【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案7．1《不等关系与不等式》(含详解).doc，共(8)页，218.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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7．1不等关系与不等式1．两个实数大小的比较(1)a＞b⇔a－b________．(2)a＝b⇔a－b________．(3)a＜b⇔a－b________．2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔__________．(

2)传递性：a>b，b>c⇒__________．(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c．(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________．(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒___

_______．※(6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d．(7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________．※(8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒ac＞bd．※(9)不等式

取倒数：a>b，ab>0⇒1a＜1b．(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________．(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．注：(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；(7)(8)说明，都

是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．自查自纠：1．＞0＝0＜02．(1)b<a(2)a>c(3)>(4)ac>bcac<bc(5)a＋c>b＋d(7)ac>bd(10)an>bn(n∈N且n≥2)(11)na>nb(n∈N且n≥2)下列说法正确的

是()A．若ab>1，则a>bB．一个不等式的两边加上或乘以同一个实数，不等号方向不变C．一个非零实数越大，则其倒数就越大D．a>b>0，c>d>0⇒ad>bc解：举反例易知A，B，C均错误，c>d>0⇒1d>1c>0，故选项D正确．故选D．(2016·四川成都模拟)若a＜b

＜0，则下列不等式中一定成立的是()A．1a＜1bB．12a＜12bC．a＋1b＜b＋1aD．ba＜b＋1a＋1解：因为a＜b＜0，所以b－a＞0，ab＞0，1a－1b＝b－aab＞0，因此A错误；由函数f(x)＝12x是减函数知12a＞12b，B

错误；由a＋1b－b＋1a＝(a－b)1＋1ab＜0知C正确．或用特值法，取a＝－2，b＝－1，排除A，B，D．故选C．(2016·贵州模拟)若a，b都是实数，则“a－b>0”是“a2－b2>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要

条件D．既不充分也不必要条件解：由a－b>0得a>b≥0，由a2－b2>0得a2>b2，即|a|＞|b|，所以“a－b>0”是“a2－b2>0”的充分不必要条件．故选A．已知a＝27，b＝6＋22，则a，b

的大小关系是a__________b．解：由于a＝27，b＝6＋22，平方作差得a2－b2＝28－14－83＝14－83＝874－3＞0，从而a＞b．故填＞．(2018·南京模拟)若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下

列不等式中正确的是________．(填序号)①a－b>0；②a3＋b3>0；③a2－b2<0；④a＋b<0．解：a＋|b|<0⇒a<0且－a>|b|，由|b|≥－b得－a>－b⇒a－b<0，①错；由|b|≥b得－a>b⇒－a3>b3⇒a3＋b3<0，②错；由|a|＝－a>|b|⇒a2>b2⇒a

2－b2>0，③错；由－a>b⇒a＋b<0，④对．故填④．类型一建立不等关系(2016·湖南模拟)用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于108m2，靠墙的一边长为xm，其中的不等关系可用不等式(组)

表示为________．解：设矩形靠墙的一边长为xm，则另一边长为30－x2m，即15－x2m，根据题意知0＜x≤18，x15－x2≥108．故填0＜x≤18，x15－x2≥108．点拨：解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“

要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．(2018·北京东城区统测)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价p＋q2%．若p>q>0，

则提价多的方案是________．解：设原价为a，方案甲提价后为a(1＋p%)(1＋q%)，方案乙提价后为a1＋p＋q2%2，因为1＋p＋q2%2＝（1＋p%）＋（1＋q%）22≥(（1＋p%）（1＋q%）)2＝(1＋p%)(1＋q%)，又因为p>q>0，所以等号不成立，则

提价多的为方案乙．另解：用作差法来比较．故填乙．类型二不等式的性质(1)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是()A．若a>b，c≠0，则ac>bcB．若a>b，则ac2>bc2C．若ac2>bc2，则a>bD．若a>b，则1a<1b解：对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝

0时，不正确；对于选项C，因为ac2>bc2，所以c≠0，所以c2>0，所以一定有a>b，故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．故选C．(2)已知四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能推出1a<1b成立的条件的序号是________．解：运用倒

数法则，a>b，ab>0⇒1a<1b，②④正确．又正数大于负数，所以①正确．故填①②④．点拨：利用不等式性质进行命题的判断时：①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时

，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，判断的同时常常还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．(1)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A．ac＞bdB．ac＜bdC．ad＞bcD．ad＜bc解：由c＜d＜0⇒－1d＞－1c

＞0，又a＞b＞0，故由不等式性质，得－ad＞－bc＞0，所以ad＜bc．故选D．(2)若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是()A．a＋c>b－cB．(a－b)c2>0C．a3>b3D．a2>b2解：对于A，由于不知道c的正负及大小，故无法判断a＋c与b－c的大小关系，所以

错误；对于B，当c＝0时，(a－b)c2>0不成立，所以错误；对于D，需要保证|a|>|b|，才能得到a2>b2，所以错误．故选C．类型三不等式性质的应用(1)已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，则z＝2x－3y的取值范围是________．(答案用区间表示)解法一：设2x

－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，则λ＋μ＝2，λ－μ＝－3⇒λ＝－12，μ＝52．所以2x－3y＝－12(x＋y)＋52(x－y)，而－2<－12(x＋y)<12，5<52(x－y)<152，所以3<2

x－y<8，即2x－y∈(3，8)．解法二：令a＝x＋y，b＝x－y，则x＝a＋b2，y＝a－b2，且－1<a<4，2<b<3．所以2x－3y＝2·a＋b2－3·a－b2＝－a2＋52b，因为－1<a<4，2<b

<3，所以－2<－a2<12，5<52b<152，所以3<－a2＋52b<8，即2x＋y∈(3，8)．解法三：由线性规划知识求解．故填(3，8)．(2)若实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是________．解法一：由3≤xy2≤8，4≤x2y≤

9，可知x>0，y>0，且18≤1xy2≤13，16≤x4y2≤81，得2≤x3y4≤27，故x3y4的最大值是27．解法二：设x3y4＝x2ym·(xy2)n，则x3y－4＝x2m＋ny2n－m，所以2m

＋n＝3，2n－m＝－4，即m＝2，n＝－1．又因为16≤x2y2≤81，18≤(xy2)－1≤13，所以2≤x3y4≤27，故x3y4的最大值为27．故填27．点拨：由a<f(x，y

)<b，c<g(x，y)<d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)(或其他形式)，通过恒等变形求得m，n的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质

求得F(x，y)的取值范围．有些也可用线性规划知识求解．(1)若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________．解：因为－π2＜α＜β＜π2，所以－π2＜α＜π2，－π2＜β＜π2，－π2＜－β＜π2

，而α＜β，所以－π＜α－β＜0，所以2α－β＝(α－β)＋α∈－3π2，π2．故填－3π2，π2．(2)(2016·云南模拟)若－1≤lgxy≤2，1≤lg(xy)≤4，则lgx2y的取值范围是________．解：由1

≤lg(xy)≤4，－1≤lgxy≤2，得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2，则lgx2y＝2lgx－lgy＝12(lgx＋lgy)＋32(lgx－lgy)，所以－1≤lgx2y≤5．故填[－1，5]．类型四比较大小(1)(2018

·上海徐汇模拟)若a<0，b<0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()A．p<qB．p≤qC．p>qD．p≥q解：p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)1a－1b＝（b2－a2）（b－a）ab＝（b－a）2（b＋a）ab，因为a<0，b

<0，所以a＋b<0，ab>0．若a＝b，则p－q＝0，即p＝q；若a≠b，则p－q<0，即p<q．综上，p≤q．故选B．(2)已知a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与(ab)a＋b2的大小．解：因为a>0，b>0，所以a

abb（ab）a＋b2＝22abababab＝aa－b2bb－a2＝aba－b2，若a>b>0，则ab>1，a－b>0，由指数函数的性质知aba－b2>1；若b>a>0，则0<ab<1，a－b<0，由指数函数的性质知aba－b2>1．

综上知，aabb（ab）a＋b2>1，又(ab)a＋b2>0，所以aabb>(ab)a＋b2．点拨：作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④

给出结论．(1)(2016·武汉模拟)已知a1≤a2，b1≥b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．解：a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，因为a1≤a2，b1≥b2，所以a1－a2≤0，b1－b

2≥0，于是(a1－a2)(b1－b2)≤0，故a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1．故填a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1．(2)若0<a<b，且a＋b＝1，则将a，b，12，2ab，a2＋b2从小到大排列为_____

___．解：因为0<a<b且a＋b＝1，所以2a<a＋b＝1且1＝a＋b<2b，所以0<a<12<b<1，所以2b>1且2a<1，所以a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a＝－2a－122＋12<12，即a<2ab<12．又a2＋b2＝(

a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－12＝12，即a2＋b2>12．a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)，又2b－1>0，b－1<0，所以a2＋b2－b<0，所以a2＋b2<b．综上，a<2ab<12<a2＋b2<b．另解：用特值法比较，

如取a＝13，b＝23．故填a<2ab<12<a2＋b2<b．(2018·九江模拟)已知a＝312，b＝log1312，c＝log213，则()A．a>b>cB．b>c>aC．c>b>aD．b>a>c解：因为a＝31

2>1，0<b＝log1312＝log32<1，c＝log213<0，所以a>b>c．故选A．点拨：比较大小的常用方法：①作差法；②作商法；③放缩法．在代数式的比较大小问题中，一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照

式(或数)，放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等．有时，等号成立的条件是比较大小的关键所在．设x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sinx＋cosx)2，则()A．P>QB．P<QC．P≤QD．P≥Q解：因为2x＋2－x≥22x·2－x＝2(当且仅当x＝0时等号成立)，而x>0

，所以P>2；又(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x，而sin2x≤1，所以Q≤2，则有P>Q．故选A．1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准

确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种

变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．5．比较两个实数的大小，有作差

法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．6．对于实际问题中的不等量关系，还

要注意实际问题对各个参变数的限制．1．(2018·贵阳监测)下列命题中，正确的是()A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若ac>bc，则a>bC．若ac2<bc2，则a<bD．若a>b，c>d，则a－c>b－d解：选项A：取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A

错误；选项B：当c<0时，ac>bc⇒a<b，所以B错误；选项C：因为ac2<bc2，所以c≠0，又c2>0，所以a<b，C正确；选项D：取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误．故选C．2．(北京丰台区2017届高三上学期期末)已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是()A．|

a|<|b|B．1a>1bC．12a＞12bD．lna>lnb解：取a＝2，b＝1，则2＝|a|>|b|＝1，12＝1a<1b＝1，12a＝122＝14<12＝121，lna＝ln2>0＝l

n1＝lnb．故选D．3．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是()A．a＋c≥b－cB．(a－b)c2≥0C．ac>bcD．c2a－b>0解：A项：当c<0时，不等式a＋c<b－c可能成立；B项：a>b⇒a－b>0，c2≥0，

故(a－b)c2≥0；C项：当c＝0时，ac＝bc；D项：当c＝0时，c2a－b＝0．故选B．4．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若a＋b

>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．故选D．5．(2018·江西鹰潭二模)若1a<1b<0，则下列结论正确

的是()A．a2>b2B．1>12b>12aC．ba＋ab<2D．aeb>bea解：由题意，b<a<0，则a2<b2，12b>12a>1，ba＋ab>2，因为b<a<0，所以ea>eb>0，－b

>－a>0，所以－bea>－aeb，所以aeb>bea．故选D．6．(2016·浙江)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则()A．(a－1)(b－1)<0B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1

)(b－a)<0D．(b－1)(b－a)>0解：因为a，b>0且a≠1，b≠1，所以当a>1，即a－1>0时，不等式logab>1可化为logab>logaa，则b>a>1，所以(a－1)(a－b)<0，(a－1)(b－1)>0，(b－1)(b－a)>0．当0<a<1，即a－

1<0时，不等式logab>1可化为logab>logaa，即0<b<a<1，所以(a－1)(a－b)<0，(a－1)(b－1)>0，(b－1)(b－a)>0．故选D．7．若1<α<3，－4<β<2，则α2－β的取值范围是________

．解：由1＜α＜3得12＜α2＜32，由－4＜β＜2得－2＜－β＜4，所以α2－β的取值范围是－32，112．故填－32，112．8．设a>b>0，m≠－a，则b＋ma＋m>ba时，实数m满足的条件是________．解：由b＋ma

＋m>ba得（a－b）ma（a＋m）>0，因为a>b>0，所以mm＋a>0，即m>0，m＋a>0或m<0，m＋a<0，所以m>0或m<－a，即m满足的条件是m>0或m<－a．故填m<－a或m>0．9．已知a＋b

＞0，且a≠b，比较1a＋1b与ab2＋ba2的大小．解：1a＋1b－ab2＋ba2＝a－ba2＋b－ab2＝(a－b)1a2－1b2＝(a－b)·（b－a）（b＋a）a2b2＝－（a－b）2（a＋b）a2b2．而a＋b＞0，a≠b，故上式小

于0．从而1a＋1b＜ab2＋ba2．10．(2018·昆明模拟)设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．解法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4

a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b．则m＋n＝4，n－m＝－2，解得m＝3，n＝1，所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又因为1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤

4，所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10，即f(－2)的取值范围是[5，10]．解法二：由f（－1）＝a－b，f（1）＝a＋b，得a＝12[f（－1）＋f（1）]，b＝12[f（

1）－f（－1）]，所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又因为1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10，即f(－2)的取值范围是[5，10]．11．(1)设x<y<0，试比较(

x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)·(x＋y)的大小；(2)已知a，b，x，y∈(0，＋∞)且1a>1b，x>y，求证：xx＋a>yy＋b．解：(1)方法一：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(

x＋y)2]＝－2xy(x－y)，因为x<y<0，所以xy>0，x－y<0，所以－2xy(x－y)>0，所以(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．方法二：因为x<y<0，所以x－y<0，x2>y2，x＋y<0．所以(x2＋y2)(x－y)<0，(

x2－y2)(x＋y)<0，所以0<（x2＋y2）（x－y）（x2－y2）（x＋y）＝x2＋y2x2＋y2＋2xy<1，所以(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．(2)证明：xx＋a－yy＋b＝bx－ay（x＋a）（y＋b）．

因为1a>1b且a，b∈(0，＋∞)，所以b>a>0，又因为x>y>0，所以bx>ay>0，所以bx－ay（x＋a）（y＋b）>0，所以xx＋a>yy＋b．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半

时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？解：设从寝室到教室的路程为s，甲、乙两人的步行速度为v1，跑步速度为v2，且v1<v2．甲所用的时间t甲＝s2v1＋s2v2＝s（v1＋v2）2v1v2，乙

所用的时间t乙满足：t乙2·v1＋t乙2·v2＝s，则t乙＝2sv1＋v2，所以t甲t乙＝s（v1＋v2）2v1v2·v1＋v22s＝（v1＋v2）24v1v2＝v21＋v22＋2v1v24v1v2>4v1v24v1v2＝1．因为t甲>0，t乙>0，所以t甲>t乙，

即乙先到教室．