【文档说明】(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习11《导数的概念及计算》(含详解).doc，共(19)页，1023.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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考点11导数的概念及计算1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景.（2）理解导数的几何意义.2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数y=C（C为常数），21,,yxyxyx的导数.（2）能利用下面给出的基本初等函数的导

数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.•常见基本初等函数的导数公式：1()0();(),nnCCxnxnN为常数；(sin)cos;(cos)sinxxxx；(e)e;()ln(0,1)xxxxaaaaa且；11(ln);(lo

g)loge(0,1)aaxxaaxx且.•常用的导数运算法则：法则1：uxvxuxvx＝.法则2：·uxvxuxvxuxvx＝＋.法则3：2()()()()()[](()0)()()uxuxvxuxvxvxvxv

x.一、导数的概念1．平均变化率函数()yfx从1x到2x的平均变化率为2121()()fxfxxx，若21xxx，2()yfx1()fx，则平均变化率可表示为yx.2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数()sst来描述，那

么，物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到tt这段时间内，当t无限趋近于0时，st无限趋近的常数.3．瞬时变化率定义式0000()()limlimxxfx+xfxyxx实质瞬时变化率是当自

变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢4．导数的概念一般地，函数()yfx在0xx处的瞬时变化率是0000()()limlimxxfx+xfxyxx，我们称它为函数()yfx在0xx处的导数，记作0()fx或

0|xxy，即00()limxyfxx000()()limxfx+xfxx.【注】函数()yfx在0xx处的导数是()yfx在0xx处的瞬时变化率.5．导函数的概念如果函数()yf

x在开区间(a，b)内的每一点都是可导的，则称()fx在区间(a，b)内可导．这样，对开区间(a，b)内的每一个值x，都对应一个确定的导数()fx，于是在区间(a，b)内()fx构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()yfx的导

函数(简称导数)，记为()fx或y，即()fxy0()()limxfx+xfxx.二、导数的几何意义函数()yfx在0xx处的导数0()fx就是曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线的斜率k

，即0000()()()limxfx+xfxkfxx.【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y

−y0=f′(x0)(x−x0)；（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y−f(x1)=f′(x1)(x−x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1

的值代入方程y−f(x1)=f′(x1)(x−x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．三、导数的计算1．基本初等函数的导数公式函数导数f(x)=C(C为常数)()fx=0*()=()nfxxnN1*()=()nfxnxnNf(x)=sinx()=cosfxxf(x)=cosx()

=sinfxx()(01)xfxaa>a且()ln(01)xfxaaa>a且()exfx()exfx()log(01)afxxaa且1()=(01)lnfxaaxa且f(x)=lnx1()=fxx

2．导数的运算法则（1）uxvxuxvx＝.（2）·uxvxuxvxuxvx＝＋.（3）2()()()()()[](()0)()()uxuxvxuxvxvxvxvx.3．复合函数的导数复

合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．考向一导数的计算1．导数计算的原则和方法（1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．（2）方法：

①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式

，再求导.2．求复合函数的导数的关键环节和方法步骤（1）关键环节：①中间变量的选择应是基本函数结构；②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数.（2）方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适

当选择中间变量；②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.典例1求下列函数的导函数：（1）42356yxxx；（2）2sincos22xxxy；（3）2logyxx；（4）cosxyx.

【解析】（1）∵42356yxxx，∴3465yxx；（2）由题得12sin2xyx，则12ln2cos2xyx.（3）11ln2yx.（4）22(sin)cos1sincosxxxxxxyxx.【名师点睛】熟

记基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则是正确求导数的基础.（1）运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数()yfx在开区间(a,b)内的导数的基本步骤：①分析函数()yfx的结构和特征；②选择恰当的求导公式和运算法则求导；③整理得结果.（2）对较复杂的函数求导数时，先化简再求

导.如对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的性质将真数转化为有理式或整式求解更为方便；对于三角函数，往往需要利用三角恒等变换公式，将函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导.

1．函数22esinfxxx的导数是A．4ecosfxxxB．4ecosfxxxC．28ecosfxxxD．28ecosfxxx2．已知函数fx的导函数为()fx

，且满足关系式()3(2)lnfxxfx，则(1)f的值等于A．14B．14C．34D．34考向二导数的几何意义求曲线y=f(x)的切线方程的类型及方法（1）已知切点P(x0,y0)，求y=f(x)过点P的切线方程：求出切

线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k，求y=f(x)的切线方程：设切点P(x0,y0)，通过方程k=f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f(x)的切

线方程：设切点P(x0,y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再

由k=f′(x0)求出切点坐标(x0,y0)，最后写出切线方程．（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．典例

2已知函数2lnyxx.（1）求这个函数的图象在1x处的切线方程；（2）若过点0,0的直线l与这个函数图象相切，求直线l的方程.【解析】（1）2lnyxxx，当1x时，0,1yy，∴这个函数的图象在1

x处的切线方程为1yx.（2）设直线l与这个函数的图象的切点为2000,lnxxx，则直线l的方程为2000000ln2lnyxxxxxxx，由直线l过点0,0，得2000000ln2lnx

xxxxx，∴00ln2ln1xx，∴0ln1x，∴01ex，则直线l的斜率为1e，从而直线l的方程为1eyx.【规律总结】求切线方程的步骤：(1)利用导数公式求导数．(2)求斜率．(3)写出切线方程．注意导数为0和导数不存在的情形．3．若2sin2fxaa

x为奇函数，则曲线yfx在0x处的切线的斜率为A．2B．4C．2D．41．函数在处的导数是A．0B．1C．D．2．若曲线enxxy在点1(1,)e处的切线的斜率为4e，则nA．2B．3C．4D．53．已

知函数的图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是A．B．C．D．4．设()fx是(,0)(0,)上的偶函数，当0x时，2()fxxx，则()fx在(1,(1))f处的切线方程为A．10xyB．10xyC．10xyD．10xy5．已知()fx在

R上连续可导，()fx为其导函数，且()ee(1)(ee)xxxxfxfx，则(2)(2)(0)(1)ffffA．224e4eB．224e4eC．0D．24e6．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其

他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：300()2tMtM，其中0M为0t时铯137的含量，已知30t

时，铯137含量的变化率为10ln2(太贝克/年)，则(60)MA．5太贝克B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克7．已知过点(1,1)P且与曲线3yx相切的直线的条数有A．0B．1C．2D．38．设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线

为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为A．B．C．D．9．已知函数的导函数为，且满足，则_________．10．曲线的切线方程为，则实数的值为_________．11．若点P是函数y=2sinsincosxxx图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l斜率的

取值范围是_________．12．已知曲线2()fxx，求:（1）曲线()fx在点(1,1)P处的切线方程；（2）曲线()fx过点3,5P的切线方程.13．已知函数32fxxbxcxd的图象过点0,2P，且在点

1,1Mf处的切线方程为670xy．（1）求1f和1f的值；（2）求函数fx的解析式．1．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）曲线y=2sinx+cosx在点(π，-1)处的切线方程为A．10xy

B．2210xyC．2210xyD．10xy2．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）已知曲线elnxyaxx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A．e1ab

，B．a=e，b=1C．1e1ab，D．1ea，1b3．（年高考全国Ⅰ卷文数）设函数32()(1)fxxaxax.若()fx为奇函数，则曲线()yfx在点(0,0)处的切线方程为A．2yxB．yxC．2yxD．yx4．（2019年高考

全国Ⅰ卷文数）曲线23()exyxx在点(0)0，处的切线方程为____________．5．（2019年高考天津文数）曲线cos2xyx在点(0,1)处的切线方程为__________.6．（年高考天津文数）已知函数f(

x)=exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′（1）的值为__________．7．（年高考全国Ⅱ卷文数）曲线2lnyx在点(1,0)处的切线方程为__________．8．（年高考全国Ⅰ卷文数）曲线21yxx

在点（1，2）处的切线方程为______________．9．（年高考天津文数）已知aR，设函数()lnfxaxx的图象在点（1，(1)f）处的切线为l，则l在y轴上的截距为___________．10．（2019年

高考江苏）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线4(0)yxxx上的一个动点，则点P到直线0xy的距离的最小值是▲.11．（2019年高考北京文数节选）已知函数321()4fxxxx．（Ⅰ）求曲线()yfx的斜率为1的切线方

程；12．（年高考全国Ⅲ卷文数节选）已知函数21()exaxxfx．（1）求曲线()yfx在点(0,1)处的切线方程；1．【答案】C【解析】根据题意，2222esin4esinfxxxxx，其导数2224esin8ecosfxxxxx

，故选C．【名师点睛】本题考查导数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.根据导数运算法则求解即可.2．【答案】A【解析】由()3(2)lnfxxfx可得1()=3(2)fxfx，当2x时，1(2)=3(2)2ff，解得：1(2)4f，则31()4fxx

，故31(1)=144f，故选A.【名师点睛】本题主要考查导数的计算，解题的关键是理解(2)f为一个常数，考查学生的基本的计算能力，属于基础题.求解时，对()3(2)lnfxxfx求导，取2x，求出(2)f，再取1x，即可求出(1)f.

3．【答案】D【解析】fx是奇函数，20a，2a，2sin2fxx，∴4cos2fxx，04f.∴曲线yfx在0x处的切线的斜率为4.故选D.【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查求导和切线的斜率的求法，意在

考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.求解时，先根据函数的奇偶性求出a=2，再求出函数的导数和切线的斜率.1．【答案】C变式拓展考点冲关【解析】因为，故选C．2．【答案】D【解析】∵12eeenxnxxnxxy，114eexny，5.n故选D.【名师点睛】本题考查

了曲线的切线方程，熟悉函数的导函数的几何意义以及求导函数是解题的关键，属于基础题.求解时，先求其导函数，再将x=1代入其斜率为4e，可得答案.3．【答案】C【解析】结合函数的图象可知过点的切线的倾斜角较大，过点的切线的倾斜角较小，又因为过点的切线的斜率，过点的切线的斜率

，直线的斜率，故，应选C.4．【答案】D【解析】由()fx是(,0)(0,)上的偶函数得，当0x时，0x，22()()()()fxfxxxxx，则()21fxx，(1)1f，(1)0f，故()fx在(1,(1))f处的切线方程为0(1)y

x，即10xy，故选D.【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数求解曲线的切线问题，一般是先求切线的斜率，再利用点斜式求解切线.解答本题时，结合偶函数的特点先求出0x时的解析式，然后再求解(1,(1))f处的切线.5．【答案】C【解析】对

x求导数得()ee(1)(ee)(1)(ee)xxxxxxfxffx，f′（﹣x）＝ee(1)(ee)(1)()(ee)xxxxxxffx=﹣f′（x），所以f′（x）是R上的奇函数，则f′（0）＝0，f′（﹣2）＝﹣f′（2），即f′（

2）+f′（﹣2）＝0，所以f'（2）+f'（﹣2）﹣f'（0）f'（1）＝0，故选C．【名师点睛】本题主要考查函数导数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键，是中档题.求解时，根据条件判断函数f′（x）的奇偶性，利用奇偶性的性质进行求解即可．6．【答案】D【

解析】因为3001()ln2230tMtM，所以303001(30)ln2210ln230MM，解得0600M.所以30()6002tMt，所以60t时，铯137的含量为60301(60)60026001504M（太贝克

）.7．【答案】C【解析】若直线与曲线切于点000,0xyx，则3200000011111yxkxxxx，又∵23yx，∴0203xxyx，∴200210xx，解得01x，012x，∴过点1,1P与曲线3yx

相切的直线方程为320xy或3410xy，故选C．【名师点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．求解本题

时，设切点为000,0xyx，则300yx，由于直线l经过点1,1，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点0x处的切线斜率，建立关于0x的方程，从而可求方程．8．【答案】C【解析】因为切线，的切点分别为而，所以.因为，

所以(.因为，所以，因此，选C．9．【答案】【解析】求导得，把代入得，解得．10．【答案】2【解析】根据题意，设曲线与的切点的坐标为导数为，则切线的斜率，又由切线方程为，即则则切线的方程为又由，得切线方程为，即则有，解得，则切

点的坐标为，则有，.11．【答案】1,【解析】∵22sin2cos(sincos)2sin(cossin),sincos(sincos)xxxxxxxyyxxxx222cos2sin212sinc

os1sin2xxxxx．∵1＜sin2x≤1，∴0＜1+sin2x≤2，∴111sin22x，则211sin2yx，∴直线l斜率的取值范围是[1，+∞）．故答案为1,．【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究曲线的切线的斜率问题，侧重考查数

学运算的核心素养.求解时，先求导数，结合导数的几何意义可知，导数的范围就是切线的斜率的范围.12．【解析】（1）2()fxx的导数为()2fxx，所以曲线在点(1,1)P处的切线的斜率为2k，则曲线在点(1,1

)P处的切线方程为12(1)yx，即为210xy.（2）设切点为2,)（aa，所以()2kfaa，所以切线方程为52(3)yax，所以2252(3)26aaaaa，所以265

0aa，所以15或aa，所以切线方程为21010250或xyxy.【名师点睛】本题考查导数的运用，求切线的方程，掌握导数的几何意义，同时考查直线的点斜式方程，属于基础题．（1）求出函数的导数，令1x求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线的方程；（2）设切线的切

点(a，2a)，再利用已知求出a的值得解.13．【解析】（1）∵fx在点1,1Mf处的切线方程为670xy，故点1,1f在切线670xy上，且切线斜率为6，得11f且16f．（2）∵fx过点0,2P，∴2d，∵32

fxxbxcxd，∴2()32fxxbxc，由16f得326bc，又由11f，得11bcd，联立方程得232611dbcbcd，解得332bcd，故32332fxxxx．直通高考1

．【答案】C【解析】2cossin,yxxπ2cosπsinπ2,xy则2sincosyxx在点(,1)处的切线方程为(1)2()yx，即2210xy．故选C．【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学

运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．2．【答案】D【解析】∵eln1,xyax∴切线的斜率1|e12xkya

，1ea，将(1,1)代入2yxb，得21,1bb.故选D．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.3．【答案】D【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得

.故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.4．【答案

】30xy【解析】223(21)e3()e3(31)e,xxxyxxxxx所以切线的斜率0|3xky，则曲线23()exyxx在点(0,0)处的切线方程为3yx，即30xy．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握

不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．5．【答案】220xy【解析】∵1sin2yx，∴01|sin0212xy，故所求的切线方程为112yx，即220xy.【名师点睛】曲线切线方程的求法：（

1）以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．（2）如果已知点(x1，y1)

不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组0010010()()yfxyyfxxx得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．6．【答案】e【解析】由函数的解析式可得，则.即的值为e.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学

生的转化能力和计算求解能力.7．【答案】y=2x–2【解析】由，得.则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.8．【答案】1

yx【解析】设()yfx，则21()2fxxx，所以(1)211f，所以曲线21yxx在点(1,2)处的切线方程为21(1)yx，即1yx．【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设),(00

yxP是曲线)(xfy上的一点，则以P为切点的切线方程是000()()yyfxxx．若曲线)(xfy在点))(,(00xfxP处的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0xx．9．【答案】1

【解析】由题可得(1)fa，则切点为(1,)a，因为1()fxax，所以切线l的斜率为(1)1fa，切线l的方程为(1)(1)yaax，令0x可得1y，故l在y轴上的截距为1．【名师点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题型，函数()fx在点

0x处的导数0()fx的几何意义是曲线()yfx在点00(,)Pxy处的切线的斜率，切线方程为000()()yyfxxx．解题时应注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同，没切点应设出

切点坐标，建立方程组进行求解．10．【答案】4【解析】由4(0)yxxx，得241yx，设斜率为1的直线与曲线4(0)yxxx切于0004(,)xxx，由20411x得02x（02x舍去），∴曲线4(0)yxxx上，点(2,

32)P到直线0xy的距离最小，最小值为22232411.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化

归思想解题.11．【答案】（Ⅰ）yx与6427yx.【解析】（Ⅰ）由321()4fxxxx得23()214fxxx．令()1fx，即232114xx，得0x或83x．

又(0)0f，88()327f，所以曲线()yfx的斜率为1的切线方程是yx与88273yx，即yx与6427yx．12．【答案】（1）210xy.【解析】（1）2(21)2()exaxaxfx，(0)2f．因此曲线()yfx在点(0,1)处的切线方

程是210xy．