【文档说明】(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习27《空间几何体的结构及其三视图与直观图》(含详解).doc，共(26)页，833.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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考点27空间几何体的结构及其三视图与直观图空间几何体（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的

直观图.（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.一、空间几何体的结构1．多面体几何体结构特征备注棱柱①底面互相平行.②侧面都是平行四边形③每相邻两个

平行四边形的公共边互相平行.按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.棱锥①底面是多边形.②侧面都是三角形.③侧面有一个

公共顶点.三棱锥的所有面都是三角形，所以四个面都可以看作底.三棱锥又称为四面体.棱台①上、下底面互相平行，且是相似图形.②各侧棱的延长线交于一点.③各侧面为梯形.可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥2．旋转体几何体结构特征备注圆柱①圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相

平行，且底面是圆面而不是圆.②圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线互相平行且相等.③平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.圆柱可以由矩

形绕其任一边所在直线旋转得到.圆锥①底面是圆面.②有无数条母线，长度相等且交于顶点.③平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形.圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.圆台①圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面.②有无数条母线，等长

且延长线交于一点.③平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形.圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.球①球心和截面

圆心的连线垂直于截面.②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式:22dRr.球可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到.二、空间几何体的三视图与直观图1．空间几何体的三视图（1）三视图的概念①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做

几何体的正视图;②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图;③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.（2）三视图的画法规则①排列规则：

一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图：正侧俯②画法规则ⅰ)正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；ⅱ)侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”.③线条的规则ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示；ⅱ)不能看见的

轮廓线用虚线表示.（3）常见几何体的三视图常见几何体正视图侧视图俯视图长方体矩形矩形矩形正方体正方形正方形正方形圆柱矩形矩形圆圆锥等腰三角形等腰三角形圆圆台等腰梯形等腰梯形两个同心的圆球圆圆圆2．空间几何体的直观图（1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画

它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水

平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤①在已知图形所在的空

间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴使∠xOz=90°，且∠yOz=90°.②画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°(或135°)，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面.③已知图形中，平行于x轴、

y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.④已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.⑤画图完成以后，擦去作

为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.（3）直观图的面积与原图面积之间的关系①原图形与直观图的面积比为22SS，即原图面积是直观图面积的22倍，②直观图面积是原图面积的12=422倍.考向一空间几何体的结构特征关于空

间几何体的结构特征问题的注意事项：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可

.典例1下列命题中正确的是A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D．有两个面平行，其余各

面都是平行四边形的几何体叫棱柱【答案】B【解析】在A中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不是棱柱，故A错误；在B中，由棱柱的定义得：有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共

边都互相平行的几何体叫棱柱，故B正确；在C中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故C错误；在D中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不是棱柱，故D错误．故选B．1．正三棱锥内有一个内切球,经过

棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的图是典例2边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是A．10cmB．52cmC．25π+1cmD．25π+42cm【答案】D【解析】圆柱的侧

面展开图如图所示，展开后155·2π·π222EF，∴222555(π)π4cm22EG．故选D.【名师点睛】求几何体的侧面上两点间的最短距离问题，常常把侧面展开，转化为平面几何问题处理．2

．如图，在长方体1111ABCDABCD中，1AB，3BC，点M在棱1CC上，当1MDMA取得最小值时，1MDMA，则棱1CC的长为__________.考向二空间几何体的三视图三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的三视图还原几何

体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的部分视图画出剩余

的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.典例3如图所示，在放置的四个几何体中，其正视图为矩形的是ABCD【答案】B【解析】A选项三棱锥、C选项圆台、D选项的正视图

都不是矩形，而B选项圆柱的正视图为矩形.故选B．3．一个动点从正方体1111ABCDABCD的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线到达顶点1C位置，则下列图形中可以表示正方体及动点最短路线的正视图是A．①②B．①③C．②④D．③④典例4如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画

出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【答案】B【解析】由三视图中的正视图可知，有一个面为直角三角形，由侧视图和俯视图可知其他的面为长方形.综合可判断为三棱柱.4．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实

线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的最长棱长为A．B．4C．6D．考向三空间几何体的直观图斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”y坐标轴的夹角改变与轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变；“三不变”xz平行性不改变与,轴平行的线段的长度不改变

相对位置不改变.典例5如图是水平放置的平面图形的直观图,则原平面图形的面积为A．3B．322C．6D．32【答案】C【解析】原平面图形如图,即Rt△OAB,其中OA=O′A′=3,OB=2O′B′=4,故原平面图形的面积为134=62，故选C．【方法点晴】本题主要考查了平面图形的直

观图及其原图形与直观图面积之间的关系，属于基础题，解答的关键是牢记原图形与直观图的面积比为22SS，即原图面积是直观图面积的22倍，直观图面积是原图面积的12=422倍.5．已知边长为1的菱形ABCD中，π3A，则用斜二测画法画出这

个菱形的直观图的面积为A．32B．34C．66D．681．有下列三个说法：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯

形的六面体是棱台．其中正确的有A．0个B．1个C．2个D．3个2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱3．如图为水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系中点B的坐标为（2，2），则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，点B到x轴的距离为A．1

2B．22C．1D．24．如图，正方体1111ABCDABCD中，E为棱1BB的中点，用过点A、E、1C的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是A．B．C．D．5．正方体被一个平面截去一

部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A．等腰三角形B．直角三角形C．平行四边形D．梯形6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是A．B．C．D．7．已知三棱柱111ABCA

BC的高为2，底面三角形的边长分别为3，4，5.若球O内切于三棱柱111ABCABC，其正视图和俯视图如图所示，则其左视图是A．B．C．D．8．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面

半径之比为，若截去的圆锥的母线长为，则圆台的母线长为A．B．C．D．9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的正视图为A．B．C．D．10．一个正方体的内切球1O、外接球2O、与各棱都相切的球3O的半径之比

为A．1:3:2B．1:1:1C．1:3:2D．1:2:311．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，该几何体的各个面中有若干个是梯形，则这些梯形的面积之和为A．28B．

30C．32D．3612．长方体1111ABCDABCD中，1ABBC，12BB，设点A关于直线1BD的对称点为P，则P与1C两点之间的距离是A．1B．2C．33D．3213．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁

从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为A．193B．25C．2193D．3114．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为A．1B．2C．3D．415．如图所示,E,F分别为正方体ABCD-A'B'C'D'

的面ADD'A'、面BCC'B'的中心,现给出图①~④的4个平面图形,则四边形BFD'E在该正方体的面上的射影可能是图.(填上所有正确图形对应的序号)16．如图所示是一个几何体的表面展开平面图,该几何体中与“数”字面相对的是“”.

17．已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有_____________.（填序号）18．已知一个圆锥的母线长为2，底面圆的周长为23π，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为_____.19．一个水

平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为____________.20．用半径为2cm，圆心角为2π3的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为_

_______cm.21．正三棱锥P−ABC中，90APBBPCCPA，，AB的中点为M，一小蜜蜂沿锥体侧面由M爬到C点，最短路程是____________.1．（新课标全国Ⅰ文科）某圆柱的高为2，底

面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A．172B．52C．3D．22．（新课标全国Ⅲ文科）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部

分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是3．（2016天津文科）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为ABCD1．【答案

】C【解析】正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心,所以过一条侧棱和高的截面必过该棱所对的面的高线,故C正确.2．【答案】322【解析】把长方形11DCCD展开到长方形11ACCA所在平面，如图，当A，M，1D在同一条直线

上时，1MDMA取得最小值，此时11121MAACMDCD，令2MAx，1MDx，1CCh，则222222(2)3(3)3xxhxh，得322h.变式拓展故棱1CC的长为322.3．【答案】C【解析】由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到定点1C位置，共有6种展开方

式，若把平面11ABAB和平面11BBCC展开到同一个平面内，在矩形中连接1AC，会经过1BB的中点，故此时的正视图为②；若把平面ABCD和平面11CDDC展开到同一个平面内，在矩形中连接1AC，会经过CD的中点，此时的正视图为④.故选C．4．【答案】C【解析】由三视图可知该几何体

是如图所示的四棱锥，其所在正方体的棱长为4，A，D为棱的中点，根据几何体可以判断，该四棱锥的最长棱为AO，．故选C．5．【答案】D【解析】如图，菱形ABCD中，1AB，π3A，则菱形的面积为1π32211sin232

△菱形ABDABCDSS，所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为36282222ABCDSS菱形.故选D．1．【答案】A【解析】本题主要考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，故②③错．2．【答案

】A【解析】因为圆柱的三视图有两个矩形，一个圆，正视图不可能是三角形，而圆锥、四面体（三棱锥）、三棱柱的正视图都有可能是三角形，所以选A．3．【答案】B【解析】因为BC垂直于x轴，所以在直观图中BC

的长度是1，且与x轴的夹角是45，所以B到x轴的距离是22.4．【答案】A【解析】正方体1111ABCDABCD中，过点1,,AEC的平面截去该正方体的下半部分后，剩余部分几何考点冲关体的正视图为图中粗线部分．故选A．5．【答案】A【解析】如图

所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体，很明显截面是等腰三角形.故选A．6．【答案】A【解析】根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变,平行于y的线段变为原来的12，由此得原来的图形是A．故选A．7．【答案】D【

解析】设球O的半径为r，由正视图、俯视图可得1r，又球O与三棱柱的三个侧面相切，可得其左视图如选项D所示故选D.8．【答案】D【解析】如图，设圆台的母线长为，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是，根据相似三角形的性质可得，解得，所以圆台的母

线长为.故选D．9．【答案】D【解析】根据空间直角坐标系中点的位置，画出直观图如图，则正视图为D中图形.故选D．10．【答案】C【解析】设正方体的棱长为1，那么其内切球的半径为21，外接球的半径为23（正方体体对角线的

一半），与各棱都相切的球的半径为22（正方体面对角线的一半），所以比值是132∶∶，故选C．【方法点睛】球与几何体的组合体的问题，尤其是相切，一般不画组合体的直观图，而是画切面图，圆心到切点的距离是半径并且垂直，如果是内切球，那么对面切点的距离就是直径，而对面切点的

距离是棱长，如果与棱相切，那么对棱切点的距离就是直径，而切点在棱的中点，所以对棱中点的距离等于面对角线长，而如果外接球，那么相对顶点的距离就是直径，即正方体的体对角线是直径．11．【答案】C【解析】由三视图可知该几何体如图所示，各

个面中有两个梯形，一个矩形，两个直角三角形，则这两个梯形的面积和为.故选C．12．【答案】A【解析】如下图所示：在11PCD△中，易知111CD，13DP，1130PDC，由余弦定理得：222111111132cos301321312CPCDDPCDDP

，所以11CP.故选A．13．【答案】B【解析】将正三棱柱111ABCABC沿侧棱展开，如图所示：在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱柱底面三角形的边长为23432，所以矩形的长

等于4624，宽等于7，由勾股定理求得2224725d．故选B．14．【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体为一个三棱锥P﹣ABC，其中PC⊥底面ABC，底面ABC是一个三边分别为2，2，2的三角形，PC＝2．由222(2)(2)2，

可得∠A＝90°，则AB⊥AC．又PC⊥底面ABC，∴PC⊥BC，PC⊥AC．则AB⊥PA．因此该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为4．故选D．15．【答案】②③【解析】四边形BFD'E在正方体ABCD-A'B'C'D'的面BCC'B'上的射影是③;在面ABCD上的射

影是②;易知①④的情况不可能出现.16．【答案】学【解析】由图形可知,该几何体为三棱台，两个三角形为三棱台的上下底面，∴与“数”字面相对的是“学”.17．【答案】①②③④【解析】俯视图为①时，该几何体从上往下依次为圆柱、圆柱、长方体组成的组合体；俯视图为②时，该几

何体从上往下依次为长方体、长方体、圆柱组成的组合体；俯视图为③时，该几何体从上往下依次为圆柱、长方体、长方体组成的组合体；俯视图为④时，该几何体从上往下依次为三棱柱、圆柱、长方体组成的组合体；俯视图不可

能为⑤.18．【答案】2【解析】底面圆的周长为23π，所以半径为3，两母线夹角最大为2π3，圆锥的母线长为2，过圆锥顶点的截面面积122sin2S，所以，当截面中的两圆锥母线夹角为π2时，截面面积最大为2.19．【答案】22【解析】由题意得，水平放置的平面图形的斜

二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，其面积为122(112)(22)224S，又原图形与直观图的面积比为22SS，所以原图形的面积为2222SS．20．【答案】423

【解析】如图所示，半径为2cm，圆心角为2π3的扇形，所以扇形的弧长为2π4π233，设卷成圆锥的底面圆的半径为r，则4π2π3r，解得23r，所以这个圆锥筒的高为2224422()4393h.21．【答案】102a【解析】由题意，将侧面PBC展开，那么点M到C的距离，就是

在MBC△中的长度，由题中数据易得2,22MBaBCa，90MBCPBAPBC，，如果将侧面PAC展开，同理可得102MCa.1．【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点M在上底面上，点N在下底面上，且可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆

柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为.故选B．【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点

间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平直通高考铺，利用平面图形的相关特征求得结果.2．【答案】A【解析】本题主要考查空间几何体的三视图.由题意知，俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形.故选A．3．【答案】B【

解析】由题意得截去的是长方体前右上方顶点处的一个棱锥，故选B.【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何体

中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．