【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案7．3《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》(含详解).doc，共(31)页，1.520 MB，由MTyang资料小铺上传

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7．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当

我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C

，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约

束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．注：线性约束条件除了用

一次不等式表示外，也可用一次方程表示．(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________________的问题，统称为线性规划问题．(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都

叫做这个问题的________________．线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据__________________________(即画出不等式

组所表示的公共区域)．②设__________，画出直线l0．③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的_______________．(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，

应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定_______________函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即_______________，在可行域内求得使目标函数_______________．自查自纠：1．(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2

．(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的

平面区域内的是()A．(0，0)B．(－1，1)C．(－1，3)D．(2，－3)解：把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合．故选C．不等式组x－3y＋6≥0，x－y＋2<0表示的平面区域是以下哪

项所示阴影部分()ABCD解：x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B所示阴影部分．故选B．不等式组x＋y－2≥0，x＋2

y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为()A．3B．4C．5D．6解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易求得|BD|＝2，C点坐标(8，－2)，所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝12×2×(2＋2)＝4．故选B．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件x

＋2y≤1，2x＋y≥－1，x－y≤0，则z＝3x－2y的最小值为________．解：画出不等式组x＋2y≤1，2x＋y≥－1，x－y≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝32x－z2过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由

x＋2y＝1，2x＋y＝－1，解得A(－1，1)．所以zmin＝－5．故填－5．(2018·石家庄质检)若x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x－2≤0，x＋y－2≥0，则z＝yx的最大值为________．解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，

z＝yx＝y－0x－0，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知zmax＝kOA．由x－y＋1＝0，x＋y－2＝0，得A12，32，所以kOA＝3，即zmax＝3．故填3．类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)不等式(x－2y＋1)

(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()ABCD解：(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇒x－2y＋1≥0，x＋y－3≤0或x－2y＋1≤0，x＋y－3≥0．画出平面区域后，只有C符合题意．故选C．(2)不等式组

x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积为()A．32B．23C．43D．34解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．由x＋3y＝4，3x＋y＝4，得交点A的坐标为(1，1)．又B，C两

点的坐标分别为(0，4)，0，43，故S△ABC＝12·|BC|·|xA|＝12×4－43×1＝43．故选C．点拨：二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域(一般取坐标原点)．求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画

出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形或其他特殊图形分别求解再求和．(1)(2016·郑州

模拟)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组|x|≤|y|，|x|＜1的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的()解：|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|＜1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C．(2)(2018·郑州预测)若不等式x2＋y2

≤2所表示的平面区域为M，不等式组x－y≥0，x＋y≥0，y≥2x－6表示的平面区域为N．现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．解：作出不等式组与不等式表示的可行域N，M，如图所示，平面区域N的面积为12

×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为14π×(2)2＝π2，故所求概率P＝π212＝π24．故填π24．类型二利用线性规划求线性目标函数的最优解(2017·天津)设变量x，y满足约束条件2x＋

y≥0，x＋2y－2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z＝x＋y的最大值为()A．23B．1C．32D．3解：可行域为四边形ABCD及其内部，所以直线z＝x＋y过点B(0，3)时取最大值3．故选D．点拨：线性规划问题有三类：①

简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；②线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；③线性规划的实际应用．一般情况下，目标函数的最大或最小

值会在可行域的端点或边界上取得．应注意目标函数z＝ax＋by(ab≠0)中b的正负对z取最大还是最小的影响．(2018·天津)设变量x，y满足约束条件x＋y≤5，2x－y≤4，－x＋y≤1，y≥0，则目标函数z＝3x＋5y的最大值为()A．6B．19C

．21D．45解：作出可行域如图中阴影部分所示，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点A处取得最大值．联立直线方程x＋y＝5，－x＋y＝1，可得点A的坐标为A(2，3)，据此可知目标函数的最大值zmax＝3×2＋5×3＝21．

故选C．类型三含参数的线性规划问题(1)(北京西城区2017届期末)实数x，y满足x≤3，x＋y≥0，x－y＋6≥0．若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则a的取值范围是()A．[－1，0]B．[0，1]C．[－1，1]D．(－∞，－1]∪[1

，＋∞)解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z＝ax＋y得y＝－ax＋z．因为z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，所以当直线y＝－ax＋z经过点B(3，9)时直线截距最大，当经过点A(

3，－3)时，直线截距最小．则直线y＝－ax＋z的斜率－a满足，－1≤－a≤1，即－1≤a≤1．故选C．(2)(2018·惠州三调)已知实数x，y满足x＋3y＋5≥0，x＋y－1≤0，x＋a≥0，若z＝x＋2y的最小值为

－4，则实数a＝()A．1B．2C．4D．8解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C－a，a－53时，z取得最小值－4，所以－a＋2·a－53＝－4，解得a＝2．另解：z＝x＋2y的最小值为－4，此时目标函数为x＋2y＋4＝

0．直线x＋2y＋4＝0与直线x＋3y＋5＝0和直线x＋y－1＝0的交点分别为(－2，－1)，(6，－5)，则直线x＝－a必过其中一点，所以a＝－6或a＝2．经检验a＝2符合题意．故选B．点拨：利用可行域及最优解求参数的方法：①若线

性目标函数中含有参数，可对线性目标函数的斜率讨论从而确定其过哪个顶点时取得最值；也可直接求出线性目标函数过各个顶点时对应的参数的值，然后进行检验，从而找出符合题意的参数值；②若限制条件中含有参数，则依据参数的不

同范围将各种情况下的可行域画出来，再寻求最优解，从而确定参数的值．(1)(2018·新乡模拟)若实数x，y满足2x－y＋2≥0，2x＋y－6≤0，0≤y≤3，且z＝mx－y(m<2)的最小值为－52，则m等于

()A．－56B．13C．1D．54解：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z＝mx－y(m<2)的最小值为－52，当m＝0，zmin＝－3；当m<0时，zmin<－3，均不合题意，故0<m<2，即目标函数

的最优解过点A，由y＝3，2x－y＋2＝0，解得A12，3，所以－52＝m2－3，解得m＝1．故选C．(2)若不等式组x＋y－2≤0，x＋2y－2≥0，x－y＋2m≥0表示的平面区域为三角形，且其面积

等于43，则m的值为()A．－3B．1C．43D．3解：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m<2，m>－1．由x＋y－2＝0，x－y＋2m＝0，解得x＝1－m，y＝1＋m，即A(1－

m，1＋m)．由x＋2y－2＝0，x－y＋2m＝0，解得x＝23－43m，y＝23＋23m，即B(23－43m，23＋23m)，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝12(2＋2m)(1＋m)－12(2＋2m)·23(1＋m)＝13(1＋m)2＝43

，解得m＝－3(舍去)或m＝1．故选B．类型四非线性目标函数的最优解问题(2016·山东)若变量x，y满足x＋y≤2，2x－3y≤9，x≥0，则x2＋y2的最大值是()A．4B．9C．10D．12解：作出可行域如图所示，点A(3，－1)到原点距离最大，所以(x2＋y2)max＝1

0．故选C．点拨：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画二移三求．其关键是准确作出可行

域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：①截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值；②距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2或z＝|cx＋dy＋e|；③斜率型：形如z＝y－bx－

a，本题属于距离型．(2018·湘中高三联考)已知实数x，y满足y≤x－1，x≤3，x＋5y≥4，则xy的最小值是________．解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，又xy表示平面区域内的点与原点连线的斜率的倒数．由图知，斜率均为正且直线OA的

斜率最大，此时xy取得最小值，所以xymin＝1kOA＝32．故填32．类型五线性规划与整点问题设实数x，y满足不等式组x＋2y－5＞0，2x＋y－7＞0，x≥0，y≥0，若x，y为整数，则3x＋4y的最小值为()A．14B．16C．17D．1

9解：画出可行域如图，令3x＋4y＝z，y＝－34x＋z4，过x轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y＝－34x＋z4过(4，1)时有最小值(对可疑点

(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时zmin＝3×4＋4＝16．故选B．点拨：求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点，有时也可用不等式(组)确定整点．设不等式组x＞0，y＞0，y

≤－nx＋3n（n∈N*）所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(an∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝______．解：直线y＝－nx＋3n＝－n(x－3)，过定点(3，0)，由y＝－nx＋

3n＞0得x＜3，又x＞0，所以x＝1或x＝2．直线x＝2交直线y＝－nx＋3n于点(2，n)，直线x＝1交直线y＝－nx＋3n于点(1，2n)，所以整点个数an＝n＋2n＝3n．故填3n．类型六线性规划在实际问题中的应用(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需

要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0．5kg，乙材料0．3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件

下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．解：设某高科技企业生产产品A和产品B分别为x件，y件，生产产品A、产品B的利润之和为z元，依题意得1．5x＋0．5y≤150，x＋0．3y≤90，5x＋3y≤600，x∈N

，y∈N，即3x＋y≤300，10x＋3y≤900，5x＋3y≤600，x∈N，y∈N，目标函数z＝2100x＋900y．作出可行域如图所示．当直线z＝2100x＋900y经过点M(60，100)时，z取得最

大值．zmax＝2100×60＋900×100＝216000．故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．故填216000．点拨：对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第

一象限的某个顶点．(2018·黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克、果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克、果汁15千克，用时1小时．现库存白糖10千克、果汁66千

克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元．在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________元．解：设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，则4x＋y≤10，18x＋15y≤66，3x＋y

≤9，x≥0，y≥0．即4x＋y≤10，6x＋5y≤22，3x＋y≤9，x≥0，y≥0．目标函数z＝200x＋100y．作出可行域如图阴影部分所示．当直线z＝200x＋100y经过可行域上点B时，z取得最大值．解方程组

4x＋y＝10，6x＋5y＝22，得点B的坐标(2，2)，故zmax＝200×2＋100×2＝600．故填600．1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax＋By＋C＝0不经过原点，则

把原点代入Ax＋By＋C，通过Ax＋By＋C的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．2．求目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截

式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b＞0时，截距zb取最大值，z也取最大值；截距zb取最小值，z也取最小值；②当b＜0时，截距zb取最大值，z取最小值；截距zb取最小值时，z取

最大值．3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是．第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．特别地，当

线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点Pi逐一代入目标函数iPZ＝mx＋ny，比较各个iPZ，得最大值或最小值．1．不等式组y≤－x＋2，y≤x－1，y≥0所表示的平面区域的面积为()A．1

B．12C．13D．14解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2．由y＝－x＋2，y＝x－1，得yD＝12，所以S△BCD＝12×(xC－xB)×12＝14．故选D．2．(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件2x＋3y－3≤0，2x－3y＋3≥

0，y＋3≥0，则z＝2x＋y的最小值是()A．－15B．－9C．1D．9解：作出不等式组2x＋3y－3≤0，2x－3y＋3≥0，y＋3≥0对应的可行域，如图中阴影部分所示．当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmi

n＝2×(－6)－3＝－15．故选A．3．(2017·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件3x＋2y－6≤0，x≥0，y≥0，则z＝x－y的取值范围是()A．[－3，0]B．[－3，2]C．[0，2]D．

[0，3]解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3)处取得最小值z＝0－3＝－3．在点B(2，0)处取得最大值z＝2－0＝2．故选B．4．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每

种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，利润为z元，则

3x＋2y≤12，x＋2y≤8，x≥0，y≥0，目标函数为z＝3x＋4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．由z＝3x＋4y得y＝－34x＋z4，平移直线y＝－34x至经过点B时，直线y＝－34x＋z4的纵截

距最大，此时z最大，解方程组3x＋2y＝12，x＋2y＝8，得x＝2，y＝3，即B(2，3)．所以zmax＝3x＋4y＝6＋12＝18．即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元．故选D．

5．若变量x，y满足约束条件x－y＋1≤0，y≤1，x>－1，则(x－2)2＋y2的最小值为()A．322B．5C．92D．5解：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方

，由图知C，D间的距离最小，此时z最小，且zmin＝(0－2)2＋12＝4＋1＝5．故选D．6．(2018·河北石家庄质检)若x，y满足x＋y≥1，mx－y≤0，3x－2y＋2≥0，且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为()A．13B．2

3C．1D．2解：若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与直线3x－2y＋2＝0和直线x＋y＝1分别交于A(2，4)，B34，14，mx－y＝0经过其中一点，所以m＝2或m＝13，当m＝13时，经检验不符合题意，故m

＝2．另解：作图，旋转y＝mx(讨论m)．故选D．7．x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．解：如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距．故当a>0时，

要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1；当a＝0时，不满足题意．故填2或－1．8．(2018·南昌十校二模)已知x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，则z＝|x

－2y＋2|的最小值为________．解：作出可行域如图中阴影部分所示，z＝5·|x－2y＋2|12＋（－2）2表示的几何意义是可行域内的点到直线x－2y＋2＝0的距离的5倍．易知点A12，12

到直线x－2y＋2＝0的距离为区域内的点到直线的距离的最小值，且为325，所以zmin＝5×325＝32．故填32．9．(2018·上饶调研)若1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，求x－2y的最大值与最小值之和．解：1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，即变量x，y满足约

束条件2≤x－y＋1≤4，2≤x≤4，即x－y－3≤0，x－y－1≥0，2≤x≤4．作出可行域如图阴影部分所示，则直线z＝x－2y经过B，A时分别取得最大值、最小值，分别为4，－2，其和为2．10

．变量x，y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1．(1)设z1＝4x－3y，求z1的最大值；(2)设z2＝yx，求z2的最小值；(3)设z3＝x2＋y2，求z3的取值范围．解：作

出可行域如图中阴影部分，联立易得A1，225，B(1，1)，C(5，2)．(1)z1＝4x－3y⇔y＝43x－z13，易知平移y＝43x至过点C时，z1最大，且最大值为4×5－3×2＝14．(2)z2＝yx表示可行域内的点与原

点连线的斜率大小，显然直线OC斜率最小．故z2的最小值为25．(3)z3＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB2＜OA2＜OC2＝29．故z3∈[2，29]．11．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一

等品的概率大0．25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0．05．(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资

金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？项目用量产品工人(名)资金(万元)甲420乙85解：(1)依题意得P甲－P乙＝0．25，1－P甲＝P乙－0．05，解得P甲＝0．65，P乙＝0

．4，故甲产品为一等品的概率P甲＝0．65，乙产品为一等品的概率P乙＝0．4．(2)依题意得x，y应满足的约束条件为4x＋8y≤32，20x＋5y≤55，x≥0，y≥0，且z＝0．65x＋0．4y．作出以上不

等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l：0．65x＋0．4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．解方程组x＋2y＝8，4x＋y

＝11，得x＝2，y＝3．故M的坐标为(2，3)，所以z的最大值为zmax＝0．65×2＋0．4×3＝2．5．(2018·安徽江南十校联考)已知实数x，y满足y≤lnx，x－2y－3≤0，y＋1≥0，则z＝y＋1x的取

值范围为________．解：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝y＋1x表示区域内的点(x，y)与A(0，－1)连线的斜率k，由图可知，kmin＝0，kmax＝kAP，P为切点，设P(x0，lnx0)，kAP＝1x0，所以lnx0＋1x0＝1x0，所以x0＝1，kAP＝1

，即z＝y＋1x的取值范围为[0，1]．故填[0，1]．7．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我

们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代

入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧

的平面区域．2．线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为_____

___．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．注：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________________的问题，统称为线性规划问题．(3)满足线性约束条件的解

(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________________．线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域

内．(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据__________________________(即画出不等式组所表示的公共区域)．②设__________，画出直线l0．③观察、分析、平

移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的_______________．(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定_______________函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即___

____________，在可行域内求得使目标函数_______________．自查自纠：1．(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2．(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画

出可行域取得最值的解下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()A．(0，0)B．(－1，1)C．(－1，3)D．(2，－3)解：把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合．故选C．不等式组x－3y＋6≥0，x－y＋2

<0表示的平面区域是以下哪项所示阴影部分()ABCD解：x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B所示阴影部分．故选B．

不等式组x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为()A．3B．4C．5D．6解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易求得|BD|＝2，C点坐标(8，－2)，所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝12×2

×(2＋2)＝4．故选B．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件x＋2y≤1，2x＋y≥－1，x－y≤0，则z＝3x－2y的最小值为________．解：画出不等式组x＋2y≤1，2x＋y≥－1，x－y≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可

行域知，当直线y＝32x－z2过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由x＋2y＝1，2x＋y＝－1，解得A(－1，1)．所以zmin＝－5．故填－5．(2018·石家庄质检)若x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x－2≤0，x＋y－

2≥0，则z＝yx的最大值为________．解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，z＝yx＝y－0x－0，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知zmax＝kOA．由x－y＋1＝0，x＋y－2＝0，得A

12，32，所以kOA＝3，即zmax＝3．故填3．类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()ABCD解：(x－2y＋1

)(x＋y－3)≤0⇒x－2y＋1≥0，x＋y－3≤0或x－2y＋1≤0，x＋y－3≥0．画出平面区域后，只有C符合题意．故选C．(2)不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面

积为()A．32B．23C．43D．34解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．由x＋3y＝4，3x＋y＝4，得交点A的坐标为(1，1)．又B，C两点的坐标分别为(0，4)，0，43，故S△ABC＝12·|BC|·|xA|＝12×4－43×1＝43．故选

C．点拨：二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域(一般取坐标原点)．求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为

三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形或其他特殊图形分别求解再求和．(1)(2016·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组

|x|≤|y|，|x|＜1的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的()解：|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|＜1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C．(2)(2018·郑州预测)若不等式x2＋y2≤2所表示的

平面区域为M，不等式组x－y≥0，x＋y≥0，y≥2x－6表示的平面区域为N．现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．解：作出不等式组与不等式表示的可行域N，M，如图所示，平面区域N的面积为12×3×(6＋2)

＝12，区域M在区域N内的面积为14π×(2)2＝π2，故所求概率P＝π212＝π24．故填π24．类型二利用线性规划求线性目标函数的最优解(2017·天津)设变量x，y满足约束条件2x＋y≥0，x＋2y－2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z＝x＋y的最大值为()A．23B．1C．32D

．3解：可行域为四边形ABCD及其内部，所以直线z＝x＋y过点B(0，3)时取最大值3．故选D．点拨：线性规划问题有三类：①简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；②线性规划逆向

思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；③线性规划的实际应用．一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．应注意目标函数z＝ax＋by(ab≠0)中b的正负对z取最大还是最小的影响．(2018·天津)设变量x，y满足约束条件

x＋y≤5，2x－y≤4，－x＋y≤1，y≥0，则目标函数z＝3x＋5y的最大值为()A．6B．19C．21D．45解：作出可行域如图中阴影部分所示，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点A处取得最大值．联立直线方程x＋y＝5，－x＋y＝1，

可得点A的坐标为A(2，3)，据此可知目标函数的最大值zmax＝3×2＋5×3＝21．故选C．类型三含参数的线性规划问题(1)(北京西城区2017届期末)实数x，y满足x≤3，x＋y≥0，x－y＋6≥0．若z＝ax＋y的最大值为

3a＋9，最小值为3a－3，则a的取值范围是()A．[－1，0]B．[0，1]C．[－1，1]D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z＝ax＋y得y＝－ax＋z．因为z＝ax

＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，所以当直线y＝－ax＋z经过点B(3，9)时直线截距最大，当经过点A(3，－3)时，直线截距最小．则直线y＝－ax＋z的斜率－a满足，－1≤－a≤1，即－1≤a≤1．故选

C．(2)(2018·惠州三调)已知实数x，y满足x＋3y＋5≥0，x＋y－1≤0，x＋a≥0，若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝()A．1B．2C．4D．8解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C

－a，a－53时，z取得最小值－4，所以－a＋2·a－53＝－4，解得a＝2．另解：z＝x＋2y的最小值为－4，此时目标函数为x＋2y＋4＝0．直线x＋2y＋4＝0与直线x＋3y＋5＝0和直线x＋y－1＝0的交点分别为(－2，－1)，(6，－5)，则直线x＝－a必过

其中一点，所以a＝－6或a＝2．经检验a＝2符合题意．故选B．点拨：利用可行域及最优解求参数的方法：①若线性目标函数中含有参数，可对线性目标函数的斜率讨论从而确定其过哪个顶点时取得最值；也可直接求出线性目标函数过各个顶点时对应的参数的值，然后进行检验，从而找出符合题意的参数值；②若限制条

件中含有参数，则依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来，再寻求最优解，从而确定参数的值．(1)(2018·新乡模拟)若实数x，y满足2x－y＋2≥0，2x＋y－6≤0，0≤y≤3，且z＝mx－y(m<2)的最小值为－52，则m等于()A．－56B．1

3C．1D．54解：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z＝mx－y(m<2)的最小值为－52，当m＝0，zmin＝－3；当m<0时，zmin<－3，均不合题意，故0<m<2，即目标函数的最优

解过点A，由y＝3，2x－y＋2＝0，解得A12，3，所以－52＝m2－3，解得m＝1．故选C．(2)若不等式组x＋y－2≤0，x＋2y－2≥0，x－y＋2m≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为

()A．－3B．1C．43D．3解：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m<2，m>－1．由x＋y－2＝0，x－y＋2m＝0，解得x＝1－m，y＝1＋m，即A(1－m，

1＋m)．由x＋2y－2＝0，x－y＋2m＝0，解得x＝23－43m，y＝23＋23m，即B(23－43m，23＋23m)，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝12(2＋2m)(1＋m)－12(2＋2m)·23(1＋m)＝13(1＋m)2＝43

，解得m＝－3(舍去)或m＝1．故选B．类型四非线性目标函数的最优解问题(2016·山东)若变量x，y满足x＋y≤2，2x－3y≤9，x≥0，则x2＋y2的最大值是()A．4B．9C．10D．12解：作出可行域如图所示，点A(3，－1)到原点距

离最大，所以(x2＋y2)max＝10．故选C．点拨：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画二移三求．

其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：①截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值；②距离型：形如z＝(x－a)2

＋(y－b)2或z＝|cx＋dy＋e|；③斜率型：形如z＝y－bx－a，本题属于距离型．(2018·湘中高三联考)已知实数x，y满足y≤x－1，x≤3，x＋5y≥4，则xy的最小值是________．解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，又xy表示平

面区域内的点与原点连线的斜率的倒数．由图知，斜率均为正且直线OA的斜率最大，此时xy取得最小值，所以xymin＝1kOA＝32．故填32．类型五线性规划与整点问题设实数x，y满足不等式组x＋2y－5＞0，2x＋y－7＞0，x≥

0，y≥0，若x，y为整数，则3x＋4y的最小值为()A．14B．16C．17D．19解：画出可行域如图，令3x＋4y＝z，y＝－34x＋z4，过x轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，

0)，(5，0)处作格子线，可知当y＝－34x＋z4过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时zmin＝3×4＋4＝16．故选B．点拨：求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点，有时也可用不等式(组)

确定整点．设不等式组x＞0，y＞0，y≤－nx＋3n（n∈N*）所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(an∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝______．解：直线y＝－n

x＋3n＝－n(x－3)，过定点(3，0)，由y＝－nx＋3n＞0得x＜3，又x＞0，所以x＝1或x＝2．直线x＝2交直线y＝－nx＋3n于点(2，n)，直线x＝1交直线y＝－nx＋3n于点(1，2n)，所以整点个数an＝n＋2n＝3n．故填3n．类型六线性规划在实际问题中的应用(20

16·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0．5kg，乙材料0．3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料1

50kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．解：设某高科技企业生产产品A和产品B分别为x件，y件，生产产品A、产品B的利润之和为z元，依题意得1．5x＋0．5y≤150，x＋0．3y≤90，5x＋3y≤6

00，x∈N，y∈N，即3x＋y≤300，10x＋3y≤900，5x＋3y≤600，x∈N，y∈N，目标函数z＝2100x＋900y．作出可行域如图所示．当直线z＝2100x＋900y经过点M(60，100)时，z取得最大值．zmax＝2100

×60＋900×100＝216000．故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．故填216000．点拨：对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动

直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点．(2018·黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克、果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克、果汁15千克，用时1小时．现库存白糖10千克、

果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元．在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________元．解：设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，则4x＋y≤10，18x

＋15y≤66，3x＋y≤9，x≥0，y≥0．即4x＋y≤10，6x＋5y≤22，3x＋y≤9，x≥0，y≥0．目标函数z＝200x＋100y．作出可行域如图阴影部分所示．当直线z＝200x＋100y经过可行域上点B时，z取得最大值．解方程组4x＋

y＝10，6x＋5y＝22，得点B的坐标(2，2)，故zmax＝200×2＋100×2＝600．故填600．1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax＋By＋C＝0不经过原点，则把原点代入Ax＋By＋C，通过Ax＋By＋C的正负和不等号的方向

，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．2．求目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b＞0时，截距zb取最大值

，z也取最大值；截距zb取最小值，z也取最小值；②当b＜0时，截距zb取最大值，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值．3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决

方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是．第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点Pi逐一代入目标函数iPZ

＝mx＋ny，比较各个iPZ，得最大值或最小值．1．不等式组y≤－x＋2，y≤x－1，y≥0所表示的平面区域的面积为()A．1B．12C．13D．14解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2．由y＝－x＋2，y＝x－1，得yD＝12，

所以S△BCD＝12×(xC－xB)×12＝14．故选D．2．(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件2x＋3y－3≤0，2x－3y＋3≥0，y＋3≥0，则z＝2x＋y的最小值是()A．－15B．－9C．1D．9解：作出不等式组2x＋3y－3≤0，2x－3y＋

3≥0，y＋3≥0对应的可行域，如图中阴影部分所示．当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15．故选A．3．(2017·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件3x＋2y－6≤0，x≥0，y≥

0，则z＝x－y的取值范围是()A．[－3，0]B．[－3，2]C．[0，2]D．[0，3]解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3)处取得最小值z＝0－3＝－3．在点B(2，0)处取得最大值z＝2－0＝2．故选

B．4．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A．12万元B．16万元C．17万元D．18

万元解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，利润为z元，则3x＋2y≤12，x＋2y≤8，x≥0，y≥0，目标函数为z＝3x＋4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．由z＝3x＋4y得y＝－34x＋z4

，平移直线y＝－34x至经过点B时，直线y＝－34x＋z4的纵截距最大，此时z最大，解方程组3x＋2y＝12，x＋2y＝8，得x＝2，y＝3，即B(2，3)．所以zmax＝3x＋4y＝6＋12＝18．即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，

最大的利润是18万元．故选D．5．若变量x，y满足约束条件x－y＋1≤0，y≤1，x>－1，则(x－2)2＋y2的最小值为()A．322B．5C．92D．5解：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分

所示．设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图知C，D间的距离最小，此时z最小，且zmin＝(0－2)2＋12＝4＋1＝5．故选D．6．(2018·河北石家庄质检)若x，y满足x＋

y≥1，mx－y≤0，3x－2y＋2≥0，且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为()A．13B．23C．1D．2解：若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与直线3x－2y＋2＝0和直线x＋y＝1分别交于A(2，4)，B34，14，mx－y＝0

经过其中一点，所以m＝2或m＝13，当m＝13时，经检验不符合题意，故m＝2．另解：作图，旋转y＝mx(讨论m)．故选D．7．x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0，若z＝y－ax取得最大值的

最优解不唯一，则实数a的值为________．解：如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距．故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1；当a＝0

时，不满足题意．故填2或－1．8．(2018·南昌十校二模)已知x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，则z＝|x－2y＋2|的最小值为________．解：作出可行域如图中阴影部分所示，z＝

5·|x－2y＋2|12＋（－2）2表示的几何意义是可行域内的点到直线x－2y＋2＝0的距离的5倍．易知点A12，12到直线x－2y＋2＝0的距离为区域内的点到直线的距离的最小值，且为325，所以zmi

n＝5×325＝32．故填32．9．(2018·上饶调研)若1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，求x－2y的最大值与最小值之和．解：1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，即变量x，y满足约束条件

2≤x－y＋1≤4，2≤x≤4，即x－y－3≤0，x－y－1≥0，2≤x≤4．作出可行域如图阴影部分所示，则直线z＝x－2y经过B，A时分别取得最大值、最小值，分别为4，－2，其和为2．10．变量x，y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y

－25≤0，x≥1．(1)设z1＝4x－3y，求z1的最大值；(2)设z2＝yx，求z2的最小值；(3)设z3＝x2＋y2，求z3的取值范围．解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A1，225

，B(1，1)，C(5，2)．(1)z1＝4x－3y⇔y＝43x－z13，易知平移y＝43x至过点C时，z1最大，且最大值为4×5－3×2＝14．(2)z2＝yx表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC斜率最小．故z2的最小值为25．(3)z3＝x2＋y2表

示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB2＜OA2＜OC2＝29．故z3∈[2，29]．11．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大0．25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0．05．(1)分别求甲、乙

产品为一等品的概率P甲，P乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？项目用量产品工人(名)资金(

万元)甲420乙85解：(1)依题意得P甲－P乙＝0．25，1－P甲＝P乙－0．05，解得P甲＝0．65，P乙＝0．4，故甲产品为一等品的概率P甲＝0．65，乙产品为一等品的概率P乙＝0．4．(2)依题意得x，y应满足的约束条件为4x＋8y≤32，20x＋5y≤5

5，x≥0，y≥0，且z＝0．65x＋0．4y．作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l：0．65x＋0．4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1

与原点的距离最大，此时z取最大值．解方程组x＋2y＝8，4x＋y＝11，得x＝2，y＝3．故M的坐标为(2，3)，所以z的最大值为zmax＝0．65×2＋0．4×3＝2．5．(2018

·安徽江南十校联考)已知实数x，y满足y≤lnx，x－2y－3≤0，y＋1≥0，则z＝y＋1x的取值范围为________．解：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝y＋1x表示区域内的点(x，y)与A(0，－1)连线的斜率k，由图可知，kmin＝0，kmax＝

kAP，P为切点，设P(x0，lnx0)，kAP＝1x0，所以lnx0＋1x0＝1x0，所以x0＝1，kAP＝1，即z＝y＋1x的取值范围为[0，1]．故填[0，1]．7．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二

元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的

平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由A

x0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是

要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．注：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的_________

_______的问题，统称为线性规划问题．(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________________．线性目标函数的最值常在可行域的边

界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据__________________________(即画出不等式组所表示的公共区域)．②设__________，画出直线l0．③观察、分析、平移直线l0，从

而找到最优解．④最后求得目标函数的_______________．(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定_______________函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即_________

______，在可行域内求得使目标函数_______________．自查自纠：1．(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2．(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值

或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()A．(0，0)B．(－1，1)C．(－1，3)D．(2，－3)解：把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合．故选C．不等式组

x－3y＋6≥0，x－y＋2<0表示的平面区域是以下哪项所示阴影部分()ABCD解：x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B所示阴影部分．故选B．不等式组x＋y－2≥0，x＋2y－4

≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为()A．3B．4C．5D．6解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易求得|BD|＝2，C点坐标(8，－2)，所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝12×2

×(2＋2)＝4．故选B．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件x＋2y≤1，2x＋y≥－1，x－y≤0，则z＝3x－2y的最小值为________．解：画出不等式组x＋2y≤1，2x＋y≥－1，x－y≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝32x

－z2过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由x＋2y＝1，2x＋y＝－1，解得A(－1，1)．所以zmin＝－5．故填－5．(2018·石家庄质检)若x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x－2≤0，x＋y－2≥0，则z＝yx的最

大值为________．解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，z＝yx＝y－0x－0，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知zmax＝kOA．由x－y＋1＝0，x＋y－2＝0，得A12，32，所以kOA

＝3，即zmax＝3．故填3．类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()ABCD解：(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇒x－2y＋1≥0，x＋y－3≤0

或x－2y＋1≤0，x＋y－3≥0．画出平面区域后，只有C符合题意．故选C．(2)不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积为()A．32B．23C．43D．34解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．由

x＋3y＝4，3x＋y＝4，得交点A的坐标为(1，1)．又B，C两点的坐标分别为(0，4)，0，43，故S△ABC＝12·|BC|·|xA|＝12×4－43×1＝43．故选C．点拨：二元一次不等式

(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域(一般取坐标原点)．求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯

形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形或其他特殊图形分别求解再求和．(1)(2016·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组|x|≤|y|，|x|＜1的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的()解：|x|＝|y|把平面分成四部分，

|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|＜1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C．(2)(2018·郑州预测)若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组x－y≥0，x＋y≥0，y≥2x－6表示的平面区域为N

．现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．解：作出不等式组与不等式表示的可行域N，M，如图所示，平面区域N的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为14π×(2)2＝π2，故所求概率P＝π212＝π24．故填π24．类型

二利用线性规划求线性目标函数的最优解(2017·天津)设变量x，y满足约束条件2x＋y≥0，x＋2y－2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z＝x＋y的最大值为()A．23B．1C．32D．3解：可行域为四边形ABCD及其内部，所以直线z＝x＋y

过点B(0，3)时取最大值3．故选D．点拨：线性规划问题有三类：①简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；②线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；③线性规划的实际应用．一般情况下，目标函数的最大

或最小值会在可行域的端点或边界上取得．应注意目标函数z＝ax＋by(ab≠0)中b的正负对z取最大还是最小的影响．(2018·天津)设变量x，y满足约束条件x＋y≤5，2x－y≤4，－x＋y≤1，y≥0

，则目标函数z＝3x＋5y的最大值为()A．6B．19C．21D．45解：作出可行域如图中阴影部分所示，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点A处取得最大值．联立直线方程x＋y＝5，－x＋y＝1，可得点A的坐标为A(2，3)，据此可知

目标函数的最大值zmax＝3×2＋5×3＝21．故选C．类型三含参数的线性规划问题(1)(北京西城区2017届期末)实数x，y满足x≤3，x＋y≥0，x－y＋6≥0．若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则a的取值范围是()A．[－1，0]B．[0，1]C．[－

1，1]D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z＝ax＋y得y＝－ax＋z．因为z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，所以当直线y＝－ax＋z经过点B(3，9)时直线截距最大，当经过点A(3，－3)时，直线截距最小．则直线y

＝－ax＋z的斜率－a满足，－1≤－a≤1，即－1≤a≤1．故选C．(2)(2018·惠州三调)已知实数x，y满足x＋3y＋5≥0，x＋y－1≤0，x＋a≥0，若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝()A．1B．2C．4D．8解：作

出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C－a，a－53时，z取得最小值－4，所以－a＋2·a－53＝－4，解得a＝2．另解：z＝x＋2y的最小值为－4，此时目标函数为x＋2y＋4＝0．直线x＋2y＋4＝0与直线x＋3y＋5＝0和直线x＋y－1＝0的交点分别为

(－2，－1)，(6，－5)，则直线x＝－a必过其中一点，所以a＝－6或a＝2．经检验a＝2符合题意．故选B．点拨：利用可行域及最优解求参数的方法：①若线性目标函数中含有参数，可对线性目标函数的斜率讨论

从而确定其过哪个顶点时取得最值；也可直接求出线性目标函数过各个顶点时对应的参数的值，然后进行检验，从而找出符合题意的参数值；②若限制条件中含有参数，则依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来，再寻求最优解，从而确定参数

的值．(1)(2018·新乡模拟)若实数x，y满足2x－y＋2≥0，2x＋y－6≤0，0≤y≤3，且z＝mx－y(m<2)的最小值为－52，则m等于()A．－56B．13C．1D．54解：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z＝mx－y

(m<2)的最小值为－52，当m＝0，zmin＝－3；当m<0时，zmin<－3，均不合题意，故0<m<2，即目标函数的最优解过点A，由y＝3，2x－y＋2＝0，解得A12，3，所以－52＝m2－3，解得m＝1．故选C．(2)若不等式组x＋y－2

≤0，x＋2y－2≥0，x－y＋2m≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为()A．－3B．1C．43D．3解：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m<2，m>－1．由x＋y－2＝0，x－y＋2m＝0，解得x＝1－m，y＝1

＋m，即A(1－m，1＋m)．由x＋2y－2＝0，x－y＋2m＝0，解得x＝23－43m，y＝23＋23m，即B(23－43m，23＋23m)，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝12

(2＋2m)(1＋m)－12(2＋2m)·23(1＋m)＝13(1＋m)2＝43，解得m＝－3(舍去)或m＝1．故选B．类型四非线性目标函数的最优解问题(2016·山东)若变量x，y满足x＋y≤2，2x－3y≤9，x≥

0，则x2＋y2的最大值是()A．4B．9C．10D．12解：作出可行域如图所示，点A(3，－1)到原点距离最大，所以(x2＋y2)max＝10．故选C．点拨：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标

函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：

①截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值；②距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2或z＝|cx＋dy＋e|；③斜率型：形如z＝y－bx－a，本题属

于距离型．(2018·湘中高三联考)已知实数x，y满足y≤x－1，x≤3，x＋5y≥4，则xy的最小值是________．解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，又xy表示平面区域内的点

与原点连线的斜率的倒数．由图知，斜率均为正且直线OA的斜率最大，此时xy取得最小值，所以xymin＝1kOA＝32．故填32．类型五线性规划与整点问题设实数x，y满足不等式组x＋2y－5＞0，2x＋y－7＞0，x

≥0，y≥0，若x，y为整数，则3x＋4y的最小值为()A．14B．16C．17D．19解：画出可行域如图，令3x＋4y＝z，y＝－34x＋z4，过x轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y＝－34x＋z4过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，

(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时zmin＝3×4＋4＝16．故选B．点拨：求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点，有时也可用不等式(组)确定整点．设不等式组x＞0，y＞0，y≤－nx＋3n（n∈N*）所表示

的平面区域为Dn，记Dn内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(an∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝______．解：直线y＝－nx＋3n＝－n(x－3)，过定点(3，0)，由y＝－nx＋3n＞0得x＜3，又x＞0，所以x＝1或x＝2．直线x＝2交直

线y＝－nx＋3n于点(2，n)，直线x＝1交直线y＝－nx＋3n于点(1，2n)，所以整点个数an＝n＋2n＝3n．故填3n．类型六线性规划在实际问题中的应用(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5kg，

乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0．5kg，乙材料0．3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品

A、产品B的利润之和的最大值为________元．解：设某高科技企业生产产品A和产品B分别为x件，y件，生产产品A、产品B的利润之和为z元，依题意得1．5x＋0．5y≤150，x＋0．3y≤90，5x

＋3y≤600，x∈N，y∈N，即3x＋y≤300，10x＋3y≤900，5x＋3y≤600，x∈N，y∈N，目标函数z＝2100x＋900y．作出可行域如图所示．当直线z＝2100x＋900y经过点M(60，100)时，z取得最大值．zm

ax＝2100×60＋900×100＝216000．故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．故填216000．点拨：对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通

过这个凸多边形在第一象限的某个顶点．(2018·黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克、果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克、果汁15千克，用时1小时．现库存白糖10千克、果汁66千克

，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元．在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________元．解：设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，则4x＋y≤10，18x＋15y≤66，3x＋y≤9，x≥0，y≥0．

即4x＋y≤10，6x＋5y≤22，3x＋y≤9，x≥0，y≥0．目标函数z＝200x＋100y．作出可行域如图阴影部分所示．当直线z＝200x＋100y经过可行域上点B时，z取得最大值．解方程组4x＋y＝10，6x＋5y＝22，得点B的坐标(2，2)，故zmax＝200

×2＋100×2＝600．故填600．1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax＋By＋C＝0不经过原点，则把原点代入Ax＋By＋C，通过Ax＋By＋C的正负和不等号的

方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．2．求目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．最优解一般在顶

点或边界取得．但要注意：①当b＞0时，截距zb取最大值，z也取最大值；截距zb取最小值，z也取最小值；②当b＜0时，截距zb取最大值，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值．3．如果可行域是一个多边形，

那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是．第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．特别地，当线性目标函数

的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点Pi逐一代入目标函数iPZ＝mx＋ny，比较各个iPZ，得最大值或最小值．1．不等式组y≤－x＋2，y≤x－1，y≥0所表示的平面区域的面积为()A．1B．12C．13D．14解：作出不等式

组对应的区域为如图△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2．由y＝－x＋2，y＝x－1，得yD＝12，所以S△BCD＝12×(xC－xB)×12＝14．故选D．2．(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件2x＋3y－3≤0，2x－3y＋3≥0，y＋3≥0，则z＝2x＋y的最小值

是()A．－15B．－9C．1D．9解：作出不等式组2x＋3y－3≤0，2x－3y＋3≥0，y＋3≥0对应的可行域，如图中阴影部分所示．当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，

zmin＝2×(－6)－3＝－15．故选A．3．(2017·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件3x＋2y－6≤0，x≥0，y≥0，则z＝x－y的取值范围是()A．[－3，0]B．[－3，2]C．[0，2]D．[0，3]解：绘制不等式

组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3)处取得最小值z＝0－3＝－3．在点B(2，0)处取得最大值z＝2－0＝2．故选B．4．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元

、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，利润为z元，则3x＋2y≤12，x＋2y≤8，x≥0，y≥0，目标函数为z＝3x＋4y．作出二元一次不等式组所

表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．由z＝3x＋4y得y＝－34x＋z4，平移直线y＝－34x至经过点B时，直线y＝－34x＋z4的纵截距最大，此时z最大，解方程组3x＋2y＝12，x＋2y＝8，得x＝2，y＝3，即B(2，3)．所

以zmax＝3x＋4y＝6＋12＝18．即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元．故选D．5．若变量x，y满足约束条件x－y＋1≤0，y≤1，x>－1，则(x－2)2＋y2的最小值为()A．322

B．5C．92D．5解：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图知C，D间的距离最小，此时z最小，且zmin＝(0－2)2＋12＝4＋1＝5．故选D．6．(2018·河北石家

庄质检)若x，y满足x＋y≥1，mx－y≤0，3x－2y＋2≥0，且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为()A．13B．23C．1D．2解：若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与直线3x－2y＋2＝0和直线x＋y＝

1分别交于A(2，4)，B34，14，mx－y＝0经过其中一点，所以m＝2或m＝13，当m＝13时，经检验不符合题意，故m＝2．另解：作图，旋转y＝mx(讨论m)．故选D．7．x，y满足约束条件x＋y－

2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．解：如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距．故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则

a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1；当a＝0时，不满足题意．故填2或－1．8．(2018·南昌十校二模)已知x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1

，则z＝|x－2y＋2|的最小值为________．解：作出可行域如图中阴影部分所示，z＝5·|x－2y＋2|12＋（－2）2表示的几何意义是可行域内的点到直线x－2y＋2＝0的距离的5倍．易知点A12，12到直线x－2y＋2＝0的距离为区域内的点到直线的距离的

最小值，且为325，所以zmin＝5×325＝32．故填32．9．(2018·上饶调研)若1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，求x－2y的最大值与最小值之和．解：1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，即变量

x，y满足约束条件2≤x－y＋1≤4，2≤x≤4，即x－y－3≤0，x－y－1≥0，2≤x≤4．作出可行域如图阴影部分所示，则直线z＝x－2y经过B，A时分别取得最大值、最小值，分别为4，－2，其和为2．10．变量x，y满足x－4y

＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1．(1)设z1＝4x－3y，求z1的最大值；(2)设z2＝yx，求z2的最小值；(3)设z3＝x2＋y2，求z3的取值范围．解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得

A1，225，B(1，1)，C(5，2)．(1)z1＝4x－3y⇔y＝43x－z13，易知平移y＝43x至过点C时，z1最大，且最大值为4×5－3×2＝14．(2)z2＝yx表示可行域内的点与原点连线的斜率

大小，显然直线OC斜率最小．故z2的最小值为25．(3)z3＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB2＜OA2＜OC2＝29．故z3∈[2，29]．11．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等

品的概率比乙产品为一等品的概率大0．25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0．05．(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分

别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？项目用量产品工人(名)资金(万元)甲420乙85解：(1)依题意得P甲－P乙＝0．25，1－P甲＝P乙－0．05，解得P甲＝0．65，P乙＝0．4，故甲产品为一等品的概率P甲＝

0．65，乙产品为一等品的概率P乙＝0．4．(2)依题意得x，y应满足的约束条件为4x＋8y≤32，20x＋5y≤55，x≥0，y≥0，且z＝0．65x＋0．4y．作出以上不等式组所表示的平面区域

(如图阴影部分)，即可行域．作直线l：0．65x＋0．4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．解方程组x＋2y＝8，4x＋y＝11，得x＝2，y＝3．故M的坐标为(2

，3)，所以z的最大值为zmax＝0．65×2＋0．4×3＝2．5．(2018·安徽江南十校联考)已知实数x，y满足y≤lnx，x－2y－3≤0，y＋1≥0，则z＝y＋1x的取值范围为________．解：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝y＋1x表示区域内的点

(x，y)与A(0，－1)连线的斜率k，由图可知，kmin＝0，kmax＝kAP，P为切点，设P(x0，lnx0)，kAP＝1x0，所以lnx0＋1x0＝1x0，所以x0＝1，kAP＝1，即z＝y＋1x的取值范围为[0，1]．故填[0，1]

．