【文档说明】(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习13《三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式》(含详解).doc，共(25)页，1.147 MB，由MTyang资料小铺上传

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考点13三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式1．任意角的概念、弧度制（1）了解任意角的概念.（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切

）的定义.（2）能利用单位圆中的三角函数线推导出2，π的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出sin,cos,tanyxyxyx的图象，了解三角函数的周期性.（3）理解同角三角函数的基本关系式：22sincos1xx，sintancos

xxx.一、角的有关概念1．定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2．分类（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角．（2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（3）终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在

内，可构成一个集合·3{|}60,SkkZ．3．象限角与轴线角第一象限角的集合为π2π2π,2kkkZ；第二象限角的集合为π2π2ππ,2kkkZ；第三象限角的

集合为3π2ππ2π,2kkkZ；第四象限角的集合为3π2π2π2π,.2kkkZ终边与x轴非负半轴重合的角的集合为2π,kkZ；终边与x轴非正半轴重合的角的集合为2ππ,kkZ；终边与x轴重合的角的集合为π,kk

Z；终边与y轴非负半轴重合的角的集合为π2π,2kkZ；终边与y轴非正半轴重合的角的集合为π2π,2kkZ；终边与y轴重合的角的集合为ππ,2kkZ；终边与坐标轴重合的角的集合为π,2k

kZ．二、弧度制1．1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．规定：,llr是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度

数为零．2．弧度制用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值lr与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．3．弧度与角度的换算180π180πrad,1rad=57.3,1=radπ180．

4．弧长公式lr，其中的单位是弧度，l与r的单位要统一.角度制下的弧长公式为：π180nrl（其中n为扇形圆心角的角度数）.5．扇形的面积公式21122Slrr.角度制下的扇形面积公式为：2π360nrS（其中n为扇形圆心角的

角度数）.三、任意角的三角函数1．定义设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，点,Pxy是角的终边上任意一点，P到原点的距离0OPrr，那么角的正弦、余弦、正切分别是sin,cos,tanyxyrrx

．注意：正切函数tanyx的定义域是ππ,2kkZ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R.2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．三角函数线设角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，

终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M．由三角函数的定义知，点P的坐标为cos,sin，即cos,sinP，其中cos,sin,OMMP单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则tanAT．我们把有向线段,,OM

MPAT分别叫做的余弦线、正弦线、正切线．各象限内的三角函数线如下：角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形4．特殊角的三角函数值0304560901201351501802703600π6π4π3π22π33π4

5π6π3π22πsin01222321322212010cos13222120122232101tan03313不存在31330不存在0补充：6262sin15cos75,si

n75cos15,44tan1523,tan7523.四、同角三角函数的基本关系式1．平方关系22sincos1．2．商的关系sincostan．3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：2

222sin1cos,cos1sin；（2）商的关系的变形：sinsintancos,costan；（3）2222111tan1,1cossintan．五、三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α（k∈Z）π+α−απ−α2−α2

+α正弦sinα−sinα−sinαsinαcosαcosα余弦cosα−cosαcosα−cosαsinα−sinα正切tanαtanα−tanα−tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限考向一三角函数的定义1．利用三角函数的定义求角的三角函数值

，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．3

．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin，cos，tan)中任意两个的符号，可分别确定出角的

终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.典例1已知角的终边上有一点P（3，m），且2sin4m，求cos与tan的值.【解析】由已知有2243mmm，得m=0，或5m.当m=0时，cos1,tan0

；当5m时，615cos,tan43；当5m时，615cos,tan43.【名师点睛】任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．1．已知角8π

3的终边经过点(,23)Px，则x的值为A．±2B．2C．﹣2D．﹣4考向二象限角和终边相同的角的判断及表示方法1．已知θ所在的象限，求n或nθ（nN*）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k）表示，然后两边同

除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到n或nθ（nN*）所在的象限．2．象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k·360°＋α（0°≤α<360°，kZ）的形式，即找出与此角终边相同的

角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.典例2已知sin325,4cos25,试确定角α是第几象限的角

.【解析】因为sin325>0,4cos25<0，所以2是第二象限的角，所以π2π2ππ,22kkkZ.由3222sin5知3π2π2ππ,42kkkZ,所以3π4π4π2π,2kkkZ,故角α是第四象限的角.【名

师点睛】角2与所在象限的对应关系：若角是第一象限角，则2是第一象限角或第三象限角；若角是第二象限角，则2是第一象限角或第三象限角；若角是第三象限角，则2是第二象限角或第四象限角；若角是第四象限角，则2是第二象限角或第四象限角．2．若sinx＜0，且sin（co

sx）＞0，则角x是A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角考向三同角三角函数基本关系式的应用1．利用22sin+cos1可以实现角的正弦、余弦的互化，利用sincostan可以实现角的弦切

互化．2．sin,cos的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin,cos的齐次式，或含有22sin,cos及sincos的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“22sin+cos1”代换后转化为“切”后求解.典例3已

知，.（1）当时，求的值；（2）当时，求的值.【解析】（1）由已知得，∴，∴，又，∴，∴.（2）当时，.①方法1：，∴，∴，∵，∴.②由①②可得，，∴.方法2：，∴，∴，∴或，又，∴，∴，∴.3．已知ππ,42

，则2cos12sin(π)cosA．sincosB．sincosC．cossinD．3cossin考向四诱导公式的应用1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，

具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．3．利用诱导公式化简三角函数式的思路

：（1）分析结构特点，选择恰当公式；（2）利用公式化成单角三角函数；（3）整理得最简形式．利用诱导公式化简三角函数式的要求：（1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．常见的互余关系有π3与

π6，π3与π6，π4与π4等；常见的互补关系有π3与2π3，π4与3π4等.典例4已知2sinπ3,且π,02，则tan2πA．255B．255C．52D．52【答案】A【解析】∵

2sinπ3，∴2sin3.∵π,02，∴5cos3，则25tan5.∵tan2πtan，∴25tan2π5.故选A．典例5（1）化简：sinπcos3πtanπtan2πtan4πsin5πa

；（2）化简：sin540cos360tan540tantan900sinxxxxxx.【解析】（1）sinπcos3πtan

πtan2πsincostantantan4πsin5πtansina=costansin.（2）原式2sincostantancossintan

sinxxxxxxxx.4．已知2019π1cos22，π,π2，则cosA．12B．12C．32D．32考向五同角三角函数的基本关系式、诱导公式在三角形中的应用与三角形相结合时，诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形

有：πABC,222π2ABC，π2222ABC等，于是可得ini(ssn)ABC，cossin22ABC等．典例6在ABC△中，内角，，所对的边分别是，，，若，π3C，，则______，________

.【答案】35，【解析】由sin3tancos4AAA,得22π34sincos1,sincos255AAAAA，又，，3143343sinsinsincoscossin525210BACACAC,由正弦定理sin34352

343sinsinsin103baaBbBAA，得.5．在△ABC中，“sincosAB”是“△ABC为钝角三角形”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不

必要条件1．与2019终边相同的角是A．37B．37C．37D．1412．设集合{|9036,}MkkZ，{|180180}N，则MNA．{36,54}B．{126,144}C．{36,54,12

6,144}D．{54,126}3．已知扇形面积为3π8，半径是l，则扇形的圆心角是A．3π16B．3π8C．3π4D．3π24．函数cossintansincostanxxxyxxx的值域是A．1,0,1,3B．1,0,3C．1,3D．

1,15．若tan0，则A．sin0B．cos0C．sin20D．cos206．若sin3sinπ，π,0,2，则tantanA．2B．1

2C．3D．137．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点5π5πsin,cos33P，则sinπA．32B．12C．12D．328．已知sinπ22sin3cos5，则t

anA．23B．23C．6D．69．若0,π，2sinπcos3，则sincos的值为A．23B．23C．43D．4310．已知点12，P在终边上，则6sin8cos3sin2cos______．11．在

平面直角坐标系中,点的坐标为34,55,是第三象限内一点,,且3π4POQ,则点的横坐标为_________.12．已知π(0)2的终边与单位圆交于点P,点P关于直线yx对称后的点为M,点M关于y轴对称后的点为N,设角的终边为射线ON.（1）与的关系

为_________;（2）若1sin3,则tan________.13．在ABC△中，3sin()3sin()2AA，且cosA＝－3cos（π－B），则C等于．14．已知角的终边经过点22，Pm，且1cos3．（1）求m的值；（2）求22co

ssin2sincos的值．15．已知△ABC中，7sincos5AA.（1）试判断三角形的形状；（2）求tanA的值.16．已知向量2,sin（）a与1,cos（）b互相平行，其中θ(0,)

2.（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若sin（θ－φ）＝1010，0<φ<2，求cosφ的值．1．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）tan255°=A．−2−3B．−2+3C．2−3D．2+32．（2019年高考全

国Ⅱ卷文数）已知a∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A．15B．55C．33D．2553．（年高考全国Ⅰ卷文数）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点1Aa，，2Bb，，且2cos23，则

abA．15B．55C．255D．14．（年高考北京卷文数）在平面直角坐标系中，,,,ABCDEFGH是圆221xy上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O𝑥为始边，OP为终边，若tancossin，则P所在的圆弧是A．ABB．CDC．EFD．GH5．（年

高考全国Ⅰ卷文数）已知π(0)2，，tanα=2，则πcos()4=.6．（年高考北京卷文数）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=13，则sin=_________．7．（年高考浙江卷）已知角α的顶点与原点O重合

，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455，-）．（1）求sin（α+π）的值；（2）若角β满足sin（α+β）=513，求cosβ的值．1．【答案】C【解析】∵已知角8π3的终边经过点(,23)Px，∴8π2ππt

antantan333323x，则2x.故选C．【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．求解时，直接利用任意角的三角函数的定义求得x的值．2．【答案】D【解析】∵﹣1≤cosx≤1，且sin（cosx）＞0，∴0＜cosx≤1，

又sinx＜0，∴角x为第四象限角，故选D．【名师点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．求解时，根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．3．【

答案】A【解析】因为ππ,42，所以2cos12sinπcos2cos12sincos22cossincos2cossincossincos

.变式拓展故选A.【名师点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数式的化简等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合诱导公式和三角函数的性质化简三角函数式即可.4．【答案】C【解析】因为2019π1cos22，由诱导公式可得，2019π3π1co

s()cos()sin222，又因为π,π2，所以23cos1sin2.故选C.【名师点睛】本题考查了诱导公式，解题的关键是在于诱导公式的掌握，易错点为没有注意角的范围，属于较为基础题.求解时，先由诱导公式对原式进行化简，从而可得

sin，再利用角的平方关系可得结果.5．【答案】A【解析】由πsincoscoscos2ABAB，且B必为锐角，可得π2AB或π2AB，即角A或角C为钝角；反之，当100A，30

B时，3cos2B，而3sinsin1202A=cosB，所以sincosAB不成立，所以“sincosAB”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查了三角形形状的判定，考查诱导公式等，属于综合题．求解时，先由诱导公

式将正弦化为余弦，利用余弦的三角函数线比较大小即可得到角A或角C为钝角，再举反例说明必要性不成立即可.1．【答案】D【解析】终边相同的角相差了360的整数倍，考点冲关设与2019角的终边相同的角是，则2019360k，kZ

，当6k时，141．故选D．【名师点睛】本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式．属于基本知识的考查．终边相同的角相差了360的整数倍，由2019360k，kZ，令6k，即可得解．2．【答案】C【解析】∵{|9036,}MkkZ

，∴当0k时36，1k时54，2k时144，1k时126，又{|180180}N，∴36,54,144,126MN．故选C．【名师点睛】

本题考查了交集及其运算，考查了赋值思想，是基础题．求解时，分别取0,1,2,1k，得到M内的值，与N取交集得答案．3．【答案】C【解析】设扇形的圆心角是，则23π1182，解得3π4，

故选C．4．【答案】C【解析】由题意可知：角x的终边不能落在坐标轴上，当角x终边在第一象限时，cossintan1113sincostan；xxxyxxx当角x终边在第二象限时，cossintan1111sinco

stan；xxxyxxx当角x终边在第三象限时，cossintan1111sincostan；xxxyxxx当角x终边在第四象限时，cossintan1111,sincostanxxxyxxx因此函数的值域为1,3，故

选C.【名师点睛】本题考查了三角函数的正负性、分类讨论思想、数学运算能力.因为角x的终边不能落在坐标轴上，所以分别求出角x终边在第一、第二、第三、第四象限时，根据三角函数的正负性，函数的表达式，进而求出函数的

值域.5．【答案】C【解析】由tan0得α是第一、三象限角，若α是第三象限角，则A，B错；由sin22sincos知sin20，C正确；α取π3时，2211cos22cos12()1022

，D错．6．【答案】A【解析】因为sin3sinπ，所以sincos2cossin,即tan2tan，选A．7．【答案】B【解析】由诱导公式可得：5πππ3sinsi

n2πsin3332，5πππcoscos2πcos33312，即31,22P，由三角函数的定义可得：22112sin23122，则sinπ1sin2.故选B.8．【答案】C【解析

】根据三角函数的诱导公式和三角函数基本关系式，可得：sinπsintan22sin3cos2sin3cos2tan35，解得tan6，故选C.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系

式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．【答案】C【解析】由诱导公式得2sinπcossincos3，两

边平方得22sincos12sincos9，则72sincos09，所以216sincos12sincos9，又因为0,π，所以sincos0，所以4sincos3，故选C．10．【答案】5【解析

】∵点P（1，2）在角α的终边上，∴tan2，将原式分子分母同除以cos，则原式6tan86282053tan23224.故答案为：5．【名师点睛】此题考查了任意角的三角函数定义,同角三角函数基本关系的运

用，属于基础题．求解时，根据P坐标，利用任意角的三角函数定义求出tan的值，原式分子分母除以cos，利用同角三角函数间基本关系化简，把tan的值代入计算即可求出值．11．【答案】7210【解析】设xOP,则34cos,sin55,Q点的横坐标为3π72co

s410.12．【答案】（1）π2;（2）22【解析】（1）由题意可得点P为单位圆上的点，并且以射线OP为终边的角的大小为，所以(cos,sin),P又因为PM，两点关于直线yx对称，所以(sin,cos)M．即ππcossin22M

（，）．则π2.（2）ππ1,coscossin,223ππ220,sinsincos,223故sintan22.cos13．【答案】2【解析】∵33sin(

)3sin()3cos3sin,tan=23AΑAAA，∴∴，又0A，6A∴.又cos3cos(),AB即cos3cosAB，11coscos,0623BB

∴..32BCΑΒ∴∴故填2.14．【解析】（1）因为角的终边经过点22，Pm，且1cos3，所以有2138mm，求得1m.（2）由（1）可得，tan22

，所以22cossin2sincos=2222cossin2sincoscossin=221tan2tan1tan=7429．【名师点睛】本题考查了余弦函数的定义，同角三角函数关系中的正弦、余弦平方和为1的

关系和商关系，考查了数学运算能力.15．【解析】（1）将原式平方得1−2sinAcosA=49,25即2sinAcosA=−24025，故cosA0，则三角形为钝角三角形.（2）由（1）cosA+sinA=112sincos5AA

，解得4sin53cos5AA或3sin54cos5AA，故tanA=34或43.【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查化简求值能力，是中档题.求解时，（1）将原式平方得2sinAcosA<0,得cosA0即可判断三角形为钝角

三角形；（2）结合（1）求得cosA+sinA=15，求得sinA及cosA即可求解.16．【解析】（1）∵a与b互相平行，∴sinθ＝2cosθ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，可得cosθ＝55，又θ∈(0,)2，∴cosθ＝55，∴sinθ＝255.（2）∵0

<φ<2，0<θ<2，∴－2<θ－φ<2，又sin（θ－φ）＝1010，∴cos（θ－φ）＝21sin()＝31010，∴cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθcos（θ－φ）＋sinθsin（θ－φ）=22.1．【答案】D【解析】tan

255tan(18075)tan75tan(4530)=tan45tan301tan45tan3031323.313故选D.【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公

式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．2．【答案】B直通高考【解析】2sin2cos21αα，24sincos2cos.0,,cos02ααα

αα，sin0,α2sincosαα，又22sincos1，2215sin1,sin5αα，又sin0，5sin5，故选B．【名师点睛】本题是对三角函数中二

倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．3．【答案】B【解析】根据条件

，可知,,OAB三点共线，从而得到2ba，因为22212cos22cos12131a，解得215a，即55a，所以525abaa，故选B.【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換，考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力，

考查的数学核心素养是数学运算.4．【答案】C【解析】由下图可得：有向线段OM为余弦线，有向线段MP为正弦线，有向线段AT为正切线.对于A选项：当点P在AB上时，cos,sinxy，cossin，故A选项错误；对于B选项：当点P在CD上

时，cos,sinxy，tanyx，tansincos，故B选项错误；对于C选项：当点P在EF上时，cos,sinxy，tanyx，sincostan，

故C选项正确；对于D选项：当点P在GH上且GH在第三象限时，tan0,sin0,cos0，故D选项错误.综上，故选C.【名师点睛】此题主要考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图

形，找到sin,cos,tan所对应的三角函数线进行比较.逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.5．【答案】31010【解析】由tan2得sin2cos，又22sincos1，所以21cos5

，因为π(0,)2，所以525cos,sin55，因为πππcos()coscossinsin444，所以π52252310cos()4525210.【名师点睛】三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把

非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题

的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．6．【答案】13【解析】因为角与角的终边关于y轴对称，所以π2π,kkZ，所以1sinsinπ2πsin3k.【名师点睛】本

题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于y轴对称，则π2π,kkZ；若与的终边关于x轴对称，则2π,kkZ；若与的终边关于原点对称，则π2π,kk

Z.7．【答案】（1）45；（2）56cos65或16cos65.【解析】（1）由角的终边过点34(,)55P得4sin5，所以4sin(π)sin5.（2）由角的终边过点34(,)55P得3cos5，由5sin()13得12cos

()13.由()得coscos()cossin()sin，所以56cos65或16cos65.【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能

力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.（1）首先利用三角函数的定义求得sin，然后利用诱导公式，计算sin（α+π）的值;（2）根据

sin（α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos()的值，要注意该值的正负，然后根据()，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cosβ的值.