≥|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|

P0B|．当P点运动到P0点时，|PA|＋|PB|取到最小值|A1B|．因为点A，A1关于直线l对称，所以由对称的充要条件知，y1＋1x1－4×1＝－1，x1＋42－y1－12－1＝0，解得x1＝0

，y1＝3，即A1(0，3)．所以(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝82＋（－1）2＝65．故填65．点拨：平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础．求A关于l

的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据．(2)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则△AOB面积的最小值为．解法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A(2－1k

，0)，B(0，1－2k)，S△AOB＝12(1－2k)(2－1k)＝124＋（－4k）＋（－1k）≥12(4＋4)＝4．当且仅当－4k＝－1k，即k＝－12时，等号成立．即△AOB面积的最小值为4．解法二：设直线l：xa＋yb＝1，且a＞0，b＞0，因为直

线l过点M(2，1)，则2a＋1b＝1，则1＝2a＋1b≥22ab，故ab≥8，故S△AOB＝12ab≥12×8＝4，当且仅当2a＝1b＝12时取等号，此时a＝4，b＝2．故填4．点拨：直线方程综合问题的两大类型及解法

：①与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决；②与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存

在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．(1)过点P(－2，2)作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有()A．3条B．2条C．1条D．0条解：设直线l在x，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，则l的方程为xa＋yb＝1，又点

P(－2，2)在l上，所以－2a＋2b＝1，即2a－2b＝ab，①又直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，则－12ab＝8，②且a＜0，b＞0，③由①②③得a＝－4，b＝4，故符合条件的直线只有1条．故选C．(2)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(

如图)，另外△EFA为文物保护区不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m，应如何设计才能使草坪面积最大？5解：如图所示，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则E(30，0)，F(0，20

)，所以线段EF的方程为x30＋y20＝1(0≤x≤30)．①DF·AB＝6000，EB·BC＝5600．②在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．又m30＋n

20＝1(0≤m≤30)，所以n＝20－23m．所以S＝(100－m)(80－20＋23m)＝－23(m－5)2＋180503(0≤m≤30)．所以当m＝5时，S有最大值，这时|EP||PF|＝5∶1．所以综合①②可知，当草坪矩形的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，

且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k＝tanα的图象(如图)来解决．这里，α∈[0，π)，k的范围是两个不连续的区间．这说明，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率，故在求直线方程

时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在分类进行讨论．2．直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距为0的情况．3．在解决直线与坐标轴围成的直角三

角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单．4．对于直线方程来说，要注意的是，除“一般式”外，每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目．在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形．如利用直线的点斜式、斜

截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A2＋B2≠0而出现增解．1．直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为()A．30

°B．60°C．120°D．150°解：直线的斜率为k＝tanα＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°．故选B．2．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1

解：由题意知a≠0，得a＋2＝a＋2a，所以a＝－2或a＝1．故选D．3．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，π4]B．[3π4，π)C．[0，π4]∪(π2，π)D．[π4，π2)∪[3π4，π)解：因为直线的斜率k＝

－1a2＋1，所以－1≤k＜0，则倾斜角的取值范围是[3π4，π)．故选B．4．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A．13B．－13C．－32D．2

3解：依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有a＋7＝2，b＋1＝－2，解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线6l的斜率为－3－17＋5＝－13．故选B．5．(2016·银川月考)在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0，0)，A

(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．3x－y－8＝0B．3x＋y－10＝0C．3x－y＝0D．3x＋y－6＝0解：因为AO＝AB，所以∠AOB＝∠ABO，即kAB＝－kOA＝－3．所以直线AB的方程为y－3＝－3(x－1

)，即3x＋y－6＝0．故选D．6．已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是()A．(－∞，－4]∪34，＋∞B．－4，34C．34，4D．－34，4解：如图所示，因为kPN＝1－（－2）1

－（－3）＝34，kPM＝1－（－3）1－2＝－4．所以要使直线l与线段MN相交，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM，由已知得k≥34或k≤－4．故选A．7．过点(3，－2)的直线l经过圆x2＋y2－2y＝0的圆心，则直线l倾斜角的大小为________．

解：依题意可知圆心坐标为(0，1)，则斜率k＝tanα＝－2－13－0＝－3，所以倾斜角α＝120°．故填120°．8．已知直线l过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b，则直线l的方程为．解：①若a＝3b＝0，则直线过原点(0，0)，此时直线斜率k

＝－12，直线方程为x＋2y＝0．②若a＝3b≠0，设直线方程为xa＋yb＝1，即x3b＋yb＝1．由于点P(2，－1)在直线上，所以b＝－13．从而直线方程为－x－3y＝1，即x＋3y＋1＝0．综上所述，所求直线方

程为x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0．故填x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0．9．已知在第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝π3，∠B＝π4．求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC和BC边所在直线的

方程．解：(1)AB边所在直线的方程为y＝1．(2)因为∠A＝π3，AB∥x轴，所以直线AC的倾斜角为π3，斜率为3，所以AC所在直线的方程为3x－y＋1－3＝0，因为∠B＝π4，所以直线BC的倾斜角为3π4，所以斜率为－1，所以BC

所在直线的方程为x＋y－6＝0．10．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．解：(1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零．所以a＝2，方程即为3x＋y＝0．当直线不过

原点时，a≠2，由截距存在且均不为0，所以a－2a＋1＝a－2，即a＋1＝1．所以a＝0，方程即为x＋y＋2＝0．因此直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0．(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，所以－（a＋1

）≥0，a－2≤0．所以a≤－1．综上可知a的取值范围是(－∞，－1]．11．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；7(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S

的最小值并求此时直线l的方程．解：(1)证明：将直线l的方程变形得k(x＋2)＋(1－y)＝0，令x＋2＝0，1－y＝0，解得x＝－2，y＝1，所以无论k取何值，直线l过定点(－2，1)．(2)当直线l的倾斜角θ∈[0°，

90°]时，直线l不经过第四象限，所以k≥0．(3)由l的方程，得A－1＋2kk，0，B(0，1＋2k)．依题意得－1＋2kk<0，1＋2k>0，解得k>0．因为S＝12·|OA|·|OB|＝12·1＋2kk·|1＋2k|＝1

2·（1＋2k）2k＝124k＋1k＋4≥12×(2×2＋4)＝4，当且仅当4k＝1k且k>0，即k＝12时等号成立，所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．已知数列{an}的通项公式为an＝1n（n＋1）(n∈N*)，其前n项和Sn＝910，则直线xn＋1＋

yn＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为()A．36B．45C．50D．55解：由an＝1n（n＋1）可知an＝1n－1n＋1，所以Sn＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋„＋(1n－1n＋1)＝

1－1n＋1，又知Sn＝910，所以1－1n＋1＝910，所以n＝9．所以直线方程为x10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45．故选B．8