【文档说明】(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习26《基本不等式》(含详解).doc，共(21)页，930.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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考点26基本不等式基本不等式：(0,0)2ababab（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.一、基本不等式1．基本不等式：2abab（1）基本不等式成立的条件：0,0ab.（2）等号成立的条件，当且仅当

ab时取等号．2．算术平均数与几何平均数设0,0ab，则a、b的算术平均数为2ab，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当xy时，x＋y有最

小值是2P.(简记：积定和最小)（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当xy时，xy有最大值是24P.(简记：和定积最大)4．常用结论（1）222(,)abababR（2）2(,)baabab同号（3）2()(,)2abababR（4）

222()(,)22abababR（5）2222()()(,)abababR（6）222()(,)24ababababR（7）222(0,0)1122ababababab二、基本不等式

在实际中的应用1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及(0,byaxax

0)b等．解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．考向一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．（2）若不直接满

足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配.①拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积

创造条件．②并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．③配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设

条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用

函数单调性求解.典例1若正数a，b满足111ab，则1911ab的最小值为A．1B．6C．9D．16【答案】B【解析】解法一：因为111ab，所以a＋b=ab⇒(a−1)·(b−1)=1，所以191921111abab=2×3=6(当且

仅当43a，b=4时取“=”).故1911ab的最小值为6.解法二：因为111ab，所以a＋b=ab，所以19199910111babaababab119(9)()101910babaabab926baab(当且

仅当43a，b=4时取“=”)．故1911ab的最小值为6.解法三：因为111ab，所以111ba，所以199(1)296111babb(当且仅当b=4时取“=”)．故

1911ab的最小值为6.【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．1．函数2

4()(0)xxfxxx的最大值为______，此时x的值为______.考向二基本不等式的实际应用有关函数最值的实际问题的解题技巧：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．（3）解应用题时，一定要注意

变量的实际意义及其取值范围．（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.典例2年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全

国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（是常数），用表示设备使用的年数，记设备年平均维修和消耗

费用为，即(设备单价设备维修和消耗费用）设备使用的年数．（1）求关于的函数关系式；（2）当，时，求这种设备的最佳更新年限．【解析】（1）由题意，设备维修和消耗费用构成以为首项，为公差的等差数列，因此年平均维修和消耗费用为2312bbbtbbtt.于是有（2）由（1）可知，当，时

，11250022550050050050050050021515500ytttt，当且仅当.答：这种设备的最佳更新年限为15年．【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过相关的关系建立关系式.在解题过程

中尽量向模型2(0,0,0)baxababxx上靠拢.2．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/2m，中间区域地面硬化以方便后期

放置各类健身器材，硬化造价为100元/2m.设矩形的长为mx.（1）将总造价y（元）表示为长度mx的函数；（2）当x取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.考向三基本不等式的综合应用基本不等式是高考考

查的热点，常以选择题、填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．（2

）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.典例3下列不等式一定成立的是A．21lg()lg(0)4xxxB．1sin2(,)sinxxkkxZC．212||()xxx

RD．211()1xxR【答案】C【解析】对于A：214xx(当12x时，214xx)，A不正确；对于B：1sin2(sin(0,1])sinxxx，1sin2(sin[1,0))sinxxx，B不正确；对于C：222||1(||1)0()

xxxxR，C正确；对于D：21(0,1]()1xxR，D不正确.故选C.【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可

将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题.3．设abc，nN，且218nabbcac恒成立，则n的最大值是A．2B．3C．4D．5典例4设正项等差数列na的前n项和为nS，若20176051S，则4201414aa的最小值为______．【答案】32

【解析】因为20176051S，所以120172017()6051,2aa则120176,aa即420146aa.所以420144201442014141146aaaaaa2014420144411355466

2aaaa.当且仅当420142,4aa时取等号.故答案为：32.【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变

形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．4．已知向量,2xa，1,yb且,xy为正实数，若满足2xyab，则34xy的最小值为A．526B．56C．46D．431．已知x，0,y，1xy，则x

y的最大值为A．1B．12C．13D．142．若直线1(0,0)xyabab过点(1,2)，则ab的最小值等于A．3B．4C．322D．4223．已知236()(0)1xxfxxx，则()fx的最小值是A．

2B．3C．4D．54．当4x时，不等式44xmx恒成立，则m的取值范围是A．8mB．8mC．8mD．8m5．已知正数,mn满足22100mn，则mnA．有最大值102B．有最小值102C．有最大值1

0D．有最小值106．已知22log2log11ab，则2ab取到最小值时，abA．3B．4C．6D．97．用篱笆围一个面积为2100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，则最短的篱笆是A．30mB．36mC．40mD．50m8．下列式子的最

小值等于4的是A．4(0)aaaB．4sin+sinxx，π0,2xC．e4exx，xRD．2254xx9．已知0x，0y，满足2210xxy，则2xy的最小值是A．22B．2C．32D．310．△ABC中，角

,,ABC的对应边分别为,,abc，若,,abc成等差数列，则角B的取值范围是A．π0,4B．ππ,32C．π0,3D．π,π211．已知0ab，则412aabab的最小值为A．444B．6C．32283aabD．3212．已知

实数0,0ab，2是8a与2b的等比中项，则12ab的最小值是______．13．已知正数a、b满足226ab，则24ba的最大值为__________．14．已知直线600,0axbyab被圆22240xyxy

截得的弦长为25，则ab的最大值为________.15．设实数,xy满足条件41002800,0xyxyxy，若目标函数(0,0)zaxbyab的最大值为12，则23ab的最小值为________.16．已知函数4fxxaxa

R.（1）解关于x的不等式0fx；（2）若1a，令0fxgxxx，求函数gx的最小值.17．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为2

4平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计1440

0元．设屋子的左右两面墙的长度均为x米(36)x．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价．（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1800(1)axx元(0)a，若

无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．1．（2019年高考浙江卷）若0,0ab，则“4ab”是“4ab”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（2019年高考

天津卷文数）设0,0,24xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为__________.3．（年高考天津卷文数）（天津文科）已知,abR，且360ab，则128ab的最小值为.4．（年高考江苏卷）在ABC△中，角,

,ABC所对的边分别为,,abc，120ABC，ABC的平分线交AC于点D，且1BD，则4ac的最小值为___________．5．（年高考天津卷文数）若,abR，0ab，则4441abab

的最小值为___________．6．（年高考山东卷文数）若直线1(00)xyabab＞，＞过点(1,2),则2a+b的最小值为___________．7．（年高考江苏卷）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储

费用之和最小，则x的值是___________．变式拓展1．【答案】−32【解析】因为244()()1xxfxxxx，又0x，所以4244xx，当且仅当2x时取等号.此时244()()1413xxfxxxx

.即()fx的最大值为3，此时2x.【名师点睛】本题主要考查求函数的最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.求解时，先将原式化为4()()1fxxx，再由基本不等式，即可求出结果.2．【答案】（1）20018400400yxx，(4,

50)x；（2）当102x时，总造价最低为1840080002元.【解析】（1）由矩形的长为xm，得矩形的宽为200xm，则中间区域的长为(4)xm，宽为200(4)xm，则200200100(4)4200200(4)4yxxxx

，定义域为(4,50)x.整理得20018400400yxx，(4,50)x.（2）2002002202xxxx，当且仅当200xx，即102(4,50)x时取等号.所以当1

02x时，总造价最低为1840080002元.【名师点睛】本题主要考查了函数的表示方法，以及基本不等式的应用.在利用基本不等式时保证“一正二定三相等”，属于中等题.（1）根据题意得矩形的长为xm，则矩形的宽为200xm，中间区域的长为(4)xm，宽为200(4)xm，列出函数关

系式即可.（2）根据（1）的结果利用基本不等式求解即可.3．【答案】B【解析】218nabbcac等价于218()()acnabbc，而1818()()acabbcabbcabbc

8()9928942bcabbcababbcabbc，当且仅当8()bcababbc，即22()bcab时取等号，故得到2942,nnN，则n的最大值是3.故答案为B.【名师点睛】在利

用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.4．【答案】A【解析】由题意得1

12212xyxyyxab，因为x，y为正实数，则11(34)1(34)2xyxyyx3434325252622xyxyyxyx，当且仅当342xyyx，即362

6,34xy时取等号.所以选择A.【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积以及基本不等式，在用基本不等式时要满足“一正二定三相等”.属于中等题.1．【答案】D【解析】因为x，0,y，1xy，所以有2

1112()24xyxyxy，当且仅当12xy时取等号，故本题选D.考点冲关【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用，掌握公式的特征是解题的关键.求解时，直接使用基本不等式，可以求出xy的最大值.2．【答案】C【解析】将1,2代入直线方程得到121ab，1

22()()3322ababababba，当21,22ab时等号成立.故选C.【名师点睛】本题考查了直线方程，均值不等式，1的代换是解题的关键.求解时，将1,2代入直线方程得到121ab，利用

均值不等式得到ab的最小值.3．【答案】D【解析】由题意知，2211436411111xxxxfxxxxx，因为0x，所以10x，则41124151xx

（当且仅当411xx，即1x时取“=”），故fx的最小值是5.故答案为D.【名师点睛】本题考查了基本不等式的运用，要注意“=”取得的条件，属于基础题.4．【答案】A【解析】∵4x，∴40x，∴444442(4)48444xxxxxx

，当且仅当444xx，即6x时取等号，∵当4x时，不等式44xmx恒成立，∴只需min484mxx．故选A．【名师点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出444444xxxx，属于

一般题.5．【答案】A【解析】由不等式的性质有：222mn（2mn）2，当且仅当52mn时等号成立，即（2mn）2≤50，又m＞0，n＞0，所以522mn，即m102n，故选A．【名师点睛】本题考查了基本不等式及其应用，转化化归能力，注意等号成立的条件，属中档

题.6．【答案】D【解析】由22log2log11ab，可得20a，10b且212ab.所以222152221522259ababab，当221ab

且212ab时等号成立，解得3ab.所以2ab取到最小值时339ab.故选D.【名师点睛】本题考查基本不等式取得最值的条件，多次用不等式求最值时要注意不等式取等的条件要同时满足.7．【答案】C【解析】设矩形的长为(m)

x，则宽为100(m)x，设所用篱笆的长为(m)y，所以有10022yxx，根据基本不等式可知：1001002222240yxxxx（当且仅当10022xx，即10x时取等号），故本题选C.【名师点

睛】本题考查了基本不等式的应用，由已知条件构造函数，利用基本不等式求出最小值是解题的关键.8．【答案】C【解析】选项A，设1yaa，当0a时，1122yaaaa，当且仅当1a时，取等号；当0a时

，11()2()2yaaaa，当且仅当1a时，取等号，故函数没有最小值；选项B，4sinsinyxx，令sinxa，π0,,(0,1)2xa，函数4yaa在(0,2)a时单调递减，故当(0,1)a时4yaa是单调递减函数

，所以5y，没有最小值；选项C，44e4ee2e4eexxxxxx，当且仅当ln2x时取等号，故符合题意；选项D，令222251444xyxxx，令214(2)(2)xttyttt，而函数1ytt在1t时是单调递增函数

，故当2t时，函数1ytt也单调递增，所以52y，不符合题意，所以本题选C.【名师点睛】本题考查了基本不等式和函数(0)ayxax的单调性，利用基本不等式时，一定要注意三点：其一，必须是正数；其二，要有定值；其

三，要注意等号成立的条件，简单记为一正二定三相等.9．【答案】D【解析】正实数x，y满足2210xxy，122xyx，1311111223233222222xxyxxxxxxxx…，当且仅

当33x时取等号，2xy的最小值为3，故选D.【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用问题，解题的关键是31222xyxx，使它能利用基本不等式，是基础题目．10．【答案】C【解析】由,,abc成等差数列，可得2bac，

即2acb，则22222222()3()26212cos22882acacacbacacacacBacacacac（当且仅当ac时取等号）；由于在三角形中(0,π)B，且cosB在(0,π)上为减函数，所以角B的取值范围是：π

0,3.故选C.【名师点睛】本题考查余弦定理，等差数列的性质，以及基本不等式的应用，求解时，由,,abc成等差数列，可得2bac，然后利用余弦定理表示出cosB，进行化简后，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根据B的范围

以及余弦函数的单调性，即可求出角B的取值范围.11．【答案】B【解析】∵0ab，∴41412()()aabababababab，∵44()2()4abababab，11()2()2abababab，∴4126aabab

，当且仅当2,1abab，即31,22ab时等号成立.故选B.【名师点睛】本题主要考查均值定理的应用，构造均值定理的结构，利用均值定理求解最小值.使用均值定理求解最值时，一要注意每一项必须为正实数，二是要凑出定值，三是要验证等号成立的条件，

三者缺一不可，尤其是等号不要忘记验证.12．【答案】526【解析】∵实数002ab，，是8a与2b的等比中项，3822,22abab，即31ab．则1212663552526babaababababab

，当且仅当6ba，即61,623ab时取等号．故答案为:526．【名师点睛】本题考查了等比中项，均值不等式，1的代换是解题的关键.求解时，通过2是8a与2b的等比中项得到31ab，利用均值不等式求得

最小值.13．【答案】5【解析】226ab，2224452baba，当24ba即1,5ab时等号成立.故答案为5.【名师点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.14．【答案】92【

解析】圆22240xyxy可化为22(1)(2)5xy，则圆心为1,2，半径为5r，又因为直线+6=00,0axbyab被圆22240xyxy截得的弦长为252r，所以直线+6=00,0axbyab过圆心，即260ab，化为

26,0,0abab，6222abab，当且仅当2ab，即33,2ab时取等号，9,2abab的最大值为92，故答案为92.【名师点睛】本题主要考查圆的方程与性质以及基本不等式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅使

问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将弦长问题转化为直线过圆心是解题的关键.15．【答案】256【解析】由可行域可得，当4x，6y时，目标函数zaxby取得最大值，4612ab，即132ab，23231313252

32666abbaababab.当且仅当baab，即65ab时取等号，故答案为256.【名师点睛】本题考查了通过目标函数的最大值，得到参数之间的等式，求不等式最小值问题，关键是正确得到参数之间的等式.16．【答

案】（1）见解析；（2）1.【解析】（1）①当4a时，不等式0fx的解集为4xxax或，②当4a时，不等式0fx的解集为4xxxa或，③当4a时，不等式0fx的解集为4xx.（2）当1

a时，令21454xxxxgxxx44()5251xxxx（当且仅当4xx，即2x时取等号）.故函数gx的最小值为1.【名师点睛】本题考查了解不等式，均值不

等式，函数的最小值，意在考查学生的综合应用能力.17．【答案】（1）4米时，28800元；（2）012.25a．【解析】（1）设甲工程队的总造价为y元，则24163(3002400)144001800()14400(36)yxxxxx，16161800()14

400180021440028800xxxx．当且仅当16xx，即4x时等号成立．即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元．（2）由题意可得，161800(1)1800()14400axxxx对任意的[36]x，恒成立．即2(

4)(1)xaxxx，从而2(4)1xax恒成立，令1xt+=，则22(4)(3)96,1xttxtt[4,7]t，又96ytt在[4,7]t时为单调增函数，故min12.25y．所以012.25a．【名师点睛】本

题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.（1）设甲工程队的总造价为y元，先求出函数的解析式，再利用基本不等式求函数的最值得解；（2）由题意可得，161800(1)1800()14400axxxx

对任意的[36]x，恒成立，从而2(4)1xax恒成立，求出左边函数的最小值即得解.1．【答案】A【解析】当0,0a>b>时，2abab当且仅当ab时取等号，则当4ab时，有24abab，解得4ab，充分性成立；

当=1,=4ab时，满足4ab，但此时=5>4a+b，必要性不成立，综上所述，“4ab”是“4ab”的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,ab的值，从假设情况

下推出合理结果或矛盾结果.2．【答案】92【解析】(1)(21)2212525xyxyyxxyxyxyxyxy.因为0,0,24xyxy，直通高考所以2422xyxy，即22,02xyxy，当

且仅当22xy时取等号成立.又因为192255=22xy，所以(1)(21)xyxy的最小值为92.【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.3．【答案】【解析】由可知，且，因为对于任意x，恒成立，结合基本不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上

可得的最小值为.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：①22,,2abababR，当且仅当ab时取等号；②,abR，2abab，当且仅当ab时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求

最值时注意“1的妙用”．4．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.【名师点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择或填空的形式出现，基本题型

为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.5．【答案】4【解析】44224141114244abababababababab，（前一个等号成立的条件是222ab，后一个等号成立的条件是12ab，两个等号可以同

时成立，当且仅当2222,24ab时取等号）．【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①22,,2abababR，当且仅当ab时取等号；②,abR，2abab，当且

仅当ab时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．6．【答案】8【解析】由直线1(00)xyabab＞，＞过点(1,2)可得121ab,所以12442(2)()4428bab

aababababab.当且仅当4baab，即4,2ba时等号成立.【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．在

利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式．7．【答案】30【解析】总费用为600900464()42900240xxxx，当且仅当9

00xx，即30x时等号成立．【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．