【文档说明】高考数学(理数)二轮复习专题6 第3讲《圆锥曲线的综合问题》练习 (含答案详解).doc，共(7)页，132.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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专题复习检测A卷1．(北京海淀区校级三模)若双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)与C2：y2a2－x2b2＝1的离心率分别为e1和e2，则下列说法正确的是()A．e21＝e22B．1e21＋

1e22＝1C．C1与C2的渐近线相同D．C1与C2的图象有8个公共点【答案】A【解析】由题意，e1＝a2＋b2a＞1，e2＝a2＋b2a＞1，显然e21＝e22.故选A．2．(河南焦作模拟)设P是椭圆x225

＋y29＝1上一点，M，N分别是两圆(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为()A．9,12B．8,11C．8,12D．10,12【答案】C【解析】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由

椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10.连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|P

A|＋|PB|＋2R＝12.故选C．3．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥FB，设∠ABF＝θ且θ∈π12，π4，则双曲线离心率的取值范围是()A．(2，2]B．(1，2]C．(2，＋

∞)D．(2，＋∞)【答案】C【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′.∵AF⊥FB，∴四边形AFBF′为矩形．因此|AB|＝|FF′|＝2c.则|AF|＝2csinθ，|BF|＝2ccosθ.∵|AF′|－|AF|＝2a.∴2ccosθ－2csin

θ＝2a，即c(cosθ－sinθ)＝a，则e＝ca＝1cosθ－sinθ＝12cosθ＋π4.∵θ∈π12，π4，∴θ＋π4∈π3，π2，则cosθ＋π4∈0，12，2cosθ＋π4∈0，22，则12cosθ＋π4＞122＝2

，即e＞2，故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．故选C．4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A．12B．13C．34D．43【答案】D【解析】根据已

知条件，得－p2＝－2，所以p＝4.从而抛物线的方程为y2＝8x，其焦点为F(2,0)．设切点B(x0，y0)，由题意，在第一象限内y2＝8x⇒y＝22x.由导数的几何意义可知切线的斜率为kAB＝y′|x＝x0＝2x0，而切线

的斜率也可以为kAB＝y0－3x0－－2.又因为切点B(x0，y0)在曲线上，所以y20＝8x0.由上述条件解得x0＝8，y0＝8，即B(8,8)．从而直线BF的斜率为8－08－2＝43.故选D．5．(黑龙江绥化检测)已知圆C

1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为()A．2B．4C．8D．9【答案】D【解析】圆C1的标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C2的标准方

程为x2＋(y－b)2＝1，其圆心为(0，b)，半径为1.∵圆C1和圆C2只有一条公切线，∴圆C1与圆C2相内切，∴－2a－02＋0－b2＝2－1，得4a2＋b2＝1.∴1a2＋1b2＝1a2＋1b2(4a2＋b2)＝5＋b2a2＋4a

2b2≥5＋2b2a2·4a2b2＝9，当且仅当b2a2＝4a2b2，且4a2＋b2＝1，即a2＝16，b2＝13时等号成立．∴1a2＋1b2的最小值为9.6．(浙江绍兴检测)双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将

平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是________．【答案】52，＋∞【解析】双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，且“右”区域是由不等式组

y<bax，y>－bax所确定．又点(2,1)在“右”区域内，∴1<2ba，即ba>12.∴双曲线的离心率e＝1＋ba2∈52，＋∞.7．已知实数x，y满足方程(x－a＋1)2＋(y－1)2＝1，当0≤y≤b(b∈R)时，由此方程可以确定一个偶函数y＝f(x)，则抛物线

y＝－12x2的焦点F到点(a，b)的轨迹上点的距离最大值为________．【答案】132【解析】由题意可得圆的方程一定关于y轴对称，故由－a＋1＝0，求得a＝1.由圆的几何性质知，只有当y≤1时，才能保证此圆的方程确定的函数是一个偶函数，故0＜b≤1.由此知点(a，b)

的轨迹是一线段，其横坐标是1，纵坐标属于(0,1]，又抛物线y＝－12x2，故其焦点坐标为0，－12，由此可以判断出焦点F到点(a，b)的轨迹上点的距离最大值是1－02＋1＋122＝132.8．(湖北襄阳模拟)已知直线l：3x＋y＋m＝0与双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a

＞0，b＞0)右支交于M，N两点，点M在第一象限，若点Q满足OM→＋OQ→＝0(其中O为坐标原点)，且∠MNQ＝30°，则双曲线C的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由题意可知M，Q关于原点对称，设M(

m，n)，N(u，v)，则Q(－m，－n)，代入双曲线方程，得m2a2－n2b2＝1，u2a2－v2b2＝1，两式相减，得m2－u2a2＝n2－v2b2，∴kMN·kQN＝n－vm－u·n＋vm＋u＝n2－v2m2－u2＝b2a2.∵kMN＝－3，kQN＝tan150°＝－33，∴b2a2＝1，

即a＝b.∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x.9．(重庆期末)如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且AB→与n＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线y＝kx＋m与椭圆E有两个不同的交点P

和Q，当k变化时，原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．【解析】(1)因为2c＝2，所以c＝1.又AB→＝(－a，b)，且AB→∥n，所以2b＝a，所以2b2＝b2＋1，所以b2＝1，a2＝2.所以椭圆E的标准方程为x22＋y

2＝1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把y＝kx＋m代入x22＋y2＝1，消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.所以x1＋x2＝－4km2k2＋1，x1x2＝2m2－22k2＋1，Δ＝16k2－8m2＋8>0，即m2<2k2＋1

.(*)因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部，所以OP→·OQ→<0，即x1x2＋y1y2<0.又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝m2－2k22k2＋1，由2m2－22k2＋1

＋m2－2k22k2＋1<0，得m2<23k2＋23.依题意且满足(*)得m2<23，故实数m的取值范围是－63，63.10．(安徽蚌埠二模)在平面直角坐标系xOy中，动圆M过定点F(1,0)，且与直线x＝－1相切，曲线C为

圆心M的轨迹．(1)求曲线C的方程；(2)过(2,0)的直线l与C有两个不同的交点A，B，已知点Q(－2,0)，QA，QB与y轴分别交于M(0，m)，N(0，n)两点，求证：m＋n为定值．【解析】(1)由题意知圆心M的轨迹是以(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物

线，∴圆心M的轨迹方程为y2＝4x.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：x＝ty＋2，与曲线C：y2＝4x联立，化简得y2－4ty－8＝0.∴y1＋y2＝4t，y1y2＝－8.直线QA：y＝y1x1＋2(x＋2)，令x＝0，得m＝2y1ty1＋4.同理可得n＝2

y2ty2＋4.∴m＋n＝2y1ty1＋4＋2y2ty2＋4＝4ty1y2＋8y1＋y2t2y1y2＋4ty1＋y2＋16＝0.∴m＋n为定值．B卷11．(浙江杭州模拟)F为椭圆x25＋y2＝1的右焦点，第一象限内的点M在椭圆上，若MF⊥x轴，直线MN与圆x2＋y2

＝1相切于第四象限内的点N，则|NF|等于()A．213B．45C．214D．35【答案】A【解析】∵MF⊥x轴，F为椭圆x25＋y2＝1的右焦点，∴F(2,0)，M2，55.设lMN：y－55＝k(x－2)，N(x，y)，则

O到lMN的距离d＝－2k＋55k2＋1＝1，解得k＝255或k＝－2515(舍去)．联立x2＋y2＝1，y－55＝255x－2，解得x＝23，y＝－53，即N23，－53，∴|NF|＝

2－232＋532＝213.12．(云南昆明模拟)已知抛物线y2＝8x，过点M(1，0)的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若|AF|＝6，O为坐标原点，则△OAB的面积是()A．322B．32C．522D．52

【答案】C【解析】抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A作准线的垂线AH，如图．由抛物线的定义可知|AF|＝|AH|＝6，∴x1＋2＝6.∴x1＝4，y1＝42.设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由

y＝kx－1，y2＝8x得k2x2－(2k2＋8)x＋k2＝0，∴x1x2＝1，x2＝1x1＝14.∴y2＝－2.∴△OAB的面积S△OAB＝S△AOM＋S△BOM＝12|y1|×1＋12|y2|×1＝12×(42＋2)＝522.13．若F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝

1(a>0，b>0)的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆交双曲线的右支于点P，若∠PF1F2＝α，则双曲线离心率为__________．(结果用α表示)【答案】1cosα－sinα【解析】依题意，知PF1⊥PF2，∴|PF1|＝2c·cosα，|PF2|＝2c·sinα.∴e＝

2c2a＝2c|PF1|－|PF2|＝1cosα－sinα.14．(山东威海模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，Q为抛物线y2＝12x的焦点，且F1B→·QB→＝0,2F1F2→＋QF1→＝0.(1

)求椭圆C的标准方程；(2)过定点P(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点(M在P，N之间)，设直线l的斜率为k(k>0)，在x轴上是否存在点A(m,0)，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出

实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由已知Q(3,0)，F1B⊥QB，|QF1|＝4c＝3＋c，所以c＝1.在Rt△F1BQ中，F2为线段F1Q的中点，故|BF2|＝2c＝2，所以a＝2.所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)设直线l

的方程为y＝kx＋2(k>0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，取MN的中点为E(x0，y0)．假设存在点A(m,0)使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，则AE⊥MN.由y＝kx＋2，x24＋y

23＝1，化简，得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0，Δ>0⇒k2>14.又k>0，所以k>12.因为x1＋x2＝－16k4k2＋3，所以x0＝－8k4k2＋3，y0＝kx0＋2＝64k2＋3.因为AE⊥MN，所以kAE＝－1k，即64k2＋3－0－8k4k2＋3－m＝－1k，整理得m＝－

2k4k2＋3＝－24k＋3k.因为k＞12时，4k＋3k≥43，14k＋3k∈0，312，所以m∈－36，0.