【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案5．5《数系的扩充与复数的引入》(含详解).doc，共(19)页，755.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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15．5数系的扩充与复数的引入1．虚数单位为i，规定：i2＝________，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的________仍然成立．2．复数的概念形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的______，b叫做复数的____

______．(1)当__________时，复数a＋bi为实数．(2)当__________时，复数a＋bi为虚数．(3)当__________且__________时，复数a＋bi为纯虚数．3．复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔__

______，特别地，a＋bi＝0⇔________________．4．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量OZ→都可建立________的关系(其中O是坐标原点)．5．在复平面内，

实轴上的点都表示________；虚轴上的点除________外都表示________．6．复数的模向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作________或||a＋bi．即||z＝||a＋bi＝r＝______

__(r≥0，r∈R)．7．共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__________，复数z的共轭复数记作________．8．数系的扩充数集扩充的过程是：自然数集(N)→________→________→_______

_→复数集(C)．数集的每一次扩充，都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾．9．复数的加、减、乘、除的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)z1±z2＝________________．(2)z1·

z2＝________________．(3)z1z2＝________________(z2≠0)．10．复数加、减法的几何意义以复数z1，z2分别对应的向量OZ1→，OZ2→为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，对角

线OZ表示的向量OZ→就是____________．z1－z2对应的向量是____________．自查自纠：1．－1运算律2．实部虚部①b＝0②b≠0③a＝0b≠03．a＝c且b＝da＝b＝04．一一对应5．实数原

点纯虚数6．||za2＋b27．共轭复数z8．整数集(Z)有理数集(Q)实数集(R)9．(1)(a±c)＋(b±d)i(2)(ac－bd)＋(ad＋bc)i(3)ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i10．复数z1＋z2所对应的向量

Z2Z1→(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－iB．－3＋iC．3－iD．3＋i解：(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i．故选D．(2017·全国卷Ⅱ)3＋i1＋i＝()A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i解：由复数除法的运算法则有：3＋i1＋i＝（3＋i

）（1－i）2＝2－i．故选D．(2018·北京)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限2C．第三象限D．第四象限解：11－i＝1＋i（1－i）（1＋i）＝12＋12i的共轭复数为12－12i，对应的点为12，－12

，在第四象限．故选D．(2018·上海)已知复数z满足(1＋i)z＝1－7i(i是虚数单位)，则|z|＝________．解：z＝1－7i1＋i＝（1－7i）（1－i）2＝－6－8i2＝－3－4i，|

z|＝（－3）2＋（－4）2＝5．故填5．(2017·浙江)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________．解：由题意可得a2－b2＋2abi＝3＋4i，则a2－b2＝3，ab＝2，解得a2＝4，b2＝1，

则a2＋b2＝5，ab＝2．故填5；2．类型一复数的概念下列命题中：①在复数集中，任意两个数都不能比较大小；②若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数；③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；④x＋

yi＝1＋i⇔x＝y＝1；⑤若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解：①当两个复数都是实数时，可以比较其大小．②若m＝0，n＝i时，则z＝0＋i2＝－1∈R．③

当z1＝1，z2＝0，z3＝i时满足条件，而结论不成立．④只有当x，y∈R时命题才正确．⑤若a＝0，则0·i＝0不是纯虚数．故选A．点拨：正确理解复数的概念，不要想当然地认为字母表示的数(特别是i的系数)一定是实数，也不要随意将实数中的

一些结论推广到复数中去．对z＝a＋bi(a，b∈R)，z为纯虚数⇔a＝0，b≠0，z为实数⇔b＝0．(1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，

则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2z；p4：若复数z∈R，则z∈R．其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4解：令z＝a＋bi(a，b∈R)，则由1z

＝1a＋bi＝a－bia2＋b2∈R得b＝0，所以z∈R，故p1正确；当z＝i时，因为z2＝i2＝－1∈R，而z＝i∉R，故p2不正确；当z1＝z2＝i时，满足z1·z2＝－1∈R，但z1≠2z，知p3

不正确；对于p4，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确．故选B．(2)(2017·天津)已知a∈R，i为虚数单位，若a－i2＋i为实数，则a的值为________．解：a－i2＋i＝（a－i）（2－i）（2＋i）（2－i）＝（2a－1

）－（a＋2）i5＝2a－15－a＋25i为实数，则a＋25＝0，a＝－2．故填－2．已知A，B是锐角三角形的两内角，则复数(sinA－cosB)＋(sinB－cosA)i在复平面内对应的点位于()A．第

一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：因为A，B是锐角三角形的两内角，所以A＋B＞π2，且0＜A<π2，0<B＜π2．3所以0＜π2－B＜A＜π2，由正弦函数的单调性知sinπ2－B＜si

nA，即sinA－cosB＞0．同理可得，sinB－cosA＞0．故选A．点拨：判断复数对应的点在复平面上的位置，只需判断复数的实部和虚部的正负即可，对题目中条件“A，B是锐角三角形的内角”的挖掘是解决此题的关键．(2017·北京)若复数

(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)解：z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在

第二象限，所以a＋1＜0，1－a＞0，解得a＜－1．故选B．关于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0有实根，则实数m的值是．解：设实根为x0，则x20－(2i－1)x0＋3m－i＝0，即x20＋x0＋3m－(2x0＋1)i＝0．由复数相等的充要条件得

x20＋x0＋3m＝0，2x0＋1＝0．所以m＝－13(x20＋x0)＝－13×14－12＝112．故填112．点拨：复数的分类，复数的相等，复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需把所给复数

化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．(2016·山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋z＝3a＋bi＝3－2i，故a＝1，b＝

－2，则z＝1－2i．故选B．类型二复数的运算(1)(2018·天津)i是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________．解：由复数的运算法则得：6＋7i1＋2i＝（6＋7i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝20－

5i5＝4－i．故填4－i．(2)i是虚数单位，计算2i－2（1－i）2×21＋i2017＝________．解：因为2（i－1）（1－i）2＝2i－1＝－(i＋1)，21＋i2016＝21008（2i）1008＝1，所以原式＝－(i＋1)×2（1＋i）＝－2．故填－2．

点拨：①复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助．如：(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，(1＋i)·(1－i)＝2，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)等．②除法的关键是“分母

实数化”．(1)(2018届成都三诊)若复数z＝a＋i1－i(i是虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为()A．－2B．－1C．1D．2解：因为z＝a＋i1－i＝（a＋i）（1＋i）2＝a－1＋（a＋1）i2是纯虚数，所以a－1＝0，即a＝1．故选C．(2)i是虚数单位，

21－i2020＋1＋i1－i6＝4________．解：原式＝21－i21010＋1＋i1－i6＝2－2i1010＋i6＝i1010＋i6＝i4×252＋2＋i4＋2＝－1－1＝－2．故填

－2．类型三复数的模与共轭复数(1)(2018届南京三模)已知复数z的共轭复数是z．若z(2－i)＝5，其中i为虚数单位，则z的模为________．解：由z(2－i)＝5，得z＝52－i＝5（2＋i）（2－i）

（2＋i）＝2＋i，z＝2－i，|z|＝22＋（－1）2＝5．故填5．(2)(2018·浙江)复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解：因为21－i＝2（1＋i）2＝

1＋i，所以共轭复数为1－i．故选B．点拨：复数的模与共轭复数的运算性质要牢记，z＝a＋bi，则z＝a－bi，|z|＝|z|＝a2＋b2，zz＝|z|2，z1z2＝|z1||z2|等．(1)把复数z的共轭复数记作z，已知(1＋2i)z＝4＋3i，求z及zz．解：设z＝

a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，由已知得(1＋2i)·(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知a＋2b＝4，2a－b＝3，解得a＝2，b＝1，所以z＝2＋i．所以zz＝2＋i2

－i＝（2＋i）2（2－i）（2＋i）＝3＋4i5＝35＋45i．(2)(2018届重庆市质量调研抽测（第三次）)在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为(3，4)，则|z|z＝()A．45－35iB．45＋35iC．35－

45iD．35＋45i解：复数z所对应的点A的坐标为(3，4)，则z＝3＋4i，|z|＝9＋16＝5，|z|z＝53＋4i＝5（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝3－4i5＝35－45i．故选C．1．处理与复数概念有关的

问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法．2．复数概念中应注意的几点(1)对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然

地判定m，n∈R．(2)易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)．(3)对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0．3．复数的几何意义(1)(其中a，b∈R)．(2)|z

|表示复数z对应的点与原点的距离．(3)|z1－z2|表示两点的距离，即表示复数z1与z2对应的点的距离．4．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分

式的形式，再将分母实数化．5．复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用i、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：①(1±i)2＝±2i；②1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i；③ω2＋ω＋1＝0，ω3＝1，其中ω＝－12±32i；5④in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)等．6．

在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时，不是总成立的：①(zm)n＝zmn(m，n为分数)；②若zm＝zn，则m＝n(z≠1)；③若z21＋z22＝0，则z1＝z

2＝0．1．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i＝()A．－45－35iB．－45＋35iC．－35－45iD．－35＋45i解：1＋2i1－2i＝（1＋2i）25＝－3＋4i5＝－35＋45i．故选D．2．(2018·

全国卷Ⅰ)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0B．12C．1D．2解：因为z＝1－i1＋i＋2i＝（1－i）2（1＋i）（1－i）＋2i＝－2i2＋2i＝i，所以|z|＝1．故选C．3．(2017·山东)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝

a＋3i，z·z＝4，则a的值为()A．1或－1B．7或－7C．－3D．3解：由z＝a＋3i，z·z＝4得a2＋3＝4，所以a＝±1．故选A．4．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条

件D．既不充分也不必要条件解：ab＝0⇔a＝0或b＝0⇒复数a＋bi为纯虚数或实数，充分性不成立；反之，若a＋bi为纯虚数，则必有a＝0且b≠0，所以ab＝0．故选B．5．(2016·全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围

是()A．(－3，1)B．(－1，3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)解：复数z在复平面内对应的点在第四象限应满足m＋3＞0，m－1＜0，解得－3＜m＜1．故选A．6．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝

0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22解：对于选项A，若|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故z1＝z2，正确；对于选项B，若z1＝z2，则z1＝z2＝z2，正确；对于选

项C，z1·z1＝|z1|2，z2·z2＝|z2|2，若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2，正确；对于选项D，如令z1＝1＋i，z2＝1－i，满足|z1|＝|z2|，而z21＝2i，z22＝－2i，故不正确．故选D．7．

(2017·江苏)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．解：|z|＝|(1＋i)(1＋2i)|＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10．故填10．8．已知复数z＝x＋yi(i是虚数单位，x，y∈R)，且|z－2|＝3，则yx的

最大值为________．解：因为|z－2|＝（x－2）2＋y2＝3，所以(x－2)2＋y2＝3．由图可知yxmax＝31＝3．故填3．9．设存在复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z·z＋2iz＝8＋ai(a∈R)．试

求a的取值范围．解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0，由(2)得(x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋yi)＝8＋ai，即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai．由复数相等的定义得x2＋y2－2y＝8，①2x＝a，②由①得x2＋(y－1)2＝

9，因为x<0，y>0，所以－3≤x<0，所以－6≤a＜0．10．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(i6是虚数单位)，试求实数m取何值时：(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限

．解：(1)由题意可得lg（m2－2m－2）＝0，m2＋3m＋2≠0，解得m＝3．(2)由题意可得m2＋3m＋2＝0，m2－2m－2＞0，解得m＝－1或m＝－2．(3)由题意可得lg（m2－2m－2）＜0，m2＋3m＋2＞0，即m2－2m－2＞0

，m2－2m－2＜1，m2＋3m＋2＞0，解得－1<m＜1－3或1＋3＜m<3．11．(2018·成都诊断)已知关于t的方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)．(1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹方程；(2)求方程的实根的

取值范围．解：(1)设实根为m，则m2＋(2＋i)m＋2xy＋(x－y)i＝0，即(m2＋2m＋2xy)＋(m＋x－y)i＝0．根据复数相等的充要条件得m2＋2m＋2xy＝0，①m＋x－y＝0，②由②得m＝y－x，代入①得(y－x)2＋2(y－x)＋

2xy＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2．故点(x，y)的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．(2)由(1)知点(x，y)的轨迹是一个圆，圆心为(1，－1)，半径r＝2．设方程的实根为m，则直线m＋x－

y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2有公共点，所以|1－（－1）＋m|2≤2，即|m＋2|≤2，即－4≤m≤0．故方程的实根的取值范围是[－4，0]．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω12，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下四个命题：①(z1＋z2)*z3＝(z

1*z3)＋(z2*z3)；②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)；③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；④z1*z2＝z2*z1；则真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解：由于ω1*ω2＝ω12，对于①，(z1＋

z2)*z3＝(z1＋z2)·z3＝z1z3＋z2z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)，显然成立；对于②，z1*(z2＋z3)＝z1(32zz)＝z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3＝(z1*z2

)＋(z1*z3)，显然成立；对于③，(z1*z2)*z3＝(z1z2)z3＝z1z2z3，而z1*(z2*z3)＝z1*(z2z3)＝z1z2z3，显然不成立；对于④，由于z1*z2＝z1z2，而z2*z1＝z2z

1，显然不成立．故选B．75．5数系的扩充与复数的引入1．虚数单位为i，规定：i2＝________，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的________仍然成立．2．复数的概念形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数

的______，b叫做复数的__________．(1)当__________时，复数a＋bi为实数．(2)当__________时，复数a＋bi为虚数．(3)当__________且__________时，复数a＋bi为纯虚数．3．复数相等的充要条件a＋bi＝

c＋di(a，b，c，d∈R)⇔________，特别地，a＋bi＝0⇔________________．4．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量OZ→都可建立________的关系(其中O是坐标原点)．5．在复平面内，实轴上的点都表示________；虚轴

上的点除________外都表示________．6．复数的模向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作________或||a＋bi．即||z＝||a＋bi＝r＝________(r≥0，r∈R)．7．共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做

互为__________，复数z的共轭复数记作________．8．数系的扩充数集扩充的过程是：自然数集(N)→________→________→________→复数集(C)．数集的每一次扩充，都

使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾．9．复数的加、减、乘、除的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)z1±z2＝___________

_____．(2)z1·z2＝________________．(3)z1z2＝________________(z2≠0)．10．复数加、减法的几何意义以复数z1，z2分别对应的向量OZ1→，OZ2→为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，对角线OZ表示

的向量OZ→就是____________．z1－z2对应的向量是____________．自查自纠：1．－1运算律2．实部虚部①b＝0②b≠0③a＝0b≠03．a＝c且b＝da＝b＝04．一一对应5．实数原点纯虚数6．||

za2＋b27．共轭复数z8．整数集(Z)有理数集(Q)实数集(R)9．(1)(a±c)＋(b±d)i(2)(ac－bd)＋(ad＋bc)i(3)ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i10．复数z1＋z2所对应的向量Z2Z1→

(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－iB．－3＋iC．3－iD．3＋i解：(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i．故选D．(2017·全国卷Ⅱ)3＋i1＋i＝()A．1＋2iB．1

－2iC．2＋iD．2－i解：由复数除法的运算法则有：3＋i1＋i＝（3＋i）（1－i）2＝2－i．故选D．(2018·北京)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限8C．第三象限D．第四象限解：11－i＝1＋i（1－i）（1＋i）＝1

2＋12i的共轭复数为12－12i，对应的点为12，－12，在第四象限．故选D．(2018·上海)已知复数z满足(1＋i)z＝1－7i(i是虚数单位)，则|z|＝________．解：z＝1－7i1＋i＝（1－7i）（1－i）2＝－

6－8i2＝－3－4i，|z|＝（－3）2＋（－4）2＝5．故填5．(2017·浙江)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________．解

：由题意可得a2－b2＋2abi＝3＋4i，则a2－b2＝3，ab＝2，解得a2＝4，b2＝1，则a2＋b2＝5，ab＝2．故填5；2．类型一复数的概念下列命题中：①在复数集中，任意两个数都不能比较大小；②若z＝m＋n

i(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数；③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；④x＋yi＝1＋i⇔x＝y＝1；⑤若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解：①当两个复数都是实数时，可以比较其大小．②

若m＝0，n＝i时，则z＝0＋i2＝－1∈R．③当z1＝1，z2＝0，z3＝i时满足条件，而结论不成立．④只有当x，y∈R时命题才正确．⑤若a＝0，则0·i＝0不是纯虚数．故选A．点拨：正确理解复数的概念，不要想当然

地认为字母表示的数(特别是i的系数)一定是实数，也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去．对z＝a＋bi(a，b∈R)，z为纯虚数⇔a＝0，b≠0，z为实数⇔b＝0．(1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p1：若

复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2z；p4：若复数z∈R，则z∈R．其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p

2，p4解：令z＝a＋bi(a，b∈R)，则由1z＝1a＋bi＝a－bia2＋b2∈R得b＝0，所以z∈R，故p1正确；当z＝i时，因为z2＝i2＝－1∈R，而z＝i∉R，故p2不正确；当z1＝z2＝i时，满足z1·z2＝－1∈R，但z1≠2z，知p3不正确；对于p4，因为实数没有虚部，所

以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确．故选B．(2)(2017·天津)已知a∈R，i为虚数单位，若a－i2＋i为实数，则a的值为________．解：a－i2＋i＝（a－i）（2－i）（2＋i）（2－i）＝（2a－1）－（a＋2）i5＝2a－15－a＋25i为

实数，则a＋25＝0，a＝－2．故填－2．已知A，B是锐角三角形的两内角，则复数(sinA－cosB)＋(sinB－cosA)i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：因为A

，B是锐角三角形的两内角，所以A＋B＞π2，且0＜A<π2，0<B＜π2．9所以0＜π2－B＜A＜π2，由正弦函数的单调性知sinπ2－B＜sinA，即sinA－cosB＞0．同理可得，sinB－cosA＞0．故选A．

点拨：判断复数对应的点在复平面上的位置，只需判断复数的实部和虚部的正负即可，对题目中条件“A，B是锐角三角形的内角”的挖掘是解决此题的关键．(2017·北京)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－

∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)解：z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以a＋1＜0，1－a＞0，解得a＜－1．故选B．关于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0有实根，则实数m的值是．解：设实根为x0，则x

20－(2i－1)x0＋3m－i＝0，即x20＋x0＋3m－(2x0＋1)i＝0．由复数相等的充要条件得x20＋x0＋3m＝0，2x0＋1＝0．所以m＝－13(x20＋x0)＝－13×14－12＝112．故填112

．点拨：复数的分类，复数的相等，复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．(2016·山东)若复数z

满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋z＝3a＋bi＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i．故选B．类型二复数的运算(

1)(2018·天津)i是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________．解：由复数的运算法则得：6＋7i1＋2i＝（6＋7i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝20－5i5＝4－i．故填4－i．(2)i是虚数单

位，计算2i－2（1－i）2×21＋i2017＝________．解：因为2（i－1）（1－i）2＝2i－1＝－(i＋1)，21＋i2016＝21008（2i）1008＝1，所以原式＝－(i＋1)×2

（1＋i）＝－2．故填－2．点拨：①复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助．如：(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，(1＋i)·(1－i)＝2，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)等．②除

法的关键是“分母实数化”．(1)(2018届成都三诊)若复数z＝a＋i1－i(i是虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为()A．－2B．－1C．1D．2解：因为z＝a＋i1－i＝（a＋i）（1＋i）2＝a－1＋（a＋1）i

2是纯虚数，所以a－1＝0，即a＝1．故选C．(2)i是虚数单位，21－i2020＋1＋i1－i6＝10________．解：原式＝21－i21010＋

1＋i1－i6＝2－2i1010＋i6＝i1010＋i6＝i4×252＋2＋i4＋2＝－1－1＝－2．故填－2．类型三复数的模与共轭复数(1)(2018届南京三模)已知复数z的共轭复数是z．若z(2－i)＝5，其中i为虚数单位，则z的模为__

______．解：由z(2－i)＝5，得z＝52－i＝5（2＋i）（2－i）（2＋i）＝2＋i，z＝2－i，|z|＝22＋（－1）2＝5．故填5．(2)(2018·浙江)复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－

i解：因为21－i＝2（1＋i）2＝1＋i，所以共轭复数为1－i．故选B．点拨：复数的模与共轭复数的运算性质要牢记，z＝a＋bi，则z＝a－bi，|z|＝|z|＝a2＋b2，zz＝|z|2，z

1z2＝|z1||z2|等．(1)把复数z的共轭复数记作z，已知(1＋2i)z＝4＋3i，求z及zz．解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，由已知得(1＋2i)·(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定

义知a＋2b＝4，2a－b＝3，解得a＝2，b＝1，所以z＝2＋i．所以zz＝2＋i2－i＝（2＋i）2（2－i）（2＋i）＝3＋4i5＝35＋45i．(2)(2018届重庆市质量调研抽测（第三次）)在复平面内，复数z所对应的点A的

坐标为(3，4)，则|z|z＝()A．45－35iB．45＋35iC．35－45iD．35＋45i解：复数z所对应的点A的坐标为(3，4)，则z＝3＋4i，|z|＝9＋16＝5，|z|z＝53＋4i＝5（3－4i）（3＋4i）（3－4i

）＝3－4i5＝35－45i．故选C．1．处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法．2．复数概念中应注意的几点(1)对于复数m＋ni，如果

m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R．(2)易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)．(3)对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0．3．复数的几何意义(1)(其中a，b∈R)

．(2)|z|表示复数z对应的点与原点的距离．(3)|z1－z2|表示两点的距离，即表示复数z1与z2对应的点的距离．4．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式

，再将分母实数化．5．复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用i、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：①(1±i)2＝±2i；②1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i；③ω2＋ω＋1＝0，ω3＝1，其中ω＝－12±32i；11④in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)等．6

．在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时，不是总成立的：①(zm)n＝zmn(m，n为分数)；②若zm＝zn，则m＝n(z≠1)；③若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0．1．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i＝()A．－45－35iB．

－45＋35iC．－35－45iD．－35＋45i解：1＋2i1－2i＝（1＋2i）25＝－3＋4i5＝－35＋45i．故选D．2．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0B．12C．1D．2解：因为z＝1－

i1＋i＋2i＝（1－i）2（1＋i）（1－i）＋2i＝－2i2＋2i＝i，所以|z|＝1．故选C．3．(2017·山东)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋3i，z·z＝4，则a的值为()A．1或－1B．7或－7C．－3D．3解：由z＝a＋3i，z·z＝4得a2＋3＝4，

所以a＝±1．故选A．4．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：ab＝0⇔a＝0或b＝0⇒复数a＋bi为纯虚数或实数，充分性不成立；反之，若a＋bi为纯虚数，则必有a＝

0且b≠0，所以ab＝0．故选B．5．(2016·全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3，1)B．(－1，3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)解：复数z在复

平面内对应的点在第四象限应满足m＋3＞0，m－1＜0，解得－3＜m＜1．故选A．6．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝

z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22解：对于选项A，若|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故z1＝z2，正确；对于选项B，若z1＝z2，则z1＝z2＝z2，正确；对于选项C，z1·z1＝|z1|2，z2·z2＝|z2

|2，若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2，正确；对于选项D，如令z1＝1＋i，z2＝1－i，满足|z1|＝|z2|，而z21＝2i，z22＝－2i，故不正确．故选D．7．(2017·江苏)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．解：|z|＝|(

1＋i)(1＋2i)|＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10．故填10．8．已知复数z＝x＋yi(i是虚数单位，x，y∈R)，且|z－2|＝3，则yx的最大值为________．解：因为|z－2|＝（x－2）2＋y2＝3，所以(x－2)2＋y2＝3．由图可知yxmax＝31＝3．故填3

．9．设存在复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z·z＋2iz＝8＋ai(a∈R)．试求a的取值范围．解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0，由(2)得(x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋yi)＝8＋ai，即x2＋

y2－2y＋2xi＝8＋ai．由复数相等的定义得x2＋y2－2y＝8，①2x＝a，②由①得x2＋(y－1)2＝9，因为x<0，y>0，所以－3≤x<0，所以－6≤a＜0．10．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(

i12是虚数单位)，试求实数m取何值时：(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限．解：(1)由题意可得lg（m2－2m－2）＝0，m2＋3m＋2≠0，解得m＝3．(2)由题意可得m2＋3m＋2＝0

，m2－2m－2＞0，解得m＝－1或m＝－2．(3)由题意可得lg（m2－2m－2）＜0，m2＋3m＋2＞0，即m2－2m－2＞0，m2－2m－2＜1，m2＋3m＋2＞0，解得－1<m＜1－3或1＋3＜m<3．11．(201

8·成都诊断)已知关于t的方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)．(1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹方程；(2)求方程的实根的取值范围．解：(1)设实根为m，则m2＋(2＋i)m＋2xy＋

(x－y)i＝0，即(m2＋2m＋2xy)＋(m＋x－y)i＝0．根据复数相等的充要条件得m2＋2m＋2xy＝0，①m＋x－y＝0，②由②得m＝y－x，代入①得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，即(x－

1)2＋(y＋1)2＝2．故点(x，y)的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．(2)由(1)知点(x，y)的轨迹是一个圆，圆心为(1，－1)，半径r＝2．设方程的实根为m，则直线m＋x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2有公共点，所以|1－（－1）＋m|2≤2，即|m＋2|≤

2，即－4≤m≤0．故方程的实根的取值范围是[－4，0]．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω12，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下四个命题：①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)；②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)

；③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；④z1*z2＝z2*z1；则真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解：由于ω1*ω2＝ω12，对于①，(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)·z3＝z1z

3＋z2z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)，显然成立；对于②，z1*(z2＋z3)＝z1(32zz)＝z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3＝(z1*z2)＋(z1*z3)，显然成立；对于③，(z1*z2)*z3＝

(z1z2)z3＝z1z2z3，而z1*(z2*z3)＝z1*(z2z3)＝z1z2z3，显然不成立；对于④，由于z1*z2＝z1z2，而z2*z1＝z2z1，显然不成立．故选B．135．5数系的扩充与复数的引入1．虚数单位为i，规定：i2＝________，且实数与它进行四则运算

时，原有的加法、乘法的________仍然成立．2．复数的概念形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的______，b叫做复数的__________．(1)当__________时，复数a＋bi为实数．(2)当___

_______时，复数a＋bi为虚数．(3)当__________且__________时，复数a＋bi为纯虚数．3．复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔________，特别地，a＋bi＝0⇔________________．4．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平

面上的点Z(a，b)、平面向量OZ→都可建立________的关系(其中O是坐标原点)．5．在复平面内，实轴上的点都表示________；虚轴上的点除________外都表示________．6．复数的模向量OZ→的模r叫做复数z＝a

＋bi(a，b∈R)的模，记作________或||a＋bi．即||z＝||a＋bi＝r＝________(r≥0，r∈R)．7．共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__________，复数z的共轭复数记作_______

_．8．数系的扩充数集扩充的过程是：自然数集(N)→________→________→________→复数集(C)．数集的每一次扩充，都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原

有数集中某种运算不可实施的矛盾．9．复数的加、减、乘、除的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)z1±z2＝________________．(2)z1·z2＝_____

___________．(3)z1z2＝________________(z2≠0)．10．复数加、减法的几何意义以复数z1，z2分别对应的向量OZ1→，OZ2→为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，对角线OZ表示的向量OZ→

就是____________．z1－z2对应的向量是____________．自查自纠：1．－1运算律2．实部虚部①b＝0②b≠0③a＝0b≠03．a＝c且b＝da＝b＝04．一一对应5．实数原点纯虚数6．||za2＋b27．共轭复数z8．整数集(Z)

有理数集(Q)实数集(R)9．(1)(a±c)＋(b±d)i(2)(ac－bd)＋(ad＋bc)i(3)ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i10．复数z1＋z2所对应的向量Z2Z1→(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－iB．－3＋iC．3－iD．3＋i解：(

1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i．故选D．(2017·全国卷Ⅱ)3＋i1＋i＝()A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i解：由复数除法的运算法则有：3＋i1＋i＝（3＋i）（1－i）2＝2－i．故选D．(2018·北京)在

复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限14C．第三象限D．第四象限解：11－i＝1＋i（1－i）（1＋i）＝12＋12i的共轭复数为12－12i，对应的点为12，－12，在第四象限．故选D．(2018·上海)已知复数z满足(1

＋i)z＝1－7i(i是虚数单位)，则|z|＝________．解：z＝1－7i1＋i＝（1－7i）（1－i）2＝－6－8i2＝－3－4i，|z|＝（－3）2＋（－4）2＝5．故填5．(2017·浙江)已知a，b

∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________．解：由题意可得a2－b2＋2abi＝3＋4i，则a2－b2＝3，ab＝2，解得a2＝4，b2＝1，则a2＋b2＝

5，ab＝2．故填5；2．类型一复数的概念下列命题中：①在复数集中，任意两个数都不能比较大小；②若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数；③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z

2＝z3；④x＋yi＝1＋i⇔x＝y＝1；⑤若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解：①当两个复数都是实数时，可以比较其大小．②若m＝0，n＝i时

，则z＝0＋i2＝－1∈R．③当z1＝1，z2＝0，z3＝i时满足条件，而结论不成立．④只有当x，y∈R时命题才正确．⑤若a＝0，则0·i＝0不是纯虚数．故选A．点拨：正确理解复数的概念，不要想当然地认为字母表示的数(特别是i的系数)一定是实数，也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去．对z

＝a＋bi(a，b∈R)，z为纯虚数⇔a＝0，b≠0，z为实数⇔b＝0．(1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2z；p4：若复数z∈

R，则z∈R．其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4解：令z＝a＋bi(a，b∈R)，则由1z＝1a＋bi＝a－bia2＋b2∈R得b＝0，所以z∈R，故p1正确；当z＝i时，因为z2＝i2

＝－1∈R，而z＝i∉R，故p2不正确；当z1＝z2＝i时，满足z1·z2＝－1∈R，但z1≠2z，知p3不正确；对于p4，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确．故选B．(2)(2017·天津)已知a∈R，i为虚数单位，若a－i2＋i为实数，则a的值为_______

_．解：a－i2＋i＝（a－i）（2－i）（2＋i）（2－i）＝（2a－1）－（a＋2）i5＝2a－15－a＋25i为实数，则a＋25＝0，a＝－2．故填－2．已知A，B是锐角三角形的两内角，则复数(sinA－cosB)＋(sinB－cos

A)i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：因为A，B是锐角三角形的两内角，所以A＋B＞π2，且0＜A<π2，0<B＜π2．15所以0＜π2－B＜A＜π2，由正弦函数的单

调性知sinπ2－B＜sinA，即sinA－cosB＞0．同理可得，sinB－cosA＞0．故选A．点拨：判断复数对应的点在复平面上的位置，只需判断复数的实部和虚部的正负即可，对题目中条件“A，B是锐角三角形的内角”的挖掘

是解决此题的关键．(2017·北京)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)解：z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点

在第二象限，所以a＋1＜0，1－a＞0，解得a＜－1．故选B．关于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0有实根，则实数m的值是．解：设实根为x0，则x20－(2i－1)x0＋3m－i＝0，即x20＋x0＋3m－(2x0＋1)i＝0．由复数相等的充要

条件得x20＋x0＋3m＝0，2x0＋1＝0．所以m＝－13(x20＋x0)＝－13×14－12＝112．故填112．点拨：复数的分类，复数的相等，复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需

把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．(2016·山东)若复数z满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，

则2z＋z＝3a＋bi＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i．故选B．类型二复数的运算(1)(2018·天津)i是虚数单位，复数6＋7i1＋2i＝________．解：由复数的运算法则得：6＋7i1＋2i＝（6＋7

i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝20－5i5＝4－i．故填4－i．(2)i是虚数单位，计算2i－2（1－i）2×21＋i2017＝________．解：因为2（i－1）（1－i）2＝2i－1

＝－(i＋1)，21＋i2016＝21008（2i）1008＝1，所以原式＝－(i＋1)×2（1＋i）＝－2．故填－2．点拨：①复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助．如：

(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，(1＋i)·(1－i)＝2，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)等．②除法的关键是“分母实数化”．(1)(2018届成都三诊)若复数z＝a＋i1－i(i是虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为()A．－2

B．－1C．1D．2解：因为z＝a＋i1－i＝（a＋i）（1＋i）2＝a－1＋（a＋1）i2是纯虚数，所以a－1＝0，即a＝1．故选C．(2)i是虚数单位，21－i2020＋1＋i1－i6＝16________．解：原式＝

21－i21010＋1＋i1－i6＝2－2i1010＋i6＝i1010＋i6＝i4×252＋2＋i4＋2＝－1－1＝－2．故填－2．类型三复数的模与共轭复数(1)(2018届南京三模)已知复数z的共轭复数是z．若z(2－i)＝5，其中i为虚数单位，则z的模为_____

___．解：由z(2－i)＝5，得z＝52－i＝5（2＋i）（2－i）（2＋i）＝2＋i，z＝2－i，|z|＝22＋（－1）2＝5．故填5．(2)(2018·浙江)复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解：因为2

1－i＝2（1＋i）2＝1＋i，所以共轭复数为1－i．故选B．点拨：复数的模与共轭复数的运算性质要牢记，z＝a＋bi，则z＝a－bi，|z|＝|z|＝a2＋b2，zz＝|z|2，z1z2＝|z1||z2|等．(1)把复数z的共轭复数记作z，已知(1＋2i)z＝4＋

3i，求z及zz．解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，由已知得(1＋2i)·(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知a＋2b＝4，2a－b＝3，解得a＝2，b＝1，所以z＝2＋i．所以zz＝2＋i2－i＝（2＋i）2（2－i）（2＋i）＝3

＋4i5＝35＋45i．(2)(2018届重庆市质量调研抽测（第三次）)在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为(3，4)，则|z|z＝()A．45－35iB．45＋35iC．35－45iD．35＋45i解：复数z所对应的点A的坐标为

(3，4)，则z＝3＋4i，|z|＝9＋16＝5，|z|z＝53＋4i＝5（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝3－4i5＝35－45i．故选C．1．处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复

数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法．2．复数概念中应注意的几点(1)对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R．(2)易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)．(3)对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意

了a＝0而漏掉了b≠0．3．复数的几何意义(1)(其中a，b∈R)．(2)|z|表示复数z对应的点与原点的距离．(3)|z1－z2|表示两点的距离，即表示复数z1与z2对应的点的距离．4．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论

依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．5．复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用i、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：①(1±i)2＝±2i；②1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i；③ω2＋ω＋1＝

0，ω3＝1，其中ω＝－12±32i；17④in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)等．6．在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时，不是总成立的：①(zm)n＝zmn(m，n为分数)；②若zm＝zn，则m＝n(z≠1)；③若

z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0．1．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i＝()A．－45－35iB．－45＋35iC．－35－45iD．－35＋45i解：1＋2i1－2i＝（1＋2i）25＝－3＋4i5＝－35

＋45i．故选D．2．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0B．12C．1D．2解：因为z＝1－i1＋i＋2i＝（1－i）2（1＋i）（1－i）＋2i＝－2i2＋2i＝i，所以|z|＝1．故选C．3．(2017·山东)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋3i

，z·z＝4，则a的值为()A．1或－1B．7或－7C．－3D．3解：由z＝a＋3i，z·z＝4得a2＋3＝4，所以a＝±1．故选A．4．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C

．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：ab＝0⇔a＝0或b＝0⇒复数a＋bi为纯虚数或实数，充分性不成立；反之，若a＋bi为纯虚数，则必有a＝0且b≠0，所以ab＝0．故选B．5．(2016·全国卷Ⅱ

)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3，1)B．(－1，3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)解：复数z在复平面内对应的点在第四象限应满足m＋3＞0，m－1＜0

，解得－3＜m＜1．故选A．6．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z

22解：对于选项A，若|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故z1＝z2，正确；对于选项B，若z1＝z2，则z1＝z2＝z2，正确；对于选项C，z1·z1＝|z1|2，z2·z2＝|z2|2，若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝

z2·z2，正确；对于选项D，如令z1＝1＋i，z2＝1－i，满足|z1|＝|z2|，而z21＝2i，z22＝－2i，故不正确．故选D．7．(2017·江苏)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________

．解：|z|＝|(1＋i)(1＋2i)|＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10．故填10．8．已知复数z＝x＋yi(i是虚数单位，x，y∈R)，且|z－2|＝3，则yx的最大值为________．解：因为|z－2|＝（x－2）2＋y2＝3，所以(x－2)2＋y2＝3．由图可知yxmax＝3

1＝3．故填3．9．设存在复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z·z＋2iz＝8＋ai(a∈R)．试求a的取值范围．解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0，由(2)得(x＋yi)(x－yi)＋2i

(x＋yi)＝8＋ai，即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai．由复数相等的定义得x2＋y2－2y＝8，①2x＝a，②由①得x2＋(y－1)2＝9，因为x<0，y>0，所以－3≤x<0，所以－6≤a＜0．10．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(i18是虚数单位

)，试求实数m取何值时：(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z对应的点位于复平面的第二象限．解：(1)由题意可得lg（m2－2m－2）＝0，m2＋3m＋2≠0，解得m＝3．(2)由题意可得

m2＋3m＋2＝0，m2－2m－2＞0，解得m＝－1或m＝－2．(3)由题意可得lg（m2－2m－2）＜0，m2＋3m＋2＞0，即m2－2m－2＞0，m2－2m－2＜1，m2＋3m

＋2＞0，解得－1<m＜1－3或1＋3＜m<3．11．(2018·成都诊断)已知关于t的方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)．(1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹方程；(2)求

方程的实根的取值范围．解：(1)设实根为m，则m2＋(2＋i)m＋2xy＋(x－y)i＝0，即(m2＋2m＋2xy)＋(m＋x－y)i＝0．根据复数相等的充要条件得m2＋2m＋2xy＝0，①m＋x－y＝0，②由②得m＝y－x，代入①得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0

，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2．故点(x，y)的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．(2)由(1)知点(x，y)的轨迹是一个圆，圆心为(1，－1)，半径r＝2．设方程的实根为m，则直线m＋x－y＝0与圆(x－1)2＋

(y＋1)2＝2有公共点，所以|1－（－1）＋m|2≤2，即|m＋2|≤2，即－4≤m≤0．故方程的实根的取值范围是[－4，0]．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω12，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下四个命题：①(z

1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)；②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)；③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；④z1*z2＝z2*z1；则真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解：由于ω1*

ω2＝ω12，对于①，(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)·z3＝z1z3＋z2z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)，显然成立；对于②，z1*(z2＋z3)＝z1(32zz)＝z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1

z3＝(z1*z2)＋(z1*z3)，显然成立；对于③，(z1*z2)*z3＝(z1z2)z3＝z1z2z3，而z1*(z2*z3)＝z1*(z2z3)＝z1z2z3，显然不成立；对于④，由于z1*z2＝z1z2，而z2*z1＝z2z1，显然不成立．故选B．19