【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案6．3《等比数列》(含详解).doc，共(8)页，262.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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6．3等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的等于同一，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母q表示(q≠0)．2．等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的，且G2＝或

G＝．3．等比数列的通项公式(1)若{an}是等比数列，则通项an＝或an＝．当n－m为大于1的奇数时，q用an，am表示为q＝；当n－m为正偶数时，q＝．(2)an＝a1qn－1可变形为an＝Aqn，其中A＝；点(n，an)是曲线上一群孤立的点．4．等

比数列的前n项和公式等比数列{an}中，Sn＝，q＝1，＝，q≠1．求和公式的推导方法是：，为解题的方便，有时可将求和公式变形为Sn＝Bqn－B(q≠1)，其中B＝且q≠0，q≠1．5．等比数列的性质(1)在等比数列中，若p

＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an；若2m＝p＋q，则a2m＝ap·aq(p，q，m，n∈N*)．(2)若{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，则数列1an，{p·an}(p≠

0)，{an·bn}，anbn仍为等比数列且公比分别为，，，．(3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即an，an＋m，an＋2m，„仍为等比数列，公比为．(4)公比不

为－1的等比数列前n项和为Sn(Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，„构成等比数列，且公比为．(5)对于一个确定的等比数列，在通项公式an＝a1qn－1中，an是n的函数，这个函数由正比例函数an＝a1q·u和指数函数u＝qn(n∈N*)复合而成

．①当a1＞0，或a1＜0，时，等比数列{an}是递增数列；②当a1＞0，或a1＜0，时，等比数列{an}是递减数列；③当时，它是一个常数列；④当时，它是一个摆动数列．自查自纠：1．比常数公比2．等比中项ab±ab3．

(1)a1qn－1amqn－mn－manam±n－manam(2)a1qy＝a1qqx4．na1a1（1－qn）1－qa1－anq1－q乘公比，错位相减a1q－15．(2)1q1q1q1q2q1q2(3)qm(4)qn(5)①q＞10＜q＜

1②0＜q＜1q＞1③q＝1④q＜0已知等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5＝()A．±2B．－2C．2D．4解：因为等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，所以a33＝1，a37＝64

，即a3＝1，a7＝4，因此a25＝a3a7＝4，因为a5，a3同号，所以a5＝2．故选C．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B．5C．－5D．－7解：设数列{an}的公比为q，由

a4＋a7＝2，a5·a6＝a4·a7＝－8，得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，所以a1＝－8，q3＝－12或a1＝1，q3＝－2，所以a1＝－8，a10＝1或a1＝1，a10＝－8，所以a1＋a10＝－

7．故选D．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a5a6＝4，则数列{log2an}的前10项和为()A．5B．6C．10D．12解：由等比数列的性质可得：a1a10＝a2a9＝„＝a5a6＝4，所以数列{log2an}的前10项和log2a1＋log2a2＋

„＋log2a10＝log2(a1a2„a10)＝log2(a5a6)5＝log245＝10．故选C．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________．解：设数列{an}的公比为q．由S3＋3S2＝0，得4a1＋4a2＋a3＝0，

则4a1＋4a1q＋a1q2＝0．显然a1≠0，所以4＋4q＋q2＝0，解得q＝－2．故填－2．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为8，积为169，则前4项的倒数之和为________．解：依题意知，a1＋a2＋a3＋a4＝8，a1a2a3a4＝(a1a4)2＝169，又

a1a4>0，所以a1a4＝43，所以1a1＋1a2＋1a3＋1a4＝1a1＋1a4＋1a2＋1a3＝a1＋a4a1a4＋a2＋a3a2a3＝a1＋a2＋a3＋a4a1a4＝6．故填6．类型一等比数列的判定与证明(2018·汕头高

三期末质量检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－n．(1)求证：{an＋1}为等比数列；(2)求数列{Sn}的前n项和Tn．解：(1)证明：当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，解得a1＝1．因为Sn＝2

an－n，①所以Sn－1＝2an－1－(n－1)，n≥2．②①－②得：an＝2an－2an－1－1，整理得an＝2an－1＋1，所以an＋1＝2an－1＋2＝2(an－1＋1)，即an＋1an－1＋1＝2(n≥2)，又a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列

．(2)由(1)知an＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n－1，所以Sn＝2＋22＋„＋2n－n＝2（1－2n）1－2－n＝2n＋1－n－2，所以Tn＝S1＋S2＋S3＋„＋Sn＝(22＋23＋24＋„＋2n＋1)－[3＋4＋5＋„＋(n＋2)]＝4

（1－2n）1－2－n（3＋n＋2）2＝2n＋2－n2＋5n2－4．点拨：等比数列的四种常用判定方法定义法若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列中项公式法若数

列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列通项公式法若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0

，1)，则{an}是等比数列(2018·沈阳东北育才学校高三模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝2＋Sn对一切正整数n恒成立．(1)求当a1为何值时，数列{an}是等比数列，并求出它的通

项公式；(2)在(1)的条件下，记数列bn＝an（an＋1＋1）（an＋1）的前n项和为Tn，求Tn．解：(1)因为an＋1＝2＋Sn，所以an＝2＋Sn－1(n≥2)，两式相减得an＋1＝2an(n≥2)，因为数列{an}是等比数列，所以a2＝2a1，所以{an}的公比

为2．又a2＝2＋S1＝2＋a1，所以a1＝2．所以当a1＝2时，{an}为等比数列，其通项公式为an＝2n，(2)因为bn＝2n（1＋2n）（1＋2n＋1）＝11＋2n－11＋2n＋1，所以Tn＝12＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋„＋12n＋

1－12n＋1＋1＝13－12n＋1＋1．类型二等比数列基本量的计算(1)(2019届湖南长郡中学高三第一次月考)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足S2mSm＝9，a2mam＝5m＋1m－1，则数列{an}的公比为________．解：设等比数列的

公比为q，当q＝1时，S2mSm＝2≠9，不满足题意．当q≠1时，因为S2mSm＝9，所以a1（1－q2m）1－qa1（1－qm）1－q＝9，化简得qm＝8，又因为a2mam＝5m＋1m－1，所以a1q2

m－1a1qm－1＝5m＋1m－1，化简得qm＝5m＋1m－1，即8＝5m＋1m－1，解得m＝3，所以q3＝8，即q＝2．故填2．(2)已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是()A．

(－∞，－1]B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解：设等比数列{an}的公比为q，则S3＝a1＋a2＋a3＝a21＋q＋1q＝1＋q＋1q，当q>0时，S3＝1＋q

＋1q≥1＋2q·1q＝3(当且仅当q＝1时取等号)；当q<0时，S3＝1－－q－1q≤1－2（－q）·－1q＝－1(当且仅当q＝－1时取等号)．所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故选D．(3)(2018·

南昌市高三二轮复习测试)记Sn为各项均是正数的等比数列{an}的前n项和，已知a3＝18，S5－S3＝216．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)令bn＝1log3an＋12·log3an＋22，求{bn

}的前n项和Tn．解：(Ⅰ)由a3＝18，S5－S3＝a4＋a5＝a3q＋a3q2＝216，得q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4(舍去)，故q＝3，又a3＝a1q2＝18，得a1＝2．则数列{an}的通项公式为an＝2·3n－1(n∈N*)．(Ⅱ)b

n＝1log3an＋12·log3an＋22＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1，故Tn＝1－12＋12－13＋„＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1．点拨：在等比数列五个基本量a1，q，n，an，Sn中，已知其中三个量，可以将已知条件结合等比

数列的性质或通项公式、前n项和公式转化为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个量，计算有时要整体代换，根据前n项和公式列方程还要注意对q是否为1进行讨论．(1)已知等比数列{an}满足a1＝14，a3a

5＝4(a4－1)，则a2＝()A．2B．1C．12D．18解：设等比数列{an}的公比为q，a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a1q2×a1q4＝4(a1q3－1)，所以116×q6＝4

14×q3－1，所以q6－16q3＋64＝0，所以(q3－8)2＝0，所以q3＝8，所以q＝2，所以a2＝a1q＝12(或由a3a5＝a24解得)．故选C．(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn满足4S5＝3S4＋S6，且a2＝1，则a4＝()A．127B．27C．19D

．9解：因为4S5＝3S4＋S6，所以3S5－3S4＝S6－S5，即3a5＝a6，故公比q＝3．由等比数列的通项公式得a4＝a2q4－2＝1×32＝9．故选D．(3)若正项等比数列{an}满足anan＋1＝2

2n(n∈N*)，则a6－a5的值是()A．2B．2C．－162D．162解：设正项等比数列{an}的公比q>0，因为anan＋1＝22n(n∈N*),所以an＋1an＋2anan＋1＝22（n＋1）22n＝4＝q2，解得q＝2，所以anan＋1＝2a2n＝22n，an>0，解得an＝22n－

12，则a6－a5＝2112－292＝162．另解：由a1a2＝4，a2a3＝16，求得a2＝22，a1＝2，进而求a5，a6．故选D．类型三等比数列的性质(1)已知各项均不为0的等差数列{a

n}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________．解：因为{an}为等差数列，所以a3＋a11＝2a7，所以已知等式可化为4a7－a27＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍去)，

又{bn}为等比数列，所以b6b8＝b27＝a27＝16．故填16．(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3a11＝2a25，且S4＋S12＝λS8，则λ＝________．解：设等比数列{an}的公比为q，因为a3a11＝2a25，所以a27＝2a25，

所以q4＝2．因为S4＋S12＝λS8，所以a1（1－q4）1－q＋a1（1－q12）1－q＝λa1（1－q8）1－q，即1－q4＋1－q12＝λ(1－q8)，将q4＝2代入计算可得λ＝83．故填83．(3)设等比数列{an}的前n项和为

Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3＝________．解：由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，不妨令S3＝2，则S6＝1，代入解得S9＝32，S9∶S3＝3∶4．故填3∶4．(4)设

数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和，且SnTn＝n2n＋1，则logb5a5＝________．解：由题意知S9T9＝lg（a1·a2·„·a9）lg（b1·b2·„·b9）＝lga

95lgb95＝lga5lgb5＝55logba＝919．故填919．点拨：①在等比数列中，若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．②等比数列中，依次m项积仍为等比数列，但公比发生变化．③性质“当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*

)时，有am·an＝ap·aq”常用来转化条件．(1)已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为()A．10B．20C．100D．200解：a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a24＋2a4a6＋a26＝(a4＋a6)2＝10

2＝100．故选C．(2)在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________．解：设等比数列{an}的公比为q，由已知，得a1＋a1q2＝8，a1q4＋a1q6＝4，解得q4＝12．又a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝(

a1＋a3)q8＝8×122＝2，a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝(a1＋a3)q12＝8×123＝1，所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3．故填3．(3)等比数列{an}的首项a1＝

－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________．解：由S10S5＝3132，a1＝－1知，S10－S5S5＝－132．由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－132，q＝－12．故填－1

2．(4)(2018届江苏常州高三期末)各项均为正数的等比数列{an}中，若a2a3a4＝a2＋a3＋a4，则a3的最小值为________．解：因为{an}是各项均为正数的等比数列，且a2a3a4＝a2＋a3＋a4，所以a33－a

3＝a2＋a4，则a33－a3＝a2＋a4≥2a2a4＝2a3，当且仅当a2＝a4时取等号，即(a23－3)a3≥0，即a23≥3，a3≥3，即a3的最小值为3．故填3．1．注意等比数列每一项均不为0，q也不为0．2．等比数列中，已知五个元素a1，an，n，q，Sn中的任

意三个，便可求出其余两个．可类比上节等差数列“名师点睛”栏1进行探究．3．准确理解等比数列的定义及各公式的等价形式，灵活运用等比数列的性质．4．在含字母参数的等比数列求和时，应分q＝1与q≠1两种情况进行讨论．5．学习等比数列，要善于将其与等差数列进行类比，如等差数列中与“和”有

关的性质可类比等比数列中与“积”有关的性质，还可对二者的思维形式、方法与技巧进行类比．6．等比数列通项公式的求法有：(1)观察法．(2)公式法．①an＝S1（n＝1），Sn－Sn－1（n≥2）；②等比数列{an}的通项

公式．(3)构造法．①an＋1＝pan＋q;②an＋1＝pan＋qn；③an＋1＝pan＋f(n);④an＋2＝pan＋1＋qan．1．已知正项等比数列{an}满足a4＝4，a2＋a6＝10，则公比q＝()A．2或22B．2C．12D．2或12解：因为a

4＝4，a2＋a6＝10，所以a4q2＋a4q2＝10，得2q4－5q2＋2＝0，得q2＝2或12，又q＞0，所以q＝2或22．故选A．2．在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和．若a1＝1，a2a6＝8，则S8＝()A．8B．15(2＋1)C．

15(2－1)D．15(1－2)解：因为a2a6＝a24＝8，所以a21q6＝8，所以q＝2，所以S8＝1－q81－q＝15(2＋1)．故选B．3．等比数列{an}中，a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，则a

7＋a8＝()A．135B．100C．95D．80解：因为{an}是等比数列，所以a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8也是等比数列，所以a7＋a8＝40×60403＝135．故选A．4．已知等

比数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝2，S8＝10，则S16＝()A．50B．70C．170D．250解：显然等比数列{an}的公比不等于－1，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等比数列，即2，8，S12－10，S16－S12成等比数列，所以S12－10＝

2×822＝32，S16－S12＝2×823＝128，所以S16＝128＋S12＝128＋(32＋10)＝170．故选C．5．已知等比数列{an}各项均为正数，满足a1＋a3＝3，a4＋a6＝62，则a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a6＋a5a7＝()A

．62B．622C．61D．612解：设等比数列{an}的公比为q，由题知q3＝a4＋a6a1＋a3＝22，所以q＝2．因为a1＋a1q2＝3，所以a1＝1，a3＝2．而a1a3，a2a4，a3a5，a4a6，a5a7成等比数列，且公比为

q2，故a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a6＋a5a7＝a1a3[1－（q2）5]1－q2＝1×2×（1－25）1－2＝62．故选A．6．若数列{an}是正项递减等比数列，Tn表示其前n项的积，且T8＝T12，则当Tn取

最大值时，n的值等于()A．9B．10C．11D．12解：因为T8＝T12，所以a9a10a11a12＝1，又a9a12＝a10a11＝1，且数列{an}是正项递减数列，所以a9>a10>1>a11>a12，因此T10取最大值．故选B．7．已知正项等比数列{an}的公比为3，若ama

n＝9a22，则2m＋12n的最小值等于________．解：因为正项等比数列{an}的公比为3，且aman＝9a22，所以a2·3m－2·a2·3n－2＝a22·3m＋n－4＝9a22，所以m＋n＝6，所以2

m＋12n＝16(m＋n)2m＋12n＝16(2＋m2n＋2nm＋12)≥16×52＋2＝34，当且仅当m＝2n＝4时取等号．故填34．8．(2018·山西晋城一模)已知在公比不为1的等比数列{an}中，a2a4＝9，且2a3为3a2和a4的等差中项，设数列{an}的前

n项积为Tn，则T8＝________．解：由题意得a2a4＝a23＝9．设等比数列{an}的公比为q，由2a3为3a2和a4的等差中项可得4a3＝3a2＋a4，即4a3＝3a3q＋a3q，整理得q2－4q＋3＝0，由公比不

为1，解得q＝3．所以T8＝a1·a2·„·a8＝a81q28＝(a81q16)·q12＝(a1q2)8·q12＝a83·q12＝94×312＝320．故填320．9．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0．(

1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．解：(1)由题意得a2＝12，a3＝14．(2)由a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因为{an}的各项都为正数，所以an＋1an＝12．故{an}是首项为1，公比为12的等比数列，因此a

n＝12n－1．10．已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n．(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{b

n}的通项公式．解：(1)证明：因为an＋Sn＝n，①所以an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，所以2an＋1＝an＋1，所以2(an＋1－1)＝an－1，又易得a1＝12，a1－1＝－12≠0，所

以an＋1－1an－1＝12．所以{cn}是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)可知cn＝－12·12n－1＝－12n，所以an＝cn＋1＝1－12n．所以当n≥2时，bn

＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1－12n＝12n．又b1＝a1＝12代入上式也符合，所以bn＝12n．11．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝

8．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝an＋1SnSn＋1，求数列{bn}的前n项和Tn．解：(1)由题设知a1a4＝a2a3＝8，又a1＋a4＝9，可解得a1＝1，a4

＝8或a1＝8，a4＝1(舍去)．设等比数列{an}的公比为q，由a4＝a1q3得q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1．(2)Sn＝a1（1－qn）1－q＝2n－1，又bn＝an＋1SnSn＋1＝Sn＋1－S

nSnSn＋1＝1Sn－1Sn＋1，所以Tn＝b1＋b2＋„＋bn＝1S1－1S2＋1S2－1S3＋„＋1Sn－1Sn＋1＝1S1－1Sn＋1＝1－12n＋1－1．已知正项数列{an}满足3an－2anan－1－an－1＝0(n≥2)且a1＝13．

(1)求证：数列1an－1为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)证明：数列{an}的前n项和Sn<34．解：(1)由3an－2anan－1－an－1＝0，得3an－an－1＝2anan－1，则3an－1－1an＝2，即1an＝3an－1－2，所以1an－

1＝3an－1－3＝31an－1－1，则1an－1是以1a1－1＝2为首项，3为公比的等比数列，故1an－1＝2×3n－1，所以an＝12×3n－1＋1．(2)证明：因为an＝12×3n－1＋1<12×3n－1，所以Sn＝a1＋a2＋„＋

an<12×30＋12×31＋„＋12×3n－1＝121－13n1－13＝341－13n<34．