【文档说明】(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习19《平面向量的数量积及向量的应用》(含详解).doc，共(30)页，2.101 MB，由MTyang资料小铺上传

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考点19平面向量的数量积及向量的应用1．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个

平面向量的垂直关系.2．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.一、平面向量的数量积1．平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非

零向量,ab，我们把数量||||cosab叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab,即ab||||cosab，其中θ是a与b的夹角.【注】零向量与任一向量的数量积为0.（2）投影的概念设非零向量a与b的夹角是θ，则||cos

a(||cosb)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a与b的夹角为锐角、钝角、直角时向量a在b方向上的投影的情形，其中1OB||cosa，它的意义是

，向量a在向量b方向上的投影长是向量1OB的长度.（3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到ab的几何意义：数量积ab等于a的长度||a与b在a方向上的投影||cosb的乘积.2．平面向量数量积的运算律已知向量,,abc和实数,则①交换律：abba；

②数乘结合律：()()abab=()ab；③分配律：()abc=acbc二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量1122(,),(,)xyxyab，是a与b的夹角.（1）数量积：ab1212||||co

sxxyyab.（2）模：2211||xyaaa.（3）夹角：cos||||abab121212122222xxyyxyxy.（4）垂直与平行：0abab12120xxyy；a∥b⇔a

·b=±|a||b|.【注】当a与b同向时,||||abab；当a与b反向时,ab||||ab.（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔121212222212||x

xyyxyxy.三、平面向量的应用1．向量在平面几何中常见的应用已知1122(,),(,)xyxyab.（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：∥abab1221xyxy0()0b（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形

、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：0abab1212xxyy0（其中,ab为非零向量）（3）求夹角问题，若向量a与b的夹角为，利用夹角公式：cos||||abab12121212222

2xxyyxyxy（其中,ab为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||a1122xy，或||||ABAB223434()()xxyy（其中,AB两点的坐标分别为33

44(,),(,)xyxy）（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题.2．向量在物理中常见的应用（1）向量与力、速度、加速度及位移力、速度、加速度与位移的合成与

分解，实质上就是向量的加减法运算.（2）向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即W||||cos(FsFs为F和s的夹角).考向一平面向量数量积的运算平面向量数量积的类型及求法：(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是

夹角公式ab||||cosab；二是坐标公式ab1212xxyy.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.典例1若向量与向量共线,则A．B．C

．92D．172【答案】D【解析】因为向量与向量共线，所以，解得.即，，所以=117822.选D．典例2已知向量1,aba与b的夹角为，则2aba__________．【答案】【解析】由向量1,aba与b

的夹角为，得22222cos4512abaaabaab.1．在平行四边形ABCD中，AB∥CD，2221ABAD，，，，则ACDB=A．3B．2C．3D．42．已知菱形ABCD的边长为

2，60ABC，则BDCDA．4B．6C．23D．43考向二平面向量数量积的应用平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos||||abab(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问

题．(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.典例3在平行四边形ABCD中，113,2,,,32A

BADAPABAQADuuuruuuruuuruuur若12,CPCQuuruuur则ADCA．5π6B．34C．2π3D．π2【答案】C【解析】如图所示,平行四边形ABCD中，3,2ABAD，11,32APABAQAD，23CPCBBPADAB，12CQC

DDQABAD，因为12CPCQ，所以2132CPCQADABABAD22214323ABADABAD222143232cos12323BAD，则1cos2BAD，π,3BAD所以π2ππ33ADC

.故选C．3．已知向量(2,1),(,1)ab,且a与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是.考向三平面向量的模及其应用平面向量的模及其应用的类型与解题策略：(1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式2||aaaa，或

坐标公式22||xya的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．(2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利

用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．(3)由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用.典例4已知平面向量,ab的夹角为2π3，且1,2ab，则abA．3B．3C．7D．7【答案】B【解析】2222

π1||||||2||||cos14212332ababab，所以ab3.故选B．4．已知，.当最小时，___________.考向四平面向量的应用1．向量与平面几何综合问题的解法与步骤：(1)向量

与平面几何综合问题的解法①坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．②基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．【注】用坐标法解题时，建立适当

的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底．(2)用向量解决平面几何问题的步骤①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系.2．利用向量求解三角函数

问题的一般思路：(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解．(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的

数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题．(4)解三角形．利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题.3．用向量法解决物理问题的步骤如下

：(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题.4．常见的向量表示形式：(1)重心．若点G是ABC△的重心，则GAGBGC0或1(

)3PGPAPBPC=(其中P为平面内任意一点)．反之，若GAGBGC0，则点G是ABC△的重心．(2)垂心．若H是ABC△的垂心，则HAHBHBHCHCHA.反之，若HAHBHBHC

HCHA，则点H是ABC△的垂心．(3)内心．若点I是ABC△的内心，则||||||BCIACAIBABIC0.反之，若||||BCIACA||IBABIC0，则点I是ABC△的内心．(4)外心．若点O是ABC△的外心，则()()()0OAO

BBAOBOCCBOCOAAC或||||||OAOBOC.反之，若||||||OAOBOC，则点O是ABC△的外心.典例5等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为A．45B．35C．45D

．35【答案】A【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设(2,0),(0,2)AaBa，则(,0),(0,)FaEa，∴(2,),(,2)AEaaBFaa.设向量,AEBF的夹角为，则22(2,)(,2)44co

s55||||55AEBFaaaaaaAEBFaa.【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模

，进而求得夹角的余弦值.5．扇形OAB的半径为1，圆心角为，P是上的动点，则的最小值是A．0B．C．D．典例6已知2cos,2sinxxa，ππsin,cos66xxb，函数cos,fxab.（Ⅰ）求函数的零点；（Ⅱ）若锐角ABC△的三个

内角、、的对边分别是、、，且，求bca的取值范围.【解析】（Ⅰ）由条件可知:πππ2cossin2sincos2sin2666xxxxxab，∴π2sin2π6cos,sin226xfxx

ababab.故函数的零点满足πsin206x,由π2π,6xkkZ，解得ππ212kx,kZ．（Ⅱ）由正弦定理得sinsinsinbcBCaA①.由（Ⅰ）知πsin26fxx，而，得

πsin216A，∴ππ22π,62AkkZ，又0,πA，得π3A.∵πABC，2π3CB，代入①化简得：2ππ33sinsin3sinsincosπ36222

sinsinsinsin6BBBBBbcBaAAA，又在锐角ABC△中，有π02B，又2ππ032CB，ππ62B，∴ππ2π363B，则有3πsin126B

，即：.【名师点睛】利用向量的共线与垂直和数量积之间的关系建立三角方程或三角函数式，从而解决三角函数中的求值、求角或求最值等问题是高考考查的热点.6．在△ABC中,内角,,ABC的对边分别为,,a

bc,且向量(cos(),sin()),ABABm(cos,sin)BBn，若35mn.（1）求sinA的值；（2）若42,5ab,求BA在BC方向上的投影.典例7一质点受到平面上的三个力

F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．【答案】27【解析】由题意知F3=−(F1＋F2)，∴|F3|=|F1＋F2|，∴|F3|2=|F1|2＋

|F2|2＋2|F1||F2|cos60°=28，∴|F3|=27.7．在水流速度为4km/h的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以8km/h的速度航行，则船自身航行的速度大小为____________km/h.1．已知向

量，，且，则A．B．C．D．2．已知向量(1,2),(3,4)ab，则2=aabA．0B．－1C．2或－2D．123．已知共点力F1=(lg2，lg2)，F2=(lg5，lg2)作用在物体M上，产生位移s=(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为A．lg2B．l

g5C．1D．24．设向量，满足且，则向量在向量方向的投影为A．-2B．-1C．1D．25．已知向量(2,1),(1,7)ab，则下列结论正确的是A．abB．∥abC．()aabD．()aab6．已知向量(2

,)ta，(1,3)b，若a，b的夹角为钝角，则t的取值范围是A．23tB．23tC．23t且6tD．6t7．在矩形ABCD中，4AB=uuur,2AD．若点M，N分别是CD，BC的中点，则

AMMNA．4B．3C．2D．18．在△ABC中，90A，1AB，2AC，设点D、E满足ADAB，(1)AE()ACR，若5BECD，则A．13B．2C．95D．39．ABC△中，设,,ABBC

CAcab，若0ccab，则ABC△是A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定其形状10．已知向量a、b为单位向量，且ab在a的方向上的投影为312，则向量a与b的夹角为A．6

B．4C．π3D．π211．已知向量,则“”是“与的夹角为锐角”的A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件12．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则(

)PAPBPC的最小值是A．－32B．－2C．－43D．－113．已知点3,0A，0,3B，cos,sinC，若1ACBC，则πsin4的值为A．23B．22C．23D．1214．已知是ABC△内部一点

，，且，则OBC△的面积为A．B．C．D．15．平面直角坐标系中，,ij分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，向量2ai，bij，则以下说法正确的是A．abB．abbC．1abD．∥ab16．已知12,ee是互相垂直的单位向量,向量123

aee,12bee,则ab__________．17．平面向量与的夹角为，，，则__________．18．已知3,4a，,6tb，且a，b共线，则向量a在b方向上的投影为__________

．19．如图，在矩形ABCD中，2AB，2BC，点E为BC的中点，点F在边CD上，且2DFFC，则AEBF的值是．20．在平行四边形ABCD中，4,2,4ABADABAD，点P在边CD上，则APPC的取值范围是．

21．设向量(cos,sin),(cos,sin)ab，其中0π，若|2||2|abab，则.22．已知向量与的夹角为，且，.若，且,则实数的值为__________．23．在平行四边形ABCD中，12,,,33ABADCECBCFCDa

b.（1）用,ab表示EF；（2）若1,4ab，60DAB，求ACFE的值.24．如图，在四边形中，，，，且.（1）用表示；（2）点在线段上，且，求的值.1．（2019年高考全国I卷文数）已

知非零向量a，b满足||2||ab，且()abb，则a与b的夹角为A．π6B．π3C．2π3D．5π62．（年高考全国II卷文数）已知向量a，b满足||1a，1ab，则(2)aabA．4B．3C．2D．03．（浙江）已知a，b，e是平面

向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A．3−1B．3+1C．2D．2−34．（新课标全国Ⅱ文科）设非零向量a，b满足+=abab，则A．a

⊥bB．=abC．a∥bD．ab5．（北京文科）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“0<mn”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（天津文科）在如图的平面图形中，已知1,2

,120OMONMON,2,2,BMMACNNA则·BCOM的值为A．15B．9C．6D．07．（2019年高考北京卷文数）已知向量a=（–4，3），b=（6，m），且ab，则m=__________．8．（20

19年高考全国III卷文数）已知向量(2,2),(8,6)ab，则cos,ab___________.9．（新课标全国Ⅰ文科）已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．10．（天津文科

）在ABC△中，60A∠，3AB，2AC．若2BDDC，AEAC()ABR，且4ADAE，则的值为________．11．（浙江）已知向量a，b满足1,2,ab则abab的最小值是________，最大值是______

_____．12．（2019年高考江苏卷）如图，在ABC△中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若6ABACAOEC，则ABAC的值是___________．13．（2019

年高考天津卷文数）在四边形ABCD中，,23,5,30ADBCABADA∥，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BDAE_____________．变式拓展1．【答案】C【解析】在平行四边形ABCD中，∥ABCD，(2,2),(2,1)ABAD

，则(4,1)ACABAD，(0,3)DBABAD，则40(1)(3)3ACDB．故选C．2．【答案】B【解析】如图所示，菱形ABCD的边长为2，60ABC，∴120C，∴22222222cos12012BD，

∴23BD，且30BDC，∴|||3cos302322|6BDCDBDCD，故选B．3．【答案】1(,2)(2,)2【解析】∵a与b的夹角为钝角，∴0ab，即(2,1)(,1)210，∴12

.又当a与b反向时，夹角为180°，即||||abab，则22151，解得2.应该排除反向的情形，即排除2，于是实数λ的取值范围为1(,2)(2,)2.【误区警示】依据两向

量夹角θ的情况,求向量坐标中的参数时,需注意当夹角为0°时,cos10;当夹角为180°时,cos10,这是容易忽略的地方.4．【答案】【解析】，得，，当时，有最小值.5．【答案】B【解析】根据题意建立平面直角坐标

系，如图所示，设点，则，，，，，由图形可知，当，时，上式取得最小值是．故选B．6．【解析】（1）∵35mn，3coscossinsin5ABBABB，3cos5A，又A为△ABC

的内角，24sin1cos5AA.（2）在△ABC中，由正弦定理sinsinabAB，得4254sin5B，2sin2B，,baBA，B为锐角，22cos1sin2BB，由余弦定理2222cosabcbcA，得233225255cc，解得7

c或1c（舍去）.∴BA在BC方向上的投影为72cos2cB.7．【答案】54【解析】如图，AB代表水流速度，AC代表船自身航行的速度，而AP代表实际航行的速度，所以有2222||||848045ACBPABAP，所以船自身航行的速度大

小为45km/h.1．【答案】D【解析】∵，，∴，又，∴，∴.故选D.2．【答案】A【解析】因为(1,2),(3,4)ab，所以22145,13245aaab，所以2550aa

b.故选A．考点冲关3．【答案】D【解析】由题意，共点力F1=(lg2，lg2)，F2=(lg5，lg2)作用在物体M上，其合力为F1+F2=（1，2lg2）,产生位移s=(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W=(F1+F2)故.4．【答案】A【解析】由题意可知：，，则

cos2abab.故选A.5．【答案】D【解析】选项A：ab=21(1)750，所以选项A错误；选项B：2711，∴a不平行于b，所以选项B错误；选项C：(1,8)ab，因为()(2,1)(1,8)100a

ab，所以选项C错误；选项D：(3,6)ab，因为()(2,1)(3,6)0aab，所以选项D正确，故选D.6．【答案】C【解析】若a，b的夹角为钝角，则0ab且不反向共线，由230t

ab，得23t.当向量(2,)ta，(1,3)b共线时，23t，得6t，此时2ab.所以23t且6t.故选C．7．【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AMADDMADAB，112

2MNCNCMCBCD11112222BCDCADAB，∴111222AMMNADABADAB221111||||41622424ADAB.故选C．8．【答案】D【解析】因为

90A，所以0ABAC，所以()()BECDAEABADAC22[(1)]()(1)4(1)34ACABABACACAB.由已知，345，则3.故选D.9．【答案】C【解析】因为，所以,则A为钝角，ABC△是钝角三角形.故选

C．10．【答案】A【解析】设向量a与b的夹角为，因为向量a、b为单位向量，且ab在a的方向上的投影为312，所以3()||12abaa，即3112ab，则3cos121cos

ab，又0π，所以π6，故选A．11．【答案】C【解析】若与的夹角为锐角,则,且与不平行,所以,得x>0,且,所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选C．12．【答案】A【解析】以BC

为x轴，以BC边上的高为y轴建立平面直角坐标系，如图，则0,3A，设,Pxy，则222233()22232222PAPBPCxyyxyuuruuruuur，所以当30,2

xy时，()PAPBPC取得最小值32.故选A．13．【答案】C【解析】(cos3,sin)ACaa=-，(cos,sin3)BCaa=-，cos(cos3)sin(sin3)ACBCaaaa\?-+-22c

os3cossin3sin13(sincos)aa=-+，则2sincos3，π2222sin(sincos)42233aaa骣琪\+=+=?琪桫.故选C.14．【答案】A【解析】由可知点O是ABC△的重心，

13OBCABCSS△△，又，所以，则13OBCABCSS△△=，故选A．15．【答案】B【解析】由题意不妨设1,0,0,1ij，则22,0ai，1,1bij，据此逐一考查所给的选项：，，则，选项A错误

；，则，选项B正确；，则，选项C错误；不存在实数满足，则∥ab不成立，选项D错误.故选B.16．【答案】2【解析】由题得1212))(3(30012abeeee.17．【答案】【解析】由，得，又，且向量的夹角为，，.18．【答案】5【解析】由a与b共线得：3640t

，解得：92t.向量a在b方向上的投影为：93462cos,581364abaabb.19．【答案】34【解析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，则00A，，2,1E，20B，，22,23

F，∴2,1AE，12,23BF，∴24233AEBF.20．【答案】250,4【解析】因为点P在边CD上，所以设01DPλDCλABλ，则λAPADDPAADB，1PCλAB，所以1P

CAAPDλλABAB223141161612445224λλλλλλ，又01≤≤，所以2504APPC，故答案为250,4．2

1．【答案】π2【解析】将|2||2|abab的两边平方并化简可得，223()8abab，又∵a，b是单位向量，∴0ab，即coscossinsin0，即cos()0，又∵0π，∴π2

.22．【答案】127【解析】由题意可得，即，整理得，因为向量与的夹角为，且，，所以，解得127.23．【解析】（1）212121333333EFCFCECDCBABADab.（2）∵1,4ab，60DAB，∴cos602abab

.由图可得：ACABADab，∴22212112216433333333ACFEababaabb.24．【解析】（1）因为，所以.因为，所以.（2）因为，

所以.因为，所以点共线.因为，所以.以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.因为，，，所以.所以，.因为点在线段上，且，所以，所以.因为，所以55253cos552103CPCBPCBCPCB.1．【

答案】B【解析】因为()abb，所以2()abbabb=0，所以2abb，所以cos=22||12||2abbabb，所以a与b的夹角为π3，故选B．【名师点睛】对向量夹角的

计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]．2．【答案】B【解析】因为22222||1213aabaaba所以选B.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查

考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.3．【答案】A【解析】设，则由得，由b2−4e·b+3=0得因此|a−b|的最小值为圆心到直线的距离23=32减去半径1，为选A.4．【答案】A【解析】由+=abab平方

得222222aabbaabb，即0ab，则ab.故选A.【名师点睛】已知1122(,),(,)xyxyab.(1)向量平行：1221xyxy∥ab，,,0R∥abbab,11BAACOAOB1OC.(2)

向量垂直：121200xxyyabab.(3)向量运算：221212(,),||,||||cos,xxyyabaaababab.5．【答案】A【解析】若0，使mn，则两向量,mn反向，夹角是180，那么cos180

mnmn0mn；若0mn，那么两向量的夹角为90,180，并不一定反向，即不一定存在负数，使得mn，所以是充分而不必要条件.故选A.6．【答案】C【解析】如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，

，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应

用．7．【答案】8【解析】向量(4,3),(6,)m，，abab则046308mm，，ab.【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.8．【答案】210【解析】222228262cos,||||

1022(8)6ababab．【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．9．【答案】7【解析】由题得(1,3)mab，因为()0aba，所以(1)230m，解得7m

．【名师点睛】如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(b≠0)，则ab的充要条件是x1x2+y1y2=0．10．【答案】311【解析】由题可得1232cos603,33ABACADABAC

，则12()33ADAEABAC2123()34934333311ACAB．【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公

式表示向量，则可获解．本题中,ABAC已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．11．【答案】4，25【解析】设向量,ab的夹角为，则2212212cos54cosab，2212212cos54cosab，则54cos54cos

abab，令54cos54cosy，则221022516cos16,20y，据此可得：maxmin2025,164abababab，即abab的最小值是4，最大值是25．【名师点睛】本题通过设向量,ab的夹

角为，结合模长公式，可得54cosabab54cos，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．12．【答案】3【解析】如图，过

点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．3632AOECADACAEABACACAE223131123233ABACACABABACABACABAC

22223211323322ABACABACABACABACABAC，得2213,22ABAC即3,ABAC故3ABAC.【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑

推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13．【答案】1【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，23,5,ABAD则(23,0)B，535(,)22D.因为AD∥BC，30BAD，所以30ABE，

因为AEBE，所以30BAE，所以直线BE的斜率为33，其方程为3(23)3yx，直线AE的斜率为33，其方程为33yx.由3(23),333yxyx得3x，1y，所以(3,1)E.所以35(,)(3

,1)122BDAE.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.直通高考