【文档说明】(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习18《平面向量的基本定理及坐标表示》(含详解).doc，共(18)页，871.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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考点18平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.一、平面向量基本

定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使1122aee.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两

个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把（x，

y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.三、平面向量的坐标运算1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=（x2－x1，y2－y

1）.2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），|a|=2211+xy，|

a＋b|=221212(+)+(+)xxyy.3．平面向量共线的坐标表示设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1=0.4．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB

=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.考向一平面向量基本定理的应用1．应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向

量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．2．应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向

量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．3．用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组

合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.典例1如图所示，在ABO△中，14OCOA，12ODOB，AD与BC相交于点M，设OAa，OBb.（1）试用向量a，b表示OM；（2）过点M作直线EF，分别交线段AC，

BD于点E，F.记OEa，OFb，求证：13为定值.【解析】（1）由A，M，D三点共线，可设1OMmOAmOD12mmab，由B，M，C三点共线，可设1OMnOCnO

B14nnab，∴14112mnmn，解得17m，47n，∴1377OMab.（2）由E，M，F三点共线，设1OMkOEkOF1kkab，由（1）知17k，317k，∴

17k，377k，∴137，为定值.【名师点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，以及平面向量的线性运算，其中根据三点共线，合理设出向量，列出方程组求解是解答本题的关键，同时要熟

记向量的基本概念和基本的运算公式是解答向量问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．1．如图，在△ABC中，D，E分别为边AC，AB上的点，且ADDC，2AEEB，BD，CE相交于点P，若ABa，ACb，则APA

．1133abB．1123abC．1124abD．1134ab考向二平面向量的坐标运算1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2

．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.牢记：向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．典例2已知，，为坐标原点，点C在∠AOB内，

且，设，则的值为A．15B．13C．25D．23【答案】C【解析】∵，∴设，则，又，，根据向量的坐标运算知，所以32225xx.故选C.典例3已知(2,4)A，(3,1)B，(3,4)C，设ABa，BCb，CAc.（1）求33

abc；（2）求满足mnabc的实数m，n.【解析】（1）由已知得(5,5)a，(6,3)b，(1,8)c，则33

abc.（2）∵(6,38)mnmnmnbc，∴651385mnmnmn.2．把点3,2A按向量1,4a移到点B，若2OBBC

（O为坐标原点），则C点的坐标为A．1,1B．1,12C．2,3D．11,2考向三向量共线（平行）的坐标表示1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(

R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(,)xya，22(,)xyb，则∥ab

的充要条件是1221xyxy”解题比较方便．3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于AB与AC共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.典例4已知e1,e2是平面内

两个不共线的非零向量，=2e1+e2，=−e1+λe2，=−2e1+e2，且A,E,C三点共线.（1）求实数λ的值;（2）若e1=(2,1),e2=(2,−2),求的坐标;（3）已知点D(3,5)，在（2）的条件下，若A,B,C,D四点按

逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.【解析】（1）=+=(2e1+e2)+(−e1+λe2)=e1+(1+λ)e2.∵A,E,C三点共线,∴存在实数k,使得=k，即e1+(1+λ)e2=k(−2e1+e2)，即(1+2k)e1

+(1+λ−k)e2=0.∵e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,∴1+2k=0且1+λ−k=0,解得k=−12,λ=−32.故实数λ的值为−32.（2）由（1）知,=−e1−32e2,则=+=−3e1−12e2=−3(2,1)

−12(2,−2)=(−6,−3)−(1,−1)=(−7,−2).故的坐标为(−7,−2).（3）∵A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,∴=.设A(x,y)，则=(3−x,5−y).由（2）知,=(−7,−2),∴3752xy,解得107xy

,∴点A的坐标为(10,7).3．已知1,2,0,1,2,kabc，若(2)∥abc，则kA．8B．8C．12D．121．在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB的坐标是A．2,2B．2,2C．1,1D．

1,12．下列各组向量中，能作为平面上一组基底的是A．10,2e，20,1eB．12,1e，20,0eC．13,1e，255,3eD．12,1e，24,2e3．已知(1,1)ABuuur，(0,1)C，若2CDAB，则点D的坐标

为A．(2,3)B．(2,3)C．(2,1)D．(2,1)4．已知向量3,1ab，1,2b，若向量2mab与向量ab平行，则实数mA．−4B．−2C．4D．25．在△ABC中，点D在边AB上，且2DAB

D，设，CACBab，则CDA．1233abB．2133abC．1233abD．2133ab6．已知向量1,3a，,23mmb，平面上任意向量c都可以唯一地表示为,Rcab，则实数m的取值范围是A．,00,B．,

3C．,33,D．3,37．已知在RtABC△中，两直角边1AB，2AC，D是ABC△内一点，且60DAB，设,ADABACR，则A．233B．33C．3D．238．在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,1),(2,3),(3,2

)ABC，若点P满足PAPBPC0,则||OP＝_________.9．已知向量,21mma，1,2b，若∥ab，则42ab_________．10．已知向量,2xa，1,1b，若abab，则x的值为_________

．11．如图，在△ABC中，，是上一点，若则实数的值为________．12．已知点2,4,3,1,3,4ABC，设向量,,ABBCCAabc.（1）若mnabc，求实数,mn的值；（2）若2,3CNCMbc，求向量MN的坐标.13．如图，在平行四边

形ABCD中，23CMCB，N是AM上一点，且47CNuCACB.（1）求实数u的值；（2）记CAa，CBb，试用,ab表示向量AM，DM，DN.14．已知向量(sin,cos2sin)a，(1,2)b.（1）若∥ab，求2

sincos13cos的值；（2）若ab，0π，求的值.1．（2019年高考全国II卷文数）已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=A．2B．2C．52D．502．（江苏）如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1

，2，OA与OC的夹角为，且tan=7，OB与OC的夹角为45°．若OCmOAnOB(,)mnR，则mn．3．（新课标全国Ⅲ文科）已知向量=1,2a，=2,2b，=1,λc．若2∥ca+b，则________．4．（年高考山东卷文数）

已知向量a=（2,6）,b=(1,),若∥ab,则________．1．【答案】C【解析】设APxyab，则2APxAByAD，32xAPAEyAC，因为B，P，D三点共线，所以21xy，同

理由C，P，E三点共线，得312xy.所以12x，14y.所以1124APab.故选C．【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．（2）用向量基本定理解决问题的一般思路

是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．2．【答案】C【解析】因为点3,2A按向量1,4a移动后得到点4,6，所以4,6B，设,Cxy，则4,6OB,4,6BCxy，又2OBBC，所以

424626xy，解得23xy，所以2,3C.故选C.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标表示和运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.变式拓展3．【答案】B【解析】∵1,2,0,1,2,kabc，∴2ab=（1，2）+（0，2）

=（1，4），∵(2)∥abc，∴k=−8．故选B．【名师点睛】本题考查用向量坐标来表示两个向量平行的关系.解本题时，先求出2ab，再由(2)∥abc，能求出k=−8．1．【答案】D【解析】因为A(2，2)，B(1，1)，所以

1,1.AB故选D．2．【答案】D【解析】对于A，122ee，向量12,ee共线，不能作为基底；对于B，零向量不能作为基底；对于C，1235ee，向量12,ee共线，不能作为基底；对于D，向量12,ee不共线，可作为基底.

故选D．【名师点睛】本题考查了向量共线的判定、基底的定义，属于基础题，熟练掌握平面向量的基本定理是解题的关键.注意只有两向量不共线才可以作为基底，判定各组向量是否共线即可.3．【答案】D【解析】设,Dxy，则,1CDxy，22

,2AB，根据2CDAB得,12,2xy，即212xy，解得2,1D，故选D．4．【答案】D【解析】由向量3,1ab，1,2b，得31,124,3aabb，考点冲关则28

,62mmmab，向量2mab与向量ab平行，∴183620mm，得2m，故选D．【名师点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210xyxy解答；

（2）两向量垂直，利用12120xxyy解答.5．【答案】A【解析】在△CAD中，CDCAAD，因为2DABD，所以23CDCAAB，又因为ABCBCA,所以221212333333()CDCAABCACBCACACB

ab，故选A．6．【答案】C【解析】根据平面向量基本定理可知，若平面上任意向量c都可以唯一地表示为,Rcab，则向量a，b不共线，由1,3a，,23mmb得233mm，解得3m，即实数m的取值范围是,33,

．故选C．7．【答案】A【解析】如图，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），因为∠DAB=60°，所以可设D点坐标为（m，3m），则ADABAC=λ（1，0）+

μ（0，2）=（λ，2μ）⇒λ=m，μ=32m，所以233．故选A．【名师点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示，根据条件建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于∠DAB=60°，可设D点坐标为（m，3m），再由平面向量

坐标表示，即可求出λ和μ．8．【答案】22【解析】因为PAPBPC0，所以P为△ABC的重心，故P的坐标为123123,33，即2,2，故22OP.9．【答案】35【解析】向量,21mma，1,2b，且∥ab，221mm，解得14m，

∴11,42a，423,6ab，则22423635ab，故答案为35.【名师点睛】本题考查两个向量共线的性质，两个向量的线性运算以及向量模的计算，属于基础题.10．【

答案】2【解析】因为,2xa，1,1b，所以1,3,1,1xxabab.因为abab，所以2219112xxx.11．【答案】【解析】由题意知，，又，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故答案为．12．【解

析】（1）由题得,0abcabc，又,bc不共线，mnabc，所以由平面向量的基本定理得1mn.（2）由题得6,3,1,8bc，所以239,18MNCNCMbc.【名师点睛】本题考

查了平面向量的线性运算与坐标运算的问题，也考查了向量的相等问题以及解方程组的应用问题，是基础题．13．【解析】（1）因为23CMCB，所以32CBCM，所以47CNuCACBuCA436727CMuC

ACM，因为,,AMN三点共线，所以617u，所以17u.（2）AMCMCA2233CBCAba，DMDAAMCBAM2533bbaba，DNDAANCBCN1477CACBCACB11677CAb

a.14．【解析】（1）因为∥ab，所以2sincos2sin，于是4sincos，当cos0时，sin0，与22sincos1矛盾，所以cos0，故1tan4，所以2222sincossincostan413

cossin4costan465.（2）由ab知，22sin(cos2sin)5，即214sincos4sin5，从而2sin22(1cos2)4，即s

in2cos21，于是π2sin242，又由0π知，ππ9π2444，所以π5π244或π7π244，因此π2或3π4.1．【答案】A【

解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)ab，所以22||(1)12ab，故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错

．2．【答案】3【解析】由tan7可得72sin10，2cos10，根据向量的分解，易得cos45cos2sin45sin0nmnm，即2222102720210nmnm，即510570nmnm

，即得57,44mn，所以3mn．【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函

数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角

与距离问题．3．【答案】12【解析】由题可得24,2ab，2∥ca+b，=1,λc，420，即12，故答案为12.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础

题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.4．【答案】3【解析】由∥ab可得1623.【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则∥ab的充要条

件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．（2）利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得

到所求的向量．（3）三点共线问题．A,B,C三点共线等价于AB→与AC→共线.直通高考