【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案5．4《平面向量的应用》(含详解).doc，共(10)页，346.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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15．4平面向量的应用1．用向量方法解决几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、距离、夹角等问

题．(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．向量的符号形式及图形形式的重要结论(1)向量的和与差的模：||a＋b＝___________________________________________，||a－b＝

________________________．(2)①G为△ABC重心的一个充要条件：___________________________________________；②O为△ABC外心的一个充要条件：

___________________________________________；③P为△ABC垂心的一个充要条件：___________________________________________．(3)不同的三点A，B，C共线⇔存在α，β

∈R，使得OA→＝αOB→＋βOC→，O为平面任意一点，且____________．3．向量坐标形式的几个重要结论设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，θ为a与b的夹角．(1)长度或模||a＝____

________；||AB→＝_______________．(2)夹角cosθ＝____________＝__________________．(3)位置关系a∥b⇔____________(b≠0且λ∈R)⇔_________

___．a⊥b⇔____________⇔____________．自查自纠：2．(1)a2＋2a·b＋b2a2－2a·b＋b2(2)①GA→＋GB→＋GC→＝0②||OA→＝||OB→＝||OC→③PA→²PB→＝PB→²PC→

＝PC→²PA→(3)α＋β＝13．(1)x21＋y21（x4－x3）2＋（y4－y3）2(2)a·b||a||bx1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(3)a＝λbx1y2－x2y1＝0a·b＝0x1x2＋y1y2＝0设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图

象是一条直线，则必有()A．a⊥bB．a∥bC．|a|＝|b|D．|a|≠|b|解：f(x)＝－(a·b)x2＋(a2－b2)x＋a·b．依题意知f(x)的图象是一条直线，所以a·b＝0，即a⊥b．故选A．(2018广东惠州高三4月

模拟)在△ABC中，AB＝2AC＝2，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且BD→＝2DC→，则AB→²AD→＝()A．3B．2C．73D．23解：因为AD→＝CD→＋AC→＝13CB→＋AC→＝13(AB→－AC→)＋AC→＝13AB→＋23AC→，所以AB→·A

D→＝13AB→2＋23AB→·AC→＝43－23＝23．故选D．(2018·东莞高三二模)已知四边形ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，点E是线段AC上一点，AE→＝λAC→，且AE→²BE→＝－45，则实数λ的取

值为()A．34B．25C．13D．15解：由平面向量的平行四边形法则，得AE→＝λAC→＝λ(AB→＋AD→)，BE→＝AE→－AB→＝λ(AB→＋AD→)－AB→＝(λ－1)AB→＋λAD→，因为AE→·BE→＝－4

5，所以λ(AB→＋AD→)·[(λ－1)AB→＋λAD→]＝－45，即λ[4(λ－1)＋λ]＝2－45，解得λ＝25．另解：建立适当的平面直角坐标系，用向量的坐标运算求解．故选B．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时

作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝________．解：由物理知识知：f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1，2)．故填(1，2)．(2017·北京)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A

的坐标为(－2，0)，O为原点，则AO→²AP→的最大值为________．解：设AO→，AP→夹角为α，则AO→·AP→＝|AO→|·|AP→|cosα≤|AO→|·|AP→|≤2(1＋2)＝6，所以最大值是6．故填6．类型一向量与平面几何(1)（2017·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内

任一点，且满足(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形解：因为(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，即CB→·(AB→＋AC→)＝0，因

为AB→－AC→＝CB→，所以(AB→－AC→)·(AB→＋AC→)＝0，即|AB→|＝|AC→|，所以△ABC是等腰三角形．故选C．(2)(2018·河南安阳高三二模)已知在△OAB中，OA＝OB＝2，AB＝23，

动点P位于线段AB上，则当PA→²PO→取最小值时，向量PA→与PO→的夹角的余弦值为________．解法一：如图，因为OA＝OB＝2，AB＝23，所以∠A＝π6，所以PA→·PO→＝PA→·(PA→＋AO→)＝PA

→2＋PA→·AO→＝|PA→|2＋|PA→|·|AO→|cos5π6＝|PA→|2－3|PA→|＝|PA→|－322－34≥－34，当且仅当|PA→|＝32时取等号，此时|OP→|＝|OA→|2＋|AP→|2－2|OA→||AP→|cosA＝4＋34－2

³2³32³32＝72．所以向量PA→与PO→的夹角的余弦值为PA→·PO→|PA→||PO→|＝－3432³72＝－217．解法二：由已知∠AOB＝2π3，以O为原点，OB为x轴建立平面直角坐标系如图所示，则B(2，0)，A(－1，3)，令P(x，y)，BP→＝λBA→(0≤λ

≤1)，则(x－2，y)＝λ(－3，3)，所以x＝－3λ＋2，y＝3λ，即P(－3λ＋2，3λ)．则PA→＝(3λ－3，3－3λ)，PO→＝(3λ－2，－3λ)，PA→·PO→＝(3λ－3)·(3λ－2)＋(3－3λ)(－3λ)＝12λ2－18λ＋6．因为0

≤λ≤1，所以当λ＝34时，PA→·PO→取最小值，此时PA→＝－34，34，PO→＝14，－334，PA→与3PO→夹角的余弦值为PA→·PO→|PA→||PO→|＝－3432³72＝－217．故填－217．点拨：向量与平面几何的综合问题，往往要数形结合，借助平面几何的知

识解题．根据数量积求模或参数的值(范围)问题的一般方法：①基底法，②坐标法．(1)若O为空间中一定点，动点P在A，B，C三点确定的平面内且满足(OP→－OA→)·(AB→－AC→)＝0，则点P的轨迹一定过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心解：由已知

得AP→·CB→＝0，所以AP⊥CB，所以点P的轨迹一定过△ABC的垂心．故选D．(2)(2018·安徽马鞍山高三质监二)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD的中点，则AE→²EF→＝()A．12B．－32C．

32D．－12解：菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，所以AB→·AD→＝2³2³cos60°＝2，又因为AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋12AD→，EF→＝12BD→＝12(AD→－AB→)，所以AE→

·EF→＝AB→＋12AD→·12(AD→－AB→)＝12(12AD→2＋12AB→·AD→－AB→2)＝1212³4＋12³2－4＝－12．另解：连接AC，BD交于O，易知AC⊥BD，则AE→·EF→＝(AO→＋OE→)·EF→＝OE→·EF→＝1³1³cos120°

＝－12．故选D．类型二向量与函数、三角函数(1)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝13x3＋12|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．解：由题意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b必有可

变号零点，即Δ＝|a|2－4a·b>0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<12．所以a与b的夹角范围为π3，π．故填π3，π．(2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<

π2)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM→²ON→＝0(O为坐标原点)，则A等于()A．π6B．712πC．76πD．73π解：由题意知Mπ12，A，N712π，－A，又OM→·ON→＝π12³712π－A2＝

0，所以A＝712π．故选B．(3)已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－π2＜θ＜π2．(Ⅰ)若a⊥b，求θ；(Ⅱ)求|a＋b|的最大值．解：(Ⅰ)若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，因为－π2＜θ＜π2，所以tanθ＝－1，所以θ＝－π4．(Ⅱ)由a＝(sinθ，1)，b＝

(1，cosθ)，得a＋b＝(sinθ＋1，1＋cosθ)．所以|a＋b|＝（sinθ＋1）2＋（1＋cosθ）2＝3＋2（sinθ＋cosθ）＝3＋22sinθ＋π4．当sinθ＋π4＝

1时，|a＋b|取得最大值3＋224＝（2＋1）2＝2＋1．即当θ＝π4时，|a＋b|的最大值为2＋1．点拨：向量与函数、三角函数的综合题，多通过考查向量的线性运算、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理及数量积等来直接考查函数的

基本概念，函数、三角函数的图象与性质，三角变换等内容．此类题目中，向量往往是条件的载体，题目考查的重点仍是函数、三角函数，熟练掌握向量的概念和基本运算是解决问题的前提．(1)(2017·湖北宜昌联考)在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，CO→＝xCA→＋yCB→，且x＋y

＝1．若函数f(m)＝|CA→－mCB→|(m∈R)的最小值为32，则|CO→|的最小值为________．解：由CO→＝xCA→＋yCB→，且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，所以|CO→|的最小值为AB边上的高，又AC＝BC＝1，即O为AB的中点，且函数f

(m)＝|CA→－mCB→|的最小值为32，即点A到BC边的距离为32．又AC＝1，所以∠ACB＝120°，从而可得|CO→|的最小值为12．故填12．(2)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且O

M→²ON→＝0，则函数f(x)的最小正周期是________．解：由图象可知，M12，1，N(xN，－1)，所以OM→·ON→＝12，1·(xN，－1)＝12xN－1＝0，解得xN＝2，所以函数f(x)的最小正周

期是2³2－12＝3．故填3．(3)已知向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4．若m·n＝1，则cos2π3－x＝________．解：m·n＝3sinx4cosx4＋cos2x4

＝32sinx2＋1＋cosx22＝sinx2＋π6＋12，因为m·n＝1，所以sinx2＋π6＝12．因为cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12，所以cos2π3－x＝－

cosx＋π3＝－12．故填－12．类型三向量与解析几何已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，若OA→＋OB→＝OC→，则a的值为()A．±1B．±2C．±3D．±2解：因为A，B，C均为圆x2＋y2＝2上的点，故|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝

2，因为OA→＋OB→＝OC→，所以(OA→＋OB→)2＝OC→2，即OA→2＋2OA→·OB→＋OB→2＝OC→2，即4＋4cos∠AOB＝2，故∠AOB＝120°．则圆心O到直线AB的距离d＝2·cos60°＝22＝|a|

2，则|a|＝1，即a＝±1．故选A．点拨：向量在解析几何中的“两个”作用：①载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，5从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；②工具作用

，利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题常常是比较优越的方法．(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6

)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若PA→²PB→≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．解：设P(x，y)，由PA→·PB→≤20，易得2x－y＋5≤0．由2x－y＋5＝0，x2＋y2＝50，解得

x＝－5，y＝－5或x＝1，y＝7．令M(－5，－5)，N(1，7)，由2x－y＋5≤0得P点在圆左边弧MN︵上，结合限制条件－52≤x≤52，可得点P横坐标的取值范围为[－52，1]．故填[－52，1]．类型四向量在物理中的简单应用在长江南岸渡口处，江水以

252km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h．渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．解：如图所示，渡船速度为OB→，水流速度为OA→，船实际垂直过江的速度为OD→，依题意知|OA→|＝252，|OB→|＝25．因为OD→＝OB→＋OA→＝AD→＋OA→，所以在R

t△AOD中，∠ADO＝30°，从而∠BOD＝30°，即航向为北偏西30°．故填北偏西30°．点拨：在使用向量解决物理问题的一般步骤：①认真分析物理问题，深刻把握物理量之间的相互关系；②通过抽象、概括，把物理问题转化为与之相关

的向量问题；③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；④利用这个结果，对原物理现象作出合理解释．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的

大小分别为2和4，则F3的大小为____________．解：F1＋F2＝－F3，所以||F32＝||F1＋F22＝4＋16＋2³2³4³12＝28，所以||F1＋F2＝27．故填27．1．充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的“双重身份

”，重视向量的工具作用．2．利用向量解题的基本思路有两种，一是几何法，利用向量加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法，建立适当的坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题．3．向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模经坐标运算后转化为三角函数问

题，然后用三角函数基本知识求解，其中涉及到的有关向量的知识有：①向量的坐标表示及加、减法，数乘运算；②向量的数量积；③向量平行、垂直的充要条件；④向量的模、夹角等．4．注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题．如向量的共线定理，平

面向量基本定理，三角形“四心”的向量结论等．5．应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结论，选择使用向量的性质解决相应的问题．如用数量积解决垂直、夹角问题；用三角形法则、向量长度的计算公式解决平面几何中线段

的长度问题；用向量共线解决三点共线问题；6用向量的线性运算解决力、速度的问题等．如果题设条件中有向量，则可以联想向量的有关概念和性质直接使用；如果没有向量，则需要有向量的工具意识和应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题．1．已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，

y)满足PA→²PB→＝x2－6，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解：因为PA→＝(－2－x，－y)，PB→＝(3－x，－y)，所以PA→·PB→＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，所以y2＝x，即点P的

轨迹是抛物线．故选D．2．已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝()A．300JB．1002JC．2002JD．30002J解：W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉＝6³100³cos60°＝300(J)．故选A．3．已

知O是坐标原点，点A(－2，1)，若点M(x，y)为平面区域x＋y≥2，x≤1，y≤2内的一个动点，则OA→²OM→的取值范围是()A．[－1，0]B．[－1，2]C．[0，1]D．[0，2]解：OA→·OM→＝－2x＋y，画出不等式组x＋y≥2

，x≤1，y≤2表示的平面区域如图所示．平移直线y＝2x易知，当点M的坐标为(1，1)时，OA→·OM→取最小值－1，当点M的坐标为(0，2)时，OA→·OM→取最大值2．故选B．4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°

，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则MA→²MD→＝()A．1B．2C．3D．4解：取AD的中点O，连接MO，易知AD＝1，MO＝32，所以MA→·MD→＝(MO→－OD→)(MO→＋OD→)＝MO→2－OD→2＝2．故选B．5．△ABC是边长为2的等边

三角形，已知向量a，b满足AB→＝2a，AC→＝2a＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥BC→解：因为AB→＝2a，AC→＝2a＋b，所以a＝12AB→，b＝AC→－AB→＝BC→．因为△ABC是边长

为2的等边三角形，所以|b|＝2；a·b＝12AB→·BC→＝－1，故a，b不垂直；4a＋b＝2AB→＋BC→＝AB→＋AC→，故(4a＋b)·BC→＝(AB→＋AC→)·BC→＝－2＋2＝0，所以(4a＋b)⊥BC→．故选D．6．已

知函数f(x)＝3sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若OA→²OB→＝0，则函数f(x＋1)是()A．周期为4的奇函数B．周期为4的偶函数C．周期为2π的奇函数7D．周期为2π的偶函数解：由题图可得Aπ2ω，3，B

3π2ω，－3，由OA→·OB→＝0得3π24ω2－3＝0，又ω>0，所以ω＝π2，所以f(x)＝3sinπ2x，所以f(x＋1)＝3sinπ2（x＋1）＝3cosπ2x，它是周期为4的偶函数．故选

B．7．过点P(1，3)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则PA→²PB→＝________．解：在平面直角坐标系xOy中作出圆x2＋y2＝1及其切线PA，PB，如图所示．连接OA，OP，由图可知|OA|＝|OB|＝1，|OP|＝2，|PA→|＝|PB→|＝3，∠APO＝∠

BPO＝π6，则PA→，PB→的夹角为π3，所以PA→·PB→＝|PA→||PB→|cosπ3＝3³3³12＝32．故填32．8．(2018·上海)在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(2，0)，E、F是y轴上的两个动点，且|EF→|＝2，则AE→²BF→的最小值为_____

___．解：设E(0，m)．依题意，①当F(0，m＋2)时，AE→＝(1，m)，BF→＝(－2，m＋2)，AE→·BF→＝m2＋2m－2＝(m＋1)2－3，最小值为－3；②当F(0，m－2)时，最小值仍为－3．故填－3．9．已知平面向量a＝(4，5cosα)，b＝(3，－

4tanα)，α∈0，π2，a⊥b，求：(1)|a＋b|；(2)cosα＋π4的值．解：(1)因为a⊥b，所以a·b＝4³3＋5cosα³(－4tanα)＝0，解得sinα＝35．又因为α∈0，π2，所以cosα＝45，tanα＝sinαcosα＝34，所以a＝(4

，4)，b＝(3，－3)，所以a＋b＝(7，1)，因此|a＋b|＝72＋12＝52．(2)cosα＋π4＝cosαcosπ4－sinαsinπ4＝45³22－35³22＝210．10．已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其所对边长，向量m＝23

sinA2，cos2A2，n＝cosA2，－2，m⊥n．(1)求角A的大小；(2)若a＝2，cosB＝33，求b的长．解：(1)已知m⊥n，所以m·n＝23sinA2，cos2A2·cosA2，－2＝3sinA

－(cosA＋1)＝0，即3sinA－cosA＝1，即sinA－π6＝12．因为0<A<π，所以－π6<A－π6<5π6．所以A－π6＝π6，所以A＝π3．(2)在△ABC中，A＝π3，a＝2，cosB＝33，sinB＝1－cos2B＝1－13＝63．由正弦定理知asi

nA＝bsinB，所以b＝a·sinBsinA＝2³6332＝423．11．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OA→＋AB→＋AC→＝0，且|OA→|＝|AB→|，求CA→在CB→方向上的投影．解：如图，由

题意可设D为BC的中点，由8OA→＋AB→＋AC→＝0，得OA→＋2AD→＝0，即AO→＝2AD→，所以A，O，D共线且|AO→|＝2|AD→|，又O为△ABC的外心，所以AO为BC的中垂线，所以|AC→|＝

|AB→|＝|OA→|＝2，|AD→|＝1，所以|CD→|＝3，所以CA→在CB→方向上的投影为3．(河北衡水武邑中学2018届高三下学期六模)已知F为抛物线M：y2＝4x的焦点，A，B，C为抛物线M上三点，当FA→＋FB→＋FC→＝0时，称△ABC为“和谐三角形”，

则“和谐三角形”有()A．0个B．1个C．3个D．无数个解：抛物线方程为y2＝4x，A，B，C为曲线M上三点，当FA→＋FB→＋FC→＝0时，F为△ABC的重心，用如下办法构造△ABC，连接AF并延长至D，使FD＝12AF，当D在抛物线内部时，设D(x0，y0)，若存在以D为中

点的弦BC，设B(m1，n1)，C(m2，n2)，则m1＋m2＝2x0，n1＋n2＝2y0，n1－n2m1－m2＝kBC，则n21＝4m1，n22＝4m2，两式相减化为(n1＋n2)·n1－n2m1－m2＝4，kBC＝

n1－n2m1－m2＝2y0，所以总存在以D为中点的弦BC，所以这样的三角形有无数个．故选D．910